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专题 09 分式方程实际应用的三种考法
类型一、销售利润问题
例1．某公司推出一款桔子味饮料和一款荔枝味饮料，桔子味饮料每瓶售价是荔枝味饮料每瓶售价的 倍．
4月份桔子味饮料和荔枝味饮料总销售60000瓶，桔子味饮科销售额为250000元，荔枝味饮料销售额为
280000元．
(1)求每瓶桔子味饮料和每瓶荔枝味饮料的售价？
(2)五一期间，该公司提供这两款饮料12000瓶促销活动，考虑荔枝味饮料比较受欢迎，因此要求荔枝味饮
料的销量不少于桔子味饮料销量的 ；不多于枯子味饮料的2倍．桔子味饮料每瓶7折销售，荔枝味饮料
每瓶降价2元销售，问：该公司销售多少瓶荔枝味饮料使得总销售额最大？最大销售额是多少元？
【答案】(1)每瓶桔子味饮料的售价为10元，每瓶荔枝味饮料的售价为8元；
(2)当m＝7200时，销售额最大，w最大值是76800元
【解析】(1)解：设每瓶荔枝味饮料的售价为x元，则每瓶桔子味饮料的售价为 元，
依题意，得： ，解得：x＝8，
经检验，x＝8是原方程的解，且符合题意，∴ ＝10（元），
答：每瓶桔子味饮料的售价为10元，每瓶荔枝味饮料的售价为8元．
(2)解：设销售荔枝味饮料m瓶，
则销售桔子味饮料（12000﹣m）瓶，依题意，得： ，解得：7200≤m≤8000，
设总销售额w元，则
∵w是m的一次函数，且k＝﹣1＜0，∴当m＝7200时，销售额最大，w最大值是76800元
【变式训练1】某超市销售A、B两款保温杯，已知B款保温杯的销售单价比A款保温杯多10元，用600
元购买B款保温杯的数量与用480元购买A款保温杯的数量相同．
(1)A、B两款保温杯销售单价各是多少元？
(2)由于需求量大，A，B两款保温杯很快售完，该超市计划再次购进这两款保温杯共120个，且A款保温杯的数量不少于B款保温杯数量的一半，若两款保温杯的销售单价均不变，进价均为30元/个，应如何进
货才使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是多少元？
【答案】(1)A款保温杯销售单价为40元，B款保温杯销售单价为50元
(2)购进A款40个，B款80个能使销售利润最大，最大利润2000元
【解析】(1)解：设A款销售单价为x元，则B款销售单价为（ ）元，
根据题意得： ，解得 ，经检验， 是原方程的解且符合题意，
∴ ，
答：A款保温杯销售单价为40元，B款保温杯销售单价为50元；
(2)解：设购进A款保温杯m个，则购进B款保温杯（120－m）个，总利润为W元，
∵ ，∴ ，
根据题意得： ，
∵ ，
∴W随m的增大而减小，
∴ 时，W最大，且 ，此时 ，
答：购进A款40个，B款80个能使销售利润最大，最大利润2000元
【变式训练2】国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，低排量的汽车比较畅销，某汽车经销商购进
A，B两种型号的低排量汽车，其中A型汽车的进货单价比B型汽车的进货单价多2万元；花50万元购进
A型汽车的数量与花40万元购进B型汽车的数量相同．
(1)求A，B两种型号汽车的进货单价；
(2)销售过程中发现：A型汽车的每周销售量yA（台）与售价xA（万元台）满足函数关系yA＝﹣xA+18；B
型汽车的每周销售量yB（台）与售价xB（万元/台）满足函数关系yB＝﹣xB+14．若A型汽车的售价比B
型汽车的售价高1万元/台，设每周销售这两种车的总利润为w万元．
①当A型汽车的利润不低于B型汽车的利润，求B型汽车的最低售价？
②求当B型号的汽车售价为多少时，每周销售这两种汽车的总利润最大？最大利润是多少万元？
【答案】(1)A种型号汽车的进货单价为10万元、B两种型号汽车的进货单价为8万元
(2)①B型汽车的最低售价为 万元/台，②A、B两种型号的汽车售价各为13万元、12万元时，每周销售
