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专题 10 整式的加减规律探究
◎类型一 数字类规律探究
【例】．（2022·陕西宝鸡·七年级期中）亮亮和同学观察下面一列数，探求其规律：1， ， ， ，
， ，…，并解决了下面的问题，相信你也能解决这些问题．
(1)写出这列数的第7，8，9，10四个数；
(2)第2022个数是什么？
(3)如果这一列数无限排列下去，与哪一个数越来越近？
【答案】(1) ， ， ， ；
(2)第2022个数是 ；
(3)如果这一列数无限排列下去，越来越近0
【解析】
【分析】
（1）根据题目中的数字，可以发现奇数个数都是负数，偶数个数都是正数，第几个数分母就是几，从而
可以写出第7个，第8个，第9个，第10个数；
（2）根据题目中的数字的特点，可以写出第2022个数；
（3）取其绝对值，根据分子都是1，分母越来越大，即可得到这列数无限排列下去，越来越接近0．
(1)
∵一列数为：1， ， ， ， ， ，…，
∴第7、8、9、10四个数分别为： ， ， ， ；
(2)
∵一列数为：1， ， ， ， ， ，…， ，
∴第2022个数是 ；(3)
如果这一列数无限排列下去，取其绝对值，分子都是1，分母越来越大，越来越近0
【点睛】
本题考查了数字类规律，找到规律是解题的关键．
【跟踪训练】．（2022·江苏·七年级专题练习）如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1
个至第4个台阶上依次标着﹣5，﹣2，1，9，且任意相邻四个台阶上数的和都相等．
(1)求前4个台阶上数的和是多少？
(2)求第5个台阶上的数x是_______；
(3)从下到上前35个台阶上数的和为_______．
【答案】(1)3
(2)
(3)18
【解析】
【分析】
（1）将前4个数字相加可得前4个台阶上数的和；
（2）根据“相邻四个台阶上数的和都相等”列出方程求解可得第5个台阶上的数；
（3）根据“台阶上的数字是每4个一循环”求解可得从下到上前35个台阶上数的和．
(1)
由题意得前4个台阶上数的和是：﹣5+（﹣2）+1+9＝3；
(2)
由题意得﹣2+1+9+x＝3，
解得：x＝﹣5，
则第5个台阶上的数x是﹣5；
(3)
由题意知台阶上的数字是每4个一循环，
35÷4＝8……3，
∴3×8+（﹣5）+（﹣2）+1＝24﹣6＝18，
即从下到上前35个台阶上数的和为18，故答案为：﹣5，18．
【点睛】
本题主要考查了数字类变化问题，理解题意，根据已知得出数字变化的规律是解题的关键．
【变式训练】．
变式1.（2022·全国·七年级课时练习）观察下面三行数：
-2，4，-8，16，-32，64，…；①
0，6，-6，18，-30，66，…；②
-1，2，-4， 8，-16，32，…．③
(1)写出第①行数的第10个数；
(2)观察第②③行数与第①行数的关系，写出第二行的第n数；
(3)取每行数的第9个数，计算这三个数的和．
【答案】(1)1024
(2)(-2)n + 2
(3)-1278
【解析】
【分析】
（1）根据题意得：第①行数的第1个数为 ，第①行数的第2个数为 ，第①行数的第3个数为
，第①行数的第4个数为 ，……由此得到规律，即可求解；
（2）根据题意得：第②行数的第1个数为 ，第②行数的第2个数为 ，第②行数的第3个
数为 ，第②行数的第4个数为 ，……由此得到规律可得第②行数是第①行的相应的数
加上2；第③行数的第1个数为 ，第③行数的第2个数为 ，第③行数的第3个数为
第③行数的第4个数为 ，……由此得到第③行数是第①行的相应的数乘以 ，即可
求解；
（3）由（2）得到第③行数的第n个数为 ，可得到第①行数的第9个数 ，第②行数的
第9个数为 ，第③行数的第9个数为 ，即可求解．
(1)解：根据题意得：第①行数的第1个数为 ，
第①行数的第2个数为 ，
第①行数的第3个数为 ，
第①行数的第4个数为 ，
……
由此得到第①行数的第n个数为 ，
∴第①行数的第10个数 ；
(2)
解：根据题意得：第②行数的第1个数为 ，
第②行数的第2个数为 ，
