文档内容
专题 09 一元一次方程的应用题 十二大题型
一元一次方程的应用题属于必考题，需要完全掌握各个类型的应用题，该专题将应用题分为分段计费、
方案优化选择、行程问题、工程问题、商品销售问题、比赛积分问题、日历问题（数字问题）、配套问题、
调配问题、和差倍分问题（比例问题）、几何图形问题等共进行方法总结与经典题型进行分类。
1.用一元一次方程解决实际问题的一般步骤
列方程解应用题的基本思路为：问题 方程 解答．由此可得解决此类
题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答．
注意：
（1）“审”指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，及它们之间的关系，寻找等量
关系；
（2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数；
（3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类
量，单位要统一；
（4）“解”就是解方程，求出未知数的值．
（5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可；
（6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚．
2 .建立书写模型常见的数量关系
1）公式形数量关系：生活中许多数学应用情景涉及如周长、面积、体积等公式。在解决这类问题时，必
须通过情景中的信息，准确联想有关的公式，利用有关公式直接建立等式方程。
长方形面积=长×宽 长方形周长=2（长+宽） 正方形面积=边长×边长 正方形周长=4边长
2）约定型数量关系：利息问题，利润问题，质量分数问题，比例尺问题等涉及的数量关系，像数学中的
公式，但常常又不算数学公式。我们称这类关系为约定型数量关系。
3）基本数量关系：在简单应用情景中，与其他数量关系没有什么差别，但在较复杂的应用情景中，应用
方法就不同了。我么把这类数量关系称为基本数量关系。
单价×数量=总价 速度×时间=路程 工作效率×时间=总工作量等。
3.分析数量关系的常用方法
1）直译法分析数量关系：将题中关键性的数量关系的语句译成含有未知数的代数式，并找出没有公国的
等量关系，翻译成含有未知数的等式。
2）列表分析数量关系：当题目中条件较多，关系较复杂时，要列出表格，把已知量和未知量填入表格，
利用表格进行分析。这种方法的好处在于把已知量和未知量“对号入座”，便于正确理解各数量之间的关系。
3）图解法分析数量关系：用图形表示题目中的数量关系，这种方法能帮助我们透彻地理解题意，并可直
观形象的体会题意。在行程问题中，我们常常用此类方法。
题型1 分段计费问题
【解题技巧】总费用=未超标部分的费用+超标部分的费用。
已知费用求x需判定x的所属范围；若无法知道费用对应的具体范围时，需对其进行不同范围的分类讨论。
注：需审题仔细，看清计费标准是否有“超过部分”。
常见试题背景：水费、电费、气费、车费、纳税、社保医保体系等
1．（2022·四川德阳·七年级期末）保险公司的汽车保险，汽车修理费是按分段赔偿，具体赔偿细则如下表．
某人在汽车修理后在保险公司得到的赔偿金额是2000元，那么此人的汽车修理费是（ ）元．
汽车修理费x元 赔偿率
0＜x≤500 60%
500＜x≤1000 70%
1000＜x≤3000 80%
… …
A．2687 B．2687.5 C．2688 D．2688.5
2．（2022·湖北恩施·七年级期末）某城市出租车收费标准如下：3下米以内（含3千米）收费5元，超过3
千米的部分每千米加收2元（不足一千米按一千米计算）．
(1)若乘坐出租车行驶 千米（ 为整数），完成下列表格．
行驶里程（千
应付车费（元）
米）
(2)周末小华的爷爷准备乘坐出租车到12千米外小华的姑姑家去，但他只有20元钱，爷爷能够全程乘坐出
租车吗？如果能够，他要付多少元车费？如果不能，他至少还要步行几千米？
3．（2022·辽宁铁岭·七年级期末）甲、乙两家超市以相同的价格出售相同的商品，为了吸引顾客，各自推
出不同的优惠方案：在甲超市累计购买商品超出200元之后，超出部分按8折优惠；在乙超市累计购买商
品超出100元之后，超出部分按9折优惠．设顾客预计购买x元（ ）的商品．(1)请用含x的代数式分别表示顾客在甲、乙两家超市购物应付的费用；
(2)小明准备购买500元的商品，你认为他应该去哪家超市？请说明理由；
(3)小明购买多少元的商品时，到两家超市购物所付的费用一样？
4．（2022·浙江丽水·三模）电信公司推出移动电话A， 两种套餐计费方法，收费标准如下表，一个月累
计通话时间记为 （分）．
A计费方法 计费方法
月租费（元/月） 58 88
不加收通话费时限（分） 150 350
超时部分加收通话费标准（元/分） 0.25 0.20
(1)若 ，则选用哪种套餐话费少？通过计算说明．(2)当 时，按这两种计费方法，所需的
话费会相等吗？若会，求 的值；若不会，说明理由．(3)用A套餐时，一个月累计通话时间410分所需的
话费，若改用 套餐，则可多通话多少分钟？
5．（2022·聊城市茌平区实验中学七年级期末）为鼓励居民节约用电，某省试行阶段电价收费制，具体执
行方案如表：
档次 每户每月用电数 度 执行电价 元 度
