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专题11 勾股定理与构造图形解决问题
【例题讲解】
在学习利用旋转解决图形问题时，老师提出如下问题：
（1）如图1，点 是正方形 内一点， ， ， ，你能求出 的度数吗？
小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：
思路一：将 绕点 逆时针旋转 ，得到 ，连接 ，可求出 的度数；
思路二：将 绕点 顺时针旋转 ，得到 ，连接 ，可求出 的度数；
请参照小明的思路，任选一种写出完整的解答过程；
（2）如图2，若点 是等边三角形 内一点，若 ，则线段 ， ， 满足怎
样的等量关系？请参考小明上述解决问题的方法进行探究，直接写出线段 ， ， 满足的等
量关系．
解：（1）思路一：如图1，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△ ，连接 ，
则
∴ ，
根据勾股定理得， ，
∵AP=1， ∴ ，
∴ 是直角三角形，且 ，
∴ ．
思路二： 将△PAB绕点B顺时针旋转90°，得到 ，连接 ，
∴
∴ ,
∵ ∴ ∴ ，∴
∴ ；
（2） ，理由如下：
如图，由等边 可得：
把 绕点 顺时针旋转 得到
则
为等边三角形，
【综合解答】
1．如图，点 是等边三角形 内一点，且 ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
将△BCP绕B逆时针旋转60°，点C和A重合，P到P′，连接PP′，得出等边三角形PBP′，求出
∠BPP′=60°，推出直角三角形APP′，求出∠APP′，即可求出 ；
【详解】
解：将 绕 逆时针旋转 ，点 和 重合， 到 ，连接 ，
∵ ， ，
∴ 是等边三角形，
∵ ，
∵ ， ， ，∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，旋转的性质，掌握等边三角形的性质，勾股定理，
旋转的性质是解题的关键.
2．如图， ， ， ，点 、 为 边上的两点，且
，连接 、 ，则下列结论：① ； ② 是等腰直角三角形；
③ ； ④ ，其中正确的有（ ）
A．①③ B．①②③ C．①③④ D．①②③④
【答案】C
【解析】
【分析】
根据SAS得△AED≌△AEF，证明△ABF≌△ACD，得出BF＝CD；由△AED≌△AEF，得到DE＝EF；证明
∠EBF＝90°，即可解决问题．
【详解】
解：∵∠DAF=90°，∠DAE=45°，
∴∠FAE=45°=∠DAE，
在△AED与△AEF中，AE=AE，∠EAF=∠EAD，AD=AF，
∴△AED≌△AEF（SAS），故①正确；∵∠BAC=∠DAF=90°，
∴∠BAF=∠DAC；
在△ABF与△ACD中，AB=AC，∠FAB=∠DAC，AF=AD，
∴△ABF≌△ACD（SAS），
∴BF=CD；∠ABF=∠ACD=45°，
∵∠EBF＝∠ABC+∠ABF=90°，
D,E点在BC边上位置不固定，故不能得到BE=CD,
所以 是直角三角形，②错误；
∵△AED≌△AEF，
∴DE＝EF；
∴BE2＋BF2＝EF2，
即BE2＋DC2＝DE2，③正确；
连接FD，
∵∠FBD=90°，∠DAF=90°，
∴BF2＋BD2＝FD2，
AF2＋AD2＝FD2，
∴BF2＋BD2＝AF2＋AD2，
又∵BF=DC，AD=AF
∴ ，故④正确；
∴正确的有：①③④
故答案为：C．
【点睛】
该题主要考查了全等三角形的判定及性质、勾股定理、相似三角形的判定；证明三角形全等是解
决问题的关键．
3．如图， 是等边三角形 内一点，将线段 绕点 顺时针旋转60°得到线段 ，连接 ．
若 ， ， ，则四边形 的面积为___________．【答案】6+4
【解析】
【分析】
连结PP′，如图，由等边三角形的性质得到∠BAC=60°，AB=AC，由旋转的性质得到CP=CP′=4，
∠PCP′=60°，得到 PCP′为等边三角形，求得PP′=PC=4，根据全等三角形的性质得到AP′=PB=5，根
据勾股定理的逆定△理得到 APP′为直角三角形，∠APP′=90°，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】 △
连结PP′，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=60°，AB=AC，
∵线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CP'，
∴CP=CP′=4，∠PCP′=60°，
∴△PCP′为等边三角形，
∴PP′=PC=4，
∵∠ACP+∠BCP=60°，∠ACP+∠ACP′=60°，
∴∠BCP=∠ACP′，且AC=BC，CP=CP′
∴△BCP≌△ACP′（SAS），
∴AP′=PB=5，
