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期末重难点真题特训之易错必刷题型（90题30个考点）专练
【精选2023年最新考试题型专训】
易错必刷题一、三角形的边
1．（2023上·安徽滁州·八年级校考阶段练习）如图，小贤将一根长度为 的红色小棒分成两段，使它
们可以和另一根绿色小棒首尾相接构成一个三角形．若绿色小棒长为 （ 为正整数），则 的最大值
为（ ）
A．10 B．9 C． D．7
2．（2022上·陕西延安·八年级统考开学考试）若a，b，c是 的三边，请化简
．
3．（2023下·全国·八年级假期作业）如图，在四边形 中，M，N分别是AD，BC的中点．若
， 求MN长度的取值范围．
易错必刷题二、三角形的高、中线与角平分线
1．（2023上·天津静海·八年级校考期中）在 中， ， 分别是 ， 的中点，且 的面积
是4，则 的面积是（ ）
A．2 B．1 C．0.5 D．0.25
2．（2023上·河北沧州·八年级校联考期中）如图，在三角形 中， ， ，垂足为 ，， ， ，则 ．
3．（2024·全国·八年级假期作业）（数学经验）三角形的中线能将三角形分成面积相等的两部分．
（经验发展）（1）面积比和线段比的联系：如果两个三角形的高相同，则它们的面积比等于对应底边的
比，如图1， 的边 上有一点 ，请证明： ；
（结论应用）（2）如图2， 的面积为1， ，求 的面积；
（拓展延伸）（3）如图3， 的边 上有一点 ， 为 上任意一点，请利用上述结论，证明：
；
（迁移应用）（4）如图4， 中，M是 的三等分点 ，N是 的中点，若 的面
积是1，请直接写出四边形 的面积： ．
易错必刷题三、三角形的稳定性
1．（2022上·湖北武汉·八年级校联考期中）如图，某中学的电动伸缩校门利用的数学原理是（ ）A．三角形的稳定性 B．两点之间，线段最短
C．三角形两边之和大于第三边 D．四边形的不稳定性
2．（2022上·新疆阿克苏·八年级统考期中）木工师傅做完门框后，为防止变形，通常在角上钉一斜条，他
的根据是 ．
3．（2023上·全国·八年级课堂例题）[推理意识]如图，我们知道要使四边形木架不变形，至少要钉一根木
条，要使五边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使六边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使n边
形木架不变形，至少要钉多少根木条？
(1)请完成下表：
多边形木架的边数 4 5 6 … n
至少钉木条的根数 1 …
(2)要使十二边形木架不变形，至少要钉__________根木条；
(3)有一个多边形木架，至少要钉18根木条，才能使它不变形，求这个多边形的边数．
易错必刷题四、三角形的内角
1．（2023上·辽宁盘锦·八年级校考阶段练习）如图，已知D为 边 延长线上一点， 于F
交 于E， ，则 的度数为（）A． B． C． D．
2．（2023上·湖北孝感·八年级统考期中）如图， 的角平分线， 是 边上的高，且 ，
，则 ．
3．（2022上·江西新余·八年级校联考期中）如图①，线段 ， 相交于点 ，连接 ， ，我们把
形如图①的图形称为“ 字形”，试解答下列问题；
(1)在图①中，请直接写出 ， 、 ， 之间的数量关系；
(2)在图②中，若 、 ， 和 的平分线 和 相交于点 ，并且与 ，
分别相交于点 ， ，利用（1）的结论，试求 的度数．
易错必刷题五、三角形的外角
1．（2023上·安徽芜湖·八年级校联考阶段练习）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射
光线与一束经过光心 的光线相交于点 ， 为焦点．若 ， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·河南许昌·八年级统考期中）如图①②③中， ， ， ，则
．3．（2023上·河北廊坊·八年级校考阶段练习）看图回答问题
(1)如图1，在凹四边形 中：
①当 时， ：
②当 时， 。
(2)如图2， 与 角平分线相交于点O，若 ，求 与 的数量关系．
易错必刷题六、多边形
1．（2023上·陕西延安·八年级统考阶段练习）若一个多边形从一个顶点出发可引4条对角线，则这个多边
形对角线的总数为（ ）
A．14 B．28 C．24 D．20
2．（2023下·湖南衡阳·七年级校考期中）若过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，k边
形有k条对角线，正h边形的内角和与外角和相等，则代数式 ．
