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考向 19 等差数列及其前 n 项
和
1.（2022年乙卷文科第13题）记 为等差数列 的前 项和.若 ，则公差 ．
【答案】2
【解析】因为 ，所以 ，即 ，所以 .
2.（2022年北京卷第6题） 设 是公差不为0的无穷等差数列，则“ 为递增数列”是“存在正整数
，当 时， ”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】设等差数列 的公差为 ，则 ，记 为不超过 的最大整数.
若 为单调递增数列，则 ，
若 ，则当 时， ；若 ，则 ，
由 可得 ，取 ，则当 时， ，
所以，“ 是递增数列” “存在正整数 ，当 时， ”；
若存在正整数 ，当 时， ，取 且 ， ，假设 ，令 可得 ，且 ，
当 时， ，与题设矛盾，假设不成立，则 ，即数列 是递增数列.
所以，“ 是递增数列” “存在正整数 ，当 时， ”.
所以，“ 是递增数列”是“存在正整数 ，当 时， ”的充分必要条件.
故选：C.
3.（2022新课标1卷第17题） 记 为数列 的前 项和，已知 ， 是公差为 的等差数列．
（1）求 得通项公式；
（2）证明： ．
【解析】（1） ，所以 ，
所以 是首项为 ，公差为 的等差数列，
所以 ，所以 ．
当 时， ，
所以 ，即 （ ）；
累积法可得： （ ），又 满足该式，
所以 得通项公式为 ．（2）
．
4. （ 2022 新 课 标 2 卷 第 17 题 ） 已 知 为 等 差 数 列 ， 是 公 比 为 2 的 等 比 数 列 ， 且
（1）证明： ；
（2）求集合 中元素的个数．
【答案】（1）见解析；（2）9．
【解析】（1）设等差数列 公差为
由 ，知 ，故
由 ，知 ，
故 ；故 ，整理得 ，得证．
（2）由（1）知 ，由 知：
即 ，即 ，
因为 ，故 ，解得
故集合 中元素的个数为9个．
5.（2022年甲卷理科第17题，文科第18题）记 为数列 的前 项和.已知 .
（1）证明： 是等差数列；（2）若 成等比数列，求 的最小值.
【答案】（1）略；（2）
【解析】（1）由于 ，变形为 ，记为①式，
又 ，记为②式，
①-②可得
即 ，所以 是等差数列；
（2）由题意可知 ，即 ，解得 ，所以
，其中 ，
则 的最小值为 .
{a } S {a }
6.（2021年甲卷理科第18题）已知数列 n 的各项为正数，记 n为 n 的前n项和，从下面①②③中选
出两个条件，证明另一个条件成立．
{a } {√S } a =3a
①数列 n 为等差数列；②数列 n 为等差数列；③ 2 1．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
【答案】见解析．
【解析】一、选择条件①③
{a } a =2a d a =3a =a +d d=2a
已知 n 为等差数列， 2 1，设公差为 则 2 1 1 ，即 1
，
n(n−1)
因为 S n =na 1 + 2 d=n2a 1 则 √S n =√a 1 ⋅n (a 1 >0)
，
{√S }
所以数列 n 为等差数列
二、选择条件①②
{a } {√S } d
已知 n 为等差数列，数列 n 为等差数列，设公差为n(n−1) 1 d
S =na+ d= n2d+(a − )n
a =a +(n−1)d n 1 2 2 1 2
则 n 1
，
d
{√S } a 1 = 2 a =a +d=3a
若数列 n 为等差数列，则 所以 2 1 1
，
三、选择条件②③
{√S } a =3a d
已知数列 n 为等差数列， 2 1设公差为
√S −√S =d √4a −√a =d
则 2 1 ，即 1 1
a =d2√S =√S +(n−1)d=nd
则 1 n 1
S =n2d a =S −S =2dn−d
则 n n n n−1
，
{a }
所以 n 为等差数列
7.（2021年全国一卷第19题）记 为数列 的前 项和，
为数列 的前 项积.已知 .
（1）证明：数列 是等差数列；
（2）求 的通项公式.
【答案】（1）见解析；（2） .
【解析】（1）当 时， ，易得 .
当 时， ，代入 消去 得， ，化简得 ，
是以 为首项， 为公差的等差数列.
（2）易得 .由（1）可得 ，由 可得 .当 时， ，显然 不满足该式；
.
