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专题 03 图形的相似
重点 了解线段的比和成比例的线段
难点 相似多边形的有关性质
易错 求线段的比时，线段的长度单位不一致；找错相似多边形的对应边
一、相似图形
判断两个图形是否相似，就是看两个图形是不是形状相同，与图形的大小、位置无关，这也是相似图形的
本质．
【例1】选项图形与如图所示图形相似的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为相似图形的形状相同，
A、B、C三个选项中的图形形状与题干所给图形形状不同，均不符合题意；
D选项中的图形形状与题干所给图形形状相同，符合题意；
故选：D．
【例2】下列关于“相似形”的说法中正确的是（ ）
A．相似形形状相同、大小不同 B．图形的放缩运动可以得到相似形
C．对应边成比例的两个多边形是相似形 D．相似形是全等形的特例
【答案】B
【详解】解：A：相似形形状相同、大小不一定相同，但是可以相同，故选项A错误；
B：图形的放缩运动可以得到相似形，选项B正确；
C：如果两个边数相同的多边形的对应角相等,对应边成比例,这两个多边形叫做相似多边形，故选项C错
误；
D：全等形是相似形的特例，故选项D错误．
二、比例线段
一般地，四条线段a，b，c，d的单位应该一致，有时为了计算方便，a，b的单位一致，c，d的单位一致
也可以．【例3】已知四条线段a，b，c，d是成比例线段，其中 ， ， ，则线段a的长度为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵四条线段a、b、c、d是成比例线段，
∴ ，即 ，
∴ ．
故选：C．
【例4】已知线段b是线段a和线段c的比例中项，若 ， ，则b的值是（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】C
【详解】解：根据题意得 ，
即 ，
解得 或 （舍去），
所以b的值为 ．
故选：C．
三、相似多边形
两个多边形相似，必须同时具备两个条件：（1）角分别相等；（2）边成比例．
【例5】如图，平行于正多边形一边的直线，将正多边形分割成两部分，则阴影部分多边形与原多边形相
似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：A、阴影三角形与原三角形的对应角相等、对应边的比相等，符合相似多边形的定义，符合题意；
B、阴影矩形与原矩形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意；
C、阴影五边形与原五边形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题
意；
D、阴影六边形与原六边形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题
意；
故选：A．
【例6】下列四组平面图形中，一定相似的是（ ）
A．等腰三角形与等腰三角形 B．正方形与菱形
C．正五边形与正五边形 D．菱形与菱形
【答案】C
【详解】因为等腰三角形与等腰三角形不一定相似，
所以A错误，不符合题意；
因为正方形与菱形不一定相似，
所以B错误，不符合题意；
正五边形与正五边形一定相似，
所以C正确，符合题意；
菱形与菱形不一定相似，
所以D错误，不符合题意；
故选:C．
一、单选题
1．下列图形中不一定是相似图形的是（ ）
A．两个圆 B．两个菱形 C．两个等腰直角三角形 D．两个等边三角形
【答案】B
【详解】解：A、两个圆的形状相同，是相似图形，故选项A不符合题意；
B、两个菱形的各角不一定相等，故不一定相似，故选项B符合题意；
C、两个等腰直角三角形形状相同，是相似图形，故选项C不符合题意；
D、两个等边三角形形状相同，是相似图形，故选项D不符合题意；
故选：B．2．下面四个选项中的一般三角形、等边三角形、正方形、矩形的各边分别等距向外扩张1个单位，那么扩
张后的几何图形与原几何图形不一定相似的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：A：形状相同，符合相似形的定义，对应角相等，所以三角形相似，故A选项不符合要求；
B：形状相同，符合相似形的定义，故B选项不符合要求；
C：形状相同，符合相似形的定义，故C选项不符合要求；
D：两个矩形，虽然四个角对应相等，但对应边不一定成比例，故D选项符合要求；
故选：D．
3．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵ ，
∴ ，
整理得： ，
∴ ，
故选：A．
4．如图，在 中， ，则 的长（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【详解】解：∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
故选B．
5．一般认为，如果一个人的肚脐以上的高度与肚脐以下的高度符合黄金分割，则这个人身材好．如图，
是一个参加空姐选拔的选手的实际身高情况，如果要使身材好，那么她穿鞋子的高度最好为（ ）
．（精确到 ，参考数据：黄金分割比为 ）
A．5 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【详解】解：设她应该穿 高的鞋子，根据题意，得： ．
解得： ，
故选：C．
6．如图，已知一组平行线 ，被直线m、n所截，交点分别为A、B、C和D、E、F，且
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵ ，∴ ，即 ，
解得， ，
故选：C．
二、填空题
7．在比例尺是 的地图上，若某条道路长约为 ，则它的实际长度约为______ ．
【答案】 ##
【详解】解：设它的实际长度约为 ，依题意得：
，
解得： ，
经检验： 是原方程的解且符合题意，
∵ ，
∴它的实际长度约为 ．
故答案为： ．
8．如图，已知 为 角平分线， ，如果 ， ，那么 ______．
【答案】
【详解】解：∵ ，
，
又 ，
，
，
．
故答案为： ．三、解答题
9．根据条件求值.