第一档 小于等于200部分第二档 大于200且小于等于400部分
第三档 大于400部分
（1）若一户居民七月份用电420度，则需缴电费多少元？（2）若一户居民某月用电x度 大于200且小
于 ，则需缴电费多少元？ 用含x的代数式表示 （3）某户居民五、六月份共用电500度，缴电费262
元．已知该用户六月份用电量大于五月份，且五、六月份的用电量均小于400度，问该户居民五、六月份
各用电多少度？
6．（2022·浙江绍兴市·七年级期中）鼓励市民节约用水，自来水公司采用阶梯收费，下表为用水收费标准．
用水量（立方米） 水费到户价格（元/立方米）
不超过14的部分
超过14到30的部分
…… ……
（1）小王家6月用水 ，付水费25元，求 的值．
（2）小王家7月用水 ， ，用 的代数式表示水费，求用水 时的水费．
题型2.方案优化问题
解题技巧：此类题型，一般会提供多种方案供选择，要求我们选出最合算的方案。解此类题型有2种思路。
思路1：分别求解出每种方案的最终费用，在比较优劣
思路2：求解出每种方案费用相同时的临界点，在根据临界点进行讨论分析。
1．（2022·山东烟台·七年级期末）22年冬奥会开幕式上，烟台莱州武校的健儿们参演的立春节目让全世界
人民惊艳和动容，小明想知道这震撼人心的队伍的总人数．张老师说你可以自己算算：若调配55座大巴若
干辆接送他们，则有8人没有座位；若调配44座大巴接送，则用车数量将增加两辆，并空出3个座位，你
能帮小明算出一共去了_______名健儿参演节目吗？2．（2022·海南·海口中学七年级期末）某学校组织七年级同学参加社会实践活动，计划前往博物馆参观；
若博物馆的门票只能当日有效，且价格规定如表：
购票张数 1～49张 50～99张 100张以上
每张门票的价格 15元 12元 9元
现有七年级三个班共129人参观，其中每个班都不足50人；(1)若学校为七年级集体购票，共需购票款多
少元？(2)因七年一班需要在校参加另外一项活动，参观时间另外安排，这样学校两次购票共花费1674元，
求七年一班有多少学生？(3)当七年一班去博物馆参观时，班长同学采取了新的购票方案，结果比（2）中
方案省钱，你知道班长是如何购票的吗？请计算班长同学节约了多少钱．
3．（2022·新疆塔城·七年级期末）北京某景区，门票价格规定如下表：
购票张数 1～50张（包含50张） 50～100张（不包含50张） 100张以上
每张票的价
60元 50元 40元
格
某校七年级（1）、（2）两个班共102人去该景区游玩，其中（1）班人数多于（2）班人数，且（1）班人
数不足100人，如果两个班分别以班为单位单独购买门票，一共应付5500元．(1)去该景区游玩的七年级
（1）班和（2）班各有多少学生？(2)如果七年级（1）班有12名学生因需参加学校竞赛不能外出游玩，
（2）班学生可以全员参加游玩，作为组织者，你有几种购票方案？通过比较，你该如何购票才能最省钱？
4．（2022·绵阳市·七年级课时练习）某种圆珠笔的售价是每支2元，甲、乙两家文具店均有促销活动：甲
文具店全部九折，乙文具店20支及以下不打折，超过20支的部分打八折．设小明需要购买的圆珠笔的数
量为x，根据题意回答下列问题：(1)若购买超过20支的圆珠笔，则在甲文具店需要花费 元，在乙
文具店需要花费 元．（用含x的代数式表示）(2)当x＝25时，选择哪家文具店更优惠？当x＝50
呢？(3)随着x的变化，试说明选择哪家文具店更优惠．5．（2022·广西贵港·七年级期末）某同学在A，B两家超市发现他看中的随身听的单价相同，书包单价也
相同，随身听和书包单价之和是452元，且随身听的单价比书包单价的4倍少8元．
(1)求该同学看中的随身听和书包单价各是多少元？
(2)某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，超市A所有商品打八五折销售，超市B全场购物每满100元返
购物券30元销售（不足100元不返券，购物券全场通用），但他只带了400元钱，如果他只在一家超市购
买看中的这两样物品，你能说明他可以选择哪一家购买吗？若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？
6．（2022·吉林长春外国语学校八年级开学考试）为拓宽学生视野，某中学决定组织部分师生去庐山西海
开展研学旅行活动，在参加此次活动的师生中，若每位老师带19个学生，还剩11个学生没人带；若每位
老师带20个学生，就有一位老师少带7个学生，为了安全，既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆客
车上至少要有2名老师．现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示．
甲种客车 乙种客车
载客量/（人/辆） 30 50
租金/（元辆） 300 400
（1）参加此次研学旅行活动的老师和学生各有多少人？
（2）这次活动全部租甲种客车行吗？如果行，怎样安排；如果不行，请说明理由．
（3）学校计划此次研学旅行活动的租车总费用不超过4100元，租用乙种客车不少于7辆，你能得出哪几
种不同的租车方案？其中哪种租车方案最省钱？请说明理由．
题型3 行程问题
解题技巧：行程问题总公式为：路程=速度×时间。
解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析．
