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第 01 讲 二次函数
课程标准 学习目标
1. 掌握二次函数概念，能够通过二次函数的概念解决
相关题目。
①二次函数的定义
2. 掌握 型二次函数的图像与性质，能够熟练
② 的图像与性质
解决有关题目。
③ 的平移与一般形式的平移
3. 掌握二次函数 与 的平移，
并能够通过平移规律解决相关题目。
知识点01 二次函数的定义
1. 二次函数的定义：
一般地，形如 的函数叫做二次函数。
其中： 是自变量， 是函数解析式的 ； 是函数解析式 ； 是函数解
析式的 。 又是二次函数的 。
判断二次函数时，把二次函数化为 ，右边一定要是 ，最高次数是 且二
次项系数 。题型考点：①判断二次函数关系。②根据二次函数定义求值。
【即学即练1】
1．如图，正方形ABCD和 O的周长之和为20cm，设圆的半径为xcm，正方形的边长为ycm，阴影部分的
面积为Scm2．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系
⊙
分别是（ ）
A．一次函数关系，一次函数关系
B．一次函数关系，二次函数关系
C．二次函数关系，二次函数关系
D．二次函数关系，一次函数关系
【即学即练2】
2．下列函数中，是二次函数的是（ ）
A． B． C．y＝2x2﹣2x+2 D．y＝2x+2
【即学即练3】
3．已知y＝m x|m﹣2|+2mx+1是y关于x的二次函数，则m的值为（ ）
A．0 B．1 C．4 D．0或4
知识点02 二次函数 的图像
1. 二次函数的图像：
二次函数的图像是一条 ，有 ， ， 。函数图像关于对称
轴对称。
2. 二次函数 的图像
（1）画函数图像的步骤：
①列表：列出 与 的表格。
②描点：在平面直角坐标系中找到相应的点的 。
③连线：用一条圆滑的曲线把所有点连接起来。
（2）画二次函数 的函数图像。
列表：描点与连线：在同一个坐标轴画出函数图像（自行画图）
【即学即练1】
4．把图中图象的号码，填在它的函数式后面：
（1）y＝3x2的图象是 ；
（2）y＝ x2的图象是 ；
（3）y＝﹣x2的图象是 ；
（4）y＝ x2的图象是 （填序号①，②等）．知识点03 二次函数 的性质
1. 二次函数 的性质：
由函数的图像可知二次函数的有关性质：
题
型
考 大致图像
点：
①
开口方向
二
顶点坐标
次
对称轴
函
对称轴右边y随x的增大而 对称轴右边y随x的增大而
数
。 。
性
增减性
对称轴左边y随x的增大而 对称轴左边y随x的增大而
质
。 。
的
函数值有最 值 函数值有最 值
熟
最值
这个值是 。 这个值是 。
悉。
②根据性质求值。
【即学即练1】
5．填写下表：
y＝ax2 a＞0 a＜0
图象
开口方向
对称性
顶点与最高、最低
点
【即学即练2】
6．已知二次函数y＝﹣ x2，下列说法正确的是（ ）A．该抛物线的开口向上
B．顶点坐标是（0，0）
C．对称轴是直线x＝﹣
D．当x＜0时，y随x的增大而减小
【即学即练3】
7．抛物线y＝ax2与y＝x2的开口大小、形状一样、开口方向相反，则a＝ ．
【即学即练4】
8．已知二次函数y＝（m﹣2）x2的图象开口向下，则m的取值范围是 ．
知识点04 二次函数的平移
1. 函数的平移规律：
函数的平移分左右平移与上下平移，左右平移在 上进行加减，左 右 。
上下平移在 上进行加减，上 下 。
① 向左平移 个单位之后得到的函数解析式为 。
② 向右平移 个单位之后得到的函数解析式为 。
③ 向上平移 个单位之后得到的函数解析式为 。
④ 向下平移 个单位之后得到的函数解析式为 。
⑤ 向左右平移 个单位后在向上下平移 个单位得到的函数解析式为 。
⑥ 向左右平移 个单位后在向上下平移 个单位得到的函数解析式为：
。
题型考点：求平移后的函数解析式。
【即学即练1】
9．将抛物线y＝3x2先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的表达式为 ．
【即学即练2】
10．将抛物线y＝﹣3x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到抛物线为（ ）
A．y＝﹣3（x+1）2﹣3 B．y＝﹣3（x﹣1）2﹣3
C．y＝﹣3（x+1）2+5 D．y＝﹣3（x﹣1）2+5
【即学即练3】
11．在平面直角坐标系中，将二次函数y＝（x+1）2+3的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单
位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ）
A．y＝（x+3）2+2 B．y＝（x﹣1）2+2 C．y＝（x﹣1）2+4 D．y＝（x+3）2+4【即学即练4】
12．若抛物线y＝x2+2x﹣3不动，将平面直角坐标系先沿水平方向向左平移 2个单位长度，再沿铅垂方向
向下平移3个单位长度，则原抛物线的解析式应变为（ ）
A．y＝（x﹣2）2+3 B．y＝（x﹣1）2﹣1 C．y＝（x+3）2﹣7 D．y＝x2+4
题型01 二次函数的定义
【典例1】
自由落体公式h＝ gt2（g为常量），h与t之间的关系是（ ）
A．正比例函数 B．一次函数
C．二次函数 D．以上答案都不对
【典例2】
下列函数中：（1）y＝2（x﹣1）（x+4）； （2）y＝3（x﹣1）2+2；（3）y＝x2+ ； （4）y＝（x﹣
3）2﹣x2．不是二次函数的是（ ）
A．（1）（2） B．（3）（4） C．（1）（3） D．（2）（4）
【典例3】
已知函数y＝（m+3）x2+4是二次函数，则m的取值范围为（ ）
A．m＞﹣3 B．m＜﹣3 C．m≠﹣3 D．任意实数
【典例4】
