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班级 姓名 学号 分数
第14章 整式的乘法与因式分解(B 卷·能力提升练)
(时间：70分钟，满分：100 分)
一、选择题(本题共11小题，每小题3分，共33分。)
1．(2021·四川绵阳·二模)下列各式中，运算正确的是( )
A．( a3)2＝a5 B．(﹣a b3)2＝a2b5
C．a4÷a2＝a2 D．a2+a2＝2a4
【答案】C
【分析】根据幂的乘方、同底数幂的除法、合并同类项法则依次计算各选项后即可解答．
【详解】A：( a3)2＝a6，此项错误；
B：(﹣a b3)2＝a2b6，此项错误；
C：a4÷a2＝a2，此项正确；
D：a2+a2＝2a2，此项错误．
故选C．
【点睛】本题主要考查了幂的乘方、同底数幂的除法、合并同类项法则等知识点的理解和掌握，能根据这
些性质正确进行计算是解此题的关键．
2．(2021·辽宁·鞍山市华育高新区学校八年级阶段练习)计算 得( )
A．0.64 B．﹣0.64 C．+1 D．﹣1
【答案】B
【分析】根据积的乘方的逆运算，同底数幂乘法的逆运算法则求解即可．
【详解】解：．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了积的乘方的逆运算，同底数幂乘法的逆运算，掌握幂的运算法则是解答本题的关
键．
3．(2022·广东·佛山市南海外国语学校三模)已知 ， ，则 ( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据积的乘方的逆用可求出 ，再结合题意可得出 ．即可由同底数幂的乘法的
逆用得出 ，从而求出结果．
【详解】 ，
，
．
，
，
，
，
故选D．
【点睛】本题考查积的乘方的逆用和同底数幂的乘法的逆用．掌握积的乘方和同底数幂的乘法的逆用法则
是解题关键．
4．(山东省威海乳山市(五四制)2020-2021学年八年级上学期期中考试数学试题)下列各式：① ；②
；③ ；④ ；⑤ ，能用公式法分解因式的有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】利用平方差公式与完全平方公式逐一把各因式分解因式，从而可得答案.
【详解】解： 不能分解因式，故①不符合题意；故②符合题意；
不能分解因式，故③不符合题意；
故④符合题意；
故⑤符合题意；
故选B
【点睛】本题考查的是利用公式法分解因式，掌握“平方差公式与完全平方公式分解因式”是解本题的关
键.
5．(2022·四川成都·七年级期中)面积为 的长方形一边长为 ，则另一边长为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用长方形的面积公式进行求解即可．
【详解】由题意得：另一边长为：
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查整式的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
6．(2021·四川·成都七中七年级阶段练习)要使 有意义，那么x的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据零次幂的底数不等于零列不等式求解即可．
【详解】解：∵ 有意义，
∴ ．
， ．
故选D．
【点睛】本题考查了零次幂，掌握零次幂的底数不等于零是解答本题的关键．7．下列等式从左到右变形，属于因式分解的是( )．
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：
选项 逐项分析 正误
A 是单项式乘单项式的逆运算，不符合题意
B 右边结果不是积的形式，不符合题意
C √
，符合题意
D 右边结果不是几个整式的积的形式，不符合题意
8．(2022·湖南株洲·七年级期中)已知a﹣b＝2，a2+b2＝20，则ab值是( )
A．﹣8 B．12 C．8 D．9
【答案】C
【分析】先求出(a-b)2，然后将a2+b2＝20代入即可求得ab．
【详解】解：∵(a-b)2=a2+b2-2ab=4，a2+b2＝20
∴20-2ab=4，解得：ab=8．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了运用完全平方公式变形求值，灵活应用完全平方公式和整体代入思想成为解答本
题的关键．
9．(2022·全国·八年级专题练习)已知 ，且 ，则 的最小值为( )
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】B
【分析】先根据已知求出 ，结合 求出 ，再把 变形为 进一步可得
答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B.
