文档内容
清单 06 反比例函数（6 大考点梳理+题型解读+核
心素养提升+中考聚焦）
【知识导图】
【知识清单】
知识点一、反比例函数的定义
如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即
，或表示为 ，其中 是不等于零的常数.
一般地，形如 ( 为常数， )的函数称为反比例函数，其中 是自变量， 是函数，自变
量 的取值范围是不等于0的一切实数.
特别说明：（1）在 中，自变量 是分式 的分母，当 时，分式 无意义，所以自变量 的取
值范围是 ，函数 的取值范围是 .故函数图象与 轴、 轴无交点.（2） ( )可以写成 ( )的形式，自变量 的指数是－1，在解决有关自变量指数问
题时应特别注意系数 这一条件.
（3） ( )也可以写成 的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数 ，从而得
到反比例函数的解析式.
【例1】下列选项中的函数， 关于 成反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【变式】已知函数 是反比例函数，则 的值为__________．
知识点二、确定反比例函数的关系式
确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数 中，只有一个待定系数 ，因
此只需要知道一对 的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出 的值，从而确定其解析式.
用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：
（1）设所求的反比例函数为： ( )；
（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程；
（3）解方程求出待定系数 的值；
（4）把求得的 值代回所设的函数关系式 中.
【例2】已知y=y+y，y 与x+1成正比例，y 与x+1成反比例，当x=0时，y=﹣5；当x=2时，y=﹣7．
1 2 1 2
（1）求y与x的函数关系式；（2）当x=5时，求y的值．k
y
【变式】已知：反比例函数 x 的图象过点A（-3，-2）；
（1）求反比例函数的解析式；（2）若点B（1，m）在该函数图象上，求m的值．
知识点三、反比例函数的图象和性质
1、 反比例函数的图象特征：
反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反
比例函数的图象关于原点对称，永远不会与 轴、 轴相交，只是无限靠近两坐标轴.
特别说明：（1）若点( )在反比例函数 的图象上，则点( )也在此图象上，所以反比例函
数的图象关于原点对称；
（2）在反比例函数 ( 为常数， ) 中，由于 ，所以两个分支都无限接近但永远
不能达到 轴和 轴．
2、画反比例函数的图象的基本步骤：
（1）列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写
值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数；
（2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点；（3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺
序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不
与坐标轴相交；
（4）反比例函数图象的分布是由 的符号决定的：当 时，两支曲线分别位于第一、三象限内，
当 时，两支曲线分别位于第二、四象限内．
3、反比例函数的性质
（1）如图1，当 时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内， 值随 值的增
大而减小；
（2）如图2，当 时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内， 值随 值的增
大而增大；
特别说明：反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函
数的增减性都是由反比例系数 的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推
断出 的符号.
【例3】关于反比例函数y＝﹣ ，下列说法不正确的是（ ）
A．函数图象分别位于第二、四象限 B．函数图象关于原点成中心对称
C．函数图象经过点（﹣6，﹣2） D．当x＜0时，y随x的增大而增大
【变式1】在双曲线 的任一分支上， 都随 的增大而增大，则下列说法错误的是（ ）
A． 的值有可能为 B．图象位于第二、四象限
C．若图象过点 ，也必过点 D．图象与 轴只有一个交点
【变式2】若点 是反比例函数 图象上一点，则下列说法正确的是（ ）