行程问题可分为四大类，不同类型的问题，在求解速度时有所不同，具体如下：
①相遇问题（或相向问题）：
V ⋅t+V ⋅t=(V +V )⋅t=AB⇒
甲 乙 甲 乙 速度和×时间=总路程②追及问题：
同时不同地：
V ⋅t−V ⋅t=(V −V )⋅t=AB⇒
甲 乙 甲 乙 速度差×时间=起点间的距离
同地不同时：
V ⋅t−V ⋅t=(V −V )⋅t=V ⋅t =AB⇒
甲 乙 甲 乙 乙 先 速度差×时间=先行路程
不同时不同地：
V ⋅t−V ⋅t=(V −V )⋅t=AB+V ⋅t =AB+BC⇒
甲 乙 甲 乙 乙 先 速度差×时间=起点间的距离+先行路程
③航行问题：（1）顺流速度=静水速度+水流速度；（2）逆流速度=静水速度-水流速度。
④火车过桥问题：火车过桥问题是一种特殊的行程问题，需要注意的是从车头至桥起，到车尾离桥止，火
车所行距离等于桥长加上车长，列车过桥问题的基本数量关系为：车速×过桥时间=车长+桥长。
1．（2022·仁寿县七年级期中）甲在乙后12千米处，甲的速度为7千米/小时，乙的速度为5千米/小时，
现两人同向同时出发，那么甲从出发到刚好追上乙所需要时间是( )
A．5小时 B．1小时 C．6小时 D．2.4小时
2．（2022·陕西·西安七年级期末）古代名菩《算学启蒙》中有一题：良马日行二百四十里，驽马日行一百
五十里.驽马先行一十二日，问良马几何追及之？意思是：两匹马从同一地点出发，跑得快的马每天走240
里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，则由题
意，可列方程为（ ）
A．240x＝150x+12×150 B．240x＝150x﹣12×150
C．240（x﹣12）＝150x+150 D．240x+150x＝12×150
3．（2022·四川内江·）2020年12月30日，连云港市图书馆新馆正式开馆．小明同学从家步行去图书馆，
他以 的速度行进 后，爸爸骑自行车以 的速度按原路追赶小明．设爸爸出发 后与小明
会合，那么所列方程正确的是（ ）A． B． C． D．
4．（2022·哈尔滨德强学校七年级期中）一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶，用了2小时；从乙码头返回
甲码头逆流行驶，用了2.5小时．若水流速度是3千米/时，则甲、乙两码头之间的距离是_____千米．
5．（2022·山西浑源·初一期末）综合与实践：
甲乙两地相距900千米，一列快车从甲地出发匀速开往乙地，速度为120千米/时；快车开出30分钟时，
一列慢车从乙地出发匀速开往甲地，速度为90千米/时．设慢车行驶的时间为x小时，快车到达乙地后停
止行驶，根据题意解答下列问题：（1）当快车与慢车相遇时，求慢车行驶的时间；
（2）当两车之间的距离为315千米时，求快车所行的路程；
（3）①在慢车从乙地开往甲地的过程中，直接写出快慢两车之间的距离；（用含x的代数式表示）
②若第二列快车也从甲地出发匀速驶往乙地，速度与第一列快车相同，在第一列快车与慢车相遇后30分钟
时，第二列快车与慢车相遇，直接写出第二列快车比第一列快车晚出发多少小时．
6．（2022·广东郁南·初一期末）某中学学生步行到郊外旅行，七年级 班学生组成前队，步行速度为4
千米 小时，七 班的学生组成后队，速度为6千米 小时；前队出发1小时后，后队才出发，同时后队
派一名联络员骑自行车在两队之间不间断地来回联络，他骑车的速度为10千米 小时．
后队追上前队需要多长时间？ 后队追上前队的时间内，联络员走的路程是多少？ 七年级 班
出发多少小时后两队相距2千米？
题型4工程问题
【解题技巧】我们常常把工作总量看做单位“1”，工作效率则用几分之几表示。在工程问题中，常常用
“不同的对象所完成的工作量之和等于总工作量”这个关系来列写等式方程。
工程问题关键是把“一项工程”看成单位“1”，工作效率就可以用工作时间的倒数来表示。复杂的工程
问题，往往需要设多个未知数，不要担心，在求解过程中，有一些未知数是可以约掉的。
1．（2022·河南新乡·七年级阶段练习）已知一项工程，甲单独完成需要5天，乙单独完成需要10天，现
先由甲单独做2天，然后再安排乙与甲合作完成剩下的部分，则完成这项工程共耗时( )A．1天 B．2天 C．3天 D．4天
2．（2022·仁寿县七年级期中）一项工程，甲单独做需20天完成 ，乙单独做需15天完成，现在先由甲、
乙合作若干天后，剩下的部分由乙独做，先后共用12天，请问甲做了多少天？
3．（2022·河南南阳·七年级期中）某厂接到一所中学的冬季校服定做任务，计划用 、 两台大型设备进
行加工，如果单独用 型设备，需要45天做完；如果单独用 型设备，需要30天做完；为了同学们能及
时领到冬季校服，工厂决定由两台设备同时赶制．
(1)填空： 型设备的工作效率是_________， 型设备的工作效率是_________；
(2)若两台设备同时加工10天后， 型设备出了故障，暂时不能工作，如果由 型设备单独完成剩下的任
务，则还需要多少天？
4．（2022·河南信阳·七年级期末）为推进我国“碳达峰、碳中和”双碳目标的实现，各地大力推广分布式
光伏发电项目．某公司计划建设一座光伏发电站，若由甲工程队单独施工需要3周，每周耗资8万元，若
由乙工程队单独施工需要6周，每周耗资3万元．
(1)若甲、乙两工程队合作施工，需要几周完成?共需耗资多少万元?