8.（2021年新高考2卷第17题）记 是公差不为0的等差数列 的前 项和，若 ．
（1）求数列 的通项公式 ；
（2）求使 成立的 的最小值．
【答案】（1） ；（2） ．
即：
【解析】（1）由题意知：
所以数列 的通项公式为 ．
故
（2）由（1）知
又 即
1.等差数列的基本运算的解题策略
(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a ，a ，d，n，S ，知其中三个就能求另外两个，体
1 n n
现了方程思想．
(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a 和d是等差数列的两个基本量，用
1它们表示已知量和未知量是常用方法．
2.等差数列的判定与证明方法
（1）定义法：如果一个数列{a}从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么可以判断数
n
列{a}为等差数列；
n
（2）等差中项法：如果一个数列{a}对任意的正整数n都满足2a =a+a ，那么可以判断{a}为等差数列；
n n+1 n n+2 n
（3）通项公式法：如果一个数列{a}的通项公式满足a=p+q（p，q为常数）的形式，那么可以得出{a}
n n n n
是首项为p+q，公差为p的等差数列;
（4）前n项和公式法:如果一个数列{a}的前n项和公式满足S=An2+Bn（A，B为常数）的形式，那么可
n n
以得出数列{a}是首项为A+B，公差为2A的等差数列.
n
1．等差数列与函数的关系
(1)通项公式：当公差d≠0时，等差数列的通项公式a＝a＋(n－1)d＝dn＋a－d是关于n的一次函数，
n 1 1
且一次项系数为公差d.若公差d＞0，则为递增数列，若公差d＜0，则为递减数列．
(2)前n项和：当公差d≠0时，S＝na＋d＝n2＋n是关于n的二次函数且常数项为0.
n 1
2．两个常用结论
(1)关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质
①若项数为2n，则S －S ＝nd，＝；
偶 奇
②若项数为2n－1，则S ＝(n－1)a，S ＝na，S －S ＝a，＝.
偶 n 奇 n 奇 偶 n
(2)两个等差数列{a}，{b}的前n项和S，T 之间的关系为＝.
n n n n
1．当公差d≠0时，等差数列的通项公式是n的一次函数；当公差d＝0时，a 为常数．
n
2．注意利用“a－a ＝d”时加上条件“n≥2”．
n n－1
1．已知S 为等差数列{a}的前n项和，a＝2，S＝14，则S 等于( )
n n 2 4 6
A．32 B．39 C．42 D．45
2．已知{a}为等差数列，其前n项和为S，若a＝1，a＝5，S＝64，则n＝( )
n n 1 3 nA．6 B．7 C．8 D．9
3．设等差数列{a}的前n项和为S，若a＋S＝2，S＝14，则a ＝( )
n n 4 5 7 10
A．18 B．16 C．14 D．12
4．已知数列{a}的前n项和S＝an2＋bn(a，b∈R)且a＝3，a＝11，则S 等于( )
n n 2 6 7
A．13 B．49 C．35 D．63
5.．数列{a}满足2a＝a ＋a (n≥2)，且a＝－6，a＝6，S 是数列{a}的前n项和，则( )
n n n－1 n＋1 2 6 n n
A．S＜S B．S＝S C．S＞S D．S＝S
4 3 4 3 4 1 4 1
6.在等差数列{a}中，a，a 是方程x2＋6x＋2＝0的两个实数根，则＝( )
n 2 14
A．－ B．－3 C．－6 D．2
7.已知等差数列{a}的前10项和为30，它的前30项和为210，则前20项和为( )
n
A．100 B．120 C．390 D．540
8.已知等差数列{a}的公差为4，其项数为偶数，所有奇数项的和为15，所有偶数项的和为55，则这个数
n
列的项数为( )
A．10 B．20 C．30 D．40
9.(多选)设{a}是等差数列，S 是其前n项的和，且S＜S，S＝S＞S，则下列结论正确的是( )
n n 5 6 6 7 8
A．d＜0 B．a＝0 C．S＞S D．S 与S 均为S 的最大值
7 9 5 6 7 n
10．(多选)已知数列{a}是公差不为0的等差数列，前n项和为S ，满足a ＋5a ＝S ，下列选项正确的有(
n n 1 3 8
)
A．a ＝0 B．S 最小 C．S＝S D．S ＝0
10 10 7 12 20
【答案】AC
11．已知数列{a
n
}(n∈N
＋
)是等差数列，S
n
是其前n项和，若a
2
a
5
＋a
8
＝0，S
9
＝27，则S
8
的值是________．
12．已知数列{a
n
}与均为等差数列(n∈N
＋
)，且a
1
＝2，则a
20
＝________．
13．若数列{a
n
}的各项均为正数，对任意n∈N*，a＝a
n
a
n＋2
＋t，t为常数，且2a
3
＝a
2
＋a
4
.
