文档文本内容
专题1.13 绝对值（知识讲解）
【学习目标】
1．掌握一个数的绝对值的求法和性质；
2．进一步学习使用数轴，借助数轴理解绝对值的几何意义；
3．会求一个数的绝对值，并会用绝对值比较两个负有理数的大小；
4. 理解并会熟练运用绝对值的非负性进行解题；
5.理解并掌握分类讨论思想、数形结合思想.
【要点梳理】
要点一、绝对值
1.定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|.
特别说明：
（1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；
0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有：
（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距
离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小．
（3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的．
2.性质：绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0．
要点二、有理数的大小比较
1. 数轴法：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小. 如：a与b在数轴
上的位置如图所示，则a＜b．
2.法则比较法：
两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下：
同为正号：绝对值大的数大
两数同号
同为负号：绝对值大的反而小
两数异号 正数大于负数
正数与0：正数大于0
－数为0
负数与0：负数小于0
特别说明：利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小；（3）判定两数的大小．
3. 作差法：设a、b为任意数，若a-b＞0，则a＞b；若a-b＝0，则a＝b；若a-b＜0，a＜
b；反之成立．
4. 求商法：设a、b为任意正数，若 ，则 ；若 ，则 ；若 ，则
；反之也成立． 若a、b为任意负数，则与上述结论相反．
5. 倒数比较法：如果两个数都大于0，那么倒数大的反而小.
【典型例题】
【知识点一】绝对值的意义
1．若a与5互为相反数，则 等于（ ）
A．0 B． C．5 D．10
【答案】A
【分析】根据相反数的定义得到a=-5，然后根据绝对值的意义计算|a+5|即可.
解：∵a与5互为相反数．
∴a=-5，
∴|a+5|=|-5+5|=0．
故选：A．
【点拨】本题考查了相反数和绝对值.能分别根据相反数的定义和绝对值的定义求数的
相反数和绝对值是解决此题的关键．
举一反三.
【变式1】在数轴上，到原点的距离等于6的点表示的数是（ ）
A．5 B．－7 C．5或－7 D．6或-6
【答案】D
【分析】从原点向左数6个单位长度得 ，向右数6个单位长度得6，也就是绝对值
为6的数是 ．
解：与原点距离为6的点为： ，
这个数为6或 ．
故选：D．
【点拨】本题考查了数轴，解题的关键是通过数轴找这样的数，有助于对绝对值意义
的理解．【变式2】数轴上表示数 和 的点到原点的距离相等，则 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由数轴上表示数 和 的点到原点的距离相等且 ，可得 和
互为相反数，由此即可求得m的值．
解：∵数轴上表示数 和 的点到原点的距离相等， ，
∴ 和 互为相反数，
∴ + =0，
解得m=-1．
故选D．
【点拨】本题考查了数轴上的点到原点的距离，根据题意确定出 和 互为相反数
是解决问题的关键．
【知识点二】求一个数的绝对值
2.计算： ______．
【答案】2022
【分析】根据去绝对值符号法则，即可求得．
解： ，
故答案为：2022．
【点拨】本题考查了去绝对值符号法则，熟练掌握和运用去绝对值符号法则是解决本
题的关键．
举一反三.
【变式1】若 ，则 ______．
【答案】
【分析】根据绝对值的定义求解即可．
解：∵ ，
∴m=±7，
故答案为：±7．
【点拨】本题考查了绝对值的意义，表示一个数a的点到原点的距离叫做这个数的绝
对值．一个正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数，绝对值等于一个正数的数有2个，它们是互为相反数的关系．
【变式2】规定：a※b=|b|，则15※ (－21)=_____
【答案】
【分析】根据题意定义的运算方式计算即可．
解：∵a※b=|b|，
∴15※ (－21)＝ ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了绝对值，读懂题意，理解题中的新定义运算是解本题的关键．
【知识点三】化简绝对值
3.已知两个有理数a，b在数轴上的位置如图所示．
（1）在数轴上找出﹣a，﹣b所表示的点；
（2）化简：|2b|+|a+b|﹣|b﹣a|．
【答案】（1）见分析；（2）0
【分析】
（1）利用相反数的性质在数轴上找出即可；
（2）根据数轴即可判断a＋b、b−a，2b的正负，再化简即可．
解：（1）如图所示：
（2）由数轴可知：−a＜−1＜b＜0＜−b＜1＜a，
∴a＋b＞0，b−a＜0，2b＜0，
∴原式＝（a＋b）＋（b−a）−2b，
＝a＋b＋b−a−2b，
＝0．
【点拨】本题的考点是数轴及绝对值；解题关键是根据数轴上点的坐标的特征，和去
绝对值的方法求解．
举一反三.