(2)若需要最迟4周完成工程，请你设计一种方案，既保证按时完成任务，又最大限度节省资金．（时间按
整周计算）
5．（2022·广东初一课时练习）松雷中学原计划加工一批校服，现有甲、乙两个工厂都想加工这批校服，
已知甲工厂每天能加工这种校服16件，乙工厂每天能加工这种校服24件．且单独加工这批校服甲工厂比
乙工厂要多用20天在加工过程中，学校每天需付甲工厂费用80元，乙工厂费用120元．
（1）这批校服共有多少件？
（2）在实际加工过程中，甲、乙两个工厂按原生产效率合作一段时间后，甲工厂停工了，乙工厂每天的
生产效率提高25%，乙工厂单独完成剩余部分，且乙工厂的全部工作时间比甲工厂工作时间的2倍还多4
天，则乙工厂共加工多少天？
（3）经学校研究制定如下方案：方案一：由甲工厂单独完成；方案二：由乙工厂单独完成；方案三：按
第（2）问方式完成并且每种方案在加工过程中，每个工厂需要一名工程师进行技术指导，并由学校提供每天10元的午餐补助费，请你通过计算帮学校选择一种既省时又省钱的加工方案．
6．（2022·四川汶川·初一期末）某中学库存若干套桌椅，准备修理后支援贫困山区学校．现有甲、乙两修
1
理组，甲修理组单独完成任务需要12天，乙修理组单独完成任务需要24天． 若由甲、乙两修理组同
2
3
时修理，需多少天可以修好这些套桌椅? 若甲、乙两修理组合作 天后，甲修理组因新任务离开，乙修
3
理组继续工作．甲完成新任务后，回库与乙又合作 天，恰好完成任务．问:甲修理组离开几天?
题型5 商品销售问题
【解题技巧】此类题型，需要我们找出利润和利润率之间的关系来列写等式方程。
实际售价＝标价×打折率 利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率
利润
利润率= 100%
进价
标价＝成本(或进价)×(1＋利润率)
注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损.打几折就是按标价
的十分之几或百分之几十销售．
在解决复杂商品销售问题时，通常会多设原价为a这个未知数，虽然在解题过程中，这个未知数会被消掉。
但是，若不设这个未知数，许多关系就不好表达了。
1．（2022·河北·邢台市开元中学七年级阶段练习）两件商品都卖84元，其中一件亏本20%，另一件赢利
40%，则两件商品卖后（ ）
A．赢利16.8元 B．亏本3元 C．赢利3元 D．不赢不亏
2．（2022·甘肃·永昌县第六中学七年级期末）一件夹克衫先按成本价提高70%标价，再将标价打7折出售，
结果获利38元．设这件夹克衫的成本价是x元，那么依题意所列方程正确的是( )
A．70%（1+70%）x＝x+38 B．70%（1+70%）x＝x﹣38
C．70%（1+70%x）＝x﹣38 D．70%（1+70%x）＝x+383．（2022·重庆江津·七年级期末）在六一儿童节期间，某商家推出零食大礼包，包含薯片、辣条、果冻三
种零食．礼包的成本是三种零食成本之和．每个礼包中薯片、辣条、果冻成本之比为 ： ： ，其中薯片
的利润率为 ，果冻的利润率为 ，且每个礼包的总利润率为 ，则辣条的利润率为______．
4．（2022·重庆·黔江区育才初级中学校七年级期中）文峰文具店分两次购进一款礼品盲盒共70盒，总共
花费960元，已知第一批盲盒进价为每盒15元，第二批盲盒进价为每盒12元．
(1)文具店老板计划将每盒盲盒标价20元出售，销售完第一批盲盒后，再打八折销售完第二批盲盒，按此
计划该老板总共可以获得多少利润？(2)在实际销售中，该文具店老板在以（1）中标价销售完m盒后，决
定搞一场促销活动，尽快清理库存．老板先将标价提高到每盒40元，再推出活动：购买两盒，第一盒七折，
第二盒半价，不单盒销售．售完所有盲盒该老板共获利600元，求m的值．
5．（2022·福建·福州时代中学七年级期末）某社区超市第一次用6000元购进一批甲乙两种商品，其中甲
商品的件数比乙商品件数的2倍少30件，两件商品的进价和售价如下图所示：
(1)超市购进的这批货中甲乙两种商品各有多少件？
(2)该超市第二次分别以第一次同样的进价购进第二批甲乙两种商品，其中乙商品的件数是第一批乙商品件
数的3倍，甲商品件数不变，甲商品按照原售价销售，乙商品在原价的基础上打折销售，第二批商品全部
售出后获得的总利润比第一批获得的总利润多720元，求第二批乙商品在原价基础上打几折销售？
甲 乙
进价（元/件） 22 30
售价（元/件） 29 40
6．（2022·重庆九龙坡·）一水果店第一次购进400kg西瓜，由于天气炎热，很快卖完．该店马上又购进了
800kg西瓜，进货价比第一次每千克少了0.5元．两次进货共花费4400元．（1）第一次购进的西瓜进价每
千克多少元；（2）在销售过程中，两次购进的西瓜售价相同．由于西瓜是易坏水果，从购进到全部售完
会有部分损耗．第一次购进的西瓜有4%的损耗，第二次购进的西瓜有6%的损耗，该水果店售完这些西瓜
共获利2984元，则每千克西瓜的售价为多少元．题型6 比赛积分问题
解题技巧：此类问题，主要是通过积分来列写等式方程。需要注意，有些比赛结果只有胜负；有的比赛结
果又胜负和平局。