(1)求的值；
(2)求证：数列{a}为等差数列．
n
14. 已知数列{a}中，a＝，其前n项和为S，且满足a＝(n≥2)．
n 1 n n
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求数列{a}的通项公式．
n
一、单选题
1．（2022·北京·人大附中模拟预测）如图是标准对数远视力表的一部分．最左边一列“五分记录”为标准
对数视力记录，这组数据从上至下为等差数列，公差为 ；最右边一列“小数记录”为国际标准视力记录的近似值，这组数据从上至下为等比数列，公比为 ．已知标准对数视力 对应的国际标准视力准
确值为 ，则标准对数视力 对应的国际标准视力精确到小数点后两位约为（ ）
（参考数据： ）
A． B． C． D．
2．（2022·河北·模拟预测）有一道民间源自于《孙子算法》的题目，筐内鸡蛋若干，三三数之余一，五五
数之余二，….若已知该筐最多装200个鸡蛋，则筐内鸡蛋总数最多有（ ）
A．184 B．186 C．187 D．188
3．（2022·上海杨浦·二模）数列{ }为等差数列， 且公差 ，若 ， ， 也是等差数列，
则其公差为（ ）
A．1gd B．1g2d C．lg D．1g
4．（2022·贵州·模拟预测（理））十七世纪法国数学家费马猜想形如“ （ ）”是素数，
我们称 为“费马数”．设 ， ， ，数列 与 的前n项和分别为
与 ，则下列不等关系一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·陕西西安·三模（文））小金是一名文学爱好者，他想利用业余时间阅读莫言的两本著作——
《红高粱》《檀香刑》.假设他读完这两本书共需50个小时，第1天他读了15分钟，从第2天起，他每天阅读的时间比前一天增加10分钟，则他恰好读完这两本书的时间为（ ）
A．第23天 B．第24天 C．第25天 D．第26天
6．（2022·安徽省舒城中学模拟预测（理））若数列 为等差数列，数列 为等比数列，则下列不等
式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022·浙江·模拟预测）已知函数 ，下列条件，能使得（m，n）的轨迹存
在实轴和虚轴相等的双曲线的是（ ）
A． 成等差数列 B． 成等比数列
C． 成等差数列 D． 成等比数列
8．（2022·广西广西·一模（文））北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间的是圆形的天心石，围绕天
心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为 ，设数列 为等差数列，它的
前 项和为 ，且 ， ，则 （ ）
A．189 B．252 C．324 D．405二、多选题
9．（2022·江苏·盐城中学模拟预测）设 ，正项数列 满足 ，下列说法
正确的有（ ）
A． 为 中的最小项
B． 为 中的最大项
C．存在 ，使得 成等差数列
D．存在 ，使得 成等差数列
10．（2022·山东·烟台二中模拟预测）已知无穷数列 满足：当 为奇数时， ；当 为偶数时，
，则下列结论正确的为（ ）
A． 和 均为数列 中的项
B．数列 为等差数列
C．仅有有限个整数 使得 成立
D．记数列 的前 项和为 ，则 恒成立
三、填空题
11．（2022·新疆乌鲁木齐·模拟预测（理））已知 为单调递减的等差数列 的前n项和，若数列
前n项和 ，则下列结论中正确的有___________．（填写序号）① ；② ；③ ；④
12．（2021·上海杨浦·一模）等差数列 满足：① ， ；②在区间 中的项恰好比区间
中的项少2项，则数列 的通项公式为 ___________.
13．（2021·浙江绍兴·三模）如图，一个 幻方，要求包含 到 的所有整数，且每一行、每一列及两
个主对角线上的整数之和都相等.早在 世纪中国古代数学家杨辉就作出了 的幻方，那么 幻方的每
一行上整数之和为______.