【变式1】有理数a、b、c在数轴上的位置如图：（1）用“>”或“<”填空：a-b___0，b-c___0，c-a___0，
（2）化简：|a-b|-|b-c|+|c-a|．
【答案】（1）＜，＜，＞；（2） ．
【分析】
（1）根据数轴，判断出 的符号以及大小关系，然后求解；
（2）根据 ， ， 的符号，化简即可．
解：（1）由数轴可得：
所以， ， ，
故答案为：<，<，>
（2）
【点拨】本题考查数轴表示数的意义和方法，化简绝对值，正确判断各个代数式的符
号是解题的关键．
【变式2】a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简|a＋b|﹣|a﹣c|＋|c﹣b|的值．
【答案】-2b
【分析】根据数轴上点的位置即可得到 ，则 ， ， ，
由此求解即可．
解：由数轴上点的位置可得： ，
∴ ， ， ，
∴
．【点拨】本题主要考查了根据数轴判断式子符号，化简绝对值，解题的关键在于能够
根据数轴上点的位置得到 ， ， ．
【知识点四】绝对值非负性的应用
4.已知|x＋1|＝4，（y＋2）2＝4，若x＋y≥﹣5，求x﹣y的值．
【答案】3或7或
【分析】
根据绝对值和乘方求出x，y，再根据x＋y≥﹣5计算即可；
解：∵|x＋1|＝4，
∴ 或 ，
∴ 或 ,
∵（y＋2）2＝4，
∴ 或 ，
∴ 或 ，
∵x＋y≥﹣5，
∴当 ， 时， ；
当 ， 时， ；
当 ， 时， ；
∴x﹣y的值是3或7或 ．
【点拨】本题主要考查了绝对值的性质，平方的性质，利用非负性求解是解题的关键．
举一反三.
【变式1】已知|x﹣4|+|y+2|=0，求y﹣x的值．
【答案】-6
【分析】根据绝对值的非负数，求出x、y的值，代入原式计算可得答案．
解：∵|x-4|+|y+2|=0，
∴x-4=0，y+2=0，
解得：x=4，y=-2，
∴y-x=-2-4=-6．
【点拨】本题考查了非负数的性质，解决本题的关键是熟记绝对值的非负数．
【变式2】已知 ，则 的相反数是多少？
【答案】5【分析】根据绝对值的非负性求出a、b的值，然后根据相反数的意义进行求解即可．
解：∵ ，
∴ ，解得 ，
∴ ，
∵ 的相反数是5，
∴ 的相反数是5．
【点拨】本题主要考查绝对值的非负性及相反数，熟练掌握绝对值的非负性及相反数
是解题的关键．
【知识点五】绝对值方程
5.若 ，求 的值
【答案】-5或-13
【分析】依据绝对值的性质求得a、b的值，然后代入求解即可．
解：∵|a|=4，|b|=9，|a-b|=a-b，
∴a=±4，b=±9，a-b≥0．
∴a=±4，b=-9．
当a=4，b=-9时，则a+b=4+（-9）=-5；
当a=-4，b=-9时，则a+b=-4+（-9）=-13．
综上所述，a+b的值为-5或-13．
【点拨】考查了绝对值的性质、有理数的加法法则，熟练掌握相关性质是解题的关键．
举一反三.
【变式1】若 ，且 ，分别求 的值.