这两种汽车的总利润最大，最大利润是23万元【解析】(1)解：设B型汽车的进货单价为x万元，根据题意，得： ＝ ，
解得x＝8，经检验x＝8是原分式方程的根，8+2＝10（万元），
答：A种型号汽车的进货单价为10万元、B两种型号汽车的进货单价为8万元；
(2)设B型号的汽车售价为t万元/台，则A型汽车的售价为（t+1）万元/台，
①根据题意，得：（t+1﹣10）[﹣（t+1）+18]≥（t﹣8）（﹣t+14），解得：t≥ ，
∴t的最小值为 ，即B型汽车的最低售价为 万元/台，
答：B型汽车的最低售价为 万元/台；
②根据题意，得：w＝（t+1﹣10）[﹣（t+1）+18]+（t﹣8）（﹣t+14）
＝﹣2t2+48t﹣265
＝﹣2（t﹣12）2+23，
∵﹣2＜0，当t＝12时，w有最大值为23．
答：A、B两种型号的汽车售价各为13万元、12万元时，每周销售这两种汽车的总利润最大，最大利润是
23万元．
【变式训练3】某家电销售商城电冰箱的销售价为每台 元，空调的销售价为每台 元，每台电冰箱
的进价比每台空调的进价多 元，商场用 元购进电冰箱的数量与用 元购进空调的数量相等．
（1）求每台电冰箱与空调的进价分别是多少？
（2）现在商场准备一次购进这两种家电共 台，设购进电冰箱 台，这 台家电的销售总利润 元，
要求购进空调数量不超过电冰箱数量的 倍，且购进电冰箱不多于 台，请确定获利最大的方案以及最大
利润．
（3）实际进货时，厂家对电冰箱出厂价下调 元，若商店保持这两种家电的售价不变，请你
根据以上信息及（2）中条件，设计出使这 台家电销售总利润最大的进货方案．
【答案】（1）每台空调的进价为 元，则每台电冰箱的进价为 元；（2）当购进电冰箱 台，空
调 台获利最大，最大利润为 元；（3）当 时，购进电冰箱 台，空调 台销售总利润
最大；当 时， ，各种方案利润相同；当 时，购进电冰箱 台，空调 台销售总
利润最大
【解析】解： 设每台空调的进价为 元，则每台电冰箱的进价为 元，根据题意得： ，解得： ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意， ，
答：每台空调的进价为 元，则每台电冰箱的进价为 元．
设购进电冰箱 台，这 台家电的销售总利润为 元，
则 ，
根据题意得： ，解得： ，
为正整数， ， ， ， ， ， ， ， 合理的方案共有 种，
即 电冰箱 台，空调 台； 电冰箱 台，空调 台； 电冰箱 台，空调 台；
电冰箱 台，空调 台； 电冰箱 台，空调 台； 电冰箱 台，空调 台；
电冰箱 台，空调 台；
， ， 随 的增大而减小，
当 时， 有最大值，最大值为： 元 ，
答：当购进电冰箱 台，空调 台获利最大，最大利润为 元．
当厂家对电冰箱出厂价下调 元，若商店保持这两种家电的售价不变，
则利润 ，
当 ，即 时， 随 的增大而增大，
， 当 时，这 台家电销售总利润最大，即购进电冰箱 台，空调 台；
当 时， ，各种方案利润相同；
当 ，即 时， 随 的增大而减小，
， 当 时，这 台家电销售总利润最大，即购进电冰箱 台，空调 台；
答：当 时，购进电冰箱 台，空调 台销售总利润最大；
当 时， ，各种方案利润相同；
当 时，购进电冰箱 台，空调 台销售总利润最大．
【变式训练4】为迎接“五一”小长假购物高潮，某品牌专卖店准备购进甲、乙两种衬衫，其中甲、乙两
种衬衫的进价和售价如下表：衬衫价格 甲 乙
进价（元 件）
售价（元 件） 260 180
若用3000元购进甲种衬衫的数量与用2700元购进乙种衬衫的数量相同．
（1）求甲、乙两种衬衫每件的进价；
（2）要使购进的甲、乙两种衬衫共300件的总利润不少于34000元，且不超过34700元，问该专卖店有几
种进货方案；
（3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种衬衫进行优惠促销活动，决定对甲种衬衫每件优惠 元