A．图象位于二、四象限 B．当 时， 随 的增大而减小
C．点 在函数图象上 D．当 时，
【变式3】已知 与y=x-3相交于点 ，则 的值为__________．【变式4】一次函数y=ax+b与反比例函数 ，其中ab＜0，a、b为常数，它们在同一坐标系中的图
象可以是（ ）
A． B． C． D．
知识点四、反比例函数 ( )中的比例系数 的几何意义
1．反比例函数图象中有关图形的面积
2．涉及三角形的面积型
当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解．
1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①，S =2S =|k|；
△ABC △ACO
2）如图②，已知一次函数与反比例函数 交于 A、B 两点，且一次函数与 x 轴交于点 C，则
S =S +S = + = ；
△AOB △AOC △BOC3）如图③，已知反比例函数 的图象上的两点，其坐标分别为 ， ，C为AB延长
线与x轴的交点，则S =S –S = – = ．
△AOB △AOC △BOC
O AB x C
【例4】如图，矩形的中心为直角坐标系的原点 ，各边分别与坐标轴平行，其中一边 交 轴于点 ，
P P AC 8
交反比例函数图像于点 ，且点 是 的中点，已知图中阴影部分的面积为 ，则该反比例函数的表达
式是（ ）
2 2 4 4 2 8
y y y y
A． x B． x C． x D． x
【变式1】如图，点 P 是反比例函数 y =6/x的图象上的任意一点，过点 P分别作两坐标轴的垂线，与坐
标轴构成矩形 OAPB，点 D 是矩形OAPB 内任意一点，连接 DA、DB、DP、DO，则图中阴影 部分的
面积
A．1 B．2 C．3 D．4
2 6
y y
【变式2】如图，点A在双曲线 x 上，点B在双曲线 x 上，点C、D在x轴上，若四边形ABCD
是矩形，则它的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
O P y 2x8 P
【变式3】如图，在平面直角坐标系中，点 为坐标原点，点 在直线 上，且点 的横坐标
是2，过点 分别向 轴、 轴作垂线，交反比例函数 的图象于点 、点 ，则四边形 的面
积是（ ）
A．4 B． C． D．5
【变式4】如图，直线 交双曲线 于 、 ，交 轴于点 为线段 的中点，过点 作
轴于 ，连结 .若 ，则 的值为__________．【变式5】如图，在反比例函数的图象 （x＞0）上，有点P，P，P，P，…，点P 横坐标为2，且
1 2 3 4 1
后面每个点的横坐标与它前面相邻点的横坐标的差都是2，过点P，P，P，P，…分别作x轴，y轴的垂
1 2 3 4
线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S，S，S，…则S+S+S+…+S＝_____．
1 2 3 1 2 3 n
知识点五、利用反比例函数解决实际问题
1. 基本思路：建立函数模型，即在实际问题中求得函数解析式，然后应用函数的图象和性质等知识解决
问题.
2. 一般步骤如下：（1）审清题意，根据常量、变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系
数用字母表示.
（2）由题目中的已知条件，列出方程，求出待定系数.
（3）写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围.
（4）利用函数解析式、函数的图象和性质等去解决问题.
y min x m/min
【例5】小芳从家骑自行车去学校，所需时间 ( )与骑车速度 ( )之间的反比例函数关系如图．
y x 7 20
(1)小芳家与学校之间的距离是多少？(2)写出 与 的函数表达式；(3)若小芳 点 分从家出发，预计到
7 28
校时间不超过 点 分，请你用函数的性质说明小芳的骑车速度至少为多少？
【变式】学校的学生专用智能饮水机里水的温度 y （℃）与时间x（分）之间的函数关系如图所示，当水的温度为20℃时，饮水机自动开始加热，当加热到100℃时自动停止加热（线段AB），随后水温开始下
BC
降，当水温降至20℃时（ 为双曲线的一部分），饮水机又自动开始加热……根据图中提供的信息，解
y x
答下列问题：（1）分别求出饮水机里水的温度上升和下降阶段 与 之间的函数表达式；
（2）下课时，同学们纷纷用水杯去盛水喝．此时，饮水机里水的温度刚好达到100℃．据了解，饮水机1
分钟可以满足12位同学的盛水要求，学生喝水的最佳温度在30℃~45℃，请问在大课间30分钟时间里有
多少位同学可以盛到最佳温度的水？
知识点六、反比例函数在其他学科中的应用
1. 当圆柱体的体积一定时，圆柱的底面积是高的反比例函数；
2. 当工程总量一定时，做工时间是做工速度的反比例函数；
3. 在使用杠杆时，如果阻力和阻力臂不变，则动力是动力臂的反比例函数；
4. 电压一定，输出功率是电路中电阻的反比例函数.