比赛总场数=胜场数+负场数+平场数 比赛积分=胜场积分+负场积分+平场积分
1．（2022·陕西咸阳·七年级开学考试）甲、乙两队开展足球对抗赛，规定每队胜一场得3分，平一场得1
分，负一场得0分．甲队与乙队一共比赛了10场，甲队保持了不败记录，一共得了22分，设甲队胜了x
场，则列方程为（ ）
A．x-3（10-x）=22 B．3x-（10-x）=22 C．x+3（10-x）=22 D．3x+（10-x）=22
2．（2022·湖南邵阳·七年级期末）在一次读报知识竞赛中，其有30道题，答对每题得4分，答错或不答
每题扣2分，最后小明得分为90分，则小明答对了______道题．
3．（2022·黑龙江省二九一农场中学七年级期末）一次足球赛11轮(即每队均需赛11场)，胜一场记2分，
平一场记1分，负一场记0分，北京国安队所胜场数是所负场数的2倍，结果共得14分，求国安队共胜了
__________场．
4．（2022·云南玉溪·七年级期末）为庆祝“建党100周年”，某学校组织“学党史”知识竞赛，共设20
道选择题，每题必答，答对1题得5分，答错1题扣1分，参赛者小红得88分，则她答对几道题？
5．（2022·山东滨州·七年级期末）某年全国男子篮球联赛某赛区有圣奥（山西）、香港、悦达（南京军
区）、济源（河南）、三沟（辽宁）、广西、丰绅（黑龙江）等球队参加，积分情况如下：
比赛场
球队名称 胜场 负场 积分
次
悦达 12 11 1 23
香港 12 9 3
济源 12 8 4
圣奥 12 6 6 18
丰绅 12 5 7 17
广西 12 3 9 15
三沟 12 0 12 12
(1)观察上面表格，请直接写出篮球联赛胜一场积多少分，负一场积多少分；(2)若设负场数为m，请用含m
的式子表示某一个队的总积分；(3)某队的胜场总积分能等于它的负场总积分的4倍吗？说明理由．6．（2022·湖北武汉市·七年级期末）下表为某篮球比赛过程中部分球队的积分榜（篮球比赛没有平局）．
球队 比赛场次 胜场 负场 积分
A 12 10 2 22
B 12 9 3 21
C 12 7 5 19
D 11 6 5 17
E 11 ··· ··· 13
（1）观察积分榜，请直接写出球队胜一场积 分，负一场积 分；（2）根据积分规则，请
求出E队已经进行了的11场比赛中胜、负各多少场？（3）若此次篮球比赛共18轮（每个球队各有18场比
赛），D队希望最终积分达到32分，你认为有可能实现吗？请说明理由．
题型7 配套问题
【解题技巧】因工艺上的特点，某几个工序之间存在比例关系，需这几道工序的成对应比例才能完全配套
完成，这类题型为配套问题。配套问题，主要利用配套的比例来列写等式方程。
“配套”型应用题中有三组数据：（1）车间工人的人数；（2）每人每天平均能生产的不同的零件数；
（3）不同零件的配套比。利用（3）得到等量关系，先构造分式方程，再利用比例的性质交叉相乘积相等
得到一元一次方程。
1．（2022·宁夏·七年级期末）新冠状肺炎疫情正在全球蔓延肆虐，口罩成了人们生活中必不可少的物品．
某口罩厂有50名工人，每人每天可以生产800个口罩面或1000个口罩耳绳，一个口罩面需要配两个耳绳，
为使每天生产的口罩刚好配套，设安排 名工人生产口罩面，则下面所列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·四川·岳池县七年级阶段练习）某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺钉或2000个螺
母，1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排________名工人生产螺钉．
3．（2022·新疆塔城·七年级期末）制作一张桌子要用1个桌面和4条桌腿，1立方米木材可制作20个桌面，
或者制作400条桌腿，现在有30立方米木材，应怎样计划用料才能制作尽可能多的桌子？4．（2022·四川广安·七年级期末）某车间有94个工人，生产甲、乙两种零件，每人每天平均能生产甲种
零件12个或乙种零件23个．已知每1个甲种零件和2个乙种零件配成一套，问应分配多少人生产甲种零
件，多少人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套？每天能生产成多少套？（列一元一次
方程求解）
5．（2022·西安市七年级期末）2020年为了应对武汉新冠肺炎疫情，需要快速建立医院，某车间连夜加班
生产医用设备，现共有60个工人可以生产甲、乙两种零件，每人每天平均能生产甲种零件24个或乙种零
件12个．已知每2个甲种零件和每3个乙种零件配成一套，问应分配多少人生产甲种零件，多少人生产乙
种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好都配套？
6．（2022·河北）某服装厂要生产同一种型号的服装，已知3m长的布料可做上衣2件或裤子3条，一件上
衣和一条裤子为一套．（1）现库内存有布料180m，应如何分配布料做上衣和做裤子才能恰好配套？可以
生产多少套衣服？（2）如果恰好有这种布料202m，最多可以生产多少套衣服？本着不浪费的原则，如果