出售，乙种衬衫售价不变，那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？
【答案】（1）甲种衬衫每件进价100元，乙种衬衫每件进价90元；（2）共有11种进货方案；（3）当
时，应购进甲种衬衫110件，乙种衬衫190件；当 时，所有方案获利都一样；当
时，购进甲种衬衫100件，乙种衬衫200件．
【详解】解：（1）依题意得： ，整理，得： ，
解得： ，经检验， 是原方程的根，答：甲种衬衫每件进价100元，乙种衬衫每件进价90元；
（2）设购进甲种衬衫 件，乙种衬衫 件，
根据题意得： ，解得： ，
为整数， ，答：共有11种进货方案；
（3）设总利润为 ，则 ，
①当 时， ， 随 的增大而增大， 当 时， 最大，
此时应购进甲种衬衫110件，乙种衬衫190件；②当 时， ， ，
（2）中所有方案获利都一样；
③当 时， ， 随 的增大而减小， 当 时， 最大，
此时应购进甲种衬衫100件，乙种衬衫200件．
综上：当 时，应购进甲种衬衫110件，乙种衬衫190件；当 时，（2）中所有方案获利都
一样；当 时，购进甲种衬衫100件，乙种衬衫200件．
类型二、方案问题
例．某商店决定购进A、B两种纪念品．已知每件A种纪念品的价格比每件B种纪念品的价格多5元，用800元购进A种纪念品的数量与用400元购进B种纪念品的数量相同．
（1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？
（2）若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资
金不少于800元，且不超过850元，那么该商店共有几种进货方案？
（3）已知商家出售一件A种纪念品可获利m元，出售一件B种纪念品可获利（6﹣m）元，试问在（2）的
条件下，商家采用哪种方案可获利最多？（商家出售的纪念品均不低于成本价）
【答案】（1）购进 种纪念品每件需要10元， 种纪念品每件需要5元；（2）共有11种进货方案；
（3）当 ； 种70件， 种30件时可获利最多；当 ， 种60件， 种40件时可获利最多
【详解】解：（1）设购进 种纪念品每件价格为 元， 种纪念币每件价格为 元，根据题意可知：
，解得： ， ．
答：购进 种纪念品每件需要10元， 种纪念品每件需要5元．
（2）设购进 种纪念品 件，则购进 种纪念品 件，根据题意可得：
，解得： ，
只能取正整数， ，共有11种情况，
故该商店共有11种进货方案分别为： 种70件， 种30件； 种69件， 种31件； 种68件， 种32
件； 种67件， 种33件； 种66件， 种34件； 种65件， 种35件； 种64件， 种36件；
种63件， 种37件； 种62件， 种38件； 种61件， 种39件； 种60件， 种40件．
（3）销售总利润为 ，
商家出售的纪念品均不低于成本价， ，
根据一次函数的性质，当 时，即 ，
随着 增大而增大，
当 时， 取到最大值；即方案为： 种70件， 种30件时可获利最多；
当 时，即 ， 随着 增大而减小，
当 时， 取到最大值；即方案为： 种60件， 种40件时可获利最多．
【变式训练1】为切实做好疫情防控工作，开学前夕，我县某校准备在民联药店购买口罩和水银体温计发
放给每个学生．已知每盒口罩有100只，每盒水银体温计有10支，每盒口罩价格比每盒水银体温计价格多
150元．用1200元购买口罩盒数与用300元购买水银体温计所得盒数相同．
（1）求每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是多少元？
（2）如果给每位学生发放2只口罩和1支水银体温计，且口罩和水银体温计均整盒购买．设购买口罩m盒（m为正整数），则购买水银体温计多少盒能和口罩刚好配套？请用含m的代数式表示．
