文档内容
专题 08 平行四边形、矩形、菱形、正方形中新定义型问题
目录
A题型建模・专项突破
题型一、变量与常量..................................................................................................................1
题型二、函数的概念..................................................................................................................2
题型三、函数的自变量与函数值（常考点）...........................................................................3
题型四、列函数关系式表示简单的实际问题...........................................................................5
题型五、用表格表示函数..........................................................................................................6
题型六、用函数关系式表示函数...............................................................................................8
题型七、用图象表示函数（重点）...........................................................................................9
题型八、函数与实际问题的应用（难点）.............................................................................11
B综合攻坚・能力跃升
题型一、平行四边形中新定义型问题
1．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）定义：作 的一组邻角的角平分线，设交点为P，P与这组邻
角的公共边组成的三角形为 的“伴侣三角形”， PBC为平行四边形的伴侣三角形．AB＝m，BC
＝4，连接AP并延长交直线CD于点Q，若Q点落在线段CD上（包括端点C、D），则m的取值范围
△
．
2．（25-26九年级上·贵州六盘水·期中）定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点
四边形．
(1)如图1，在任意四边形 中，点E，F，G，H分别为边 ， ， ， 的中点，则中点四边
形 的形状是______．
(2)在图1中，试判断 与 的关系，并说明理由．
(3)如图2，点P是四边形 内一点，且满足 ， ， ，点E，F，G，H
分别为边 ， ， ， 的中点．猜想中点四边形 的形状，并证明你的猜想．
3．（24-25八年级下·江西赣州·期中）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形．(1)如图1，在邻余四边形 中， ，则 ________；
(2)如图2，在 中， ， ， 垂直平分 交 于点 ，垂足为 ，且 ，
， 为 上一点，求证：四边形 是邻余四边形；
(3)如图3、图4，在邻余四边形 中， 为 中点， ，
①如图3，当 时，判断四边形 的形状并证明你的结论；
②如图4，当 ， 时，求 的长．
题型二、矩形中新定义型问题
4．（25-26九年级上·河南·月考）定义：有一个内角的度数是另一个内角度数的 的钝角三角形叫做“半
钝三角形”．如图，在矩形 中， ， ，E为对角线 的中点，F是射线
上一动点．若 是“半钝三角形”，且 不是其最小的内角，则 的长为
．
5．（24-25八年级下·浙江湖州·期末）定义：一组邻边相等，另一组邻边也相等的凸四边形叫做“筝形”．
如图，在矩形 中， ，“筝形” 的顶点 是 的中点，点 分别在
上，且 ，则对角线 的长 ．
6．（25-26九年级上·辽宁沈阳·开学考试）定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形．
了解性质：如图1：已知四边形 中， ．垂足为 ，则有： ；性质应用：
（1）如图1，四边形 是垂美四边形，若 ，则 ___________；
性质变式：
（2）如图2，图3， 是矩形 所在平面内任意一点，则有以下重要结论： ．
请以图2为例将此重要结论证明出来．
应用变式：
（3）①如图4，在矩形 中， 为对角线交点， 为 中点，则 ___________；
②如图5，在 中， 是 内一点，且 ，则 的最小值是
___________．
题型三、菱形中新定义型问题
7．（24-25八年级下·福建莆田·期末）定义：平面上一点与某个图形所有点相连的线段中最短的线段长度
叫做点与该图形之间的距离，记为 ．如图，已知菱形 ， ， ，平面内一动点
菱形外部 到菱形 的距离为 ，则点 运动轨迹的长度为
8．（24-25八年级下·江苏镇江·期中）阅读下列材料：“鹞形”在数学中是一种四边形．我们把有一条对
角线垂直平分另一条对角线的四边形叫做鹞形．如图1，四边形 中，若 垂直平分 ，那么四边
形 称为鹞形．(1)写出图1所示鹞形的两个性质（定义除外）：①_______；②_______；
(2)如图2，在平行四边形 中，E、F分别在边 和 上，且四边形 是鹞形（ 垂直平分
），求证平行四边形 是菱形．
(3)如图3，在（2）的条件下，连接 、 ，若 ， ， ，则 的长度为________．
9．（24-25八年级下·江苏南京·期末）定义：如果四边形的一条对角线的中点到另外两个顶点的距离都等
于这条对角线长的一半，那么我们称这样的四边形为“等距四边形”．
(1)在下列图形中：①平行四边形、②矩形、③菱形，一定是“等距四边形”的是______；（填序号）
(2)如图1，在菱形 中， ， ， 于点 ，点 是菱形 边上的一点，顺次
连接 、 、 、 ，若四边形 为“等距四边形”，求线段 的长；
(3)如图2，在等边 中， ，点 是 内任意一点，在 、 、 上是否分别存在点，
使得这些点与点 的连线将 恰好分割成三个“等距四边形”，若存在，请直接写出这三个“等距四