【例6】．（2023•小店区校级模拟）杠杆原理也称为“杠杆平衡条件”，要使杠杆平衡，作用在杠杆上的
两个力矩（力与力臂的乘积）大小必须相等，即 F ×L ＝F ×L ．如图，铁架台左侧钩码的个数与位置都
1 1 2 2
不变，在保证杠杆水平平衡的条件下，右侧力F与力臂L满足的函数关系是（ ）A．正比例函数关系 B．一次函数关系
C．反比例函数关系 D．二次函数关系
【变式1】．（2023•桥西区二模）厨师将一定质量的面团做成拉面时，面条的总长度y（m）是面条横截
面面积S（mm2）的反比例函数，其图象经过A（4，30），B（2，b）两点（如图），则下列说法错误
的是（ ）
A．y与S之间满足的函数关系式为
B．点B的坐标为（2，60）
C．若面条的总长度为100m，则面条的横截面面积为1.2mm2
D．若面条的横截面面积不超过0.8mm2，则面条的总长度不超过150m
【变式2】．（2023•恩施市模拟）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压 p
（单位：kPa）是气体体积V（单位：m3）的反比例函数，其图象如图所示．当气球内的气压大于
120kPa时，气球将爆炸．为了安全起见，气球的体积应（ ）
A．不小于 B．不小于
C．小于 D．小于
【变式3】．（2023•新华区校级模拟）如图，曲线表示温度T（℃）与时间t（h）之间的函数关系，它是
一个反比例函数的图象的一支．当温度T≤2℃时，时间t应（ ）A．不小于 h B．不大于 h C．不小于 h D．不大于 h
【变式4】．（2023•东海县一模）某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制
电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流I（A）与电阻R（ ）的关系图象，该图象经过点P
（880，0.25）．根据图象可知，下列说法正确的是（ ） Ω
A．当I＜0.25时，R＜880
B．I与R的函数关系式是
C．当R＞1000时，I＞0.22
D．当880＜R＜1000时，I的取值范围是0.22＜I＜0.25
【变式5】．（2023•大同模拟）远视眼镜的镜片是凸透镜，镜片的度数y（度）（y＞0）是关于镜片焦距
x（m）（x＞0）的反比例函数，当y＝200时，x＝0.5．下列说法中，错误的是（ ）
A．y与x的函数关系式为y＝ （x＞0）
B．y随x的增大而减小
C．当远视眼镜的镜片焦距是0.2时，该镜片是500度
D．若一副远视眼镜的度数不大于400度，则焦距不大于0.25m
【变式6】．（2023秋•庐阳区校级期中）某蓄电池的电压为48V，使用此蓄电池时，电流I（单位：A）与
电阻R（单位： ）的函数表达式为 ．当R＝6 时，I的值为 A．
【变式7】．（202Ω3秋•新城区校级期中）小明要把一篇Ω文章录入电脑，完成录入的时间 y（分）与录入文字的速度x（字/分）之间的函数关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）小明在19：20开始录入，要求完成录入时不超过19：40，小明每分钟至少应录入多少个字？
【核心素养提升】
1. 数学建模-构建反比例函数模型解决实际问题
1．水产公司有一种海产品共2104千克，为寻求合适的销售价格，进行了8天试销，试销情况如下：
第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天 第8天
售价 (元/千克) 400 300 250 240 200 150 125 120
销售量 (千克) 30 40 48 50 60 80 96 100
观察表中数据，发现可以用反比例函数刻画这种海产品每天的销售量 (千克)与销售价格 (元/千克)之间的关系．现假定在这批海产品的销售中，每天的销售量 (千克)与销售价格 (元/千克)之间都满足这一关
系．
（1）写出这个反比例函数的解析式；（2）在试销8天后，公司决定将这种海产品的销售价格定为150
元/千克，并且每天都按这个价格销售，那么余下的这些海产品预计再用多少天可以全部售出？
（3）在按（2）中定价继续销售15天后，公司发现剩余的这些海产品必须在不超过2天内全部售出，此时
需要重新确定一个销售价格，使后面两天都按新的价格销售，那么新确定的价格最高不超过每千克多少元
才能完成销售任务？
2. 数学建模-构建方程（组）模型求函数图象交点坐标
k
2．如图，点P( 51, 51)在双曲线y x (x0)上．（1）求双曲线的解析式；（2）若矩形 ABCD 的
k
顶点C,D在双曲线y
x
(x0)上，顶点A,B分别在
x
轴，y轴的正半轴上，且
AB2BC
，求点
C
的
坐标．3. 数形结合思想