有剩余，余料可以做几件上衣或裤子？（本问直接写出结果）
题型8 调配问题
【解题技巧】调配问题中，调配前后总量始终保持不变，可利用这个关系列写等式方程，有时又在调配前
后的变化中找等量关系。
调出者的数量=原有的数量－调出的数量 调进者的数量=原有的数量+调入的数量
1．（2022·杭州市公益中学七年级期末）A、B两地果园分别有苹果20吨和30吨，C、D两地分别需要苹
果15吨和35吨；已知从A、B到C、D的运价如表：A果园 B果园
到C地 每吨15元 每吨10元
到D地 每吨12元 每吨9吨
（1）若从A果园运到C地的苹果为x吨，则从A果园运到D地的苹果为 吨，从B果园将苹果运往
C地的苹果为 吨，从B果园将苹果运往D地的苹果为 吨．
（2）若从A果园运到C地的苹果为x吨，用含x的代数式表示从A果园到C、D两地的总运费是
元；用含x的代数式表示从B果园到C、D两地的总运费是 元．
（3）若从A果园运到C地的苹果为x吨，从A果园到C、D两地的总运费和B果园到C、D两地的总运费
之和是545元，若从A果园运到C地的苹果为多少吨？
2．（2022·山东师范大学第二附属中学）在我市某新区的建设中，现要把188吨物资从仓库运往甲、乙两
地，用大、小两种货车共18辆，恰好能一次性运完这批物资．已知这两种货车的载重量分别为12吨/辆和
8吨/辆，运往甲、乙两地的运费如下表：
运往地车型 甲地（元 辆） 乙地（元 辆）
大货车 640 680
小货车 500 560
（1）求这两种货车各用多少辆？（2）如果安排10辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大
货车为a辆，运往甲、乙两地的总运费为w元，请用含a的代数式表示w；（3）在（2）的条件下，若运
往甲地的物资为100吨，请求出安排前往甲地的大货车多少辆，并求出总运费．
3．（2022·陕西咸阳七年级月考）甲仓库有水泥 吨，乙仓库有水泥 吨，要全部运到 、 两工地，
已知 工地需要 吨， 工地需要 吨，甲仓库运到 、 两工地的运费分别是 元/吨、 元/吨，
乙仓库运到 、 两工地的运费分别是 元/吨、 元/吨，本次运动水泥总运费需要 元．（运费：
元/吨，表示运送每吨水泥所需的人民币）（1）设甲仓库运到 工地水泥为 吨，请在下面表格中用 表示出其它未知量．
甲仓库 乙仓库
A工地
B工地
（2）用含 的代数式表示运送甲仓库 吨水泥的运费为________元．（写出化简后的结果）
（3）求甲仓库运到 工地水泥的吨数．
4．（2022·山东七年级期中）温州和杭州某厂同时生产某种型号的机器若干台，温州厂可支援外地10台，
杭州厂可支援外地4台，现在决定给武汉8台，给南昌6台，每台机器的运费（单位：元 台）如下表．设
杭州厂运往南昌的机器为 台．
终点
南昌 武汉
起点
温州厂 400 800
杭州厂 300 500
（1）用含 的代数式来表示总运费；（2）若总运费为8400元，求杭州厂运往南昌的机器应为多少台？
（3）试问有无可能使总运费是7800元？若有可能，请写出相应的调动方案；若无可能，请说明理由．
5．（2022·乐平七年级月考）现从两个蔬菜市场A，B向甲、乙两地运送蔬菜，已知A，B各有蔬菜14t，
甲地需要蔬菜15t，乙方地需要蔬菜13t，从A到甲地运费50元/t，到乙地30/t；从B到甲地运费60元/t，
到乙地45元/t．（1）设A市场运送到甲地的蔬菜为 t，请完成下表：
运往乙地
运往甲地（t）
（t）A
B
（2）若总运费为1280元，则A市场运送到甲地的蔬菜为多少吨？
6．（2022·杭州七年级期中）甲仓库有水泥110吨，乙仓库有水泥70吨，现要将这些水泥全部运往 两
工地，调运任务承包给某运输公司．已知 工地需水泥100吨， 工地需水泥80吨，从甲仓库运往 两
工地的路程和每吨每千米的运费如表：
路程（千米） 运费（元/吨·千米）
甲仓库 乙仓库 甲仓库 乙仓库
地 25 20 1 0.8
地 20 15 1.2 1.2
（1）设甲仓库运往 地水泥 吨，则甲仓库运往 地水泥_______吨，乙仓库运往 地水泥_______吨，乙
仓库运往 地水泥________吨（用含 的代数式表示）；（2）用含 的代数式表示总运费，并化简；
（3）若某种运输方案的总运费是3820元，请问具体的调运方案是怎样的？
题型9 数字与日历问题
解题技巧：已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位
数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a．
在日历问题中，横行相邻两数相差1，竖邻相邻两数相差7，即可设日历中某数为x（在日历中该数上下左
右都有相应数字），横行相邻数为
x−1
，
x+1
；竖邻两数为
x−7
，
x+7
；
注：求出的数必须是整数且符合画框要求。
1．（2022·陕西·西安高新一中实验中学七年级期末）在一个3×3的方格中填写9个数字，使得每行每列每
条对角线上的三个数之和相等，得到的3×3的方格称为一个三阶幻方．如图方格中填写了一些数和字母，为使该方格构成一个三阶幻方，则y﹣x的值是（ ）
