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专题 05 利用分类讨论求解等腰三角形中的多解问题之六大题型
已知等腰三角形的两边求第三边长产生多解
例题：（2023上·湖南永州·八年级校考期末）已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为5，则它
的第三边的长为 ．
【变式训练】
1．（2023上·黑龙江大庆·七年级统考期末）已知等腰三角形的两边长分别为 和 ，则它的
第三边长度为 ．
已知等腰三角形的两边求周长产生多解
例题：（2023上·河北张家口·八年级统考期末） 是等腰三角形， ，则 的
周长为（ ）
A．12 B．12或17 C．14或19 D．17或19
【变式训练】
1．（2023下·山东济南·七年级统考期末）如果等腰三角形有两条边长分别为5，6，那么该等腰三
角形的周长等于（ ）
A．16 B．17 C．16或17 D．17或18
2．（2023上·江西南昌·八年级统考期末）若等腰三角形的三边长分别为 ，5， ，则此等腰三角形的周长可以是 ．
已知等腰三角形的一角求其他角产生多解
例题：（2023下·河南驻马店·七年级校考期末）若等腰三角形的一个内角是 ，则它的顶角是
( )
A． B． C． 或 D．
【变式训练】
1．（2023上·湖南岳阳·八年级统考期末）若 是等腰三角形， ，则 的度数是
（ ）
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或 或
已知等腰三角形的一边和周长求其他边长产生多解
例题：（2023下·云南昭通·八年级校联考期末）已知一个等腰三角形一边长为6，周长为20，则另
两边长分别为（ ）
A．6，8 B．7，7 C．6，8或7，7 D．以上都不对
【变式训练】
1．（2023下·山东济南·七年级统考期末）等腰三角形的周长为 ，其中一边长为 ，则该等
腰三角形的腰长为（ ）
A． B． C． 或 D．
2．（2023下·陕西西安·七年级校考期末）等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角
形的“优美比”．若等腰 的周长为20，其中一边长为8，则它的“优美比”为（ ）
A． B． C． 或2 D． 或
与等腰三角形有关的问题产生多解
例题：（2023下·辽宁丹东·七年级统考期末）在锐角 中， ，将 沿 翻折得到 ，直线 与直线 相交于点E，若 是等腰三角形，则 的度数为
．
【变式训练】
1．（2023下·山西运城·七年级统考期末）如图，在 中， ， ，
和 关于直线 对称， 的平分线交 于点G，连接 ，当 为等腰三角形时，
的度数为 ．
2．（2023上·河北保定·八年级校考期末）如图，点 是等边 内一点， 是 外的一点，
， ， ， ，连接 ．
（1）当 ， ；
（2）当 度时， 是等腰三角形．
等腰三角形的形状不明时与高线及其他线结合产生多解
例题：在等腰△ABC中，AB＝AC，一腰上的中线BD将这个三角形的周长分为15和12两部分，
则这个等腰三角形的底边长为（ ）
A．7 B．7或11 C．11 D．7或10
【变式训练】
1．（2023春·辽宁沈阳·八年级校考阶段练习）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 ，那么
这个三角形的顶角为（ ）A． B． C． D． 或
2．（2022·陕西·交大附中分校七年级期末）已知 中， ，在AB边上有一点D，若
CD将 分为两个等腰三角形，则 ________．
一、单选题
1．（2023下·辽宁沈阳·七年级统考期末）等腰三角形有一个内角为 ，则它的顶角为（ ）
A． B． C． 或 D．不能确定
2．（2023上·湖北襄阳·八年级统考期末）若等腰三角形的两内角度数比为 ，则它的顶角为（
）度
A．36或144 B．20或120 C．120 D．20
3．（2023上·山东聊城·八年级统考期末）已知 是等腰 中一腰上的高， ，则
顶角的度数可能有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2023上·河南新乡·八年级统考期末）如图，在 中， ， ， 是 边上
的动点（不与 、 重合），连接 ，若 为等腰三角形，则 的度数为（ ）．
A． B． C． D． 或
5．（2023上·重庆南岸·八年级校考期末）如图， 中， ， ， 为 边
上一点（不与 、 重合），将 沿 翻折得到 ， 交 于点 ．若 为等腰
三角形，则 为（ ）A． B． 或 C． D． 或
二、填空题
6．（2023上·河南南阳·八年级统考期末）在等腰三角形中有一个角为 ，则腰上的高与底边的夹
角为 ．
7．（2022上·山西朔州·八年级校联考期末）如图，已知点P是射线 上一动点， ，
当 为 时， 是等腰三角形．
8．（2023下·云南昆明·八年级统考期末）定义：如果三角形有两个内角的差为 ，那么这样的三
角形叫做“准等边三角形”那么顶角为 的等腰三角形 “准等边三角形”．（填
“是”或“不是”）
9．（2023下·河南平顶山·八年级统考期末）已知一个钝角等腰三角形，其中一条腰上的高与另一
条腰的夹角为 ，则该等腰三角形的顶角为 ．
10．（2022上·北京·八年级北京市师达中学校考期中）如图，在 中， ， ，
点D在线段BC上运动（点D不与B、C重合），连接 ，作 ， 交 于点E，当
为等腰三角形时， 的度数为 ．
三、解答题
11．（2023下·吉林长春·七年级统考期末）在 中， ， ， ．
(1)求 的取值范围．
(2)若 是等腰三角形，则 的周长为______．12．（2023上·河南开封·八年级校考期末）已知，在等边三角形 中，点D在 上，点E在
的延长线上，且 ．
(1)【问题发现】如图1，当点D为 的中点时，确定线段 与 的大小关系，请你直接写出
结论： ______ （填“＞”“＜”或“＝”）．
(2)【类比探究】如图2，当点D为 边上任意一点时，确定线段 与 的大小关系，请你写
出结论， ______ （填“＞”“＜”或“＝”），并将如下理由补充完整．
过点D作 ，交 于点M．
(3)【拓展延伸】已知点D是等边三角形 的边 的中点， ，P、Q分别为射线 、射
线 上一动点，且 ，若 ，请直接写出 的长．
