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专题 09 直线、射线、线段与角、余角、补角之十一大题型
两点确定一条直线
例题：（2023秋·河南安阳·七年级校考期末）在安装如图所示的挂衣钩时，小明先在墙上标记两个
固定孔，就可以预先确定好挂衣钧合适的位置，这样做的依据是： ．
【变式训练】
1．（2023上·山西太原·七年级校考期末）在下列生活，生产现象中，不可以用基本事实“两点确
定一条直线”来解释的是（ ）
A． B． C． D．2．（2023上·新疆和田·七年级和田市第三中学校考期末）木工师傅在锯木料时，先在木板上取出
两点，然后弹出一条墨线，这是利用了 的原理
两点之间线段最短
例题：（2022秋·湖北咸宁·七年级统考期末）如图：“小草青青，足下留情”，为抄近路践踏草坪
是一种不文明的现象，请你用数学知识解释出这一不文明现象的原因是：
，
【变式训练】
1．（2023上·云南昆明·七年级统考期末）小敏从金马碧鸡坊去往云南民族村，打开导航，显示两
地直线距离为 ，但导航提供的三条可选路线长却分别为 ， 和 （如图），能
解释这一现象的数学知识是 （ ）
A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短
C．两点之间，直线最短 D．两点确定一条直线
2．（2023上·吉林长春·七年级统考期末）如图，从A地到B地有三条路径，当人们希望路程越短
越好时，往往选择线段 ，这里体现的数学基本事实是 ．作图——画直线、射线、线段
例题：（2023上·吉林长春·七年级统考期末）如图，平面上有四个点 ， ， ， ．按要求完成
下列问题：
(1)连结 ．
(2)画射线 ，射线 与线段 相交于点 ．
【变式训练】
1．（2023上·甘肃白银·七年级统考期末）如图，平面上有三点 、 、 ，请按照下列语句画出
图形并作答．
(1)画直线 ，射线 ；
(2)连接 ，并延长 至点 ，使 ，取 的中点 ；
(3)若 ，求线段 的长．2．（2023上·河北唐山·七年级统考期末）如图，在同一个平面内有四个点，请用直尺和圆规按下
列要求作图（不写作图步骤，保留作图痕迹，而且要求作图时先使用铅笔画出，确定后再使用黑色
字迹的签字笔描黑）：
(1)作射线 ；
(2)作直线 与直线 相交于点 ；
(3)在射线 上作线段 ，使线段 与线段 相等．
线段的应用
例题：（2023秋·河南许昌·七年级统考期末）2022年9月8日，随着列车从郑州港区段鸣笛出发，
郑许市域铁路开始空载试运行，未来“双城生活模式”指日可待．图中展示了郑许市域铁路的其中
五个站点，若要满足乘客在这五个站点之间的往返需求，铁路公司需要准备 种不同的车票．
【变式训练】
1．（2023上·浙江金华·七年级统考期末）从杭州东站出发到金华南站的动车，中途要停靠诸暨站
和义乌站，则铁路部门供旅客购买的火车票要准备（ ）
A．12种 B．10种 C．6种 D．4种
2．（2021上·浙江衢州·七年级统考期末）杭衢高铁线上，要保证衢州、金华、义乌、诸暨、杭州
每两个城市之间都有高铁可乘，需要印制不同的火车票（ ）A．20种 B．15种 C．10种 D．5种
线段中点的有关计算
例题：（2023上·云南红河·七年级统考期末）如图，已知线段 ， ，点M是 的中
点．
(1)求线段 的长；
(2)在 上取一点N，使得 ，求线段 的长．
【变式训练】
1．（2023上·河南漯河·七年级校考期末）如图， 为线段 上一点，点 为 的中点，且
， ．
(1)图中共有______条线段．
(2)求 的长．
(3)若点E在直线 上，且 ，求 的长．
2．（重庆市开州区2022-2023学年七年级上学期期末数学试题）已知点B在线段AC上，点D在线
段AB上．