在 APP′中，∵PP′2=42=16，AP2=32=9，AP′2=52=25，
∴P△P′2+AP2=AP′2，∴△APP′为直角三角形，∠APP′=90°，
∴S =S +S = AP×PP′+ ×PP′2=6+4 ，
四边形APCP′ APP′ PCP′
△ △
故答案为：6+4 ．
【点睛】
此题考查旋转的性质，全等三角形的性质，勾股定理以及逆定理，证明 APQ为等边三角形是解题
的关键． △
三、解答题
4．【问题背景】
学校数学兴趣小组在专题学习中遇到一个几何问题：如图1，已知等边 ，D是 外一点，
连接 、 、 ，若 ， ， ，求 的长．
该小组在研究如图2中 中得到启示，于是作出如图3，从而获得了以下的解题思路，
请你帮忙完善解题过程．
解：如图3所示，以 为边作等边 ，连接 ．
∵ ， 是等边三角形，
∴ ， ， ．∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
【尝试应用】
如图4，在 中， ， ， ，以 为直角边，A为直角顶点作等腰直
角 ，求 的长．
【拓展创新】
如图5，在 中， ， ，以 为边向往外作等腰 ， ，
，连接 ，求 的最大值．【答案】[问题背景] ； ； ；[尝试应用] ；[拓展创新]
【解析】
【分析】
[问题背景]根据等式的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理填空即可；
[尝试应用]以 为直角边，A为直角顶点作等腰 ，连接 ，进而证明
，根据勾股定理求得 ，即可求得 的长；
[拓展创新] 以 为腰，作等腰 ， ， ，过点 作 ，同理
证明 ，进而根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得 ，根据三角
形三边关系确定 最大值时， 三点共线，进而即可求得 的最大值．
【详解】
[问题背景] 解：如图3所示，以 为边作等边 ，连接 ．
∵ ， 是等边三角形，
∴ ， ， ．
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．[尝试应用] 解：如图4所示，以 为直角边，A为直角顶点作等腰 ，连接 ．
∵ ， 是等腰直角三角形，
∴ ， ， ．
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ．
∵ ，
∴
[拓展创新]解：如图，以 为腰，作等腰 ， ， ，过点 作
，，
即
∵ ， 是等腰三角形，
则当 取得最大值时， 取得最大
当 三点共线时， 取得最大值，如图，【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质与判定，三角形全等的性质与判定，勾股定理，线段最值问题，从
题干部分理解作等腰三角形辅助线是解题的关键．
5．如图，四边形ABCD中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=DC．
【操作】（1）将 ABD绕点D沿顺时针方向旋转60°，在图中画出旋转后的三角形．
【探究】（2）结△合所画图形探究BD与AB，BC之间的数量关系，并证明你的结论．
【应用】（3）若AB=6，BC=8，试求四边形ABCD的面积．
【答案】（1）见解析；（2）BD2=AB2+BC2，见解析；（3）
【解析】
【分析】
（1）分别利用旋转的旋转画出A，B旋转后的对应点，而D为旋转中心与自身对应，然后顺次连
接三对应点得到答案．
（2）连接BE，利用旋转的旋转证明△DBE是等边三角形，再证明 为直角三角形，利用等量
代换可以得到答案．
（3）利用（2）的结论求BD，再求等边三角形DBE的面积，直角三角形BEC的面积，利用图形旋
转前后面积不变，把四边形的面积转化为等边三角形DBE的面积减去直角三角形BEC的面积即可．
【详解】
（1）如图，利用旋转性质作 ，然后在 角的边上截取 ，
得A的对应点C，B的对应点E，顺次连接D，C，E得到旋转后的 ．【探究】
（2）BD与AB，BC数量关系：BD2=AB2+BC2
理由：连接BE
由旋转可知
∠DCE=∠A,CE=AB
DE=DB，∠BDE=60°，
∴△DBE是等边三角形
∴BE=DB
∵∠ADC+∠ABC=60°+30°=90°
∴∠A +∠DCB=360°-90°=270°
∠DCE +∠DCB=270°
∴∠ECB=90°
∴BC2+CE2=BE2
∴BD2=AB2+BC2
【应用】
（3）因为BD2=AB2+BC2 AB=6，BC=8
所以BD=10，又△DBE是等边三角形
所以 ，
因为∠ECB=90°
所以 BCE的面积为24，
由旋△转可知:
S = S - S
四边形ABCD DBE BCE
△ △
=
【点睛】
本题考查的是旋转对称的实际操作，及旋转对称的性质的灵活应用，掌握旋转对称的性质是关键．
6．综合与实践旋转是初中学习的一种全等变换，通过旋转可以将已知条件中“分散”的条件相对地“集中”在
