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专题 04 相似三角形的四种基本模型
模型一、A字型（8字型）
例1．（基本模型）如图，已知D是BC的中点，M是AD的中点．求 的值．
例2．（培优）如图， 中，点D在 边上，且 ．
（1）求证： ；
（2）点E在 边上，连接 交 于点F，且 ， ，求 的度数．
（3）在（2）的条件下，若 ， 的周长等于30，求 的长．
【变式训练1】如图，点O是△ABC边BC上一点，过点O的直线分别交AB，AC所在直线于点M，N，且＝m， ＝n．
（1）若点O是线段BC中点．
①求证：m+n＝2；
②求mn的最大值；
（2）若 ＝k（k≠0）求m，n之间的关系（用含k的代数式表示）．
【变式训练2】矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12．将矩形折叠，使点A落在点P处，折痕为DE．
（1）如图①，若点P恰好在边BC上，连接AP，求 的值；
（2）如图②，若E是AB的中点，EP的延长线交BC于点F，求BF的长．
模型二、X（8）字型X字型（平行） 反X字型（不平行）
例1．（基本模型）已知：如图，在 ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，点F在边AB上，
BC2=BF•BA，CF与DE相交于点G． △
（1）求证：DF•AB=BC•DG；
（2）当点E为AC中点时，求证：2DF•EG=AF•DG．
例2．（培优）如图1，ΔABC中，AB=AC，点D在BA的延长线上，点E在BC上，DE=DC，点F是DE
与AC的交点．
（1）求证：∠BDE=∠ACD；
（2）若DE=2DF，过点E作EG//AC交AB于点G，求证：AB=2AG；
（3）将“点D在BA的延长线上，点E在BC上”改为“点D在AB上，点E在CB的延长线上”，“点F
是DE与AC的交点”改为“点F是ED的延长线与AC的交点”，其它条件不变，如图2．
①求证：AB·BE=AD·BC；
②若DE=4DF，请直接写出SΔABC:SΔDEC的值．
【变式训练1】 如图，正方形 的边长为 ，点 是射线 上的一个动点，连接 并延长，交射线 于点 ，将 沿直线 翻折，点 落在点 处．
（1）当 时，如图 ，延长 ，交 于点 ，
① 的长为________；
②求证： ．
（2）当点 恰好落在对角线 上时，如图 ，此时 的长为________； ________；
（3）当 时，求 的正弦值．
【变式训练2】如图1，在矩形ABCO中，OA＝8，OC＝6，D，E分别是AB，BC上一点，AD＝2，CE＝
3，OE与CD相交于点F．
（1）求证：OE⊥CD；
（2）如图2，点G是CD的中点，延长OG交BC于H，求CH的长．
【变式训练3】已知：矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点P是线段AD上一点，连接CP，点E在对角线AC上（不与点A，C重合），∠CPE＝∠ACB，PE的延长线与BC交于点F．
（1）如图1，当AP＝2时，求CF的长；
（2）如图2，当PF⊥BC时，求AP的长；
（3）当△PFC是等腰三角形时，求AP的长．
模型三、子母型
已知：∠ 1=∠2；结论：△ACD ∽△ABC
A
D
1
2
B
C
例1．（基本模型）如图，在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝AB，∠DEC＝∠B．
（1）求证：△AED∽△ADC；
（2）若AE＝1，EC＝3，求AB的长．
例2.（培优）在Rt△ABC中，∠ACB= ，点D为AB上一点．
（1）如图1，若CD⊥AB，求证：AC2=9A0D°·AB；（2）如图2，若AC=BC，EF⊥CD交CD于H，交AC于F，且 ，求 的值；
（3）如图3，若AC=BC，点H在CD上，∠AHD=45°，CH=3DH，则tan∠ACH的值为________．
【变式训练1】在矩形 中， ， ， 是 边上一点， 交 于点 ，过点
作 ，交射线 于点 ，交射线 于点 ．
（1）如图 ，当点 与点 重合时，求 的长．
（2）如图 ，当点 在线段 上时，设 ， ，求 与 之间的函数关系式，并写出它的定
义域．
（3）连接 ，当 与 相似时，求线段 的长．
【变式训练2】如图，锐角△ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，垂足为D，E．（1）求证：△ACD∽△ABE；
（2）若将点D，E连接起来，则△AED和△ABC能相似吗？说说你的理由．
【变式训练3】已知正方形 的边长为4，点 在边 上，点 在边 上，且 ， 和
交于点 ．
（1）如图，求证：
①
②
（2）连接 并延长交 于点 ，
①若点 为 的中点（如图），求 的长．
②若点 在 边上滑动（不与点 重合），当 取得最小值时，求 的长．
模型四、旋转型
例1．（基本模型）在同一平面内，如图①，将两个全等的等腰直角三角形摆放在一起，点A为公共顶点，．如图②，若△ABC固定不动，把△ADE绕点A逆时针旋转，使AD、AE与边BC的
交点分别为M、N点M不与点B重合，点N不与点C重合 ．
【探究】求证： ．
【应用】已知等腰直角三角形的斜边长为4．
(1) 的值为______．
(2)若 ，则MN的长为______．
例2．（培优）【问题发现】如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为斜边BC上一点（不与
点B，C重合），将线段AD绕点A顺时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BD与CE的数量关系是
