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专题06 一次函数中的二次方程
类型一 关联到面积
1．如图，一次函数y＝2x+3的图像交y轴于点A，交x轴于点B，点P在线段AB上（不与A，B重合），
过点P分别作OB和OA的垂线，垂足分别为C，D．当矩形OCPD的面积为1时，点P的坐标为（）
A． B．（1，1） C． 或（1，1） D．不存在
【答案】C
【解析】
【分析】
设 ，由题意可得 ，则 ， ，列方程求解即可．
【详解】
解：设 ，
由题意可得： ，
点P在线段AB上（不与A，B重合），则∴ ， ，
由题意可得： ，即 ，
解得： 或 ，均符合题意，
即 ，或
故选：C
【点睛】
此题考查了一元二次方程的应用，涉及了一次函数的性质，解题的关键是设点P坐标，根据题意列出方程．
2．如图，已知，在直角坐标系 中，直线 与 轴、 轴分别交于点 ，点 从A点开始以
1个单位/秒的速度沿 轴向右移动，点 从 点开始以2个单位/秒的速度沿 轴向上移动，如果 两点
同时出发，经过几秒钟，能使 的面积为8个平方单位．
【答案】2秒，4秒或 秒
【解析】
【分析】
首先求得直线与两坐标轴的交点坐标，然后表示出三角形的两边利用三角形的面积计算公式列出方程计算
即可．
【详解】
解：直线AC与x轴交于点A（-6，0），与y轴交于点C（0，8），
所以，OA=6，OC=8．
设经过x秒钟，则OQ为2x．当 时，点P在线段OA上，底OP= ，
可列方程 ，
解得 ．
当 时，点P与点O重合或在线段OA的延长线上，底OP= ，
可列方程 ，
解得 ，
而 不合题意舍去．
综上所述，经过2秒，4秒或 秒能使△PQO的面积为8个平方单位．
【点睛】
本题考查了一次函数和一元二次方程的应用，解题的关键是能够根据直线的解析式确定直线与两坐标轴的
交点，从而求得有关的线段的长，注意分类讨论，难度不大．
3．如图，菱形AOBC，AO=4，∠OAC=60°．
（1）求点B，C的坐标；
（2）求直线AB的解析式；
（3）点 以 的速度在对角线 上由 向 运动，点 以 的速度在边 上由 向 运动，若
点 ， 同时开始运动，问经过多长时间使得 ．
【答案】（1） ； ；（2） ；（3）【解析】
【分析】
（1）利用菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理即可求解；
（2）利用待定系数法即可求解；
（3）用t分别表示出AE的长，AF的长，EN的长，利用三角形面积公式即可求解．
【详解】
（1）设BC交 轴于H，过点B作BM⊥ 轴于点M，
由题知：∠OAC=∠BOM=60°，OA=BO=4，
∴∠OBM=30°，
∴OM= BO=2，BM= ，
∴点B的坐标为(2， )；
∴BH=OM=2，
BC∥ 轴，
∴点C的坐标为(-2， )；
（2）设直线AB的解析式为 ，
∴ ，
解得： ，
∴直线AB的解析式为 ；（3）设经过ts时，有S AEF= S AOBC．
菱形
△
此时，AE=AB-BE，AB= (cm)， BE=2t(cm)，
∴AE= (cm)，AF=AO-OF=4-t(cm)，
过点E作EN⊥OA于点N，
∵菱形AOBC，∠OAC=60°，AE= (cm)，
∴∠EAN=30°，
∴EN= (cm)，
∴S AEF= AF EN= ，
△
又 S AOBC= ，
菱形
∴ ，
整理得： ，
解得： (舍去)或 ，
答：经过( )s使得 ．
【点睛】
本题考查的是一次函数综合运用，涉及到菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等，解答
本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