3．（2023上·河南新乡·八年级校考阶段练习）探究归纳题：(1)如图1，经过四边形的一个顶点可以作___________条对角线，它把四边形分成___________个三角形；
(2)如图2，经过五边形的一个顶点可以作___________条对角线，它把五边形分成__________个三角形；
(3)探索归纳：对于 边形 ，过一个顶点可以作_________条对角线，它把 边形分成_________个三
角形；（用含 的式子表示）
(4)如果经过多边形的一个顶点可以作100条对角线，那么这个多边形的边数为__________．
易错必刷题七、多边形的内角和
1．（2023上·山东德州·八年级校考期中）如图，六边形 为正六边形，四边形 为正方形，
则图中 的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021上·湖北恩施·八年级统考期中）一个多边形截去一个角后，所形成的一个新多边形的内角和为
，则原多边形有 条边；
3．（2023上·吉林·八年级统考阶段练习）阅读材料：
我们知道：探索多边形内角和的方法是将其转化为三角形，利用三角形内角和获得结论，这一方法也可以
用来解决其它求角度的问题，如图，四边形 是凸四边形，探索其内角和的方法是：连接对角线 ，
则四边形 的内角和就转化为 和 的内角和为 ．
解决问题：（1）如图①，四边形 是凹四边形，请探究 与 ， ， 三个角之间
的数量．小明得出的结论是 ．他的证明如下．请你将小明的证明过程补充完整．
证明：连接 并延长 到点 ．
联系拓广：
（2）下面图②的五角星和图③的六角星都是一笔画成的，即从图形的某一顶点出发，找出一条路线，用
笔不离开纸，连续不断又不重复经过图形上所有部分化成的．请你根据上述解决问题的思路，解答下列问
题：
①图②中， 的度数为__________；
②图③中， 的度数为__________．
易错必刷题八、全等三角形
1．（2023上·江苏扬州·八年级校考期中）如图， ，若 ， ，
，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·山东德州·八年级校考期中）如图，在正方形 中， ，E是 上一点且 ，
连接 ，动点M从点A以每秒2个单位长度的速度沿 向终点A运动，设点M的运动
时间为1秒，当 和 全等时，t的值是 ．3．（2023上·福建龙岩·八年级统考期中）如图， 中， ， ， ，直线l
经过点C且与边 相交．动点P从点A出发沿 路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿
路径向终点A运动．点P和点Q的速度分别为 和 ，两点同时出发并开始计时，当
点P到达终点B时计时结束．在某时刻分别过点P和点Q作 于点E， 于点F．设运动时间为
t秒，解答下列问题：
(1)用含t的式子表示 ______ ， ______ ；
(2)探究t取何值时， 与 全等？
易错必刷题九、全等三角形的判定
1．（2024下·全国·七年级假期作业）如图， 是 的中线， 分别是 和 延长线上的点，且
，连接 ．有下列说法：① ；② ；③ ；④ ．
其中说法正确的有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2023上·山东聊城·八年级校联考阶段练习）如图，在四边形ABCD中，
，点E是AB边的中点．P点从点B出发以 的速度沿BC方向
运动，同时点Q从点C出发沿CD方向运动，若能够在某一时刻使 与 全等，则点Q的运动速
度为 ．
3（2023上·吉林松原·八年级统考期末）【探究与发现】（1）如图1， 是 的中线，延长 至点
E，使 ，连接 ，写出图中全等的两个三角形 ．
【理解与应用】（2）填空：如图2， 是 的中线，若 ， ，设 ，则x的取值范
围是 ．
（3）已知：如图3， 是 的中线， ，点Q在 的延长线上， ，求证：
．易错必刷题十、角的平分线的性质
1．（2023上·河北石家庄·九年级石家庄市第八十一中学校考阶段练习）如图，在 和 中，
，连接 交于点 ，连接 ．下列结论：①
；② ；③ 平分 ；④ 平分 ；⑤ 平分 ．其中正确的个
数为（ ）．
A．4 B．3 C．2 D．5
2．（2024下·全国·七年级假期作业）如图，在 中， 平分 于
点 ．若 的周长是 ，则 ．
3．（2023上·内蒙古呼和浩特·八年级呼和浩特市实验中学校考期中）如图，四边形 中，
，连接 ， ．(1)如图（1），若 ，证明： ．
(2)如图（2）， 平分 ，证明： ．
易错必刷题十一、轴对称
1．（2023上·山东聊城·八年级统考期中）如图，直线 ， 相交于点 ， 为这两条直线外一点，连
接 ．点 关于直线 ， 的对称点分别是点 ， ．若 ，则点 ， 之间的距离可能是
（ ）
A．0 B．5 C．7 D．9