第②行数的第3个数为 ，
第②行数的第4个数为 ，
……
由此得到第②行数是第①行的相应的数加上2；
∴第二行的第n数为 ；
第③行数的第1个数为 ，
第③行数的第2个数为
第③行数的第3个数为
第③行数的第4个数为 ，
……
由此得到第③行数是第①行的相应的数乘以 ；
(3)
解：由（2）得到第③行数的第n个数为 ，∴第①行数的第9个数 ，第②行数的第9个数为 ，第③行数的第9个数为
，
∴这三个数的和为 ．
【点睛】
本题主要考查了数字类规律题，有理数的乘方运算，明确题意，准确得到规律是解题的关键．
变式2．（2022·江西景德镇·七年级期末）某剧院座位的一部分为扇形状，座位数按下列方式设置：
排数 1 2 3 4 5 6 …
座位
50 53 56 59 …
数
按这种方式排下去
(1)第5、6排各有多少个座位？完成上表填空；
(2)第n排有多少个座位？
(3)在（2）的代数式中，第17排有多少个座位？
【答案】(1)62；65
(2)
(3)98个
【解析】
【分析】
（1）第5排的座位应让第4排的座位数加3，同理可得第6排的座位数；
（2）第n排的座位数＝第1排的座位数+（n﹣1）×3，把相关数值代入化简即可；
（3）把n＝17代入（2）得到的式子求值即可．
(1)
解：填表如下：
排数 1 2 3 4 5 6 …
座位数 50 53 56 59 62 65 …
(2)
解：50+3（n﹣1）＝3n+47；答：第n排有 个座位
(3)
解：当n＝17时，3n+47＝98．
答：第17排有98个座位．
【点睛】
考查数字的变化规律；列代数式及相关代数式求值问题，根据相应规律得到第n排的座位数是解决本题的
关键．
变式3．（2022·四川眉山·七年级期末）观察下列等式：
，将以上三个等式两边分别相加得：
．
（1）猜想并写出： ；
（2） ；
（3） ．
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【解析】
【分析】
（1）观察题目中的等式，找到规律进而猜想结论；
（2）根据（1）的结论计算即可；
（3）根据（1）的结论计算即可
【详解】
（1） ；
（2）；
（3）
( )．
【点睛】
本题考查了有理数的运算，找到规律是解题的关键．
◎类型二 图形类规律探究
【例】．（2020·江西·新余四中七年级期中）如图是由一些火柴棒搭成的图案：
(1)摆第①个图案用5根火柴棒，摆第②个图案用______根火柴棒，摆第③个图案用______根火柴棒．
(2)按照这种方式摆下去，摆第n个图案用______根火柴棒．
(3)计算一下摆2021根火柴棒时，是第几个图案？
【答案】(1)9，13
(2)4n+1
(3)摆2021根火柴棒时，是第505个图案
【解析】
【分析】
（1）根据第①个图案所用的火柴数，每加一个图案就加4根即可求解．
（2）根据已知图案所用的火柴根数，找出规律即可求解．
（3）根据（2）第n个图案用的火柴棒是4n+1，即把火柴根数为2021根时求出n即可求解．
(1)
解：由题目得，第①个图案所用的火柴数：1+4＝1+4×1＝5，
第②个图案所用的火柴数：1+4+4＝1+4×2＝9，第③个图案所用的火柴数：1+4+4+4＝1+4×3＝13，
故答案为：9，13．
(2)
按（1）的方法，依此类推，
由规律可知5＝4×1+1，9＝4×2+1，13＝4×3+1，
第n个图案中，所用的火柴数为：1+4+4+…+4＝1+4×n＝4n+1，
故摆第n个图案用的火柴棒是4n+1，
故答案为：4n+1．
(3)
根据规律可知4n+1＝2021得，
n＝505，
因此是第505个图案．
【点睛】
本题考查了图形的变化类问题，主要考查了学生通过特例分析从而归纳得出规律，根据规律解决问题的能
力．
【变式1】．（2021·全国·七年级单元测试）下列图案是由正方形和三角形组成的，有着一定的规律，请完
成下列问题：
(1)第⑤个图案中，三角形有________个，正方形有________个．
(2)若用字母 ， 分别代替三角形和正方形，则第①，②个图案可表示多项式 ， ，则第④个
图案可表示为多项式________.