类型二 关联到等腰三角形4．如图，已知函数 的图象与 轴交于点 ，一次函数 的图象经过点 ，与 轴以及
的图象分别交于点 、 ，且点 的坐标为 ，
（1）求 的值及一次函数 的表达式．
（2）求四边形 的面积；
（3）在 轴上找一点 ，使得以点 ， ， 为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的
点 的坐标_______________．
【答案】（1）n＝2，y＝3x−1；（2） ；（3）（0，5），（0，−1＋ ），（0，−1− ）（0， ）
【解析】
【分析】
（1）由y＝x＋1的图象过点D，且点D的坐标为（1，n），n的值；由一次函数y＝kx＋b的图象经过点B
（0，−1）与D（1，2），即可求出k，b的值，进而即可求解；
（2）先求出点D的坐标，再求出BD的解析式，然后根据S AOCD＝S AOD＋S COD；
四边形
△ △
（3）如图所示，设P（0，p）分三种情况考虑：当BD＝PD；当BD＝BP 时；当BP＝DP 时，分别求出
1 2 4 4
p的值，确定出所求即可．
【详解】
解：（1）把（1，n）代入y＝x＋1得，n＝1＋1＝2；
∵一次函数y＝kx＋b的图象经过点B（0，−1）与D（1，2），∴ ，解得 ，
∴一次函数的表达式为y＝3x−1；
（2）连接OD，
∵D（1，2），
∴直线BD的解析式为y＝3x−1，
∴A（0，1），C（ ，0）
∴S AOCD＝S AOD＋S COD＝ ×1×1＋ × ×2＝ ；
四边形
△ △
（3）如图所示，设P（0，p）分三种情况考虑：
当BD＝PD时，可得（0−1）2＋（−1−2）2＝（0−1）2＋（p−2）2，
1
解得：p＝5或p＝−1（舍去），此时P（0，5）；
1
当BD＝BP 时，可得（0−1）2＋（−1−2）2＝（p＋1）2，
2
解得：p＝−1± ，
此时P（0，−1＋ ），P（0，−1− ）；
2 3
当BP＝DP 时，可得（p＋1）2＝（0−1）2＋（p−2）2，
4 4
解得：p＝ ，即P（0， ），
4综上，P的坐标为（0，5），（0，−1＋ ），（0，−1− ）（0， ）．
故答案是：（0，5），（0，−1＋ ），（0，−1− ）（0， ）．
【点睛】
此题主要考查了一次函数与几何综合，待定系数法，四边形的面积公式，等解本题的关键掌握分类讨论和
数形结合的思想方法．
5．已知一次函数 的图象分别与 轴， 轴交于 两点，点 ．（1）如图1，点 与点 关于 轴对称，点 在线段 上且到两坐标轴的距离相等，连接 ，交 轴
于点 ．
①求点 的坐标；
② 与 是否全等，请说明理由；
（2）如图2，点 与点 关于 轴对称，点 在直线 上，若 是等腰三角形，直接写出点 的坐
标．
【答案】（1）① ；② ，理由见解析；（2） ，或 ，或
【解析】
【分析】
（1）①连接 ，过点 作 于点 于点 ，由题意则有 ， ， ，
进而可得 为 中点，然后问题可求解；
②设直线 表达式为 ，则有 ，进而可得 ，然后根据全等三角形的判定可
求解；
（2）由（1）可求直线GC的解析式为 ，设P点坐标为 ，然后根据题意可分当 时
和当 时，进而根据两点距离公式可求解．
【详解】
解：（1）①连接 ，过点 作 于点 于点 ，
当 时， ，
解得 ，，
当 时， ，
，即 ，
∵点 与点 关于 轴对称， 即OD=3，
，
∵点 到两坐标轴的距离相等， ，
又 ，
平分 ，
又 ，
，
为 中点，
；
② ．
设直线 表达式为 ，
则 ，解得 ，
，
是直线 与 轴的交点，
，
．又 ，
；
（2）由（1）得： ，
∵点 与点 关于 轴对称，
∴ ，
设直线GC的解析式为 ，
把点C、G代入得： ，解得： ，
∴直线GC的解析式为： ，
设P点坐标为 ，
当 时，根据两点距离公式可得： ，
