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专题09 有理数相关计算专题训练
一．加法运算
【知识点睛】
①若a＞0,b＞0，则a+b=+（|a|+|b|）＞0
②若a＜0,b＜0，则a+b=−（|a|+|b|）＜0
③若a＞0,b＜0，且|a|＞|b|，则a+b=+（|a|−|b|）＞0
④若a＞0,b＜0，且|a|＜|b|，则a+b=−（|b|−|a|）＜0
⑤若a＞0,b＜0，且|a|=|b|，则a+b=0
⑥a+0=a
易错技巧点拨：
①有理数的加法计算步骤：
“一判”：判断两个加数的符号（即确定用哪一条法则和确定和的符号）
“二求”：求各加数的绝对值
“三加减”：同号绝对值相加，异号绝对值相减
②简便运算的几种常见情形：
（1）互为相反数的两个数可以先相加
（2）几个数相加得整数时，可以先相加
（3）同分母的分数可以先相加
（4）正负符号相同的数可以先相加
（5）题目中既有分数又有小数时，可以先把小数和分数统一，再观察是否可用简便方法计算
【典例精析】
例1．（2021•云南）某地区2021年元旦的最高气温为9℃，最低气温为﹣2℃，那么该地区这天的最低
气温比最高气温低（ ）
A．7℃ B．﹣7℃ C．11℃ D．﹣11℃
例2．（2021秋•宜秀区校级月考）已知|x|＝5，|y|＝2，则x+y的值（ ）
A．±3 B．±7 C．3或7 D．±3或±7
例3．（2021秋•东平县期中）下面说法中正确的有（ ）
（1）一个数与它的绝对值的和一定不是负数．
（2）一个数减去它的相反数，它们的差是原数的2倍．
（3）零减去一个数一定是负数．
（4）正数减负数一定是负数．
（5）数轴上原点两侧的数互为相反数．
A．.2个 B．.3个 C．4个 D．.5个
例4.计算：（1）（﹣11）+8+（﹣14）．
（2）（﹣3）+12+（﹣17）+（+8）．例5．（2021秋•海州区校级期中）阅读材料：我们知道：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、
B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．所以式子|x﹣3|的几何意
义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离；同理|x﹣4|也可理解为x与4两数在
数轴上所对应的两点之间的距离．
试探索：
（1）若|x﹣2|＝5，则x的值是 ．
（2）同理|x﹣5|+|x+3|＝8表示数轴上有理数x所对应的点到5和﹣3所对应的两点距离之和为8，则
所有符合条件的整数x的和为 ．
【练习】
1．约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．例如，在图1中，即4+3＝7．则在图
2中，当y＝﹣2时，n的值为 ．
2．计算3 +（﹣2 ）+5 +（﹣8 ）时，运算律用得最为恰当的是（ ）
A．[3 +（﹣2 ）]+[5 +（﹣8 ）]
B．（3 +5 ）+[﹣2 +（﹣8 ）]
C．[3 +（﹣8 ）]+（﹣2 +5 ）
D．（﹣2 +5 ）+[3 +（﹣8 ）]
3．方格中，除9和7外其余字母各表示一个数，已知方格中任何三个连续方格中的数之和为 19，求
A+H+M+O的值．
4．阅读下列计算过程，发现规律，然后利用规律计算：，
；
…
（1）猜想：1+2+3+4+…+n＝ ；
（2）利用上述规律计算：1+2+3+4+…+100；
（3）计算：
．
二.减法运算
【知识点睛】
有理数减法的计算步骤：
①将减号变成加号，把减数变成它的相反数
②按照加法运算的步骤去做。
易错技巧点拨：
① 减法法则不能与加法法则中的异号两数相加相混淆
② 减法没有交换律
③有理数大小的比较方法——作差法（或叫差量法）
要比较两个有理数a与b的大小，可先求a与b的差a-b，然后进行判断。
1）当a−b＞0时⇔a＞b；
2）当a−b=0时⇔a=b；
3）当a−b＜0时⇔a＜b；
【典例精析】
例1．（2021秋•邓州市期中）把（﹣3）﹣（﹣7）+4﹣（+5）写成省略加号的和的形式是（ ）
A．﹣3﹣7+4﹣5 B．﹣3+7+4﹣5 C．3+7﹣4+5 D．﹣3﹣7﹣4﹣5
例2．（2021秋•温州期中）某地一天的最高气温是5℃，最低气温是﹣4℃，则该地区这天的温差是
℃．
