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专题 03 与角平分线有关的辅助线的三种考法
类型一、角平分线上的点向两边作垂线
例1．如图，已知 ，P是 的平分线 上的任意一点， 交 于点D， 于
点E，如果 ，求 的长．
【变式训练1】如图， 中， ，点 分别在边 ， 上， ， ．
求证： 平分 ．
【变式训练2】图，已知AE⊥AB，AF⊥AC．AE＝AB，AF＝AC，BF与CE相交于点M．
(1)EC＝BF；
(2)EC⊥BF；
(3)连接AM，求证：AM平分∠EMF．【变式训练3】已知点C是∠MAN平分线上一点，∠BCD的两边CB、CD分别与射线AM、AN相交于B，D
两点，且∠ABC+∠ADC＝180°．过点C作CE⊥AB，垂足为E．
（1）如图1，当点E在线段AB上时，求证：BC＝DC；
（2）如图2，当点E在线段AB的延长线上时，探究线段AB、AD与BE之间的等量关系；
（3）如图3，在（2）的条件下，若∠MAN＝60°，连接BD，作∠ABD的平分线BF交AD于点F，交AC于
点O，连接DO并延长交AB于点G．若BG＝1，DF＝2，求线段DB的长．
类型二、过边上的点向角平分线作垂线构造等腰三角形
例1.如图，△ABC的面积为9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为______cm2．
【变式训练1】如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，∠ABC的平分线BD交AC于点D，CE⊥BD，交BD
的延长线于点E，若BD＝4，则CE＝________．【变式训练2】如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=AC，D是AC上一点，AE⊥BD交BD的延长线于E，AE=
BD，且DF⊥AB于F，求证：CD=DF
类型三、利用角平分线的性质，在角两边截长补短
例1.已知：如图， ， ， 分别平分 和 ，点E在 上．用等式表示线段
、 、 三者之间的数量关系，并证明．
【变式训练1】如图1，在 ABC中，∠BAC的平分线AD与∠BCA的平分线CE交于点O．
△
(1)求证：∠AOC＝90°＋ ∠ABC；(2)当∠ABC＝90°时，且AO＝3OD（如图2），判断线段AE，CD，AC之间的数量关系，并加以证明．
【变式训练2】如图，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC．求证：AE是∠DAB的平分线．（提示：
过点E作EF⊥AD，垂足为F．）
【变式训练3】如图所示，已知B（﹣2，0），C（2，0），A为y轴正半轴上的一点，点D为第二象限一
动点，点E在BD的延长线上，CD交AB于点F，且∠BDC＝∠BAC．
(1)求证：∠ABD＝∠ACD；
(2)求证：AD平分∠CDE；
(3)若在D点运动的过程中，始终有DC＝DA+DB，在此过程中，∠BAC的度数是否发生变化？如果变化，
请说明理由；如果不变，请求出∠BAC的度数．【变式训练4】已知：如图1，在 中， 是 的平分线．E是线段 上一点（点E不与点A，
点D重合），满足 ．
（1）如图2，若 ，且 ，则 ________ ， _______ ．
（2）求证： ．
（3）如图3，若 ，请直接写出 和 的数量关系．
课后训练
1．如图①， 是四边形 的一个外角， // ， ，点 在 的延长线上，
， ，垂足为 ．
(1)求证：① 平分 ；② ．
(2)如图②，若 ， ， ．求 的度数．2．已知：如图1，四边形ABCD中， ，连接AC、BD，交于点E， ．
(1)求证： ；
(2)如图2，过点B作 ，交DC于点F，交AC于点G，若 ，求证： ；
(3)如图3，在（2）的条件下，若 ，求线段GF的长．
3．如图1，正方形ABCD中，点E是BC延长线上一点，连接DE，过点B作BF⊥DE于点F，交CD于点
G．
(1)求证：CG=CE；
(2)如图2，连接FC，AC．若BF平分∠DBE，求证：CF平分∠ACE；
(3)如图3，若G为DC中点，AB=2，求EF的长．4．已知：在四边形 中， 于E，且 ．
(1)如图1，求 的度数；
(2)如图2， 平分 交 于F，点G在 上，连接 ，且 ．求证： ；
(3)如图3，在（2）的条件下， ，过点F作 ，且 ，若 ，求线
段 的长．
5．如图 ， 的 和 的平分线 ， 相交于点 ， ．
（1）求 的度数；
（2）如图 ，连接 ，求证： 平分 ；
（3）如图 ，在⑵的条件下，在 上取点 ，使得 ，且 ， ，求 的
周长．6．如图所示， 是 的高，点H为 的垂直平分线与 的交点， ．
（1）如图1，求证： ；
（2）如图2，若 ，求证： ；
（3）在（2）的条件下，若 ， ，求 的长．7．教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第96页的部分内容．
请根据教材中的分析，结合图①，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程．
定理应用：
（1）如图②．在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D．若AC=3，BC=4，求CD的长；
（2）如图③．在△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点P在AD上，点M在AC上．若
AC=6，BC=8，则PC+PM的最小值为 ．