解得： 或 ，
∴点P坐标为 或 ；
当 时，根据两点距离公式可得： ，
解得： ，
∴点P坐标为 ；
综上所述：当△ABP是等腰三角形时，点 或 ，或 ．
【点睛】
本题主要考查一次函数的综合及一元二次方程的解法，熟练掌握一次函数的综合及一元二次方程的解法是
解题的关键．
6．如图，在矩形 中，点O为坐标原点，点B的坐标为 ，点 在坐标轴上，点P在 边上，直线 ，直线 ．
（1）分别求直线 与x轴，直线 与 的交点坐标；
（2）已知点M在第一象限，且是直线 上的点，若 是等腰直角三角形，求点M的坐标；
（3）已知矩形 的顶点N在直线 上，Q是坐标平面内的点，且N点的横坐标为x，请求出x的取值
范围．
【答案】（1）直线l 与x轴交点坐标为（ ，0），直线l 与AB的交点坐标为（1，1）；（2）（2，3）
1 2
或（ ， ）；（3） ≤x≤ 或 ≤x≤
【解析】
【分析】
（1）根据坐标轴上点的坐标特征可求直线l 与x轴，直线l 与AB的交点坐标；
1 2
（2）分三种情况：①若点A为直角顶点时，点M在第一象限；②若点P为直角顶点时，点M在第一象限；
③若点M为直角顶点时，点M在第一象限；进行讨论可求点M的坐标；
（3）根据矩形的性质可求N点的横坐标x的取值范围．
【详解】
解：（1）将y=0代入直线l ：当y=0时，2x+1=0，
1
则直线l 与x轴交点坐标为（ ，0），
1
直线l ：当y=1时，2x-1=1，即x=1，
2
则直线l 与AB的交点坐标为（1，1）；
2
（2）①若点A为直角顶点时，点M在第一象限，连结AC，如图1，∠APB＞∠ACB＞45°，
∴△APM不可能是等腰直角三角形，
∴点M不存在；
②若点P为直角顶点时，点M在第一象限，如图2，
过点M作MN⊥CB，交CB的延长线于点N，
∵∠APM=∠APB+∠MPN=90°，∠PAB+∠APB=90°，
∴∠PAB=∠MPN，又AP=PM，∠ABP=∠MNP=90°，
∴Rt△ABP≌Rt△PNM（AAS），
∴AB=PN=2，MN=BP，
设M（x，2x-1），则MN=x-2，
∴2x-1=2+1-（x-2），
∴x=2，
∴M（ 2，3）；
③若点M为直角顶点时，点M在第一象限，如图3，
设M （x，2x-1），
1
过点M 作M G ⊥OA，交BC于点H ，
1 1 1 1
同②可得：Rt△AM G ≌Rt△PM H ，
1 1 1 1
∴AG =M H =1-（2x-1），
1 1 1
∴x+1-（2x-1）=2，解得，x=0，
∴M （0，-1）（不合题意舍去）；
1
设M （x，2x-1），
2
同理可得x+2x-1-1=2，
∴x= ，
∴M （ ， ）；
2
综上所述，点M的坐标为（2，3）或（ ， ）；
（3）当点N在直线l 上时，
2
∵点N的横坐标为x，
∴N（x，2x-1），
当点P和点B重合时，P（2，1），
∴AP的中点G坐标为（1，1），
∵四边形ANPQ是矩形，
∴∠ANB=90°，
∴NG= AP=1，
∴（x-1）2+（2x-1-1）2=1，
∴x= （点N在AB上方的横坐标）或x= （点N在AB下方的横坐标），
当点P和点C重合时，P（2，0），AP的中点G'坐标为（1， ），
同理：NG'= AP= ，∴（x-1）2+（2x-1- ）2= ，
∴x= （和点N在AB上方构成的四边形是矩形的横坐标）或x= （和点N在AB下方构成的四边
形是矩形的横坐标），
∴ ≤x≤ 或 ≤x≤ ．
【点睛】
本题考查了四边形综合题，涉及的知识点有：坐标轴上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，矩形的性
质，分类思想的应用，方程思想的应用，综合性较强，有一定的难度．
7．如图，已知一次函数 的图象分别与x轴，y轴相交于点A，B，C是直线 上一点．当