14．（2022·北京市朝阳区人大附中朝阳分校模拟预测）将1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数填入如图
所示3x3的正方形网格中，每个数填一次，每个小方格中填一个数.考虑每行从左到右，每列从上到下，两
条对角线从上到下这8个数列，给出下列四个结论：
①这8个数列有可能均为等差数列；
②这8个数列中最多有3个等比数列；
③若中间一行、中间一列、两条对角线均为等差数列，则中心数必为5；
④若第一行、第一列均为等比数列，则其余6个数列中至多有1个等差数列.其中所有正确结论的序号是________.
四、解答题
15．（2022·上海崇明·二模）已知集合 （Z是整数集， 是大于3的正整数）．
若含有 项的数列 满足：任意的 ，都有 ，且当 时有 ，当 时有
或 ，则称该数列为 数列．
(1)写出所有满足 且 的 数列；
(2)若数列 为 数列，证明： 不可能是等差数列；
(3)已知含有100项的 数列 满足 是公差为 等差数列，求
所有可能的值
16．（2022·上海长宁·二模）甲、乙两人同时分别入职 两家公司，两家公司的基础工资标准分别为：
公司第一年月基础工资数为3700元，以后每年月基础工资比上一年月基础工资增加300元； 公司第一
年月基础工资数为4000元，以后每年月基础工资都是上一年的月基础工资的1.05倍．
(1)分别求甲、乙两人工作满10年的基础工资收入总量（精确到1元）
(2)设甲、乙两人入职第 年的月基础工资分别为 、 元，记 ，讨论数列 的单调性，指出
哪年起到哪年止相同年份甲的月基础工资高于乙的月基础工资，并说明理由．
1．（2020全国Ⅱ理4）北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石
板（称为天心石），环绕天心石砌 块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加 块，下一层的第一环比上一层的最后一环多 块，向外每环依次也增加 块．已知每层环数相同，且下层比中层多 块，则
三层共有扇面形石板（不含天心石） （ ）
A． 块 B． 块 C． 块 D． 块
2 ． （ 2020 浙 江 7 ） 已 知 等 差 数 列 的 前 项 和 ， 公 差 ． 记
，下列等式不可能成立的是 （ ）
A． B． C． D．
3．（2019•新课标Ⅰ，理9）记 为等差数列 的前 项和．已知 ， ，则
A． B． C． D．
4．（2018•新课标Ⅰ，理4）记 为等差数列 的前 项和．若 ， ，则
A． B． C．10 D．12
5．（2017•新课标Ⅰ，理4）记 为等差数列 的前 项和．若 ， ，则 的公差为
（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
6．（2017•新课标Ⅲ，理9）等差数列 的首项为1，公差不为0．若 ， ， 成等比数列，则
前6项的和为
A． B． C．3 D．8
7．（2016•新课标Ⅰ，理3）已知等差数列 前9项的和为27， ，则
A．100 B．99 C．98 D．97
8．（2017浙江）已知等差数列 的公差为 ，前 项和为 ，则“ ”是
“ ”的（ ）A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件
C． 充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
a T
n n
9．（2020北京8）在等差数列{ }中， ， ，记 ，则数列{ }
（ ）
A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项
10．（2020 上海 7）已知等差数列 的首项 ，且满足 ，则
．
11．（2019•新课标Ⅲ，理14）记 为等差数列 的前 项和，若 ， ，则 ．
{a }(nN*) S a a a 0,S 27
12．（2019江苏8）已知数列 n 是等差数列， n是其前n项和．若 2 5 8 9 ，则
S
8的值是 ．
a S a 3，S 10 a
13．（2019北京理10）设等差数列 n 的前n项和为 n，若 2 5 ，则 5 ________ ．
S
n 的最小值为_______．
14．(2018北京)设 是等差数列，且 ， ，则 的通项公式为___．
15．(2018上海)记等差数列 的前几项和为 ，若 ， ，则 = ．
16．（2019•新课标Ⅰ，文18）记 为等差数列 的前 项和，已知 ．
（1）若 ，求 的通项公式；
S ≥a
（2）若 ，求使得 n n的 的取值范围．
17．（2018•新课标Ⅱ，理（文）17）记 为等差数列 的前 项和，已知 ， ．（1）求 的通项公式；
（2）求 ，并求 的最小值．
18．（2016•新课标Ⅱ，文17）等差数列 中， ， ．
（Ⅰ）求 的通项公式；
（Ⅱ）设 ，求数列 的前10项和，其中 表示不超过 的最大整数，如 ， ．
1．【答案】B
【解析】设公差为d，由题意得
解得所以S＝6a＋d＝39.
