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专题11 勾股定理与构造图形解决问题
【例题讲解】
在学习利用旋转解决图形问题时，老师提出如下问题：
（1）如图1，点 是正方形 内一点， ， ， ，你能求出 的度数吗？
小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：
思路一：将 绕点 逆时针旋转 ，得到 ，连接 ，可求出 的度数；
思路二：将 绕点 顺时针旋转 ，得到 ，连接 ，可求出 的度数；
请参照小明的思路，任选一种写出完整的解答过程；
（2）如图2，若点 是等边三角形 内一点，若 ，则线段 ， ， 满足怎
样的等量关系？请参考小明上述解决问题的方法进行探究，直接写出线段 ， ， 满足的等
量关系．
解：（1）思路一：如图1，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△ ，连接 ，
则
∴ ，
根据勾股定理得， ，
∵AP=1， ∴ ，
∴ 是直角三角形，且 ，
∴ ．
思路二： 将△PAB绕点B顺时针旋转90°，得到 ，连接 ，
∴
∴ ,
∵ ∴ ∴ ，∴
∴ ；
（2） ，理由如下：
如图，由等边 可得：
把 绕点 顺时针旋转 得到
则
为等边三角形，
【综合解答】
1．如图，点 是等边三角形 内一点，且 ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．如图， ， ， ，点 、 为 边上的两点，且
，连接 、 ，则下列结论：① ； ② 是等腰直角三角形；
③ ； ④ ，其中正确的有（ ）
A．①③ B．①②③ C．①③④ D．①②③④3．如图， 是等边三角形 内一点，将线段 绕点 顺时针旋转60°得到线段 ，连接 ．
若 ， ， ，则四边形 的面积为___________．
4．【问题背景】
学校数学兴趣小组在专题学习中遇到一个几何问题：如图1，已知等边 ，D是 外一点，
连接 、 、 ，若 ， ， ，求 的长．
该小组在研究如图2中 中得到启示，于是作出如图3，从而获得了以下的解题思路，
请你帮忙完善解题过程．
解：如图3所示，以 为边作等边 ，连接 ．
∵ ， 是等边三角形，
∴ ， ， ．
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
【尝试应用】
如图4，在 中， ， ， ，以 为直角边，A为直角顶点作等腰直
角 ，求 的长．
【拓展创新】
如图5，在 中， ， ，以 为边向往外作等腰 ， ，
，连接 ，求 的最大值．5．如图，四边形ABCD中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=DC．
【操作】（1）将 ABD绕点D沿顺时针方向旋转60°，在图中画出旋转后的三角形．
【探究】（2）结△合所画图形探究BD与AB，BC之间的数量关系，并证明你的结论．
【应用】（3）若AB=6，BC=8，试求四边形ABCD的面积．
6．综合与实践
旋转是初中学习的一种全等变换，通过旋转可以将已知条件中“分散”的条件相对地“集中”在
一起，构成新的联系，从而解决问题．同时，旋转时图形中出现“有公共端点的线段相等”的条
件，所以在等腰（或等边）三角形、正方形中常进行旋转变换．
(1)正方形中的“旋转"：如图①，点E、点F分别是正方形的边DC、BC上的点，连接AF、FE、
AE，若 ，则BF、DE、EF之间的数量关系为______．
问题解决：将 绕点A顺时针旋转90°，得到 ，则点G、点B、点F三点______，可证
明 ______，从而得出结论．请你完成上述全等关系的证明．
(2)如图②，P为正方形ABCD内一点，且 ， ， ，请你确定 的度数：
＝______．小杰同学的思路是：设法将PA、PB、PC相对集中，于是将 绕点B顺时针旋转90°得到
，连接PE，确定 与 的形状分别为：______，问题得以解决．
(3)等边三角形中的“旋转”：请你参考小杰同学的思路，解决下面问题：
如图③，P点是等边三角形ABC内一点，若 ， ，请你直接写出：以线段
PA、PB、PC的长度为边长的三角形的各内角的度数分别为______．
7．（1）阅读理解
利用旋转变换解决数学问题是一种常用的方法．如图1，点P是等边三角形ABC内一点，PA＝1，
，PC＝2．求∠BPC的度数．
为利用已知条件，不妨把△BPC绕点C顺时针旋转60°得 ，连接 ．利用这种变换可以
求∠BPC的度数，请写出推理过程；
（2）类比迁移
如图2，点P是等腰Rt△ABC内一点，∠ACB＝90°，PA＝2， ，PC＝1．求∠APC的度数．8．在学习利用旋转解决图形问题时，老师提出如下问题：
（1）如图1，点 是正方形 内一点， ， ， ，你能求出 的度数吗？
小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：
思路一：将 绕点 逆时针旋转 ，得到 ，连接 ，可求出 的度数；
思路二：将 绕点 顺时针旋转 ，得到 ，连接 ，可求出 的度数；
请参照小明的思路，任选一种写出完整的解答过程；
（2）如图2，若点 是等边三角形 内一点，若 ，则线段 ， ， 满足怎
样的等量关系？请参考小明上述解决问题的方法进行探究，直接写出线段 ， ， 满足的等
量关系．
9．如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点，DE、DF分别交AC于E，交BC于F，且
DE⊥DF．
（1）如果CA=CB，求证：AE2+BF2=EF2；
（2）如图2，如果CA＜CB，（1）中结论AE2+BF2=EF2还能成立吗？若成立，请证明；若不成立，
请说明理由．
10．已知点 是 斜边 上的中点， ， ．(1)若 、 分别在 、 边上，①求证： ；②若 ， ，则
________；
(2)若 、 分别在 、 边延长线上，结论 是否仍然成立？若成立，请证明；
若不成立，请说明理由．
11．（1）如图1，在Rt△ABC 中，AB=AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△ABE绕点
A逆时针旋转90后，得到△AFC，连接DF．
试说明：①△AED≌△AFD；
② ；
（2）如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，D是斜边BC上一点，
BD=5，BC=17，求DE的长．
12．类比探究：
（1）如图1，等边△ABC内有一点P，若AP＝8，BP＝15，CP＝17，求∠APB的大小；（提示：
将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处）
（2）如图2，在△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点，且∠EAF＝45°．求证：
EF2＝BE2+FC2；
（3）如图3，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，点O为△ABC内一点，连接AO、BO、
CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，若AC＝1，求OA+OB+OC的值．13．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB=2，
DE=1，BD=8，设CD=x.
(1)用含x的代数式表示AC+CE的长；
(2)求AC+CE的值最小；
(3)根据(2)中的规律和结论,请构图求出代数式 的最小值．