A．1 B．17 C．﹣1 D．﹣17
2．（2022·河北承德·七年级期末）如图，表中给出的是某月的日历，任意选取“U”型框中的7个数（如阴
影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，发现此月这7个数的和可能的是（ ）
A．106 B．98 C．84 D．78
3．（2022·北京四中模拟预测）“格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法，最早在15世纪由意大利数
学家帕乔利提出，在明代数学家程大位著的《算法统宗》一书中被称为“铺地锦”．例如：如图1，计算
，将乘数46写在方格上边，乘数71写在方格右边，然后用乘数46的每位数字乘以乘数71的每位
数字，将结果记入相应的方格中，最后沿斜线方向相加，得3266．如图2，用“格子乘法”计算两个两位
数相乘，则 ______．
4．（2022·山东青岛·七年级期中）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大1，若将个位与十位上的
数字对调，得到的新数比原数大9，设个位上的数字为x，十位上的数字为y，根据题意，可列方程为：
______．
5．（2022·山东临沂·七年级期末）如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个“十”字圈出5个数（如1，7，8，9，15）．照此方法，若圈出的5个数的和为115，则这5个数中的最小数为_________．
6．（2022·湖北荆门·七年级期中）观察下列三行数：
(1)每行的第9个数分别为 ， ， ．
(2)如图，用一个长方形方框框住六个数，左右移动方框，若方框中的六个数左上角数记为x，求这六个数
的和（结果用含x式子表示并化简）．
(3)第三行是否存在连续的三个数的和为381，若存在，求这三个数，若不存在，请说明理由？
题型10．和、差、倍、分（比例）问题
（1）和、差、倍问题关键要分清是几倍多几和几倍少几，“是”、“比”相当于“=”；
即：当较大量是/比较小量的几倍多几时：较大量=较小量×倍数+多余量；
当较大量是/比较小量的几倍少几时：较大量=较小量×倍数-所少量。
（2）寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率
等．
1．（2022·山东东营·中考真题）植树节当天，七年级1班植树300棵，正好占这批树苗总数的 ，七年级
2班植树棵数是这批树苗总数的 ，则七年级2班植树的棵数是（ ）A．36 B．60 C．100 D．180
2．（2022·福建·泉州市城东中学七年级期中）疫情无情人有情，爱心捐款传真情．某校三个年级为疫情重
灾区捐款，经统计，七年级捐款数占全校三个年级捐款总数的 ，八年级捐款数是全校三个年级捐款数的
平均数，已知九年级捐款1916元，求其他两个年级的捐款数若设七年级捐款数为x元，则可列方程为（
）
A． B． C． D．
3．（2022·南昌市心远中学七年级期末）《算法统宗》中记有“李白沽酒”的故事．诗云：今携一壶酒，
游春郊外走．逢朋加一倍，入店饮半斗．相逢三处店，饮尽壶中酒．试问能算士：如何知原有？（古代一
斗是10升）大意是：李白在郊外春游时，做出这样-条约定：遇见朋友，先到酒店里将壶里的酒增加一倍，
再喝掉其中的5升酒．按照这样的约定，在第3个店里遇到朋友正好喝光了壶中的酒．求李白的酒壶中原
有酒多少升．
4．（2022·云南红河·七年级期末）我国古代数学家著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条
竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一根绳索，
用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．求绳索长多少尺？
5．（2022·福建泉州·七年级阶段练习） 为了进一步落实“双减”政策，学校积极开展社团活动，原国际
象棋社团有学生64人，羽毛球社团有学生56人．在家乡著名羽毛球运动员黄东萍获得奥运冠军后学校掀
起一股羽毛球热潮，有部分国际象棋社团学生转入羽毛球社团，现在国际象棋社团人数是羽毛球社团人数
的一半．问有多少名学生从国际象棋社团转入羽毛球社团？
6．（2022·重庆七年级课时练习）某中学的社团活动深受学生和家长的欢迎，社团种类多达十几种，极大1
地丰富了学生的业余文化生活．其中初一书法社团中女生占全社团人数的 ，又有10名女生申请加入，那
3
2
么女生就占全社团人数的 ，求现在初一书法社团的人数．
5
题型11 几何问题（等积问题）
解题技巧：图形无论如何切割或边形，其面积或体积始终不变，利用这个不变的特点，列写等式方程。
1．（2022·河北承德·七年级期末）如图，在大长方形 （ 是宽）中放入六个长、宽都相同的小长
方形，尺寸如图所示，求小长方形的宽 ．若设 ，分析思路描述正确的是（ ）
甲：我列的方程 ，找小长方形的长作为相等关系；