(1)如图1，若 ， ，D为线段AC的中点，求线段DB的长度；
(2)如图2.若 ，E为线段AB的中点， ，求线段AC的长度．线段n等分点的有关计算
例题：（2023秋·四川成都·七年级统考期末）（1）如图1，点C在线段 上，M，N分别是 ，
的中点．若 ， ，求 的长；
（2）设 ，C是线段 上任意一点（不与点A，B重合），
①如图2，M，N分别是 ， 的三等分点，即 ， ，求 的长；
②若M，N分别是 ， 的n等分点，即 ， ，直接写出 的值．
【变式训练】
1.（2023秋·陕西宝鸡·七年级校考期末）如图，已知点B在线段 上， ， ，P、Q
分别为线段 、 上两点， ， ，则线段 的长为 ．
2．（2023上·湖北十堰·七年级统考期末）根据题意，填空完善解答过程：已知，线段 ，C
是直线 上的一点，M，N分别是线段 的三等分点，且 ．
(1)如图1，当点C在线段 上时，求 的长；
(2)如图2，当点C在 延长线上时，求 的长；
(3)当点C在 延长线上时，画出图形，并模仿上述两问的解答过程，求 的长．求一个角的余角、补角
例题：（22·23上·省直辖县级单位·期末）若 ，则 的余角等于 ， 的补
角等于 ．
【变式训练】
1．（22·23上·内江·期末）如果 ，那么 的余角等于 ； 的补角为
．
2．（22·23上·南京·期末）若 ，则 的余角为 °， 的补角为 °．
角平分线的有关计算
例题：（2023秋·河南南阳·七年级统考期末）已知O为直线 上一点， 是直角， 平分
．
(1)如图①，若 ，则 __________；若 ，则 __________；
与 的数量关系为__________；
(2)当射线 绕点O逆时针旋转到图②的位置时，（1）中 与 的数量关系是否仍然成
立？请说明理由．【变式训练】
1．（2023上·吉林长春·七年级统考期末）如图， ， ， 平分 ，
平分 ．
(1)求 的度数．
(2)若 ， ，用含 、 的代数式表示 的度数为______ ．
2．（2023下·山东聊城·七年级统考期末）如图，已知点 是直线 上一点，射线 分别是
、 的平分线．
(1)若 ，求 的度数．
(2)如果把“ ”条件去掉，那么 的度数有变化吗？请说明理由．
三角板中角度计算问题
例题：（2023上·江西上饶·七年级校联考期末）如图，这是一副顶点重合的直角三角板，已知
∠BAC＝60°， ，则 的大小是 ．【变式训练】
1．（2023上·浙江金华·七年级统考期末）如图，将一副三角板的顶点重合放置，三角板 绕点
旋转．当 时， °
2．（2023下·辽宁沈阳·七年级统考期末）在数学实践活动课上，“奋进”小组准备研究如下问题：
如图，点A，O，B在同一条直线上，将一直角三角尺如图1放置，使直角顶点重合于点O，
是直角，OE平分 ．
问题发现：
(1)如图1，若 ，则 的度数为______；
(2)将这一直角三角尺如图2放置，其他条件不变，探究 和 的度数之间的关系，写出
你的结论，并证明．角n等分线的有关计算
例题：（2023秋·山西大同·七年级统考期末）在 的内部作射线 ，射线 把 分成
两个角，分别为 和 ，若 或 ，则称射线 为
的三等分线．若 ，射线 为 的三等分线，则 的度数为
（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【变式训练】
1.（2023秋·浙江湖州·七年级统考期末）定义：从 的顶点出发，在角的内部引一条射线 ，
把 分成 的两部分，射线 叫做 的三等分线．若在 中，射线 是
的三等分线，射线 是 的三等分线，设 ，则 用含x的代数式表
示为（ ）
A． 或 或 B． 或 或 C． 或 或 D． 或 或
2.（2023秋·福建龙岩·七年级统考期末）已知 ，以射线 为起始边，按顺时针方向依
次作射线 、 ，使得 ，设 ， .