例3．（2021秋•乐平市期中）某病人每天下午需要测量血压，该病人上周日收缩压为120单位，下表
是该病人这周每天与前一天相比较收缩压的变化情况，则本周星期五的收缩压是 ．
星期 一 二 三 四 五
增减 +20 ﹣30 ﹣25 +15 +30例4．（2021秋•东兴区校级期中）计算：| |+| |+| |+…+| |＝
．
例5．为了增强同学们在足球比赛中快速转身的能力，张老师设计了折返跑训练．张老师在东西方向的
足球场上画了一条直线，并插上不同的折返旗帜，如果约定向西为正，向东为负，练习一组折返跑
的移动记录如下（单位：米）：+40，﹣30，+50，﹣25，+25，﹣30，+15．
（1）学生最后到达的地方在出发点的哪个方向？距出发点多远？
（2）学生在一组练习过程中，跑了多少米？
（3）学生训练过程中，最远处离出发点多远？
【练习】
1．对于有理数a，b，c，d，给出如下定义：如果|a﹣c|+|b﹣c|＝d．那么称a和b关于c的相对距离为
d，如果m和3关于1的相对距离为5，那么m的值为 ．
2． ＝ ．
3．若M＝101×2020×2029，N＝2028×2021×101，则M﹣N＝ ．
4．（1）用“＞”或“＜”或“＝”或“≥”或“≤”填空：
①|﹣5|+|4| |﹣5+4|；
②|﹣6|+|3| |﹣6+3|；
③|﹣3|+|﹣4| |﹣3﹣4|；
④|0|+|﹣9| |0﹣9|；
（2）归纳：|a|+|b| |a+b|；
（3）根据上题（2）得出的结论，若|m|+|n|＝7，|m+n|＝1，求m的值．
5．定义：对于确定位置的三个数：a，b，c，计算a﹣b， ， ，将这三个数的最小值称为a，
b，c的“分差”，例如，对于1，﹣2，3，因为1﹣（﹣2）＝3， ＝﹣1， ＝﹣ ，所以1，﹣2，3的“分差”为﹣ ．
（1）﹣2，﹣4，1的“分差”为 ；
（2）调整“﹣2，﹣4，1”这三个数的位置，得到不同的“分差”，那么这些不同“分差”中的最
大值是 ；
（3）调整﹣1，6，x这三个数的位置，得到不同的“分差”，若其中的一个“分差”为2，求x的
值．
三.乘法运算
【知识点睛】
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘，积为0
易错技巧点拨：
有理数乘法计算法则实质为——先确定积的符号，再将绝对值相乘！！！
①1乘一个数，仍得这个数；
②-1乘一个数，得这个数的相反数；
③若两个数的乘积为1，则称这两个有理数互为倒数；
特别地：0没有倒数，互为倒数的两个数同号，倒数是其本身的数有1和-1
④当因数是带分数时，应先化成假分数，然后相乘；
⑤分数与小数相乘时，统一化成分数相乘会比较简单；
⑥几个非0有理数相乘 ，当负数有奇数个时，积为负；当负数有偶数个时，积为正 ！
⑦几个数相乘，有一个因数为0，则积为0；如果积为0，则至少有一个因数为0；
⑧乘法简便运算律包含：乘法交换律、乘法结合律、分配律；有时候不能用前面三个规律时，可利用
添项拆项等方法凑以上运算律
【典例精析】
例1．（2020秋•北仑区期中）下列说法正确的个数是（ ）
①如果两个数的和为0，则这两个数互为倒数；
②绝对值是它本身的有理数是正数；
③几个有理数相乘，积为负数时，负因数个数为奇数；
④若a+b＜0，则a＜0，b＜0；
⑤若|a|＝|b|，则a2＝b2．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
例2．（2021•苍南县模拟）在﹣4，﹣2，0，1，3，5这六个数中，任意三数之积的最大值是（ ）
A．15 B．40 C．24 D．30
例3．（2021秋•鄞州区期中）计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A
～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：
十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
例如，十进制中16+10＝26，用十六进制表示为10+A＝1A；十进制中25﹣15＝10，用十六进制表示
为19﹣F＝A．由上可知，在十六进制中B×D＝ （运算结果用十六进制表示）．
例4．（2021秋•渑池县期中）学习了有理数的乘法后，老师给同学们出了这样一道题目：计算：49
×（﹣5），看谁算的又快又对．
小明的解法：原式＝﹣ ；
小军的解法：原式＝ ．