（3）在民联药店累计购医用品超过1800元后，超出1800元的部分可享受8折优惠．该校按（2）中的配
套方案购买，共支付总费用w元；
①当总费用不超过1800元时，求m的取值范围；并求w关于m的函数关系式．
②若该校有900名学生，按（2）中的配套方案购买，求所需总费用为多少元？
【答案】（1）每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是200元、50元；（2）购买水银体温计5m盒能和口
罩刚好配套；（3）①w＝ ；②购买口罩和水银体温计各18盒、90盒，所需总费用为
6840元
【解析】解：（1）设每盒口罩和每盒水银体温计的价格分别是 元， 元，
根据题意，得 ，解得 ，
经检验， 是原方程的解，
，答：每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是200元、50元；
（2）设购买水银体温计 盒能和口罩刚好配套，
根据题意，得 ，则 ，
答：购买水银体温计 盒能和口罩刚好配套；
（3）①由题意得： ，
， ，此时， ；
若 ，则 ，综上所述： ；
②若该校九年级有900名学生，需要购买口罩： （支 ，
水银体温计： （支 ，
此时 （盒 ， （盒 ，则 （元 ．
答：购买口罩和水银体温计各18盒、90盒，所需总费用为6840元．
【变式训练2】某超市准备购进甲、乙两种牛奶进行销售，若甲种牛奶的进价比乙种牛奶的进价每件少5
元，其用90元购进甲种牛奶的数量与用100元购进乙种牛奶的数量相同．
（1）求甲种牛奶、乙种牛奶的进价分别是每件多少元？
（2）若该商场购进甲种牛奶的数量是乙种牛奶的3倍少5件，两种牛奶的总数不超过95件，该商场甲种
牛奶的销售价格为49元，乙种牛奶的销售价格为每件55元，则购进的甲、乙两种牛奶全部售出后，可使销售的总利润（利润＝售价﹣进价）超过371元，请通过计算求出该商场购进甲、乙两种牛奶有哪几种方
案？
【答案】（1）甲种牛奶、乙种牛奶的进价分别是每件45元、50元；（2）商场购进甲种牛奶64件，乙种
牛奶23件；或商场购进甲种牛奶67件，乙种牛奶24件；或商场购进甲种牛奶70件，乙种牛奶25件；
【详解】（1）设甲种牛奶进价为x元，则乙种牛奶进价为： 元
根据题意，得： ，∴
当 时， ，且
∴ 是方程 的解，∴
∴甲种牛奶、乙种牛奶的进价分别是每件45元、50元；
（2）设该商场购进乙种牛奶数量为m件，则该商场购进甲种牛奶数量为 件
∵两种牛奶的总数不超过95件，∴ ，∴
∵销售的总利润（利润＝售价﹣进价）超过371元，∴
∴ ，∴ ，∴
∴商场购进甲种牛奶64件，乙种牛奶23件；或商场购进甲种牛奶67件，乙种牛奶24件；或商场购进甲
种牛奶70件，乙种牛奶25件．
【变式训练3】某公司经销甲种产品，受国际经济形势的影响，价格不断下降．预计今年的售价比去年同
期每件降价 元，如果售出相同数量的产品，去年销售额为 万元，今年销售额只有 万元．
（1）今年这种产品每件售价多少元？
（2）为了增加收入，公司决定再经销另一种类似产品乙，已知产品甲每件进价为 元；产品乙每件进
价为 元，售价 元，公司预计用不多于 万元且不少于 万元的资金购进这两种产品共 件，分
别列出具体方案，并说明哪种方案获利更高．
【答案】（1）今年这种产品每件售价为 元；（2）有三种方案：方案①：甲产品进货 件，乙产品进
货 件；方案②：甲产品进货 件，乙产品进货 件；方案③：甲产品进货 件，乙产品进货 件；方案①
的利润更高．
【详解】解： 设今年这种产品每件售价为 元，
依题意得： ，解得： ．经检验： 是原分式方程的解．
答：今年这种产品每件售价为 元．
设甲产品进货 件，则乙产品进货 件．
依题意得： ，
解得： ，
因此有三种方案：
方案①：甲产品进货 件，乙产品进货 件；
方案②：甲产品进货 件，乙产品进货 件；
方案③：甲产品进货 件，乙产品进货 件.