2．（2023上·甘肃兰州·八年级兰州市第五十六中学校考阶段练习）如图， 点P是 内一点， 点P
关于 的对称点为C， 点P关于 的对称点为D， 连接 交 于点M和点 ， 连接
．若 ， 则 的大小为 度．3．（2023上·广东江门·七年级校联考阶段练习）如图，长方形纸片 ，点E为 边上的点，将纸片
先沿直线 对折，对折后的点A的对应点为 ，再沿直线 对折，对折后点D的对应点为 ，并且
刚好落在 边上．
(1)若 ，则 _______ ， _______ ；
(2)若 ，猜想： _______ ，请你说明理由．
易错必刷题十二、线段的垂直平分线的性质
1．（2023上·山东菏泽·八年级统考期中）如图， 中， 边的垂直平分线分别交 ， 于点D，
E， ， 的周长为18 ，则 的周长为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．15
2．（2023上·山西大同·八年级大同一中校考阶段练习）如图，在 中， 边的垂直平分线 与
的平分线 交于点 ． 交 的延长线于点 ， 交 于点 ． ，
．则 的长是 ．3．（2023上·河南开封·八年级开封市第十四中学校考期中）如图，在 中， ， 平分
， 垂直平分 ， 交 的延长线于点 ， 于点 ，求证： ．
易错必刷题十三、画轴对称图形
1．（2023上·山东日照·八年级校考阶段练习）如图，直线 与直线 相交， ，点 在 内（不
在 、 上）．小明用下面的方法作 的对称点：先以 为对称轴作点 关于 的对称点 ，再以 为对称
轴作 关于 的对称点 ，然后再以 为对称轴作 关于 的对称点 ，以 为对称轴作 关于 的对称点
，……如此继续，得到一系列 、 、 …… 与P重合，则 的值可能是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·天津津南·八年级校联考期中）如图，在四边形 中， ， ，点E，
F分别是线段 、 上的动点．（1） ；
（2）当 的周长最小时， 的度数为 ．
3．（2023上·山东聊城·八年级校联考阶段练习） 在平面直角坐标系中的位置如图所示．
(1)请直接写出 关于x轴对称的 三个顶点的坐标（其中 ， ， 分别是A，B，C的对应
点）；
(2)请直接写出 关于y轴对称的 三个顶点的坐标（其中 ， ， 分别是A，B，C的对应
点）；
(3)在直线l上找到一点P，使得 最小．
易错必刷题十四、等腰三角形
1．（2023上·河北石家庄·八年级校考阶段练习）如图，在 中， ， 于点D，
平分 ，且 于点E， 与 相交于点F， ，H是 边的中点，连接 与
相交于点G，下列说法错误的是（ ）A． B． C． D．
2．（2024下·全国·七年级假期作业）在 中， 是边 上一点（不与点 重
合），过点 作 ，交射线 于点 ，连接 ．如果 是等腰三角形，则 的度数为
．
3．（2023上·辽宁盘锦·八年级校考阶段练习）在 中， ， ， 于点 ．
(1)如图1，点 ， 分别在 ， 上，且 ，求证： ；
(2)如图2，点 在 的延长线上，点 在 上，且 ，求证： ．
易错必刷题十五、等边三角形
1．（2023·全国·八年级专题练习）已知，如图，C为线段 上一动点（不与A，E重合），在 同侧分
别作等边三角形 和等边三角形 ， 与 交于点O， 与 交于点P， 与 交于点Q，
连接 ，以下四个结论：① ；② 是等边三角形；③ ；④ 平分 ．
其中正确的结论是（ ）A．①、② B．③、④ C．①、②、③ D．①、②、④
2．（2023上·江西南昌·八年级校考阶段练习）如图， 在 的同侧，点 为线段 中点，
，若 ，则 的最大值是 ．
3、（2023上·山东聊城·八年级校联考阶段练习）如图1，已知在等边 中，当点D在 边上，点E
在 边上，且 ，连接 ，交于点F．（等边三角形3条边相等，每个角都是 ）
(1)求证： ；
(2)如图2，当点D在 的延长线上，点E在 的延长线上，而其它条件不变时， 与 又有
怎样的数量关系？请说明理由；
(3)如图3，当点D在 的延长线上，点E在 的延长线上，而其它条件不变时， 与 又有
怎样的数量关系？请直接写出关系，不必证明．
易错必刷题十六、最短路径问题
1．（2023上·全国·八年级专题练习）如图，在 中， ， ， 的面积是16， 的
垂直平分线 分别交 ， 边于E，F点，若点D为 边的中点，点M为线段 上一动点，则周长的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
2．（2023上·湖北恩施·八年级校考阶段练习）如图，在 中， ， 平分 ，交 于
点D，点M、N分别为 、 上的动点，若 ， 的面积为6，则 的最小值为 ．
3．（2023上·八年级课时练习）如图，在 中， ， ，试解决下列问题：