______，位置关系是______；
【探究证明】如图2，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕
点A旋转，当点C，D，E在同一条直线上时，BD与CE具有怎样的位置关系，说明理由；
【拓展延伸】如图3，在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝2CD＝4，过点C作CA⊥BD于A．将△ACD绕
点A顺时针旋转，点C的对应点为点E．设旋转角∠CAE为 （0°＜ ＜360°），当C，D，E在同一条直
线上时，画出图形，并求出线段BE的长度．
【变式训练1】如图，等腰三角形ABC和等腰三角形ADE，其中AB＝AC，AD＝AE．(1)如图1，若∠BAC＝90°，当C、D、E共线时，AD的延长线AF⊥BC交BC于点F，则∠ACE＝______；
(2)如图2，连接CD、BE，延长ED交BC于点F，若点F是BC的中点，∠BAC＝∠DAE，证明：
AD⊥CD；
(3)如图3，延长DC到点M，连接BM，使得∠ABM＋∠ACM＝180°，延长ED、BM交于点N，连接AN，
若∠BAC＝2∠NAD，请写出∠ADM、∠DAE它们之间的数量关系，并写出证明过程．
【变式训练2】［问题发现］
(1)如图1，在Rt△ABC中， ， ，点 为 的中点，以 为一边作正方形 ，
点 与点 重合，已知 ．请直接写出线段 与 的数量关系；
［实验研究］
(2)在（1）的条件下，将正方形 绕点 旋转至如图2所示的位置，连接 ， ， ．请猜想线段
和 的数量关系，并证明你的结论；
［结论运用］
(3)在（1）（2）的条件下，若 的面积为8，当正方形 旋转到 ， ， 三点共线时，请求出
线段 的长．模型五、一线三垂直型
E
E
A
E
A
A
B C D B C D B C D
例1．（模型探究）【感知】如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），
．易证 ．（不需要证明）
【探究】如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合）， ．若
， ， ，求AP的长．
【拓展】如图③，在 中， ， ，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连结
CP，作 ，PE与边BC交于点E，当 是等腰三角形时，直接写出AP的长．
例2．（培优）问题提出（1）如图1，在矩形 中， ，点E为 的中点，点F在 上，过点E作 交
于点G．若 ，则 的面积为_________．
问题探究
（2）如图2，在矩形 中， ，点P是 边上一动点，点Q是 的中点将．
沿着 折叠，点A的对应点是 ，将 沿着 折叠，点D的对应点是 ．请问是否存在这
样的点P，使得点P、 、 在同一条直线上？若存在，求出此时 的长度；若不存在，请说明理由．
问题解决
（3）某精密仪器厂接到生产一种特殊四边形金属部件的任务，部件要求：如图3，在四边形 中，
，点D到 的距离为 ，且 ．若过点D作 ，过点A作 的
垂线，交 于点E，交 的延长线于点H，过点C作 于点F，连接 ．设 的长为 ，
四边形 的面积为 ．
①根据题意求出y与x之间的函数关系式；
②在满足要求和保证质量的前提下，仪器厂希望造价最低．已知这种金属材料每平方厘米造价60元，请你
帮忙求出这种四边形金属部件每个的造价最低费用．【变式训练1】问题提出：
（1）如图①，矩形ABCD中，AD＝6．点E为AD的中点．点F在AB上，过点E作EG AB交FC于点
G．若EG＝7．则S EFC＝ ．
△
问题探究：
（2）如图②．已知矩形ABCD纸片中．AB＝9，AD＝6，点P是CD边上一动点．点Q是BC的中点．将
△ADP沿着AP折叠，在纸片上点D的对应点是 ，将△QCP沿着PQ折叠．在纸片上点C的对应点是 ．
请问是否存在这样的点P．使得点P、 、 在同一条直线上？若存在，求出此时DP的长度．若不存在，
请说明理由．
问题解决：
（3）某精密仪器厂接到生产一种特殊四边形金属部件的任务．部件要求：如图③，四边形ABCD中，AB
＝4厘米，点C到AB的距离为5厘米，BC⊥CD．且BC＝ CD．在满足要求和保证质量的前提下，仪器
厂希望造价最低，已知这种金属材料每平方厘米造价50元．请问这种四边形金属部件每个的造价最低是多
少元？（ ≈1.73）【变式训练2】如图，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝3，点E是边BC上一个动点（不与点B、C重合），AE
的垂线AF交CD的延长线于点F，点G在线段EF上，满足FG∶GE＝1∶2，设BE＝x．
（1）求证： ；
（2）当点G在△ADF的内部时，用x的代数式表示∠ADG的余切；
（3）当∠FGD＝∠AFE时，求线段BE的长．
【变式训练3】如图1和图2，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0，4），A是x轴上的一个动点，M
是线段AC的中点．把线段AM以A为旋转中心、按顺时针方向旋转90°得到AB．过B作x轴的垂线、过点
C作y轴的垂线，两直线交于点D，直线DB交x轴于点E．设A点的横坐标为m．
（1）求证：△AOC∽△BEA；
（2）若m=3，则点B的坐标为 ；若m=﹣3，则点B的坐标为 ；
（3）若m＞0，△BCD的面积为S，则m为何值时，S=6？
（4）是否存在m，使得以B、C、D为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，求此时m的值；若不存在，
请说明理由．