方案①利润： ，
方案②利润： ，
方案③利润： ，
，
方案①的利润更高.
类型三、工程问题
例．为稳步推进 网络建设，深化共建共享，现有甲、乙两个工程队参与 基站建设工程．
（1）已知乙队的工作效率是甲队的 倍，如果两队单独施工完成该项工程，甲队比乙队多用 天，求乙
队单独施工，需要多少天才能完成该项工程？
（2）当甲队施工 天完成 基站建设工程的 时，乙队加入该工程，结果比甲队单独施工提前 天完
成了剩余的工程．
①求乙队单独施工，需要多少天才能完成该项工程？
②若乙队参与该项工程施工的时间不超过 天，求甲队从开始施工到完成该工程至少需要多少天？
【答案】（1）乙队单独施工，需要 天才能完成该项工程．（2）①36天，②至少40天
【详解】解：（1）设乙队单独施工，需要 天才能完成该项工程，题意，得 ，解方程，得
，
经检验， 是原分式方程的解，且符合题意．答：乙队单独施工，需要 天才能完成该项工程．
（2）①由题意得，甲队单独施工 天完成该项工程的 ，
所以甲队单独施工 天完成该项工程.
甲队单独施工完成剩余 的工程的时间为 （天），
于是甲、乙两队共同施工的时间为 （天）．
设乙队单独施工需要 天才能完成该项工程，
则 ，解方程，得 .
经检验， 是原分式方程的解，且符合题意．
答：若乙队单独施工，需要 天才能完成该项工程．
②设甲队从开始施工到完成该工程需要 天，
依题意列不等式，得 ，
解得：
【变式训练1】某工程公司承包了修筑一段塌方道路的工程，并派旗下第五、六两个施工队前去修筑，要
求在规定时间内完成．
（1）已知第五施工队单独完成这项工程所需时间比规定时间多32天，第六施工队单独完成这项工程所需
时间比规定时间多12天，如果第五、六施工队先合作20天，剩下的由第五施工队单独施工，则要误期2
天完成那么规定时间是多少天？
（2）实际上，在第五、六施工队合作完成这项工程的 时，公司又承包了更大的工程，需要调走一个施工
队．你认为留下哪个施工队继续施工能按时完成剩下的工程？
【答案】（1）规定的时间是28天；（2）留下第六施工队继续施工能在规定的时间内完成剩下的工程，见
解析．
【详解】解：（1）设规定的时间是x天，根据题意，得 ，解得 ，
经检验， 是原分式方程的解且符合实际意义．
答：规定的时间是28天；
（2）设第五、六施工队合作完成这项工程的 用了y天，根据题意，得 ，解得 ，
由第五、六施工队单独完成剩下的工程，所需的时间分别为：
（天）， （天），
因为 ，
所以留下第六施工队继续施工能在规定的时间内完成剩下的工程．
答：留下第六施工队继续施工能在规定的时间内完成剩下的工程．
【变式训练1】某校利用暑假进行田径场的改造维修，项目承包单位派遣一号施工队进场施工，计划用
天时间完成整个工程．当一号施工队工作 天后，承包单位接到通知，有一大型活动要在该田径场举行，
要求比原计划提前 天完成整个工程，于是承包单位派遣二号与一号施工队共同完成剩余工程，结果按通
知要求如期完成整个工程．
（1）若二号施工队单独施工，完成整个工程需要多少天？
（2）若此项工程一号、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要多少天？
【答案】（1）若由二号施工队单独施工，完成整个工期需要 天；（2）若由一、二号施工队同时进场施
工，完成整个工程需要 天
【详解】（1）设二号施工队单独施工需要 天，
根据题意得： ，解得： ，
经检验， 是原分式方程的解
∴若由二号施工队单独施工，完成整个工期需要 天；
（2）一号、二号施工队同时进场施工需要的天数为x天
根据题意得：
∴
∴若由一、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要 天．
【变式训练2】2019年，在新泰市美丽乡村建设中，甲、乙两个工程队分别承担某处村级道路硬化和道路