6 1
2．【答案】C
【解析】因为d＝＝2，S＝na＋d＝n＋n(n－1)＝64，解得n＝8(负值舍去)．
n 1
3．【答案】C
【解析】设{a}的公差为d，由可得解得所以a ＝－4＋9×2＝14，选C.
n 10
4．【答案】B
【解析】由S ＝an2＋bn(a，b∈R)可知数列{a}是等差数列，依题意得，d＝＝＝2，则a ＝a ＋(n－2)d＝2n
n n n 2
－1，即a＝1，a＝13，所以S＝×7＝×7＝49.
1 7 7
5.【答案】B
【解析】数列{a}满足2a＝a ＋a (n≥2)，则数列{a}是等差数列，
n n n－1 n＋1 n
设等差数列{a}的公差为d.
n
因为a＝－6，a＝6，
2 6
所以4d＝a－a＝12，即d＝3.
6 2
所以a＝－6＋3(n－2)＝3n－12，
n
所以S＝a＝－9，S＝a＋a＋a＝－9－6－3＝－18，
1 1 3 1 2 3
S＝a＋a＋a＋a＝－9－6－3＋0＝－18，
4 1 2 3 4
所以S＜S，S＝S.
4 1 3 46.【答案】A
【解析】因为a ，a 是方程x2＋6x＋2＝0的两个实数根，所以a ＋a ＝－6，aa ＝2，由等差数列的性质
2 14 2 14 2 14
可知，a＋a ＝2a＝－6，所以a＝－3，则＝，故选A.
2 14 8 8
7.【答案】A
【解析】设S 为等差数列{a}的前n项和，则S ，S －S ，S －S 成等差数列，
n n 10 20 10 30 20
所以2(S －S )＝S ＋(S －S )，
20 10 10 30 20
又等差数列{a}的前10项和为30，前30项和为210，
n
所以2(S －30)＝30＋(210－S )，解得S ＝100.
20 20 20
8.【答案】B
【解析】设等差数列{a}的公差为d，项数为n，前n项和为S，因为d＝4，S ＝15，S ＝55，所以S －
n n 奇 偶 偶
S ＝d＝2n＝40，所以n＝20，即这个数列的项数为20.故选B.
奇
9.【答案】ABD
【解析】S ＝S ＋a ＞S ，则a ＞0，S ＝S ＋a ＝S ，则a ＝0，则d＝a －a ＜0，S ＝S ＋a ＜S ，a ＜0.则
6 5 6 5 6 7 6 7 6 7 7 6 8 7 8 7 8
a＋a＜0，所以S＝S＋a＋a＋a＋a＝S＋2(a＋a)＜S，由a＝0，a＞0知S，S 是S 中的最大值．从
7 8 9 5 6 7 8 9 5 7 8 5 7 6 6 7 n
而ABD均正确．
10．【答案】AC
【解析】根据题意，数列{a}是等差数列，若a ＋5a ＝S ，即a ＋5a ＋10d＝8a ＋28d，变形可得a ＝－
n 1 3 8 1 1 1 1
9d，又由a ＝a ＋(n－1)d＝(n－10)d，则有a ＝0，故A一定正确；不能确定a 和d的符号，不能确定S
n 1 10 1 10
最小，故B不正确；又由S ＝na ＋＝－9nd＋＝×(n2－19n)，则有S ＝S ，故C一定正确；则S ＝20a ＋d
n 1 7 12 20 1
＝－180d＋190d＝10d，因为d≠0，所以S ≠0，则D不正确．
20
11．【答案】16
【解析】设等差数列{a}的公差为d，则aa ＋a ＝(a ＋d)·(a ＋4d)＋a ＋7d＝a＋4d2＋5ad＋a ＋7d＝0，S
n 2 5 8 1 1 1 1 1 9
＝9a＋36d＝27，解得a＝－5，d＝2，则S＝8a＋28d＝－40＋56＝16.