(1)在 边上找一点P， 边上找一点Q，使 最小；
(2)已知 ，求 的最小值．
易错必刷题十七、同底数幂的乘法
1．（2023上·河南安阳·八年级校考期末）已知 ， ， ，则 的值为（ ）．
A．7 B．8 C．9 D．10
2．（2023上·四川成都·八年级成都市树德实验中学校考期中）定义一种新运算 ，若 ，则
，例 ， ．若 ，则 ；若 ，则 的值为
．3．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨德强学校校考阶段练习）阅读探究，理解应用．根据乘方的意义
填空，并思考：
① ；
② ；
③ (m，n是正整数)；
④一般地，对于任意底数 a 与任意正整数m，n，则有： ，根据你发现的规律，完成下列问题：
计算：
（1） ；
；
；
（2）已知 ， ，求 的值．
易错必刷题十八、幂的乘方
1．（2023上·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习）已知 ，则 的值为（ ）
A．3 B．2 C．6 D．
2．（2023上·福建莆田·八年级校考期中）如果 ，那么我们规定 ．例如：因为 ，所以
．根据上述规定，若记 ， ， ．则a、b、c的数量关系为 ．
3．（2022上·广东东莞·八年级东莞市虎门第四中学校考期中）观察等式：
，
，，
请解答下列问题：
(1) _____；
(2) ______；
(3) ， ， ，…， ， ，若设 ，用含 的式子表示这组数据的和．
易错必刷题十九、积的乘方
1．（2023上·河南郑州·七年级统考期中）若代数式 的值与x的取值无关，
则 的值为（ ）
A．2 B． C． D．
2．（2023上·云南昆明·八年级校考期中）若 ， ，则 ．
3．（2023上·河北石家庄·八年级统考阶段练习）（1）已知 ， 求 的值；
（2）已知 ，求 的值．
易错必刷题二十、整式的乘法
1．（2023上·浙江金华·七年级统考阶段练习）如图所示的运算程序中，若开始输入x的值为96，我们发现
第一次输出的结果为48，第二次输出的结果为24，…，则第2023次输出的结果为（ ）A．6 B．3 C． D．
2．（2024下·全国·七年级假期作业）若 , ，则 的值是 ．
3．（2023上·河南周口·八年级校联考阶段练习）仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知关于x的多项式 有一个因式是 ，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为 ，得： ，则 ，
∴ ，解得： ， ．
∴另一个因式为 ，m的值为－21．
问题：仿照以上方法解答下面问题：
(1)二次三项式 有一个因式是 ，求p的值；
(2)已知关于x的多项式 有一个因式是 ，求另一个因式以及k的值；
(3)已知关于x的多项式 有一个因式为 ，求b的值．
易错必刷题二十一、平方差公式
1．（2020下·江苏常州·七年级统考期中） 的计算结果的个位数字是
（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
2．（2023上·天津和平·八年级天津市第二南开中学校考开学考试）如图，在边长为a的正方形上裁去边长
为b的正方形．（1）图1，阴影面积是 ；
（2）图2是将图1中的阴影部分裁开，重新拼成梯形，根据图形可以得到乘法公式 ；
（3）运用得到的公式，计算：
3．（2024下·全国·七年级假期作业）计算： ．
易错必刷题二十二、完全平方公式
1．（2023上·湖北黄冈·八年级校联考阶段练习）用若干个形状，大小完全相同的长方形纸片围成正方形，
4个长方形纸片围成如图1所示的正方形，其阴影部分的面积为 ；8个长方形纸片围成如图2所示的正
方形，其阴影部分的面积为 ； 个长方形纸片围成如图3所示的正方形，其阴影部分的面积为（ ）
A．24 B．36 C．49 D．64
2．（2024下·全国·七年级假期作业）已知 ，则代数式 的值为
．
3．（2024下·全国·七年级假期作业）阅读下面材料：若 满足 ，求 的值．
解：设 ， ，则 ， ，
所以
请仿照上面的方法求解下列问题：
(1)若 满足 ，求 的值；
(2) ，求 ；
(3)已知正方形ABCD的边长为 ， ， 分别是AD，DC边上的点，且 ， ．若长方形EMFD
的面积是15，分别以MF，DF为边长作正方形，求阴影部分的面积．
易错必刷题二十三、提公因式法
1．（2023下·陕西宝鸡·七年级校联考期末）下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023上·重庆北碚·八年级江北中学校考期中）已知实数a，b，x，y满足 ， ，
则 .