【答案】x=2，y=5或x=-2，y=5
【分析】先根据 求出x=±2，y=±5，在根据 确定x、y的值．
解：∵
∴x=±2，y=±5
又∵
∴x=2，y=5或x=-2，y=5
【点拨】本题考查的是绝对值的意义，掌握绝对值的定义及有理数的大小比较是关键．【变式2】已知 求 ．
【答案】5或7
【分析】根据绝对值的意义以及a与b的关系求出a和b的值，代入计算即可．
解：∵
∴a=1或-3，b=4或-3，
∵a<b，
∴a=1，b=4，或a=-3，b=4，
=5或7．
【点拨】本题考查了绝对值的意义，解题的关键是掌握已知一个数的绝对值，求这个
数．
【知识点六】绝对值的其他应用
6.一辆巡逻车从文化广场A出发，向西走了2km到达学校B，继续向西走了
1km到达公园C，然后向东走了5km 到达商场D，最后回到文化广场A．
（1）用一个单位长度表示1km，向东为正方向，以文化广场为原点，画出数轴，并在
数轴上标明 A、B、C、D 的位置．
（2）商场 D 离文化广场 A 有多远？
（3）巡逻车一共行驶了多远？
【答案】（1）见分析 （2） （3）
【分析】
(1)先建数轴，按方向与距离确定A、B、C、D的位置即可，
(2)分别确定A、D表示的数，利用数轴两点间的距离等与D点表示的数减去A点表示
的数计算即可，
(3)取它们的绝对值，再求和即可．
解：（1）
（2）AD=2-0=2km，
（3） =2+1+5+2=10(km)．【点拨】本题考查利用数轴表示数，求两点距离，以及绝对值问题，掌握数轴的性质，
会用数轴表示数，会求两点距离，会计算绝对值是关键．
举一反三.
【变式1】某司机在东西路上开车接送乘客，他早晨从A地出发，（去向东的方向正
方向），到晚上送走最后一位客人为止，他一天行驶的的里程记录如下（单位：㎞）
+10 ，— 5， —15 ，+ 30 ，—20 ，—16 ，+ 14
（1）若该车每百公里耗油 3 L ，则这车今天共耗油 多少升？
（2）据记录的情况，你能否知道该车送完最后一个乘客是，他在A地的什么方向？
距A地多远？
【答案】（1）3.3L,（2）正西方向上, 2千米
【分析】本题分别考查了绝对值的定义、有理数的加法、正数和负数的意义.
（1）首先把所给的数据的绝对值相加，然后乘以 即可求解；
（2）首先把题目的已知数据相加，然后根据结果的正负即可确定结果.
解：（1）该天共耗油 升；
（2） 千米
∴他在A地的正西方向，距A地2千米.
【变式2】某检修小组乘一辆检修车沿一段东西方向铁路检修，规定向东走为正，向
西走为负，小组的出发地记为M，某天检修完毕时，行走记录(单位：千米)如下：
+12，-5，-9，+10，-4，+15，-9，+3，-6，-3，-7
(1)问收工时，检修小组距出发地M有多远？在东侧还是西侧？
(2)若检修车每千米耗油0.2升，求从出发到收工时检修车共耗油多少升？
【答案】（1）-3；距离出发地 点3千米，在它西侧；（2）16.6升.
【分析】
（1）根据有理数的加法，可得答案；
（2）根据单位耗油量乘以路程，可得答案．
解：（1）12-5-9+10-4+15-9+3-6-3-7=-3；距离出发地 点3千米，在它西侧.
（2）（12+5+9+10+4+15+9+3+6+3+7）×0.2 = 83×0.2 = 16.6（升）.
【点拨】本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一
对具有相反意义的量．
【知识点七】有理数大小比较7.比较下列各数的大小，并用“＜”号连接起来：
， ，3， ， ，0．
【答案】
【分析】先把每个数进行化简，再根据有理数的大小排列起来即可．
解： ， ，
∵ ，
∴ ．
【点拨】本题考查比较数的大小，准确的把每个数进行化简是解题的关键．
举一反三.