1 1 8 1
12．【答案】40
【解析】设a＝2＋(n－1)d，所以＝＝，由于为等差数列，所以其通项是一个关于n的一次函数，所以(d－
n
2)2＝0，所以d＝2.所以a ＝2＋(20－1)×2＝40.
20
13．【解析】(1)因为对任意n∈N*，a＝a
n
a
n＋2
＋t，
令n＝2，得a＝aa＋t.①
2 4
令n＝1，得a＝aa＋t.②
1 3
①－②得a－a＝aa－aa，即a(a＋a)＝a(a＋a)，
2 4 1 3 3 3 1 2 2 4
所以＝＝2.
(2)证明：a＝aa ＋t，a＝a a ＋t，
n n＋2 n＋1 n＋3
两式相减得＝，
所以数列为常数列，所以＝＝2，
所以a＋a ＝2a ，
n n＋2 n＋1
所以数列{a}为等差数列．
n14. 【解析】(1)证明：当n≥2时，S－S ＝.
n n－1
整理，得S －S＝2SS .
n－1 n n n－1
两边同时除以SS ，得－＝2.
n n－1
又＝＝4，所以是以4为首项，以2为公差的等差数列．
(2)由(1)可得数列的通项公式为＝4＋(n－1)×2＝2n＋2，所以S＝.
n
当n≥2时，a＝S－S ＝－＝.
n n n－1
当n＝1时，a＝，不适合上式．
1
所以a＝
n
1．【答案】D
【解析】依题意，以标准对数视力 为左边数据组的等差数列的首项，其公差为-0.1，标准对数视力
为该数列第3项，
标准对数视力 对应的国际标准视力值1.0为右边数据组的等比数列的首项，其公比为 ，
因此，标准对数视力 对应的国际标准视力值为该等比数列的第3项，其大小为 .
故选：D
2．【答案】C
【解析】设筐内鸡蛋为 个，则 ，
对于A， ，解得 ，不合题意，错误；
对于B， ，解得 ，不合题意，错误；
对于D， ，解得 ，不合题意，错误；
对于C， ，解得 ， ，解得 ，符合题意，正确.
故选：C.
3．【答案】D
【解析】因为 ， ， 是等差数列，所以 ，
所以 ，又因为 且公差 ，
所以 ，可得 ，
所以公差 ，
故选：D.
4．【答案】D
【解析】因为 （ ），
所以 ，
所以 ， ，
当 时， ，所以AB错误，
因为 ，
所以数列 是以2为公比，2为首项的等比数列， 是以2为公差，2为首项的等差数列，
所以 ， ，
当 时， ，当 时， ，
当 时， ，由此可得当 时， ，下面用数学归纳法证明
当 时，显然成立，
假设当 （ ）时， 成立，即 ，则
当 时，
，即 ，综上，当 时， ，所以 ，所以C错误，D正确，
故选：D
5．【答案】B
【解析】根据题意，小金第n天的阅读时间（单位：分钟）依次构成等差数列，且首项为15，公差为10，
则 ，整理得 .
设 ，易知f（n）为递增数列，因为 ，所以他恰好读完这两
本书的时间为第24天.
故选：B.
6．【答案】D
【解析】若 ，则
可得： ，故选项A错误；
若 ，则
可得： ，故选项B错误；
若 ，则
可得： ，故选项C错误；
不妨设 的首项为 ，公差为 ，则有：
则有： ，故选项D正确
故选：D
7．【答案】C【解析】对A，若 成等差数列，则 ，即
，整理可得 ，则当 时， 的轨迹为圆， 时，
的轨迹不存在，故A错误；
对B，若 成等比数列，则 ，即 ，整
理可得 ，方程不能表示双曲线，故B错误；
对C，若 成等差数列，则 ，即
，整理可得 ，当 且 时，方程化为
，此时表示实轴和虚轴相等的双曲线，故C正确；
对D，若 成等比数列，则 ，即
，整理可得 ，
当 ，且 时，由 得 ，此时是实轴和虚轴不相等的双曲线，故D错
误.
8．【答案】C
【解析】设等差数列 的公差为 ，
由 ， ，得 ，解得： ，
所以 .