（1）对于以上两种解法，你认为谁的解法较好？
（2）小强认为还有更好的方法：把49 看作 ，请把小强的解法写出来．
（3）请你用最合适的方法计算：9 ×（﹣3）．
例5．（2021秋•东城区校级期中）已知|a|＝5，|b|＝3，若|a+b|＝a+b，求ab的值．
例6．（2021秋•余杭区月考）计算：
（1）（﹣0.25）×3.14×40；
（2）﹣25 ×8．
（3）（ ）×（﹣60）
【练习】
1．下列说法中不正确的个数有（ ）
①有理数m2+1的倒数是
②绝对值相等的两个数互为相反数
③绝对值既是它本身也是它的相反数的数只有0
④几个有理数相乘，若有奇数个负因数，则乘积为负数
⑤若a＞b，则a（c2+1）＞b（c2+1）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．已知4个不相等的整数a、b、c、d，它们的积abcd＝25，则a+b+c+d＝ ．
3．规定：M（1） ＝﹣2，M（2） ＝（﹣2）×（﹣2），M（3） ＝（﹣2）×（﹣2）×（﹣2），…M（n） ＝
．
（1）计算：M（5）+M（6） ；
（2）求2×M（2021）+M（2022） 的值；
（3）试说明：2×M（n） 与M（n+1） 互为相反数．
四.除法运算
【知识点睛】
①两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何一个非0的数都得0
②除以一个非零数，等于乘上这个数的倒数
1
a÷b=a× （b≠0）
用字母表示为： b
易错技巧点拨：
有理数除法计算法则实质为——先确定商的符号，再将绝对值相除！！！
①0不能作为除数；
②多个有理数相除时，如果能整除，则直接相除，如果不能整除，通常把除法转化为乘法，统一为乘
法再运算；
③除法运算中遇到小数或者带分数时，要把小数化为分数，把带分数化为假分数，然后再进行相除；
④除法没有交换律、结合律、分配律
【典例精析】
例1．（2020秋•浦东新区期末）计算：7× ÷7× 的值等于（ ）
A．1 B． C．49 D．
例2．（2020秋•济南期末）取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按
此规则经过若干步的计算最终可得到1．这个结论在数学上还没有得到证明．但举例验证都是正确
的．例如：取自然数5．经过下面5步运算可得1，即：如图所示．如果自然数m恰好经过7步运算
可得到1，则所有符合条件的m的值有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
例3．（2021春•奉贤区期末）计算： ＝ ．例4．（2021秋•吉林期末）计算：﹣12×（﹣ ）+8÷（﹣2）．
例5．（2021秋•黔南州月考）请你认真阅读下列材料：
计算： ．
解法一：因为原式的倒数为
＝
＝﹣20+3﹣5+12
＝﹣10，
所以原式＝﹣ ．
解法二：原式＝
＝﹣ ．
（1）上述得出的结果不同，肯定有错误解法，你认为哪种解法是错误的？为什么？
（2）根据你对所提供材料的理解，计算下面的题目： ．
五.乘方
【知识点睛】
①符号法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂为正数
②特例：0的任何正整数次幂=0；00无意义；1的任何次幂=1，-1的奇次幂=-1，-1的偶次幂=1
③运算：乘方是特殊的乘法运算，其他运算规律同乘法运算一样；
易错技巧点拨：
①注意（-a）n与-an的不同意义
an a n
( )
与
b b
②注意 的不同意义
③若a与b互为相反数，则有a2=b2，a3+b3=0
【典例精析】
例1．（2021秋•广饶县期中）下列各组数中，数值相等的是（ ）
A．32和23 B．﹣23和（﹣2）3C．﹣32和（﹣3）2 D．﹣3×22和﹣（3×2）2
例2．（2021秋•毕节市期中）在有理数：﹣|﹣ |，（﹣3）2，（﹣2）3，﹣（﹣5），﹣12中，负数的
个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
例3．某细菌每过30分钟就由1个分裂成2个，1个这种细菌经过3小时能分裂成（ ）
A．8个 B．16个 C．32个 D．64个
例4．（2020秋•奉化区校级期中）若a、b、c、d是互不相等的整数（a＜b＜c＜d），且abcd＝9，则：
ac+bd＝ ．
例5．（2021春•杨浦区期中）若x4＝625，则x＝ ．