3.如图，一次函数 与反比例函数 的图象交于A（2，1），B（-1， ）两点．求反比例函
数和一次函数的解析式；
4. 分类讨论思想
4.如图，函数 的图象过点 和 两点
（1）求 和 的值；（2）将直线 沿 轴向左移动得直线 ，交 轴于点 ，交 轴于点 ，交
于点 ，若 ，求直线 的解析式；（3）在（2）的条件下，第二象限内是否存在
点 ，使得 为等腰直角三角形，若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．5.如图，正方形OABC的边OA，OC分别在x轴y轴上，顶点B在第一象限，AB=6，点E，F分别在AB
和射线OB上运动（E，F不与正方形的顶点重合）， ，设BE=t。（1）当 时，则
AE=____________；BF=________________；（2）当点F在线段OB上运动时，若 的面积为 ，求
t的值（3）在整个运动的过程中①平面上是否存在点P，使得以P，O，E，F为顶点的四边形是菱形？若
存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；②若函数 （ ，a为常数）的图像同时经过
E，F，直接写出a的值．
【中考聚焦】
热点1.反比例函数的解析式、图象和性质1．（2023•呼和浩特）在同一直角坐标系中，函数y＝﹣kx+k与 的大致图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023•武汉）关于反比例函数 ，下列结论正确的是（ ）
A．图象位于第二、四象限
B．图象与坐标轴有公共点
C．图象所在的每一个象限内，y随x的增大而减小
D．图象经过点（a，a+2），则a＝1
3．（2023•甘孜州）若反比例函数 的图象位于第一、三象限，则 k 的取值范围是
．
4．（2023•青岛）反比例函数 y＝ 的图象经过点 A（m， ），则反比例函数的表达式为
．
5．（2023•陕西）如图，在矩形OABC和正方形CDEF中，点A在y轴正半轴上，点C，F均在x轴正半轴
上，点D在边BC上，BC＝2CD，AB＝3．若点B，E在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函
数的表达式是 ．6．（2023•绵阳）如图，过原点O的直线与反比例函数 （k≠0）的图象交于A（1，2），B两点，
一次函数y ＝mx+b（m≠0）的图象过点A与反比例函数交于另一点C（2，n）．
2
（1）求反比例函数的解析式；当y ＞y 时，根据图象直接写出x的取值范围；
1 2
（2）在y轴上是否存在点M，使得△COM为等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说
明理由．
7．（2023•雅安）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，点A，C在坐标轴上，
反比例函数y＝ （x＞0）的图象经过点B．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）点D在反比例函数图象上，且横坐标大于2，S△OBD ＝3，求直线BD的函数表达式．
8．（2023•湘潭）如图，点A的坐标是（﹣3，0），点B的坐标是（0，4），点C为OB中点．将△ABC
绕着点B逆时针旋转90°得到△A′BC′．
（1）反比例函数y＝ 的图象经过点C′，求该反比例函数的表达式；
（2）一次函数图象经过A、A′两点，求该一次函数的表达式．热点2.反比例函数中比例系数K的几何意义
9．（2023•福建）如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数y＝ 和y＝ 的图象的四个分支上，则
实数n的值为（ ）
A．﹣3 B．﹣ C． D．3
10．（2022•十堰）如图，正方形ABCD的顶点分别在反比例函数y＝ （k ＞0）和y＝ （k ＞0）的
1 2
图象上．若BD∥y轴，点D的横坐标为3，则k +k ＝（ ）
1 2A．36 B．18 C．12 D．9
热点3.反比例函数的综合应用
11．（2023•大庆）一次函数y＝﹣x+m与反比例函数y＝ 的图象交于A，B两点，点A的坐标为（1，
2）．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△OAB的面积；
（3）过动点T（t，0）作x轴的垂线l，l与一次函数y＝﹣x+m和反比例函数y＝ 的图象分别交于M，
N两点，当M在N的上方时，请直接写出t的取值范围．
12．（2023•苏州）如图，一次函数y＝2x的图象与反比例函数y＝ （x＞0）的图象交于点A（4，n）．