故选：C.9．【答案】AB
【解析】由 可得
令 ，
当 递增；
当 递减
且
是最小的项；
所以A正确
令
在区间内递减， 即 ； 即
即 ，
所以，综上所述， 是最大的项，所以B正确，
由于 是最小的项， 是最大的项，则不可能使得 成等差数列，故C错误；
因为 ，所以 ，则 ，
，所以不存在 成等差数列，故D错误
故选：AB
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导
数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．
(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，
解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．10．【答案】BD
【解析】对于A选项，分析可知当 为奇数时， 为奇数，
当 为偶数时， 为偶数，
令 可得 ，不合乎题意，
令 可得 ，合乎题意，
所以， 不是数列 中的项， 是数列 中的项，A错；
对于B选项，因为 ，
所以，数列 是公差为 的等差数列，B对；
对于C选项，若 为偶数，由 可得 ，矛盾，
若 为奇数，由 可得 ，即 ，解得 ，
所有满足条件 的奇数 都合乎题意，
所以，有无限个整数 使得 成立，C错；
对于D选项， 为偶数，则 ， 且 ，
所以，数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列，
所以， ，D对.
故选：BD.
11．【答案】②④【解析】设等差数列 的公差为 ，
则 ，
故
，
所以 ，
则 ，解得 或 （舍去），所以 ，
故 ，故①错误； ，故②正确；
，故③错误；
， ，则当 或 时， 取得最大值，
所以 ，故④正确.
故选：②④.
12．【答案】
【解析】由 ， 得 ， ，因此在区间 上最多有5项，又在区间
中的项恰好比区间 中的项少2项，
因此数列 在 上的项数可能为 ，相应地在 上项数分别为 ．
（1）若在 上的项数可能为1，设 是数列在区间 的项，在 上项数为3，由 得 ，由 得 ，所以 ，
这样 是数列中的连续三项， 是等差数列，因此 也是 中连续三项（否则数
列 中有两项在 上），但 ，矛盾；
（2）若在 上的项数可能为2，设 是数列在区间 的最小项，在 上项数为4，
由 得 ，由 得 ，所以 ，
这样 是数列中的连续四项， 是等差数列，因此 也是 中连续四项，（否则数
列 中有三项在 上），又 ，
所以 ， ，满足题意， ；
（3）若在 上的项数可能为3，设 是数列在区间 的最小项，在 上项数为5，
由 得 ，由 得 ，所以 ，
这样 是数列中的连续五项， 是等差数列，因此
也是 中连续五项（否则数列 中有四项在 上），但 ，矛盾；
综上所述， ．
故答案为： ．
13．【答案】
【解析】因为 ，因为 幻方的每一行上整数之和相等，共 行，所以每行的整数之和为 .
故答案为： .
14．【答案】①②③
【解析】①. 如图将1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数依次填入网格中，则这8个数列均为等差数列，
故①正确.
②. 1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数中，等比数列有：1,2,4； 1,3,9；2,4,8；4,6，9.
由于1,2,4和2,4,8这两个等比数列不可能在网格中不可能在同一列，同一行或对角线上.
所以这8个数列中最多有3个等比数列,例如如图满足有3个等比数列.故②正确
③. 若三个数 成等差数列，则 .
根据题意要有4组数成等差数列，且中间的数 相同. 则只能是
由
则中间一行、中间一列、两条对角线四列的数分别为 时满足条件;
中心数为其他数时，不满足条件.故③正确.
④. 若第一行为 ；第一列为 ，满足第一行、第一列均为等比数列.
第二行为 ，第二列为 ，则第二行，第二列为等差数列，此时有两个等差数列.故④不正确
故答案为：①②③15．【解析】(1)由题意可得满足 且 的 数列为：1，3，5，2，4；1，4，2，5，3..
(2)假设 是等差数列，公差为 ，当 时，由题意， 或 ，
此时 ，
所以 不是等差数列 中的项，与题意不符，所以 不可能是等差数列
当 时，由题意， 或 ，此时
所以 不是等差数列 中的项，与题意不符，所以 不可能是等差数列
综上所述， 不可能是等差数列
(3)由题意， ，
当 时，因为 ，所以 ，与题意不符；
当 时，记 ，
当 时， ，
所以 ，
所以 中的最小项 ，所以 ，与题意不符，
当 时， ，
又由题意， （*），其中 ，
且 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，与 不符；当 时，取 ，此时的数列 满足题意，
综上所述， .