例6．（2021秋•沂水县期中）（1）计算：
①（3×5）2与32×52；
②[（﹣2）×3]2与（﹣2）2×32；
③[（﹣3）×（﹣4）]2与（﹣3）2×（﹣4）2；
（2）根据以上计算结果猜想：（ab）2，（ab）3分别等于什么？（直接写出结果）
（3）猜想与验证：当n为正整数时，（ab）n等于什么？请你利用乘方的意义说明理由．
（4）利用上述结论，求（﹣8）2021×0.1252022的值．
a×10n （1≤|a|＜10）
六.科学计数法
易错技巧点拨：
①一般地：10的n次幂，在1的后面就有n个0
②n的值的两种确定方法：1.将这个数的整数部分的位数-1就是n
2.将这个数的小数点向左移动的位数就是n
【典例精析】
例1．电影《流浪地球》中的行星发动机利用重核聚变技术，可以直接利用石头作为燃料，每座发动机
产生150亿吨推力，请用科学记数法表示150亿为（ ）
A．150×109 B．1.5×1010 C．1.5×1011 D．1.5×1012
例2．第七次全国人口普查数据显示，贵州省常住人口约为3856.21万人，将38562100用科学记数法表
示为（ ）
A．3.85621×108 B．3.85621×107 C．0.385621×107 D．0.385621×108
例3．（2021秋•盐都区月考）有理数3.645精确到十分位的近似数为（ ）
A．3.7 B．3.64 C．3.6 D．3.65例4．（2021秋•淮北期中）近似数0.7070的精确度是（ ）
A．精确到百分位 B．精确到十万分位 C．精确到万分位 D．精确到千分位
例5．把a精确到百分位的近似数是3.27，则a的取值范围是（ ）
A．3.265＜a＜3.275 B．3.265≤a＜3.275 C．3.265＜a≤3.275 D．3.265≤a≤3.275
【练习】
1．已知43×47＝2021，则（﹣43） 的值为（ ）
A．2021 B．﹣2021 C． D．﹣
2．观察下列各式的计算结果：
1﹣ ＝1﹣ ＝ ＝ × ；
1﹣ ＝1﹣ ＝ ＝ × ；
1﹣ ＝1﹣ ＝ ＝ × ；
1﹣ ＝1﹣ ＝ ＝ × …
（1）用你发现的规律填写下列式子的结果：1﹣ ＝ × ；1﹣ ＝ × ．
（2）用你发现的规律计算：
（1﹣ ）×（1﹣ ）×（1﹣ ）×…×（1﹣ ）×（1﹣ ）× ．
3．观察下列算式：
21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，…根据上述算式中的规律，你
认为220的末位数字是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
4．下列各组的两个数中，运算后的结果相等的是（ ）A．23和32 B．﹣33和（﹣3）3 C．﹣22和（﹣2）2 D．﹣|﹣2|和|﹣2|
5．已知|a﹣2|+（b+3）2＝0，则ba的值是（ ）
A．﹣6 B．6 C．﹣9 D．9
6．若“！”是一种数学运算符号，并且 1！＝1，2！＝2×1＝2，3！＝3×2×1＝6，4！＝
4×3×2×1，…，则 的值为（ ）
A． B．99! C．9900 D．2！
7．定义一种关于整数n的“F”运算：
（1）当n是奇数时，结果为3n+5；
（2）当n是偶数时，结果是 （其中k是使 是奇数的正整数），并且运算重复进行．
例如：取n＝58，第一次经F运算是29，第二次经F运算是92，第三次经F运算是23，第四次经F
运算是74…；若n＝9，则第2017次运算结果是（ ）
A．1 B．2 C．7 D．8
8．由四舍五入法得到的近似数8.8×103，下列说法中正确的是（ ）
A．精确到十分位 B．精确到个位
C．精确到百位 D．精确到千位
9．现有以下五个结论：
①有理数包括所有正有理数、负有理数和0；
②若两个数互为相反数，则它们的商等于﹣1；
③数轴上的每一个点均表示一个确定的有理数；
④绝对值等于其本身的有理数是零；
⑤几个有理数相乘，负因数个数为奇数个则乘积为负数；其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
10．对于正数我们规定： ，例如： ， ，…则
＝ ．
7.混合运算
先算乘方、再算乘除、最后算加减，有括号的先算括号里面的运算。【典例精析】
例：计算：
（1） ；
（2） ．
（3）﹣14+|3﹣5|﹣16 ．
（4）﹣22÷ ×（1﹣ ）2．
