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专题 08 截长补短类压轴题真题分类（原卷版）
专题简介：本份资料把收集到的截长补短类压轴题细分为四种类型，其中把截长的技巧总结成三种
类型：作高截长、等边三角形中作平行线截长、在长边上硬截一段等于其中一条短边，基本覆盖了各名
校系常考的截长补短压轴题的主流考法。适合于培训机构的老师给学生作专题复习培训时使用或者尖子
生冲刺压轴题高分时刷题使用。
截长：在较长的线段上截取另外两条较短的线 补短：选取两条较短线段中的一条进行延长，使得
段。 较短的两条线段共线并寻求解题突破。
如图所示，在BF上截取BM=DF，易证 如图所示，延长GC至N，使CN=DF，易证
△BMC≌△DFC（SAS），则MC=FC=FG， △CDF≌△BCN（SAS），
∠BCM=∠DCF， 可得CF=FG=BN，∠DFC=∠BNC=135°，
可得△MCF为等腰直角三角形，又可证 又知∠FGC=45°，可证BN∥FG，于是四边形BFGN
∠CFE=45°，∠CFG=90°， 为平行四边形，得BF=NG，
∠CFG=∠MCF，FG∥CM，可得四边形CGFM为平 所以BF=NG=NC+CG=DF+CG.
行四边形，则CG=MF，于是
BF=BM+MF=DF+CG.
题型一：作高截长
1.（雅礼）图1，已知Rt△ABC，∠B＝90°，以AC边作正方形ACMD，过点D作AB边上的高DE，交AB于
E点。
⑴试证明：△DAE≌△ACB；
⑵若△ABC为锐角三角形(如图2)，则以AC、BC边作正方形ACMD和正方形BCNG，分别过点D、G作AB边
上的垂线DE、GF，交AB于E、F两点，试比较线段GF＋DE与线段AB的大小，并说明理由。
2.(师大博才)如图， ， ， ， ，垂足为F.
(1)求证： ；
(2)求∠FAE的度数；(3)求证： .(提示：可过A作CD的垂线段)
题型二：等边三角形中作平行线截长
3.(广益)如图1，已知△ABC和△EFC都是等边三角形，且点E在线段AB上.
(1)过点E作 交AC于点G，试判断△AEG的形状并说明理由；
(2)求证： ；
(3)如图2，若点D在射线CA上，且 ，求证： .4.(北雅)已知：△ABC为等边三角形，点E为射线AC上一点，点D为射线CB上一点， .
(1)如图1，当E在AC的延长线上且 时，求证 ；
(2)如图2，当E在AC的延长线上时， 等于AE吗？请说明理由；
(3)如图3，当D在线段CB的延长线上，E在线段AC上时，请直接写出AB、BD、AE的数量关系，并证
明.
延长线上一动点,与点P同时以2厘米/每秒的相同速度由B向CB延长线方向运动(Q不与B重合)，过P作
PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D. 设运动时间为t秒。
(1)用含t的式子表示：AP=______，AE=______，BE=______.
(2)当∠BQD=30∘时，求AP的长；
(3)在运动过程中线段ED的长是否发生变化?如果不变，求出线段ED的长；如果发生改变，请说明理由。题型三：在长边上硬截一段等于其中一条短边
6. 如图1，分别过线段AB的端点A、B作直线AM、BN，且AM∥BN，∠MAB、∠NBA的角平分线交
于点C，过点C的直线l分别交AM、BN于点D、E．
（1）求证：△ABC是直角三角形；
（2）在图1中，当直线l⊥AM时，线段AD、BE、AB之间有怎样的数量关系？证明你的猜想；
（3）当直线l绕点C旋转到与AM不垂直时，在如图2、3两种情况下，（2）中的三条线段之间又有怎
样的数量关系？请写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．
7．（2021春•雨花区校级期末）已知AM∥BN，AE平分∠BAM，BE平分∠ABN，
（1）求∠AEB的度数．
（2）如图2，过点E的直线交射线AM于点C，交射线BN于点D，求证：AC+BD＝AB；
（3）如图3，过点E的直线交射线AM的反向延长线于点C，交射线BN于点D，AB＝5，AC＝3，
S△ABE ﹣S△ACE ＝2，求△BDE的面积．8. （中雅）已知 ΔABC 为等边三角形，取 ΔABC 的边 AB 、 BC 中点D、E，连接 DE ，如图1，易证
ΔDBE 为等边三角形，将ΔDBE 绕点B顺时针旋转，设旋转的角度∠ABD=α
，其中
0°<α<180°
.