(1)若 ，求 的值；
(2)若 ，求 的值.
【答案】(1)
(2)﹣
【详解】（1）∵
∴当 时，
∴ ．
（2）∵
∴
∴
∴ ．
10．如图，在 中，D，E分别是 和 上的点，且 ．
(1)如果 ，那么 的长是多少？
(2)如果 ，那么 的长是多少？
【答案】(1)(2)
【详解】（1）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
一、单选题
1．下列四条线段成比例的是（ ）
A． ， ， ， B． ， ， ，
C． ， ， ， D． ， ， ，
【答案】B
【详解】解：A、按照从小到大排列： ， ， ， ，则 ，故本选项
错误；
B、按照从小到大排列： ， ， ， ，则 ，故本选项正确；
C、按照从小到大排列： ， ， ， ，则 ，故本选项错误；
D、按照从小到大排列： ， ， ， ，则 ，故本选项错误；
故选：B．2．如图，已知在 中，点 ， ， 分别是边 ， ， 上的点， ， ，且
： ： ，那么 ： 等于（ ）
A．5：3 B．3：8 C．3：5 D．2：5
【答案】C
【详解】解：∵ ， ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ，
∵ ， ： ： ，
∴ ： ： ： ，
∵ ，
∴ ： ： ： ，
∴ ： ： ，
故选：C．
3．如图，已知点 是线段 的黄金分割点，且 ．若 表示以 为边的正方形的面积， 表示
长为 、宽为 的矩形的面积，则 与 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【详解】解：∵点 是线段 的黄金分割点
∴ ，即由题意可得： ，
∴
故选：A
4．如图，四边形 四边形 ， ， ， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】∵四边形 四边形 ， ， ， ，
∴ ，
∴
故选：D
5．如图，正方形 中， 分别在边 上， 相交于点 ， 若
，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图，作 ，交 于N，交 于M．∵四边形 是正方形，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∵ ，
设 ，则
∵ ，
∴ ，
∴
∴
∵
∴
故选：C
6．如图，F是平行四边形 的边 上一点，直线 交 的延长线于点E，则下列结论错误的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】∵平行四边形
∴ ， ， ， ，
∵
∴ ，故选项A正确，不符合题意；
，故选项B正确；，不符合题意∵
∴ ，故选项C错误，符合题意；
∴ ，故选项D正确，不符合题意；
故选：C．
二、填空题
7．如图，已知直线 ，直线 分别与直线 、 、 相交于点 、 、 ．直线 分别与直线 、
、 相交于点 、 、 ，直线 与 交于点 ．如果 ， ，那么 的长为
______．
【答案】8
【详解】解： ，
，
，
，
，
，
故答案为：8．
8．如图，菱形 的对角线 ， 交于点 ， ， ，点 在 上， ，则
的面积是______．【答案】3
【详解】因为菱形 的对角线 ， 交于点 ， ， ，
所以菱形的面积 =24，OA=OC，
所以 ，
因为 ，OA=OC，
所以 ,
所以EC=EB，
的面积是： ．
故答案为：3．
三、解答题
9．如图，点D是 边 上一点，连接 ，过 上点E作 ，交 于点F，过点F作
交BC于点G，已知 ， ．
(1)求 的长；
(2)若 ，在上述条件和结论下，求 的长．
【答案】(1)6
(2)【详解】（1）∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
（2）∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
10．如图，AC EF BD．
(1)求证： + ＝ ；
(2)若AC＝3，EF＝2，求BD的值．
【答案】(1)见解析(2)6
【详解】（1）证明：∵EF BD，
∴ ①，
∵EF AC，
∴ ②，
①+②得 ，
∴ ；
（2）解： ，
，
∴BD＝6．