(3)第 个图案的三角形个数与正方形的个数相差多少个？
【答案】(1)20、25
(2)16a+16b
(3)第 个图案的三角形个数与正方形的个数相差60个．
【解析】【分析】
（1）观察图形篮得出规律，即可得出第⑤个图案中，三角形有20个，正方形有25个；
（2）根据第①、②个图案可表示多项式4a+b、8a+4b，则第④个图案可表示为多项式16a+16b；
（3）根据（1）得出的规律，列式计算即可求解．
(1)
解：观察图形可知：
第①个图案中，三角形有1×4=4个，正方形有12=1个；
第②个图案中，三角形有2×4=8个，正方形有22=4个；
第③个图案中，三角形有3×4=12个，正方形有32=9个；
；
第n个图案中，三角形有4n个，正方形有n2个；
以此类推，第⑤个图案中，三角形有5×4=20个，正方形有52=25个；
故答案为：20、25；
(2)
解：由第①、②个图案可表示多项式4a+b、8a+4b，
则第④个图案可表示为多项式16a+16b；
故答案为：16a+16b；
(3)
解：根据规律，第10个图案中，三角形有40个，正方形有100个，
100-40=60(个)，
则第 个图案的三角形个数与正方形的个数相差60个．
【点睛】
本题考查了规律型-图形的变化类，解决本题的关键是根据图形的变化寻找规律．
【变式2】．（2022·山东菏泽·七年级期末）用火柴棒按图中所示的方法搭图形．
(1)搭第①个图形用__________根火柴棒，搭第②个图形用_________根火柴棒，搭第③个图形用_________
根火柴棒；
(2)搭第圈n个图形需要多少根火柴棒？(3)小明发现：按照这种方式搭图形会产生若干个正方形，若使用187根火柴搭图形，图中会产生多少个正
方形？
【答案】(1)
(2)搭第圈n个图形需要 根火柴棒
(3) 个
【解析】
【分析】
（1）观察图形，发现所需火柴棒的根数的规律，第①个图形为 根，第②个为 根，第③个为
根，进而求解即可；
（2）根据（1）中的规律求得第 个图形所需火柴棒的根数；
（3）先根据（2）中式子列出一元一次方程，求得187根火柴搭图形，为第多少个，然后方法同（1）数出
正方形的个数，进而发现规律即可求解
(1)
第①个图形为 根，
第②个为 根，
第③个为 根，
故答案为： ；
(2)
由（1）可得第④个为 ，
……，
第 个为 ，
搭第圈n个图形需要 根火柴棒.
(3)
，
解得 ，
第①个图形中有2个正方形， ，
第②个图形中有5个正方形， ，
第③个图形中有2个正方形， ，
……,
第 个为 个正方形，∴ ，
若使用187根火柴搭图形，图中会产生 个正方形.
【点睛】
本题考查了图形类规律题，找到规律是解题的关键．
【变式3】．（2020·广东·深圳第三高中七年级期中）如图，用火柴棒按下列方式搭三角形，照这样搭下去：
（1）搭10个这样的三角形需要_______根火柴棒．
（2）搭n个这样的三角形需要_______根火柴棒．
【答案】（1）21；（2）1＋2n
【解析】
【分析】
（1）观察前面5个图形需要的火材棒的数量，用含有相同特征的运算式表示，再写出第10个运算式进行
计算即可得到答案；
（2）对（1）的探究进行归纳总结可得答案.
【详解】
解：（1）观察图形可知
第一个图共有火柴棒1＋2＝1＋2×1＝3根，
第二个图共有火柴棒1＋2＋2＝1＋2×2＝5根，
第三个图共有火柴棒1＋2＋2＋2＝1＋2×3＝7根，
第四个图共有火柴棒1＋2＋2＋2＋2＝1＋2×4＝9根，
第五个图共有火柴棒1＋2＋2＋2＋2＋2＝1＋2×5＝11根，
…
第十个图形有有火柴棒 根，
（2）由（1）归纳可得：
第n个图共有火柴棒（1＋2n）根．
故答案为：（1）21；（2）1＋2n．
【点睛】
本题考查的是图形的变化规律探究，掌握“从具体到一般的探究方法”是解本题的关键.
【变式4】．（2021·全国·七年级）下面的图形是边长为 的正方形按照某种规律排列而组成的．
（1）观察图形，填写下表：图形 ① ② ③
正方形的个数 8 18
图形的周长
（2）推测第 个图形中，正方形的个数为多少？周长为多少？
（3）第2021个图形中，正方形的个数是多少？
【答案】（1）见解析；（2） ， ；（3）10108
【解析】
【分析】
（1）根据题意可得第1个图形，正方形的个数为8=5×1+3，周长为 ；第2个图形，正方
形的个数为13=5×2+3，周长为 ；第3个图形，正方形的个数为18=5×3+3，周长为
，即可求解；
（2）根据（1），可得到规律：第 个图形中，正方形的个数为 ，周长为 ，即可求解；
（3）将 代入 ，即可求解．
【详解】
解：（1）第1个图形，正方形的个数为8=5×1+3，周长为 ；
第2个图形，正方形的个数为13=5×2+3，周长为 ；
第3个图形，正方形的个数为18=5×3+3，周长为 ；
填写表格如下：
图形 ① ② ③
正方形的个数 8 13 18图形的周长
（2）根据（1），可得到规律：
第 个图形中，正方形的个数为 ，周长为 ；
（3）当 时，正方形的个数是 ．
【点睛】
本题主要考查了图形的变化规律，找出图形之间的联系，找出数字的运算规律，利用规律解决问题是解题
的关键．