一起，构成新的联系，从而解决问题．同时，旋转时图形中出现“有公共端点的线段相等”的条
件，所以在等腰（或等边）三角形、正方形中常进行旋转变换．
(1)正方形中的“旋转"：如图①，点E、点F分别是正方形的边DC、BC上的点，连接AF、FE、
AE，若 ，则BF、DE、EF之间的数量关系为______．
问题解决：将 绕点A顺时针旋转90°，得到 ，则点G、点B、点F三点______，可证
明 ______，从而得出结论．请你完成上述全等关系的证明．
(2)如图②，P为正方形ABCD内一点，且 ， ， ，请你确定 的度数：
＝______．
小杰同学的思路是：设法将PA、PB、PC相对集中，于是将 绕点B顺时针旋转90°得到
，连接PE，确定 与 的形状分别为：______，问题得以解决．
(3)等边三角形中的“旋转”：请你参考小杰同学的思路，解决下面问题：
如图③，P点是等边三角形ABC内一点，若 ， ，请你直接写出：以线段
PA、PB、PC的长度为边长的三角形的各内角的度数分别为______．【答案】(1)BF+DE=EF；共线； ；证明见解析
(2) ；等腰直角三角形、直角三角形
(3)55°、60°、65°
【解析】
【分析】
（1） 绕点A顺时针旋转90°，得到 ，可得点G、点B、点F三点共线；再由
∠EAF=45°，可得∠GAF=∠EAF=45°，即可求证；
（2）将PA、PB、PC相对集中，于是将 绕点B顺时针旋转90°得到 ，连接PE，可得
∠PBE=90°，BE=PB=1，AE=PC=3，从而得到△PBE是等腰直角三角形，进而得到
，∠BPE=45°，再由勾股定理逆定理可得△APE是直角三角形，即可求解；
（3）将△APC绕点A顺时针旋转60°得到△ABD，连接PD，则∠DAP=60°，AD=AP，BD=PC，
∠ADB=∠APC=120°，可得△ADP是等边三角形，进而得到以线段PA、PB、PC的长度为边长的三
角形是△BDP，从而得到∠BPD=65°，∠BDP=60°，即可求解．
(1)
解：如图， 绕点A顺时针旋转90°，得到 ，
在正方形ABCD中，∠ABC=∠D=∠BAD=90°，AD=AB，
根据题意得：∠ABG=∠D=90°，AG=AE，∠BAG=∠DAE，
∴∠ABG+∠ABC=180°，
∴点G、点B、点F三点共线；
∵∠EAF=45°，
∴∠BAF+∠DAE=45°，
∴∠BAF+∠BAG=45°，即∠GAF=∠EAF=45°，
∵AF=AF，
∴△AEF≌△AGF；
故答案为：BF+DE=EF；共线； ．(2)
解：如图，将PA、PB、PC相对集中，于是将 绕点B顺时针旋转90°得到 ，连接PE，
∴∠PBE=90°，BE=PB=1，AE=PC=3，
∴△PBE是等腰直角三角形，
∴ ，∠BPE=45°，
∵ ，
∴△APE是直角三角形，
∴∠APE=90°，
∴∠APB=∠APE+∠BPE=135°；
故答案为： ；等腰直角三角形、直角三角形
(3)
解：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
如图，将△APC绕点A顺时针旋转60°得到△ABD，连接PD，则∠DAP=60°，AD=AP，BD=PC，
∠ADB=∠APC=120°，
∴△ADP是等边三角形，
∴PD=PA，∠APD=∠ADP=60°，
∴以线段PA、PB、PC的长度为边长的三角形是△BDP，
∵∠APB=125°，∠ADB=∠APC=120°，
∴∠BPD=65°，∠BDP=60°，∴∠PBD=180°-∠BDP-∠BPD=55°．
故答案为：55°、60°、65°
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的判定和性质，图形的旋转，熟练掌握相关知识点，
利用类比的思想解答是解题的关键．
7．（1）阅读理解
利用旋转变换解决数学问题是一种常用的方法．如图1，点P是等边三角形ABC内一点，PA＝1，
，PC＝2．求∠BPC的度数．
为利用已知条件，不妨把△BPC绕点C顺时针旋转60°得 ，连接 ．利用这种变换可以
求∠BPC的度数，请写出推理过程；
（2）类比迁移
如图2，点P是等腰Rt△ABC内一点，∠ACB＝90°，PA＝2， ，PC＝1．求∠APC的度数．
【答案】（1）见解析（2）90°
【解析】
【分析】
（1）把△BPC绕点C顺时针旋转60°得 ，连接 (如图)，得出 是直角三角形，则
，可得出 ，即可得出结论；
（2）把△BPC绕点C顺时针旋转90°得 ，连接 (如图)，同理可证 是直角三角形，
则 ，得出 ，即可得出结论．
【详解】
解：（1）如图，把△BPC绕点C顺时针旋转60°得 ，连接 ，由旋转的性质知， 是等边三角形，
∴ ， ， ，
在 中，∵ ，
∴ 是直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）如图，把△BPC绕点C顺时针旋转90°得 ，连接 ，