3．（2023下·全国·八年级专题练习）阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：(1)上述分解因式的方法是 ，共用了 次．
(2)若分解 ，则结果是 ．
(3)依照上述方法分解因式： （n为正整数）．
易错必刷题二十四、公式法
1．（2023上·河北廊坊·八年级校考期末）多项式 与多项式 的公因式为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·河北唐山·八年级校考阶段练习）因式分解 时，甲看错了 的值，分解的结果是
，乙看错了 的值，分解的结果为 ，那么 分解因式正确的结果为
．
3．（2023上·江西赣州·八年级校考阶段练习）阅读下列材料，回答问题．（1）形如 型
的二次三项式，有以下特点：①二次项系数是1：②常数项是两个数之积；③一次项系数是常数项的两个
因数之和．
把这个二次三项式进行因式分解，可以这样来解：
．
因此，可以得 ．
利用上面的结论，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式；(1) ________；
(2) ________；
(3)分解因式：
(4)分解因式： ；
易错必刷题二十五、从分数到分式
1．（2023下·全国·八年级假期作业）若 取整数，则使分式 的值为整数的 值有（ ）
A．3个 B．4个 C．6个 D．8个
2．（2023上·浙江宁波·七年级校考期中）若 ，则 ．
3．（2024下·全国·七年级假期作业）当x取什么值时，分式 的值：
(1)不存在？
(2)等于0？
易错必刷题二十六、分式的基本性质
1．（2023上·内蒙古通辽·八年级校考期中）下列运算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·上海青浦·七年级校考期中）约分： ．
3．（2024上·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考阶段练习）在初中数学学习阶段，我们常
常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题．
材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．
例：若 ，求代数式 的值．
解：
即
材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“ ”，将连等式变成几个值为 的等式，这样就
可以通过适当变形解决问题．
例：若 ，且 ，求 的值．
解：令
则 ，
．
根据材料回答问题：
(1)已知 ，求 的值．
(2)已知 ，求 的值
(3)已知 为实数， ，求分式 的值．
易错必刷题二十七、分式的乘除
1．（2023上·山东威海·八年级山东省文登第二中学校联考阶段练习）下列计算不正确的题是（ ）
A． B．C． D．
2．（2023上·湖南株洲·八年级校联考期中）计算： ．
3．（2023上·山东聊城·八年级统考期中）计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
易错必刷题二十八、分式的加减
1．（2023上·湖北武汉·八年级校考阶段练习）设x为实数，已知实数x满足 ．则
的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2023上·贵州铜仁·八年级校考期中）已知 ，则分式 的值为 ．
3．（2023上·北京海淀·八年级校考阶段练习）已知 ， ， .
(1)若 ，求C的值；
(2)在（1）的条件下，若 为正整数，则整数m的值为______．易错必刷题二十九、整数指数幂
1．（2023上·甘肃武威·八年级校联考阶段练习）下面是某同学在作业中的计算摘录：① ，②
，③ ，④ ，⑤ ，⑥ ，⑦
，其中计算正确的是（ ）
A．①②③④ B．①③⑤⑦ C．②③④⑥ D．②④⑤⑦
2．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级校考阶段练习）已知 ，则 ．
3．（2023上·吉林松原·八年级统考期末）在理解例题的基础上，完成下列两个问题：
例题：若 ，求m和n的值；
解：由题意得： ，
∴ ∴ ，解得 ．
请解决以下问题：
(1)若 ，求 的值；
(2)若a，b，c是 的边长，满足 ，c是 的最长边，且c为奇数，则c可能取
何值？
易错必刷题三十、分式方程
1．（2023上·河北唐山·八年级校考阶段练习）若关于 的分式方程 的解为正数，则 的取
值范围（ ）
A． ，且 B． ，且
C． ，且 D． ，且2．（2023上·河北廊坊·八年级校考期末）已知关于x的分式方程 .
（1）若 ，分式方程的解为 ；
（2）若分式方程无解，则m的值为 ．
3．（2023上·黑龙江绥化·八年级统考期中）若数 使关于 的分式方程 的解为非负数，且
使关于 的不等式组 的解集为 ，则符合条件的所有整数 的和．