时，点C的坐标是__________．
【答案】（-1，3）或（3，1）
【解析】
【分析】
求出点A和点B坐标，过点O作OE⊥AB交于点E，利用面积法求出OE的长，再根据∠OCB=45°，得到
OC的长，设C（x， ），得到关于x的方程，解之，可得点C坐标．
【详解】
解：由题意可得：令 ，得x=5，即A（5，0），
令x=0，得：y= ，即B（0， ），过点O作OE⊥AB交于点E，
则AB= ，OA=5，OB= ，
∴S AOB= ，即 ，
△
即 ，得OE= ，
若∠OCB=45°，则△OEC为等腰直角三角形，
∴OC= OE，
设C（x， ），
则OC= = = OE= ，
解得： ， ，
当x=-1时，y=3，此时C（-1，3），
当x=3时，y=1，此时C（3，1），
综上：点C的坐标为（-1，3）或（3，1）．
【点睛】
本题考查了一次函数的图像和性质，面积法，等腰直角三角形的判定和性质，一元二次方程，解题的关键
是利用坐标与图形的性质，将坐标和线段长度进行转化．
类型三 关联到特殊四边形8．如图1，在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．
（1）求直线 的解析式；
（2）以点 为直角顶点作 ，射线 交 轴的负半轴于点 ，射线 交 轴的负半轴于点 ．
当 绕着点 旋转时， 的值是否发生变化，若不变，求出它的值；若变化，求出它的变化范
围；
（3）如图2，点 是 轴上的一个点，点 是坐标平面内一点．若 、 、 、 四点能构成菱形，请
写出满足条件的所有点 的坐标（不要解题过程）．
【答案】（1）y＝− x＋2；（2）OC−OD的值不发生变化，值为8；（3）（−8，2），（2，-2），
（-2，-2），（ ，6）
【解析】
【分析】
（1）由A、B两点的坐标利用待定系数法可求得直线AB的解析式；
（2）过A分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为E、F，可证明△AEC≌△AFD，可得到EC＝FD，从而可把
OC−OD转化为FD−OD，再利用线段的和差可求得OC−OD＝OE＋OF＝8；
（3）分AM为对角线、AB为对角线和BM为对角线，分别利用菱形的性质，画出图形，求出M点的坐标，
进而即可求出P的坐标．
【详解】
解：（1）设直线AB的解析式为：y＝kx＋b（k≠0）．
∵点A（−4，4），点B（0，2）在直线AB上，
∴ ，解得 ，
∴直线AB的解析式为：y＝− x＋2；（2）不变．理由如下：
过点A分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F，如图．
则∠AEC＝∠AFD＝90°，
又∵∠BOC＝90°，
∴∠EAF＝90°，
∴∠DAE＋∠DAF＝90°，
∵∠CAD＝90°，
∴∠DAE＋∠CAE＝90°，
∴∠CAE＝∠DAF．
∵A（−4，4），
∴OE＝AF＝AE＝OF＝4．
在△AEC和△AFD中
，
∴△AEC≌△AFD（ASA），
∴EC＝FD．
∴OC−OD＝（OE＋EC）−（FD−OF）＝OE＋OF＝8．
故OC−OD的值不发生变化，值为8；
（3）①AM为对角线时，连接BP交AM于点H，连接PA、PM，如图，
∵四边形ABMP为菱形，
∴PB⊥AM，且AH＝HM，PH＝HB，
∵∵A（−4，4），B（0，2），∴P点坐标为（−8，2）；
②BM为对角线时，如图，
设M（m，0），
∵四边形ABPM为菱形，
∴AM=AB，即： ，解得：m=-6或-2，
∴M（-6，0）或（-2，0），
∴P（2，-2）或（-2，-2）；
③AB为对角线时，如图，
∵四边形AMBP为菱形，
∴AM=BM，即： ，解得：m= ，
∴M（ ，0），
∴P（ ，6）；