16．【解析】（1）甲的基础工资收入总量 元乙的基础工资收入
总量 元
（2） ， ，
，设 ，即 ，解得 所以
当 时， 递增，当 时， 递减又当 ，即 ，解得 ，
所以从第5年到第14年甲的月基础工资高于乙的月基础工资． ．
1．【答案】C
【思路导引】第n环天石心块数为 ，第一层共有 环，则 是以9为首项，9为公差的等差数列，
设 为 的前 项和，由题意可得 ，解方程即可得到n，进一步得到 ．
【解析】设第n环天石心块数为 ，第一层共有 环，则 是以9为首项，9为公差的等差数列，
，设 为 的前 项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为
，因为下层比中层多729块，所以 ，即，即 ，解得 ，所以
，故选C．
2．【答案】B
【解析】A．由等差数列的性质可知 ，成立；
B． ， ， ，
若 ，则 ，
即 ，这与已知矛盾，故B不成立；
C． ，整理为： ，故C成立；
D． ，当 时，即 ，整理为
，即 ， ，方程有解，故D成立．综上
可知，等式不可能成立的是B，故选B．
3．【答案】A
【解析】设等差数列 的公差为 ，由 ， ，得 ， ，
， ，故选 ．
4．【答案】B
【 解 析 】 为 等 差 数 列 的 前 项 和 ， ， ，
，把 ，代入得 ， ，故选 ．
5．【答案】C【解析】由题知， ，解得 ， ，故选 ．
6．【答案】A
【解析】 等差数列 的首项为1，公差不为0． ， ， 成等比数列， ，
， 且 ， ， 解 得 ， 前 6 项 的 和 为
，故选 ．
7．【答案】C
a +5d=3+5d
【解析】由题知， = ，∴ ，又 = 5 ， ，
，故选
8．【答案】C
【解析】∵ ，当 ，可得 ；当 ，可得
．所以“ ”是“ ” 充分必要条件，选C．
9．【答案】A
【解析】设公差为d，a-a =4d，即d=2，a=2n-11，1≤n≤5使，a＜0，n≥6时，a＞0，所以n=4时，T
5 1 n n n n
＞0，并且取最大值；n=5时，T＜0；n≥6时，T＜0，并且当n越来越大时，T 越来越小，所以T 无最小
n n n n
项．故选A．
10．【答案】
【解析】由条件可知 ， ．
故答案为： ．
11．【答案】4【解析】设等差数列 的公差为 ，则由 ， 可得， ，
．
12．【答案】16
(a d)(a 4d)a 7d 0
1 1 1
a 5
98 1
9a d 27
{a } a d 1 2 d 2
【解析】设等差数列 n 的首项为 1，公差为 ，则 ，解得 ，
87d
S 8a 6(5)15216
所以 8 1 2 ．
13．【答案】0，-10
a a d 3 a 4
2 1 1
S a 510d 10 d 1 a a 4d 0
【解析】由题意得， 5 1 ，解得 ，所以 5 1 ．
43
因为 a n 是一个递增数列，且 a 5 0 ，所以 S n的最小值为 S 4或 S 5， S 4 S 5 44 2 110 ．
14．【答案】14
【解析】解法一 设 的公差为 ，首项为 ，则 ，
解得 ，所以 ．
解法二 ，所以 ．故 ，故 ．
15．【答案】
【 解 析 】 设 等 差 数 列 的 公 差 为 ， ， ∴ ， ∴
．16．【解析】（1）根据题意，等差数列 中，设其公差为 ，
若 ，则 ，变形可得 ，即 ，
若 ，则 ，
则 ，
n(n−1)
na+ d≥a +(n−1)d
S ≥a 1 2 1
（2）若 n n，则 ，
当 时，不等式成立，
nd
≥d−a
当
n≥2
时，有
2 1
，变形可得
(n−2)d≥−2a
1，
a
(n−2)(− 1 )≥−2a
又由 ，即 ，则有 ，即 ，则有 4 1 ，
又由 ，则有
n≤10
，
则有
2≤n≤10
，
综合可得：
2≤n≤10
， ．
17．【解析】（1） 等差数列 中， ， ，
， ，解得 ， ，
；
（2） ， ， ，
，
当 时，前 项的和 取得最小值为 ．
18．【解析】（Ⅰ）设等差数列 的公差为 ，， ． ，解得： ， ；
（Ⅱ） ， ， ， ， ．
故数列 的前10项和 ．