(1)如图1，当 时，若 ，求 的度数；
(2)备用图①，当 时，试探索 与 的数量关系，并说明理由；
(3)备用图②，当 时，分别在 内部和 内部作射线 ， ，使
， ，求 的度数.与余角、补角、角平分线有关角的综合问题
例题：（2023上·河南驻马店·七年级统考期末）如图，点O是直线 上一点， 平分 ，
在直线 另一侧以O为顶点作 ．
(1)若 ，那么 __________﹔ 与 的关系是__________；
(2) 与 有什么数量关系？请写出你的结论并说明理由．
【变式训练】
1．（2023上·江西南昌·七年级南昌市第二十八中学校联考期末）如图，已知点 为直线 上一点，
， ， 平分 ．
(1)求 的度数；
(2)若 与 互余，求 的度数．
2．（2023下·上海普陀·六年级统考期末）定义：如果两个角的度数的和是 ，那么这两个角叫做
互为半余角，其中一个角称为另一个角的半余角，例如： ， ，因为
，所以 和 互为半余角．(1)如果 ， 是 的半余角，那么 的度数是_______；
(2)如图，已知 ，射线 在 的内部，满足 ， 是 的
平分线．
①在 的内部画射线 ，使 ．并写出图中 的半余角：________；
② 是 的半余角，当 是 的 时，求 的度数．
一、单选题
1．（2023上·四川成都·七年级统考期末）如图，建筑工人砌墙时，经常先在两端立桩拉线，然后
沿着线砌墙，这是因为（ ）
A.两点之间，直线最短 B．两点之间，线段最短
C．两点之间，射线最短 D．两点确定一条直线
2．（2023上·江苏常州·七年级统考期末）若 与 互余， 与 互补，则 与 的关系是
（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023上·黑龙江绥化·七年级统考期末）往返于甲、乙两市的列车，中途需停靠4个站，如果
每两站的路程都不相同，这两地之间有多少种不同的票价（ ）A．15 B．30 C．20 D．10
4．（2023下·甘肃武威·七年级统考期末）已知线段 ，点C是直线 上一点，
，若M是 的中点，N是 的中点，则线段 的长度是（ ）
A．7cm B．3cm C．7cm或5cm D．5cm
5．（2023上·山东临沂·七年级统考期末）如图， 是直线 上的一点， 是一条射线， 平
分 ， 在 内，且 ， ．下列四个结论：①
；②射线 平分 ；③图中与 互余的角有2个．其中结论正确的序号有
（ ）
A．①③ B．②③ C．①②③ D．①②
二、填空题
6．（2023下·甘肃张掖·七年级校考期末）已知 ，则 的余角的度数是 ．
7．（2023上·新疆乌鲁木齐·七年级统考期末）乌鲁木齐市的数学期末考试通常在上午 时开始，
此时时钟的时针与分针的夹角是 度．
8．（2023上·辽宁锦州·七年级统考期末）如图，已知点 在线段 的延长线上，且 ，
为 的中点，若 ，则 ．
9．（2023上·江西吉安·七年级校考期末）在同一直线上有 不重合的四个点，
，则 的长为 ．
10．（2023下·江西南昌·七年级校考期末）如图，直线 与 相交于点O， ，
平分 ， ， 平分 ．若射线 从射线 的位置出发，绕点O以每秒
的速度逆时针旋转一周，当旋转时间为t秒时， 三条射线中恰好有一条射线是另外两条射线所组成的角的平分线，请写出旋转时间t的值为 秒．（旋转过程中 ，
， 都只考虑小于 的角）
三、解答题
11．（2023上·福建福州·七年级统考期末）如图，已知四点A，B，C，D，利用无刻度的直尺和圆
规按下列要求作图作图（不写作法，保留作图痕迹）：
(1)连接 ，作直线 ；
(2)作射线 ，并在射线 上取一点E，使 ．
12．（2023上·河南南阳·七年级统考期末）如图，点 是线段 上的一点，其中
， 是线段 的中点， 是线段 上一点．
(1)若 为线段 的中点，求 的长度；
(2)若 为线段 的一个三等分点，求 的长度．13．（2023上·山西太原·七年级校考期末）如图（甲）， 和 都是直角．
(1)如果 ， 的度数为 ．
(2)图（甲）中相等的角有 ； ．如果 ，它们 （填“相等”或“不等”）
(3)在图（乙）中利用能够画直角的工具再画一个与 相等的角．
14．（2023上·吉林·七年级校考期末）如图，数轴上点 表示的数为 ，点 表示的数为16，点
从点 出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点 从点 出发，以每秒2
个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为 秒 ．
(1) ， 两点间的距离等于________，线段 的中点表示的数为________；
(2)用含 的代数式表示： 秒后，点 表示的数为________，点 表示的数为________；
(3)求当 为何值时， ？
(4)若点 为 的中点，当点 到原点距离为 时， ________．15．（2023上·河北邢台·七年级统考期末）如图，点 在同一条直线上，从点 引一条射线
，且 ．
(1)求 的度数．
(2)将 绕点 顺时针旋转 （ ，且 不是 的整数倍）得到 ，在
内引射线 ，在 内引射线 ，且 ．．
①若 ，求 的度数；
②若 ，请直接写出 的大小．