（1）如图2，当
α=30°
时，连接
AD
、
CE
，求证：
AD=CE
；
（2）在ΔDBE 旋转过程中，当α 超过一定角度时，如图3，连接 AD 、 CE 会交于一点，记交点为点F，
AD 交 BC 于点P， CE 交 BD 于点 Q ，连接 BF ，请问 BF 是否会平分∠CBD ？如果是，求出α ，如
果不是，请说明理由；
AF BF CF
（3）在第（2）问的条件下，试猜想线段 、 和 之间的数量关系，并说明理由.
C
C
C
E
D
E F
D
Q
P
E
A D B A B A B
图1 图2 图39．（2021秋•天心区校级月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线交BC于点D，
过D作DE⊥BA于点E，点F在AC上，且BD＝DF．
（1）求证：AC＝AE；
（2）求证：∠BAC+∠FDB＝180°；
（3）若AB＝9.5，AF＝1.5，求线段BE的长．
10．（雅实）如图1，△ACB为等腰三角形，∠ABC＝90°，点P在线段BC上（不与B，C重合），以AP
为腰长作等腰直角△PAQ，QE⊥AB于E．
（1）求证：△PAB≌△AQE；
（2）连接CQ交AB于M，若PC＝2PB，求 的值；
（3）如图2，过Q作QF⊥AQ交AB的延长线于点F，过P点作DP⊥AP交AC于D，连接DF，当点
P在线段BC上运动时（不与B，C重合），式子 的值会变化吗？若不变，求出该值；若变化，
请说明理由．11．(长郡)（1）如图1，已知∠EOF＝120°，OM平分∠EOF，A是OM上一点，∠BAC＝60°，且与OF、OE
分别相交于点B、C，求证：AB＝AC；
（2）如图2，在如上的（1）中，当∠BAC绕点A逆时针旋转使得点B落在OF的反向延长线上时，
（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由；
（3）如图3，已知∠AOC＝∠BOC＝∠BAC＝60°，求证：①△ABC是等边三角形； ②OC＝OA+OB．题型四：补短类
12．（2020•天心区开学）把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形 ACBD以D为顶点作
∠MDN，交边AC、BC于M、N．
（1）若∠ACD＝30°，∠MDN＝60°，当∠MDN绕点D旋转时，AM、MN、BN三条线段之间有何种数
量关系？证明你的结论；
（2）当∠ACD+∠MDN＝90°时，AM、MN、BN三条线段之间有何数量关系？证明你的结论；
（3）如图③，在（2）的条件下，若将M、N改在CA、BC的延长线上，完成图3，其余条件不变，
则AM、MN、BN之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明）13.如图1，点A、D在y轴正半轴上，点B、C分别在x轴上，CD平分∠ACB与y轴交于D点，∠CAO=90°-
∠BDO．
（1）求证：AC=BC；
（2）如图2，点C的坐标为（4，0），点E为AC上一点，且∠DEA=∠DBO，求BC+EC的长；
（3）在（1）中，过D作DF⊥AC于F点，点H为FC上一动点，点G为OC上一动点，（如图3），当H在
FC上移动、点G点在OC上移动时，始终满足∠GDH=∠GDO+∠FDH，试判断FH、GH、OG这三者之间的数量
关系，写出你的结论并加以证明．
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1414.（雅礼）在△ABC中，AB＝AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G．一等腰直角三角尺按如图1所示的位
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置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B．
（1）在图1中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你
的猜想；
（2）当三角尺沿AC方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边
交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于点E．此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出
DE+DF与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想．
(3)当三角尺在(2)的基础上沿AC方向继续平移到图3所示的位置(点F在线段AC上,且点F与点C不重合)时,
(2)中的猜想是否仍然成立(不用说明理由).
