文档内容
专题04 倍长中线模型
【模型说明】
【例题精讲】
例1．（基本模型）如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，BC＝4，D为AB的中点，
DC⊥BC，则点A到直线CD的距离是_____．
例2．（综合应用）（1）如图1，AD是 ABC的中线，延长AD至点E，使ED=AD，连接
CE．
△
①证明 ABD≌△ECD；
△②若AB＝5，AC＝3，设AD＝x，可得x的取值范围是_______；
（2）如图2，在 ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于
点F，连接EF，求证：BE＋CF＞EF．
△
例3．（培优应用）已知 中，
（1）如图1，点E为 的中点，连 并延长到点F，使 ，则 与 的数量
关系是________．
（2）如图2，若 ，点E为边 一点，过点C作 的垂线交 的延长线于点
D，连接 ，若 ，求证： ．
（3）如图3，点D在 内部，且满足 ， ，点M在 的延长线
上，连 交 的延长线于点N，若点N为 的中点，求证： ．
【变式训练1】如图， 中， ，E是 的中点，求证： ．【变式训练2】如图1，在△ABC中，若AB＝10，BC＝8，求AC边上中线BD取值范围．
（1）小聪同学是这样思考的：延长BD至E，使DE＝BD，连接CE，可证得
△CED≌△ABD．
①请证明△CED≌△ABD；
②中线BD的取值范围是 ．
（2）问题拓展：如图2，在△ABC中，点D是AC的中点，分别以AB，BC为直角边向
△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中，AB＝BM，BC＝BN，
∠ABM＝∠NBC＝∠90°，连接MN．请写出BD与MN的数量关系，并说明理由．
【课后作业】
1．如图，已知AD是△ABC的中线，E是AC上的一点，BE交AD于F，AC＝BF，∠DAC＝24°，∠EBC＝32°，则∠ACB＝_____．
2．在△ABC中，AB＝AC，点D是△ABC内一点，点E是CD的中点，连接AE，作
EF⊥AE，若点F在BD的垂直平分线上，∠BAC＝α，则∠BFD＝_________．（用α含的
式子表示）
3．如图，在锐角 中， ，点 ， 分别是边 ， 上一动点，连接 交
直线 于点 ．
(1)如图1，若 ，且 ， ，求 的度数；
(2)如图2，若 ，且 ，在平面内将线段 绕点 顺时针方向旋转 得到
线段 ，连接 ，点 是 的中点，连接 ．在点 ， 运动过程中，猜想线段
， ， 之间存在的数量关系，并证明你的猜想．
4．【观察发现】如图①，△ABC中，AB＝7，AC＝5，点D为BC的中点，求AD的取值
范围．
小明的解法如下：延长AD到点E，使DE＝AD，连接CE．在△ABD与△ECD中
∴△ABD ECD（SAS）
∴AB＝ ．
≅△
又∵在△AEC中EC﹣AC＜AE＜EC+AC，而AB＝EC＝7，AC＝5，
∴ ＜AE＜ ．
又∵AE＝2AD．
∴ ＜AD＜ ．
【探索应用】如图②，AB CD，AB＝25，CD＝8，点E为BC的中点，∠DFE＝∠BAE，
求DF的长为 ．（直接写答案）
【应用拓展】如图③，∠BAC＝60°，∠CDE＝120°，AB＝AC，DC＝DE，连接BE，P为
BE的中点，求证：AP⊥DP．
5．在△ABM中，AM⊥BM，垂足为M，AM＝BM，点D是线段AM上一动点．
（1）如图1，点C是BM延长线上一点，MD＝MC，连接AC，若BD＝17，求AC的长；
（2）如图2，在（1）的条件下，点E是△ABM外一点，EC＝AC，连接ED并延长交BC
于点F，且点F是线段BC的中点，求证：∠BDF＝∠CEF．
（3）如图3，当E在BD的延长上，且AE⊥BE，AE＝EG时，请你直接写出∠1、∠2、∠3之间的数量关系．（不用证明）
6．已知：等腰 和等腰 中， ， ， ．（1）如图1，延长 交 于点 ，若 ，则 的度数为 ；
（2）如图2，连接 、 ，延长 交 于点 ，若 ，求证：点 为
中点；
（3）如图3，连接 、 ，点 是 的中点，连接 ，交 于点 ， ，
，直接写出 的面积．