乙：我列的方程 ，找的是大长方形的长做相等关系．
A．甲对乙不完全对 B．甲不完全对乙对 C．甲乙都正确 D．甲乙都不对
2．（2022·宁夏·景博中学七年级期末）若将一个底面半径为6cm，高为40cm的“瘦长”圆柱体钢材锻压
成底面半径为12cm的“矮胖”圆柱体零件毛坯，则毛坯的高是________cm．
3．（2022·黑龙江哈尔滨·七年级期末）如图，一个长方形征好分成A、B、C、D、E、F这6个正方形，其
中最小的正方形A边长为1，则这个长方形的面积是_____________．4．（2022·成都市·七年级课时练习）用一根80cm的绳子围成一个长方形，且这个长方形的长比宽多
10cm，则围成长方形的面积为______ ．
5．（2022·河南驻马店·七年级期末）一个长方体水箱从里面量得长、宽、高分别是50cm、40cm和30cm，
此时水箱中水面高12cm，放入一个棱长为20cm的正方体实心铁块后，水箱中的水面仍然低于铁块的顶面，
则此时铁块在水箱中露出水面部分的体积为 _____cm3．
6．（2022·陕西·西安高新一中实验中学七年级期末）如图，小明将一个正方形纸片剪去一个宽为5厘米的
长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽6厘米的长条，如果两次剪下的长条面积正好相等，那么每
一个长条的面积为多少？
题型12 一元一次方程之动点问题
1．（2022·山东济南·七年级期末）如图，已知正方形的边长为4，甲、乙两动点分别从正方形ABCD的项
点A、C同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲
的速度的3倍，则它们第2022次相遇在边________上．
2．（2022·河南南阳·七年级期中）如图，数轴上A、B两点对应的有理数分别是 和 ． 动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿数轴在A、B之间往返运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个
单位的速度沿数轴在B、A之间往返运动，设运动时间为 秒，当 时，若原点O恰好是线段PQ的
中点，则 的值是_______．
3．（2022·江苏·泰兴市济川初级中学七年级阶段练习）如图，长方形ABCD中，AB＝8cm，BC＝6cm，点
P从A出发，以1cm/s的速度沿A→B→C运动，最终到达点C，在点P运动了8秒后，点Q开始以2cm/s
的速度从D运动到A，在运动过程中，设点P的运动时间为t秒，当△APQ的面积为4cm2时，t的值为
________
4．（2022·安徽·桐城市第二中学七年级期末）已知多项式 的次数为a，常数项为b，a，b分
别对应着数轴上的A、B两点．
(1) ______， ______；并在数轴上画出A、B两点；
(2)若点P从点A出发，以每秒3个单位长度单位的速度向x轴正半轴运动，求运动时间为多少时，点P到
点A的距离是点P到点B的距离的2倍；
(3)数轴上还有一点C的坐标为30，若点P和Q同时从点A和点B出发，分别以每秒3个单位长度和每秒1
个单位长度的速度向C点运动，P到达C点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点A，点Q到达终点
C停止．求点P和点Q运动多少秒时，P，Q两点之间的距离为4．5．（2022·四川·安岳县七年级期中）如图1，在长方形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点
A开始向点B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1厘米/秒的速度移动．如果P、Q
同时出发，用t（秒）表示移动的时间；
(1)当t 为何值时，线段AQ的长度等于线段AP的长度？(2)当t 为何值时，AQ与AP的长度之和是长方形
周长的 ？(3)如图2，P、Q到达B、A后继续运动，P点到达C点后都停止运动．当t 为何值时，线段AQ
的长等于线段CP的长的一半？
6．（2022·河南三门峡·七年级期末）爱思考的小明将一个玩具火车放置在数轴上水平移动，如图（1）．
他发现当A点移动到B点时，B点所对应的数为24；当B点移动到A点时，A点所对应的数6（单位：单
位长度）．
图（1）
(1)由此可得点A处的数字是 ，玩具火车的长为 个单位长度．
(2)如果火车AB正前方10个单位处有一个“隧道”MN，火车AB从（1）的起始位置出发到完全驶离“隧
道”恰好用了t秒，已知火车AB的速度为0.5个单位/秒，则可知“隧道”MN的长为 个单位．（自
己在草纸上画图分析，用含t的代数式表示即可）
(3)他惊喜的发现，“数轴”是学习数学的重要的工具，于是他继续深入探究：在（1）条件下的数轴上放
置与AB大小相同的玩具火车CD，使原点O与点C重合，两列玩具火车分别从点O和点A同时在数轴上
同时移动，已知CD火车速度为2个单位/秒，AB火车速度为1个单位/秒（两火车均向右运动），几秒后
两火车的A处与C处相距2个单位？
