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专题 06 方程思想在勾股定理中应用
专题说明
勾股定理是几何中最重要的定理之一， 它也是直角三角形的一条重要性质.
同时由勾股定理及其逆定理，能够把形的特征转化成数量关系，它把形与数密
切地联系起来，因此，它在理论上也有重要地位.方程思想是初中数学中一种基
本的数学思想方法.方程可以清晰的反应已知量和未知量之间的关系，架起沟通
已知量和未知量的桥梁.本节课为后续进一步学习运用方程思想解决问题起着铺
垫作用。
【典例分析】
【典例1】（2021秋•峨边县期末）有一块直角三角形纸片，两直角边分别为：
AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，
且与AE重合，求CD的长．
【变式1-1】（2022秋•新泰市期末）如图所示，有一个直角三角形纸片，两直
角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边 AC沿直线AD折叠，使它落在斜边
AB上且与AE重合，你能求出CD的长吗？
【变式1-2】（2021秋•景德镇期中）如图，△ABC的三边分别为AC＝5，BC＝12，AB＝13，将△ABC沿AD折叠，使AC落在AB上．
（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）求折痕AD的长．
【典例2】如图，在锐角△ABC中，已知AB＝15，BC＝14，AC＝13，AD⊥BC于D点，
求AD的长．
【变式2-1】（2021秋•象山县期中）如图，在△ABC中，AB＝14，BC＝15，AC＝13，
AD⊥BC．
（1）求BD的长．
（2）求△ABC的面积．
【变2-2】已知：如图，△ABC中，AB＝10，BC＝9，AC＝17，求BC边上的高．
【典例3】（2021秋•广南县期末）如图，一棵竖直生长的竹子高为 8米，一阵
强风将竹子从C处吹折，竹子的顶端 A刚好触地，且与竹子底端的距离 AB是4米．求竹子折断处与根部的距离CB．
【变式3-1】（2021春•安徽月考）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立
木，系索其末，委地四尺，引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：
今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂
后，堆在地面的部分尚有4尺．牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距
木根部8尺处时绳索用尽，问绳索长是多少？根据题意求出绳索长．
【变式3-2】（2022春•十堰月考）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作
之一其中记载了这样一个问题：“今有立木，系索其末，委地三尺，引索却
行，去本八尺而索尽，问索长几何？”译文：今有一竖立着的木柱，在木柱
的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有 3尺．
牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木柱根部 8尺处时绳索用尽．问
绳索长是多少尺？
【夯实基础】
1．（2022秋•路北区校级期末）如图，BD是△ABC的角平分线，DE是BC的
垂直平分线，∠A＝90°，AD＝4，则CD＝（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
2．（2021秋•禅城区期末）如图有一个水池，水面 BE的宽为16尺，在水池的中央有一根
芦苇，它高出水面2尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，
则这个芦苇的高度是（ ）
A．26尺 B．24尺 C．17尺 D．15尺
3．（2020秋•槐荫区期末）《九章算术》是中国古代的数学代表作，书中记载：今有开门
去阃（读kun，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图 1、2
（图2为图1的平面示意图），从点O处推开双门，双门间隙CD的长度为2寸，点C
和点D到门槛AB的距离都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是（ ）
A．104寸 B．101寸 C．52寸 D．50.5寸
4．（2021秋•洛江区期末）如图，在△ABC中，AB＝10cm，AC＝6cm，BC
＝8cm，若将AC沿AE折叠，使得点C与AB上的点D重合，则△AEB的面
积为 cm2．5．（2021秋•兴文县校级期末）如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩
形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为 ．
6．（2021秋•靖江市校级期中）《九章算术》中有一道“折竹”问题：“今有
竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高
一丈（1丈＝10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，则折断
处离地面的高度为 尺．
7．（2022春•谷城县期末）如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方
形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池
一边中点，它的顶端恰好到达池边的水面，求这根芦苇的长度是多少尺？
8．（秋•东台市期中）如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在边BC的点F处，
已知AB＝8cm，BC＝10cm，求
（1）FC的长．（2）EF的长．
9．（2020秋•越城区期中）已知，如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝
8，BD为∠ABC的角平分线交AC于D，过点D作DE垂直AB于点E，
（1）求BC的长；
（2）求AE的长；
（3）求BD的长
10．（秋•溧水区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，△ABC的高BH，CM交于点
P．
（1）求证：PB＝PC．
（2）若PB＝5，PH＝3，求AB．
11．（2021秋•法库县期末）笔直的河流一侧有一旅游地C，河边有两个漂流点
A，B．其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，为方便游
客决定在河边新建一个漂流点H（A，H，B在同一直线上），并新修一条路
CH，测得BC＝5千米，CH＝4千米，BH＝3千米．（1）判断△BCH的形状，并说明理由；
（2）求原路线AC的长．
12．（2021秋•济阳区期末）如图，小刚想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆
顶端A处的绳子垂到地面B处后还多2米．当他把绳子拉直并使下端刚好接
触到地面C处，发现绳子下端到旗杆下端的距离为6米，请你帮小刚求出旗
杆的高度AB长．
13.（2021秋•江阴市期末）明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了
一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地°
送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千OA静止的
时候，踏板离地高一尺（AC＝1尺），将它往前推进两步（EB＝10尺），此
时踏板升高离地五尺（BD＝5尺），求秋千绳索（OA或OB）的长度．