【点睛】本题主要考查了幂的乘方逆运算、解一元一次不等式，熟练掌握运算公式是解答本题的关键．
10．(2020·湖南·师大附中梅溪湖中学八年级阶段练习)在 的展开式中，不含x2和x项，则 ，
值分别为( )
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】C
【分析】根据多项式与多项式的乘法法则展开后，将含 与 的进行合并同类项，然后令其系数为0计算
即可．
【详解】
，
∵ 的展开式中，不含x2和x项，
∴ ， ，
解得 ， ，
故选：C．
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式的运算法则，注意：当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项
的系数为0．
11．(人教版2020年八年级上学期数学第十四章整式的乘法与因式分解全章综合训练)如图为杨辉三角系数
表，它的作用是指导读者按规律写出形如 (其中 为正整数)展开式的系数，例如：， ，那么 展开式中前四项的系数分别为
( )
A．1，5，6，8 B．1，5，6，10 C．1，6，15，18 D．1，6，15，20
【答案】D
【分析】由(a+b)=a+b， ， 可得 的各项展开
式的系数除首尾两项都是1外，其余各项系数都等于 的相邻两个系数的和，由此可得 的各
项系数依次为1、4、6、4、1； 的各项系数依次为1、5、10、10、5、1；因此 的系数分别
为1、6、15、20、15、6、1．
【详解】解：由杨辉三角系数表可以发现：
展开式中各项的系数除首尾两项都是1外，
其余各项系数都等于 的展开式中相邻两项系数的和，
则 展开式的各项系数依次为1,4,6,4,1；
展开式的各项系数依次为1,5,10,10,5,1；
则 展开式的各项系数依次为1,6,15,20,15,6,1，
∴前四项的系数分别为1,6,15,20．
故选D．
【点睛】本题考查了与完全平方公式相关的系数类的变化规律，读懂题意并根据所给的式子寻找系数之间
的规律，是快速解题的关键．
二、填空题(本题共8小题，每小题3分，共24分。)12．(2022·河南·南阳市第三中学八年级阶段练习)已知 ，则 _____．
【答案】 ##
【分析】逆向运用同底数幂的除法逆运用以及幂的乘方逆运算法则计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的除法逆运用以及幂的乘方逆运算，熟练掌握同底数幂的除法逆运用以
及幂的乘方逆运算法则．
13．(2022·全国·八年级专题练习)计算： =__________________；
【答案】
【分析】先计算积的乘方，然后根据多项式除以单项式进行计算即可求解．
【详解】解：原式＝
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了积的乘方，多项式除以单项式，正确的计算是解题的关键．
14．(2021·辽宁·鞍山市华育高新区学校八年级阶段练习)若 ， ， ，则 的值是
______．
【答案】
【分析】逆用幂的运算、同底数幂的乘法、同底数幂的除法法则计算即可．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴=
=
＝ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了逆用幂的运算、同底数幂的乘法、同底数幂的除法法则，掌握幂的运算法则是解答本
题的关键．
15．(2022·四川·西川中学南区七年级期中)已知 ，则 ______．
【答案】
【分析】逆向运用同底数幂的乘除法法则求解即可．
【详解】解： ，
，
，
，
即 ，
．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘除法，熟练掌握幂的运算法则是解答本题的关键．
16．(2022·甘肃·甘州区金安苑学校七年级期末)代数式 是完全平方式，则 ______ ．
【答案】 或
【分析】根据完全平方公式即可求出答案．
【详解】解： ，
，
，
或 ．
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式．
17．(2022·辽宁·丹东市第六中学七年级期末)若 ，则 的值为 _______．
【答案】11040
【分析】利用完全平方公式列出关系式，把各自的值代入计算即可求出所求．
【详解】解：∵ ， ，
∴
，
故答案为：11040．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
18．(2022·江苏·南京市金陵中学河西分校七年级期末)已知 ， ，则 ______．
【答案】5
【分析】利用完全平方公式计算即可求出所求．
【详解】解： ①， ②，
①+②得： ，
则 ，
故答案为：
【点睛】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
19．(安徽省涡阳县王元中学2019-2020学年七年级下学期第二次月考数学试提)在日常生活中如取款、上网
等都需要密码，有一种用“因式分解法”产生的密码，方便记忆，原理是：对于多项式x4－y4，因式分解
的结果是(x－y)(x＋y)(x2＋y2)，若取x＝9，y＝9时，则各个因式的值是：(x＋y)＝18，(x－y)＝0，(x2＋y2)＝
162，于是就可以把“180162”作为一个六位数的密码，对于多项式16x3－xy2，取x＝10，y＝10时，用上述
方法产生的密码是_______________(写出一个即可)．
【答案】105030或103050或301050或305010或501030或503010(任选其一即可)
【分析】先将其因式分解，然后将x和y的值分别代入各个因式中即可求出结论．
【详解】解：16x3－xy2
=x(16x2－y2)
= x(4x＋y)(4x－y)当x＝10，y＝10时，4x＋y=50，4x－y=30
∴用上述方法产生的密码是105030或103050或301050或305010或501030或503010
故答案为：105030或103050或301050或305010或501030或503010(任选其一即可)．
【点睛】此题考查的是因式分解的应用，掌握利用提公因式法和平方差公式因式分解是解决此题的关键．
三、解答题
20．简算(共15分)
(1)
(2)
(3)1102-109×111.