【变式1】 画一条数轴，在数轴上表示下列各数，并用小于号“<”连接：
－5 ， ，－(－2)，0，3
【答案】数轴见分析，
【分析】根据有理数在数轴上对应的点、有理数的大小关系解决此题．
解：-|-4|=-4，-(-2)=2．
∴-5 ，-|-4| ，-(-2) ，0 ，3 在数轴上对应的点表示如下：
∴ ．
【点拨】本题主要考查了有理数在数轴上对应的点、有理数的大小比较、绝对值，熟
练掌握有理数在数轴上对应的点、有理数的大小关系、绝对值的定义是解决本题的关键．
【变式2】有理数a＞0，b＜0，c＞0，且|a|＜|b|＜|c|．
（1）在数轴上将a、b、c三个数填在相应的括号中．（2）（用“＞”或“＝”或“＜”填空）：c﹣a 0，b﹣c 0，b﹣a 0．
（3）化简：|b﹣a|+|b﹣c|﹣|c﹣a|．
【答案】（1）b、a、c；（2）＞，＜，＜；（3）2a﹣2b．
【分析】
（1）由有理数a＞0，b＜0，c＞0，且|a|＜|b|＜|c|，即可得 ，由此求解即可；
（2）根据 进行求解即可；
（3）由b﹣a＜0，b﹣c＜0，c﹣a＞0，进行求解即可．
解：（1）∵有理数a＞0，b＜0，c＞0，且|a|＜|b|＜|c|，
∴
∴根据已知条件填图如下：
故答案为：b，a，c，
（2）∵a＞0，c＞0，|a|＜|c|，
∴c﹣a＞0，
∵b＜0，c＞0，
∴b﹣c＜0，
∵a＞0，b＜0，
∴b﹣a＜0．
故答案为：＞，＜，＜；
（3）|b﹣a|+|b﹣c|﹣|c﹣a|
＝﹣b+a+c﹣b﹣c+a
＝2a﹣2b．
【点拨】本题主要考查了用数轴表示有理数，化简绝对值，比较有理数的大小，解题
的关键在于能够根据题意得到 ．
【知识点八】有理数大小比较的实际应用
8.下表记录了某日我国几个城市的平均气温：
北京 西安 哈尔滨 上海 广州（1）将各城市的平均气温从高到低进行排列；
（2）在地图上找到这几个城市的位置，并将它们从北到南进行排列．
【答案】（1） 、 、 、 、 ；（2）哈尔滨、北京、西安、
上海、广州
【分析】
（1）先画数轴将各地区的平均气温表示在数轴上，通过两数之间的大小关系，当
a<b时，在数轴上反映为表示数 a的点在表示数 b的点的左边，判断即可；
（2）在地图上，找出各个城市，根据其纬度的大小关系确定其由北到南的顺序．
解：（1）将各地区的平均气温表示在数轴上，如下图：
各城市的平均气温从高到低排列为： 、 、 、 、 ；
（2）在地图上，由北到南依次为哈尔滨、北京、西安、上海、广州．
【点拨】此题考查有理数与数轴上的点的对应关系，并且要通过数轴比较大小，属于
基础题，熟练掌握基础知识是解题关键．
举一反三.
【变式1】出租车司机小傅某天下午营运全是在东西走向的大道上行驶的．若如果规
定向东为正，则行车里程（单位：km）如下：
＋11，－2，＋3，＋10，－11，＋5，－15，－8
（1）当把最后一名乘客送到目的地时，小傅距离出车地点的距离为多少？
（2）若每千米的营运额为7元，成本为1．5元/km，则这天下午他盈利多少元？
【答案】（1）距离出发地点7km（2）357.5元
解：试题分析：（1）可以把出车地看做0，然后根据题意列式，即可推出结果，
（2）根据司机下午的总营运路程，由每千米的营运额为7元，成本为1．5元/km，推出每
千米的盈利，用每千米的盈利乘以总营运路程即可推出这天下午他的总盈利．
试题解析：（1）＋11－2＋3＋10－11＋5－15－8＝－7
答：距离出发地点7km．
（2）11＋2＋3＋10＋11＋5＋15＋8＝6565×（7－1．5）＝357．5元
答：当天下午盈利357．5元．
考点：1．有理数的运算，2．绝对值
【变式2】一个水池安装有 五根水管，有的专门放水，有的专门进水，如
果用两根水管同时工作，将空池注满所用的时间如下表所示．(单位:小时)
如果用一根水管进水，要尽快把空池注满，那么应选用哪一根水管?请写明推理过程．
【答案】D最快，详见分析
【分析】分别比较各列的注水速度可得 ，即可进行判断．
解：比较第一列与第三列得注水速度: ;
比较第一列与第五列得注水速度: ;
比较第二列与第五列得注水速度: ;
比较第二列与第四列得注水速度: ;
较第三列与第四列得注水速度: ．
所以，注水速度: 最快．
【点拨】本题考查了有理数大小比较的实际应用，掌握有理数大小比较的方法是解题
的关键．