综上可知满足条件的所有点P的坐标为（−8，2），（2，-2），（-2，-2），（ ，6）．
【点睛】
本题为一次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质、
菱形的判定和性质及分类讨论思想等．在（1）中注意待定系数法的应用步骤，在（2）中构造三角形全等
是解题的关键，在（3）中确定出P点的位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
9．如图①，在平面直角坐标系中，直线l：y＝－ x＋6分别与x轴、y轴交于点B、C，且与直线l：y＝
1 2x交于点A，以线段AC为边在直线l 的下方作正方形ACDE，此时点D恰好落在x轴上．
1
（1）求出A，B，C三点的坐标．
（2）求直线CD的函数表达式．
（3）在（2）的条件下，点P是射线CD上的一个动点，在平面内是否存在点Q，使得以O、C、P、Q为
顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）点A的坐标为（6，3），点B的坐标为（12，0），点C的坐标为（0，6）；（2）y＝2x＋
6；（3）存在，点P的坐标为（－ ，3），（－ ，6－ ）或（－ ，－ ）
【解析】
【分析】
（1）分别令直线l 的解析式中的x，y分别为0即可求出点B，C的坐标，将直线l 与直线l 联立即可求出
1 1 2
点A的坐标；
（2）过点A作AF⊥y轴，垂足为点F，首先利用正方形的性质证明 ACF≌△CDO，得出CF＝DO，进而求
出点D的坐标，然后利用待定系数法即可求解； △
（3）分两种情况：①若OC为对角线，②若OC为边，分别利用菱形的性质通过建立方程求解即可．
【详解】
解：（1）当x＝0时，y＝－ x＋6＝6，
∴点C的坐标为（0，6）；当y＝0时，－ x＋6＝0，
解得：x＝12，
∴点B的坐标为（12，0）；
联立直线l，l 的解析式成方程组，得： ，
1 2
解得： ，
∴点A的坐标为（6，3）．
（2）过点A作AF⊥y轴，垂足为点F，如图1所示．
∵四边形ACDE为正方形，
∴AC＝CD，∠ACD＝90°．
∵∠ACF＋∠DCO＝90°，∠ACF＋∠CAF＝90°，
∴∠DCO＝∠CAF．
在 ACF和 CDO中， ，
△ △
∴△ACF≌△CDO（ASA），
∴CF＝DO．
∵A（6，3），C（0，6），
∴CF＝6－3＝3，
∴点D的坐标为（－3，0）．
设直线CD的解析式为y＝kx＋b（k≠0），
将C（0，6），D（－3，0）代入y＝kx＋b，
得： ，
解得： ，
∴直线CD的解析式为y＝2x＋6．（3）存在，分两种情况考虑（如图2）：
①若OC为对角线，PQ，OC互相垂直平分，
∴此时点P的纵坐标为 OC＝3，
当y＝3时，2x＋6＝3，
解得：x＝－ ，
∴点P 的坐标为（－ ，3）；
1
②若OC为边，设点P的坐标为（m，2m＋6），
当CP＝CO时，m2＋（2m＋6－6）2＝62，
解得：m＝－ ，m＝ （舍去），
1 2
∴点P 的坐标为（－ ，6－ ）；
2
当OP＝OC时，m2＋（2m＋6）2＝62，
解得：m＝－ ，m＝0（舍去），
3 4
∴点P 的坐标为（－ ，－ ）．
3
综上所述：在平面内存在点Q，使得以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，点P的坐标为（－ ，
3），（－ ，6－ ）或（－ ，－ ）．【点睛】
本题主要考查四边形综合，掌握正方形，菱形的性质，全等三角形的判定及性质并利用方程的思想分情况
讨论是关键．
10．如图1，在平面直角坐标系 中，一次函数 与 轴、 轴交于点 、 两点， 轴的负半轴
上一点 ， 轴的正半轴上有一点 且
（1）如图1，在直线 上有一长为 的线段 （点 始终在点 的左侧），将线段 沿直线 平