(4)2008＋20082－20092；
(5)3.14×512－3.14×492．
【答案】(1)999999 (2)9610 (3)1. (4)-2009 (5)628
【解析】
(1)
解：
(2)
(3)原式＝1102－(110－1)×(110＋1)＝1102－1102＋1＝1.
(4)2008＋20082－20092=2008+(2008+2009)(2008-2009)=2008-(2008+2009)
=-2009.
(5)3.14×512－3.14×492= 3.14×(512－492)
=3.14×(51+49)(51-49)
=3.14×100×2
=628.
21．(山东省济南市历城区2020-2021学年七年级下学期期末考试数学试卷)(6分)先化简，再求值：(a－2b)
(a＋2b)－(a－2b)2＋8b，其中a＝－6，b＝ ．
【答案】 ，
【分析】先分别利用平方差公式和完全平方公式展开，再合并同类项即可，最后把a、b的值代入化简后的
算式中即可求得代数式的值．
【详解】解：(a－2b)(a＋2b)－(a－2b)2＋8b
当a＝－6，b＝ 时，原式
【点睛】本题考查了乘法公式的应用，关键是熟练掌握两个乘法公式．
22．(江西省宜阳学校2019-2020学年八年级上学期期中数学试题)(10分)如图1，是一个长为 、宽为
的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
(1)图2中阴影部分的面积为________；(2)观察图(2)，请你写出三个代数式 之间的等量关系式：________．
(3)根据(2)中的结论，若 ，则 ________．
(4)有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示．如图3，它表示了 ．试画
一个几何图形，使它的面积能表示 ．
【答案】(1) ；(2) ；(3) ；(4)画图见解析．
【分析】(1)阴影部分的边长为小长方形的长减去宽，即m-n，各角均为直角，可得；
(2)根据大正方形面积等于边长的平方或小正方形面积加4个小长方形面积的两种不同算法，可得等式；
(3)根据(2)中结论，得(x-y)2=(x+y)2-4xy，据此可得答案；
(4)画出长m+2n，宽m+n的长方形即可．
【详解】解：(1)右图可得小正方形的边长为 ，则它的面积为 ；
故答案为：
(2)大正方形的边长为 ，则它的面积为 ，另外，大正方形的面积可用4个小长方形和1个小正
方形表示，即 ，所以有 ；
故答案为：
(3)由(2)可知： ，将 代入该式得
(x-y)2=(x+y)2-4xy=36-4×2.75=25，
∴
故答案为：
(4)答案不唯一
例如：【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，注意仔细观察图形，表示出各图形的面积是关键．
23．(人教版2020年八年级上学期数学第十四章整式的乘法与因式分解全章综合训练)(12分)仔细阅读下面
的例题，解答问题：
例：已知二次三项式 有一个因式是 ，求另一个因式以及 的值．
解：设另一个因式为 ，得 ，
则 ，
解得
∴另一个因式为 的值为 ．
仿照以上方法解答问题：
(1)已知二次三项式 有一个因式是 ，求另一个因式以及 的值；
(2)若二次三项式 可分解为 ，求 的值；
(3)若二次三项式 可分解为 ，求 的值．
【答案】(1)另一个因式为 的值为3；(2) ；(3) ．
【分析】(1)设另一个因式为(x+t)，得2x2-5x+k=(2x-3)(x+t)=2x2+(2t-3)x-3t，可知2t-3=-5，k=-3t，继而求出t
和k的值及另一个因式．
(2)将(x-2)(x+a)展开，根据所给出的二次三项式即可求出a的值；(3)(2x-1)(x+5)展开，可得出一次项的系数，继而即可求出b的值；
【详解】(1)设另一个因式为 ，得
，
则
解得
故另一个因式为 的值为3．
(2) ，
解得 ．
(3) ，
．
【点睛】本题考查因式分解的意义，解题关键是对题中所给解题思路的理解，同时要掌握因式分解与整式
乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．