将点A沿x轴正方向平移m个单位长度得到点B，D为x轴正半轴上的点，点B的横坐标大于点D的横坐标，连接BD，BD的中点C在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上．
（1）求n，k的值；
（2）当m为何值时，AB•OD的值最大？最大值是多少？
13．（2023•甘孜州）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数 与反比例函数 的图
象相交于A（3，m），B两点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点C为x轴正半轴上一点，且满足AC⊥BC，求点C的坐标．热点4.反比例函数在实际问题中的应用
14．（2023•怀化）已知压力F（N）、压强P（Pa）与受力面积S（m2）之间有如下关系式：F＝PS．当F
为定值时，如图中大致表示压强P与受力面积S之间函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
15．（2023•荆州）已知蓄电池的电压U为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位： ）
Ω
是反比例函数关系（I＝ ）．下列反映电流I与电阻R之间函数关系的图象大致是（ ）A． B．
C． D．
16．（2023•扬州）某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强 p（Pa）是
气球体积V（m3）的反比例函数，且当V＝3m3时，p＝8000Pa．当气球内的气体压强大于40000Pa时，
气球将爆炸，为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于 m3．
17．（2023•台州）科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在
液体中的高度h（单位：cm）是液体的密度 （单位：g/cm3）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为
1g/cm3的水中时，h＝20cm． ρ
（1）求h关于 的函数解析式；
（2）当密度计悬ρ 浮在另一种液体中时，h＝25cm，求该液体的密度 ．
ρ
18．（2023•宁夏）给某气球充满一定质量的气体，在温度不变时，气球内气体的气压p（KPa）是气体体
积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示．
（1）当气球内的气压超过150KPa时，气球会爆炸，若将气球近似看成一个球体，试估计气球的半径至少为多少时气球不会爆炸（球体的体积公式V＝ r3， 取3）；
（2）请你利用p与V的关系试解释为什么超载的车辆π容易π爆胎．
19．（2023•河南）小军借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以反比例
函数 图象上的点 和点B为顶点，分别作菱形AOCD和菱形OBEF，点D，E在x轴上，
以点O为圆心，OA长为半径作 ，连接BF．
（1）求k的值；
（2）求扇形AOC的半径及圆心角的度数；
（3）请直接写出图中阴影部分面积之和．
20．（2023•达州）【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为 12V的蓄电池，通过调节滑动
变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值R ＝2 ） 亮度的实验（如图），已知串联电路
L
Ω中，电流与电阻R、R 之间关系为 I＝ ，通过实验得出如下数据：
L
R/ … 1 a 3 4 6 …
I/AΩ … 4 3 2.4 2 b …
（1）a＝ ，b＝ ；
（2）【探究】根据以上实验，构建出函数 y＝ （x≥0），结合表格信息，探究函数 y＝
（x≥0）的图象与性质．
①在平面直角坐标系中画出对应函数y＝ （x≥0）的图象；
②随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是 ．
（3）【拓展】结合（2）中函数图象分析，当x≥0时， ≥﹣ x+6的解集为 ．
21．（2022•台州）如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高
度）不变时，火焰的像高y（单位：cm）是物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：cm）的反比例函数，当x＝6时，y＝2．
（1）求y关于x的函数解析式．
（2）若火焰的像高为3cm，求小孔到蜡烛的距离．