移得到线段 ，使得四边形 的周长最小，请求出四边形 周长的最小值和此时点 的坐
标．
（2）如图2，过 作直线 交直线 与 点，将直线 沿直线 平移，平移后与直线 、
的交点分别是 ， ．请问，在直线 上是否存在一点 ，使 是等腰三角形？若存在，求出此时
符合条件的所有 点所对应的 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）四边形CDG'F'周长的最小值为3 +2 + ；G'（-7，1）；（2）存在，A'（-2，-1）或
A'（- ，- ）或A'（1+ ，2+ ）或A'（-2- ，-1- ）
【解析】
【分析】
（1）由题意可得；A（-1，0），B（0，1），C（0，-6），D（3，0），过点D作DN∥AB，过点F'作
F'N∥DG'，作点C关于直线AB的对称点G'，连接G'N与AB的交点为F'，此时G'D=F'N，G'F'=F'C，四边形
CDG'F'周长=CD+F'G'+CF'+G'D=3 +2 +F'G'+F'N=3 +2 +G'N；求出AB的解析式为y=x+1，DN的直线
解析式为y=x-3，求得N（1，-2），G'（-7，1），则G'N= ，所以四边形CDG'F'周长的最小值为3 +2
+ ；
（2）可求得CD的直线解析式为y=2x-6，设P'（m，2m-6），当AP'=DP'时，点P在AD的垂直平分线上，
P'（1，-4）；当AD=AP'时，16=（m+1）2+（2m-6）2，P'（ ， ）；当AD=DP'时，16=（m-3）
2+（2m-6）2，P'（3+ ， ）或P'（3- ， ），求出直线AP的解析式，根据平移和P'的坐标
求出直线A'P'的解析式，据此求出A'的坐标即可．
【详解】
（1）由题意可得；A（-1，0），B（0，1），
∵C（0，-6），tan∠OCD= ，
∴D（3，0），
∴CD=3 ，
∵FG=2 ，∴F'G'=2 ，
过点D作DN∥AB，过点F'作F'N∥DG'，作点C关于直线AB的对称点G'，连接G'N与AB的交点为F'，
此时G'D=F'N，G'F'=F'C，
∴四边形CDG'F'周长=CD+F'G'+CF'+G'D=3 +2 +F'G'+F'N=3 +2 +G'N；
AB的解析式为y=x+1，
∴DN的直线解析式为y=x-3，
∵ND=2 ，
∴N（1，-2），
G'（-7，1），
∴G'N= ，
∴四边形CDG'F'周长的最小值为3 +2 + ；
（2）存在，
设直线CD的解析式为： ，
代入C（0，-6），D（3，0）得：
， 解得：
∴CD的直线解析式为y=2x-6，设P'（m，2m-6），
∵AP⊥AB，
∴AP所在直线解析式为y=-x-1，当AP'=DP'时，点P在AD的垂直平分线上，
∴P'（1，-4），
∵直线A'P'由直线AP平移得到，
故设直线A'P'的解析式为：y=-x+b ，代入P'（1，-4）得：b =-3
1 1
∴A'P'的直线解析式为y=-x-3，
联立方程组 ，解得：
∴A'（-2，-1）；
当AD=AP'时，16=（m+1）2+（2m-6）2，
∴m=3或m= ，
∴P'（3，0）（舍），P'（ ， ）；
同上方法可得：
∴A'P'的直线解析式为y=-x- ，
∴A'（- ，- ）；
当AD=DP'时，16=（m-3）2+（2m-6）2，
∴m=3+ 或m=3- ，
∴P'（3+ ， ）或P'（3- ，- ）；
同上方法可得：
∴AP'的直线解析式为y=-x+3+ ，y=-x-3- ，
∴A'（1+ ，2+ ）或A'（-2- ，-1- ）；
上所述：A'（-2，-1）或A'（- ，- ）或A'（1+ ，2+ ）或A'（-2- ，-1- ）．【点睛】
本题考查一次函数的综合；熟练掌握一次函数的图象及性质，结合等腰三角形的性质解题是关键．