边形”的周长和，若不存在，请说明理由．
题型四、正方形中新定义型问题
10．（2025·江苏无锡·一模）定义：有一组对边相等且这一组对边所在直线互相垂直的凸四边形叫做“等
垂四边形”．
如图①，四边形ABCD与四边形AEFG都是正方形， ，则图中的“等垂四边形”是
；如图②，四边形ABCD是“等垂四边形”， ， ，则边AB长的最小值为 ．
11．（2025·广西崇左·二模）筝形的定义：两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．
(1)根据筝形的定义，写出一种学过的满足筝形的定义的四边形：______；
(2)如图1，在正方形 中，E是对角线 延长线上一点，连接 ．求证：四边形 是筝形：
(3)小明学习筝形后对筝形非常感兴趣，购买了一只风筝，通过测量它的主体（如图2）得 ，
，发现它是一个筝形，还得到 ， ， ，求筝形 的面积．
12．（24-25八年级下·湖南长沙·月考）定义：若四边形有一组对角互补，有一组邻边相等，且相等邻边的
夹角为直角，像这样的图形定义为“郡外四边形”．
(1)如下：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形，一定是“郡外四边形”的是：______．
(2)如图点P是正方形 对角线 上一点，点O是线段 中点，点E是射线 上一点，且 ，
连接 ．
①如图1，当点P在线段 上时，求证：四边形 为“郡外四边形”；
②如图2，当点P在线段 上时，试用等式来表示 的数量关系，并证明．
一、单选题
1．（25-26九年级上·山西晋中·月考）如图矩形与正方形的形状有差异，我们将矩形与正方形的接近程度
称为矩形的“接近度”，已知矩形 的对角线 、 相交于点O，我们将矩形的“接近度”定义为，若 时，则矩形的“接近度”为（ ）
A． B．3 C． D．
二、填空题
2．（25-26九年级上·河南郑州·期末）定义：若有一组邻边相等，且另一组邻边也相等的凸四边形，我们
把这类四边形叫做筝形．如图，矩形 中， ， ，点 为 的中点，点 在 上，且
，点 ， ，分别为 ， 上一个动点，连接 ， ， ， ， ，若四边形
为筝形，则 的长为 ．
三、解答题
3．（2025八年级下·全国·专题练习）定义：若一个四边形满足三个条件①有一组对角互补，②一组邻边相
等，③相等邻边的夹角为直角，则称这样的四边形为“直角等邻对补”四边形，简称为“直等补”四边形．
根据以上定义，解答下列问题．
(1)如图1，四边形 是正方形，点E在 边上，点F在 边的延长线上，且 ，连接 ，
，请根据定义判断四边形 是否是“直等补”四边形，并说明理由．
(2)如图2，已知四边形 是“直等补”四边形， ，若 ， ，求 的长．
4．（24-25八年级下·浙江舟山·期中）类比于等腰三角形的定义，我们定义：有组邻边相等的凸四边形叫
做“等邻边四边形”．(1)如图1，四边形 的顶点 、 、 在网格格点上，请你在 的正方形网格中分别画出3个不同
形状的等邻边四边形 ，要求顶点 在网格格点上；
(2)如图2，在平行四边形 中， 是 上一点， 是 上一点， ， ，请说明
四边形 是“等邻边四边形”；
(3)如图3，在平行四边形 中， ， 平分 ，交 于点 ， ， ， 是
线段 上一点，当四边形 是“等邻边四边形”时，请求出 的长度．
5．（24-25八年级下·河南南阳·期末）定义：有一组邻边相等，且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰
直角四边形．
(1)请在你学习过的四边形中，写出一个符合等腰直角四边形定义的特殊四边形；
(2)如图1，等腰直角四边形 中， ， ．若 ， ，请利用如
图2的辅助线，求 的长；
(3)如图3，在矩形 中， ， ，点P是对角线 的中点，过点P作直线分别交边 、
于点E、F．当四边形 是等腰直角四边形时，直接写出四边形 的面积．
6．（24-25八年级下·江西宜春·期末）定义引入：
定义：如果一个四边形的两条对角线互相垂直，那么我们称这个四边形为“对垂”四边形．
（1）问题1：举例：写一个你学过的特殊四边形是“对垂”四边形的图形的名称：______；
猜想与验证：
（2）①如图1，在四边形 中，对角线 于点 ，下列结论正确的是（ ）．
A． B． C．②证明①中正确的结论：
拓展思考：
（3）如图2，正方形 和正方形 的边长分别是 和 ，连接 ，且 ，
的面积和 的面积会相等吗？如果会，请证明并求 的面积，如果不会，请说明理由．
7．（24-25八年级下·江苏连云港·期末）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的
夹角为直角，像这样的图形称为“角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．根据以上定义，解决下
列问题：
(1)如图1，以菱形 的一边 为边向外作正方形 ， 、 分别是菱形和正方形的对角线交点，
连接 ．
求证：四边形 是“直等补”四边形．
②若 ，求四边形 的面积．
(2)如图2，已知四边形 是“直等补”四边形，其中 ， ，过点 作 于
点 且 ，连接 ，若点 是线段 上的动点，请你直接写出 周长的最小值．
8．（2025·河南·模拟预测）【定义学习】
定义：如果四边形有一组对角为直角，那么我们称这样的四边形为“对直四边形”．
【判断尝试】
（1）在①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，是“对直四边形”的是______；（填序号）
（2）如图1，四边形 是对直四边形，若 ， ， ， ，则边 的长是______；
【操作探究】
如图2，在菱形ABCD中， ， ， 于点E，请在边 上找一点F，使得以点A、E、
C、F组成的四边形为“对直四边形”，画出示意图，并直接写出 的长是______；
【拓展延伸】
如图3，在正方形 中， ，点E、F、G分别从点B、B、C同时出发，并分别以每秒1、1、2个
单位长度的速度，分别沿正方形的边 、 、 方向运动（保持 ），再分别过点E、F作 、
的垂线交于点H，连接 、 ．试说明：四边形 为对直四边形．
【实践应用】
某加工厂有一批四边形板材，形状如图4所示，其中 米， 米， ， ．现
根据客户要求，需将每张四边形板材进一步分割成两个等腰三角形板材和一个“对直四边形”板材，且这
两个等腰三角形的腰长相等，要求材料充分利用无剩余．请直接写出分割后得到的等腰三角形的腰长是
______．