拓宽改造工程．已知道路硬化和道路拓宽改造工程的总里程数是8．6千米，其中道路硬化的里程数是道路
拓宽里程数的2倍少1千米．
（1）求道路硬化和道路拓宽里程数分别是多少千米；
（2）甲、乙两个工程队同时开始施工，甲工程队比乙工程队平均每天多施工10米．由于工期需要，甲工程队在完成所承担的 施工任务后，通过技术改进使工作效率比原来提高了 ．设乙工程队平均每天施工
米，若甲、乙两队同时完成施工任务，求乙工程队平均每天施工的米数 和施工的天数．
【答案】（1）道路硬化里程数为5.4千米，道路拓宽里程数为3.2千米；（2）乙工程队平均每天施工20
米，施工的天数为160天
【详解】解：（1）设道路拓宽里程数为 千米，则道路硬化里程数为 千米，
依题意，得： ，解得： ，
．
答：道路硬化里程数为5.4千米，道路拓宽里程数为3.2千米．
（2）设乙工程队平均每天施工 米，则甲工程队技术改进前每天施工 米，技术改进后每天施工点
米，依题意，得：乙工程队施工天数为 天，
甲工程队技术改造前施工天数为： 天，
技术改造后施工天数为： 天．
依题意，得： ，解得： ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
．
答：乙工程队平均每天施工20米，施工的天数为160天．
【变式训练3】某市为了做好“全国文明城市”验收工作，计划对市区 米长的道路进行改造，现安排甲、
乙两个工程队进行施工．
（1）已知甲工程队改造360米的道路与乙工程队改造300米的道路所用时间相同．若甲工程队每天比乙工
程队多改造30米，求甲、乙两工程队每天改造道路的长度各是多少米．
（2）若甲工程队每天可以改造 米道路，乙工程队每天可以改造 米道路，（其中 ）．现在有两种
施工改造方案：方案一：前 米的道路由甲工程队改造，后 米的道路由乙工程队改造；
方案二：完成整个道路改造前一半时间由甲工程队改造，后一半时间由乙工程队改造．
根据上述描述，请你判断哪种改造方案所用时间少？并说明理由．
【答案】（1）甲工程队每天道路的长度为180米，乙工程队每天道路的长度为150米；（2）方案二所用
的时间少
【详解】（1）设乙工程队每天道路的长度为 米，则甲工程队每天道路的长度为 米，
根据题意，得： ，解得： ，
检验，当 时， ，∴原分式方程的解为： ， ，
答：甲工程队每天道路的长度为180米，乙工程队每天道路的长度为150米；
（2）设方案一所用时间为： ，
方案二所用时间为 ，则 ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即： ，
∴方案二所用的时间少．
【变式训练4】2008年5月12日，四川省发生8.0级地震，某市派出两个抢险救灾工程队赶到汶川支援，
甲工程队承担了2400米道路抢修任务，乙工程队比甲工程队多承担了600米的道路抢修任务，甲工程队施
工速度比乙工程队每小时少修40米，结果两工程队同时完成任务．
问甲、乙两工程队每小时各抢修道路多少米．
（1）设乙工程队每小时抢修道路x米，则用含x的式子表示：甲工程队每小时抢修道路 米，甲工
程队完成承担的抢修任务所需时间为 小时，乙工程队完成承担的抢修任务所需时间为 小时．
（2）列出方程，完成本题解答．【答案】（1）（x﹣40）； ； ；（2）甲工程队每小时抢修道路160米，乙工程队每小时抢修
道路200米
【详解】（1）设乙工程队每小时抢修道路x米，则甲工程队每小时抢修道路（x﹣40）米，甲工程队完成
承担的抢修任务所需时间为 小时，乙工程队完成承担的抢修任务所需时间为 ＝ 小时．
故答案为：（x﹣40）； ； ．
（2）依题意，得： ＝ ，
解得：x＝200，
经检验，x＝200是原方程的解，且符合题意，
∴x﹣40＝160．
答：甲工程队每小时抢修道路160米，乙工程队每小时抢修道路200米．