若y＝（a2+a） 是二次函数，那么（ ）
A．a＝﹣1或a＝3 B．a≠﹣1且a≠0 C．a＝﹣1 D．a＝3
题型02 二次函数 的图像与性质
【典例1】
如图所示，函数y＝ax2（a≠0）和y＝﹣ax+b（a≠0）在同一坐标系中的图象可能为（ ）
A． B．C． D．
【典例2】
对于函数y＝6x2，下列说法正确的是（ ）
A．当x＞0时，y随x的增大而减小
B．当x＜0时，y随x的增大而减小
C．y随x的增大而减小
D．y随x的增大而增大
【典例3】
抛物线y＝x2与y＝﹣x2的图象的关系是（ ）
A．开口方向不同，顶点相同，对称轴相同
B．开口方向不同，顶点不同，对称轴相同
C．开口方向相同，顶点相同，对称轴相同
D．开口方向相同，顶点不同，对称轴不同
【典例4】
若抛物线 的开口向下，则m的值为（ ）
A． B． C．3 D．﹣3
【典例5】
下列四个二次函数：①y＝x2，②y＝﹣2x2，③y＝ ，④y＝3x2，其中抛物线开口从大到小的排列
顺序是（ ）
A．③①②④ B．②③①④ C．④②①③ D．④①③②
题型03 二次函数的平移
【典例1】
在平面直角坐标系中，将二次函数y＝x2﹣2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，所
得函数的表达式为（ ）
A．y＝（x+1）2﹣5 B．y＝（x﹣1）2﹣5 C．y＝（x+1）2+1 D．y＝（x﹣1）2﹣1
【典例2】
把二次函数y＝x2+2x+1先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，新二次函数表达式变为（
）
A．y＝（x+3）2+2 B．y＝（x﹣1）2+2 C．y＝（x﹣1）2+1 D．y＝（x+3）2﹣1【典例3】
要得到抛物线y＝2（x﹣4）2+1，可以将抛物线y＝2x2（ ）
A．向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度
C．向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度
D．向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度
【典例4】
若抛物线 向右平移m个单位长度后经过点（3，3），则m＝（ ）
A．﹣2 B．﹣2或4 C．2或4 D．2或﹣4
【典例5】
将二次函数y＝ax2﹣8ax+2的图象向左平移m（m＞0）个单位后过点（5，2），则m的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【典例6】
已知抛物线C ：y＝3x2﹣6x+1，抛物线C 是由抛物线C 向右平移4个单位得到的，那么我们可以得到抛
1 2 1
物线C 和抛物线C 一定关于某条直线对称，则这条直线为（ ）
1 2
A． B．x＝3 C．x＝2 D．1．下列函数中，是二次函数的是（ ）
A．y＝3x﹣1 B．y＝x3+2
C．y＝（x﹣2）2﹣x2 D．y＝x（4﹣x）
2． 是二次函数，则m的值是（ ）
A．m＝0 B．m＝﹣1 C．m＝1 D．m＝±1
3．线段AB＝5，动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿线段AB运动至点B，以线段AP为边作
正方形APCD，线段PB长为半径作圆，设点P的运动时间为t，正方形APCD周长为y， B的面积为
S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（ ）
⊙
A．正比例函数关系，反比例函数关系
B．一次函数关系，二次函数关系
C．正比例函数关系，二次函数关系
D．一次函数关系，反比例函数关系
4．下列函数中，y的值随x值的增大而减小的是（ ）
A．y＝x2+1 B．y＝﹣x2+1 C．y＝2x+1 D．y＝﹣2x+1
5．对于函数y＝x2，下列判断中，正确的是（ ）
A．若m、n互为相反数，则x＝m与x＝n对应的函数值相等
B．对于同一自变量x，有两个函数值与之对应
C．对于任意一个实数y，有两个x值与之对应
D．对于任何实数x，都有y＞0
6．抛物线y＝﹣x2的图象一定经过（ ）
A．第一、二象限 B．第三、四象限
C．第一、三象限 D．第二、四象限
7．在二次函数①y＝3x2；②y＝ x2，③y＝ x2中，图象在同一坐标系中的开口大小顺序，用题号表示
应该为（ ）
A．①＞②＞③ B．①＞③＞② C．②＞③＞① D．②＞①＞③
8．函数y＝kx﹣k与y＝kx2的图象大致是（ ）
A． B．C． D．
9．已知抛物线y＝m 的图象是不在第一、二象限，则m＝ ．
10．已知二次函数 的图象开口向下，则m的值是 ．
11．如图所示，四个函数图象对应的解析式分别是：①y＝ax2，②y＝bx2，③y＝cx2，④y＝dx2，则
a，b，c，d的大小关系是 ．
12．已知二次函数y＝x2+bx+c中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表：
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … 2 ﹣1 ﹣2 m 2 …
则m的值为 ．
13．已知二次函数y＝ax2，当x＝3时，y＝3．
（1）求当x＝﹣2时，y的值．
（2）写出它的图象的对称轴、顶点坐标和开口方向．
14．已知y＝（k+2）x 是二次函数，且当x＜0时，y随x的增大而增大．（1）求k的值；
（2）求顶点坐标和对称轴．
15．已知抛物线y＝ （x﹣5）2的顶点为A，抛物线与y轴交于点B，过点B作x轴的平行线交抛物线于另
外一点C．
（1）求A，B，C三点的坐标；
（2）求△ABC的面积；
（3）试判断△ABC的形状并说明理由．