由旋转的性质可知， 是等腰直角三角形，
∴ ， ，
∴ ， ，
在 中，
∵ ，
∴ 是直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形
的性质等知识，熟练掌握旋转变换的性质是解题的关键．
9．如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点，DE、DF分别交AC于E，交BC于F，且
DE⊥DF．
（1）如果CA=CB，求证：AE2+BF2=EF2；
（2）如图2，如果CA＜CB，（1）中结论AE2+BF2=EF2还能成立吗？若成立，请证明；若不成立，
请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）AE2+BF2=EF2成立，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）过点A作AM∥BC，交FD延长线于点M，连接EM，通过证明AM=BF，EF=EM即可得出答
案；
（2）延长FD至M，使DM=DF，连接AM、EM，根据（1）通过证明AM=BF，EF=EM即可得出
答案．
【详解】
（1）证明：如图1，过点A作AM∥BC，交FD延长线于点M，连接EM，
∵AM∥BC，
∴∠MAE=∠ACB=90°，∠MAD=∠B，
∵AD=BD，∠ADM=∠BDF，
∴△ADM≌△BDF，
∴AM=BF，MD=DF，
又DE⊥DF，
∴EF=EM．
∴AE2+BF2=AE2+AM2=EM2=EF2；（2）成立．
证明：如图2，延长FD至M，使DM=DF，连接AM、EM，
∵AD=BD，∠ADM=∠BDF，
∴△ADM≌△BDF，
∴AM=BF，∠MAD=∠B，
∴AM∥BC，
∴∠MAE=∠ACB=90°，
又DE⊥DF，MD=FD，
∴EF=EM，
∴AE2+BF2=AE2+AM2=EM2=EF2．
【点睛】
本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，有一定难度，关键
是正确作出辅助线．
10．已知点 是 斜边 上的中点， ， ．
(1)若 、 分别在 、 边上，①求证： ；②若 ， ，则
________；
(2)若 、 分别在 、 边延长线上，结论 是否仍然成立？若成立，请证明；
若不成立，请说明理由．
【答案】(1)①证明见解析；②5；(2)成立，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）①延长EO至G，使OG=OE，连接AG、FG，证明△AOG≌△BOE ( SAS)，得出AG=BE，
∠OAG=∠B，证出∠FAG=9O°，由勾股定理得出AF2+AG2=GF2，由线段垂直平分线的性质得出GF=
EF，即可得出结论；②将 ， 代入 即可求解；
（2）延长EO至G，使OG=OE，连接AG、FG，证明△AOG≌△BOE ( SAS) ，得出AG=BE，
∠OAG=∠OBE，证出∠FAG=90°，由勾股定理得出AF2+AG2=GF2，由线段垂直平分线的性质得出
GF= EF，即可得出结论．
(1)
①证明：延长 至 ，使 ，连接 、 ，如图1所示，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
②由①知：∴ ；
故答案为：5；
(2)
解： 结论仍然成立．理由如下：
延长 至 ，使 ，连接 、 ，如图2所示，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】
本题是三角形综合题目，考查了等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股
定理、平行线的性质等知识，熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形等是解题的关
键．
11．（1）如图1，在Rt△ABC 中，AB=AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△ABE绕点
A逆时针旋转90后，得到△AFC，连接DF．
试说明：①△AED≌△AFD；② ；
（2）如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，D是斜边BC上一点，
BD=5，BC=17，求DE的长．
【答案】（1）①证明见试题解析；②证明见试题解析；（2）13．
【解析】
【详解】
试题分析：（1）①由△ABE≌△AFC，得到AE=AF，FC=BE，∠B=∠ACF=45°，∠EAF=∠DAE，从而得到
△AED≌△AFD；
②由△AED≌△AFD，得到ED=FD，再证明∠DCF=90°，利用勾股定理即可得出结论；
（2）连结BE．由已知可得到DC=12，再由△EAB≌△DAC，得到BE=DC，∠EBA=∠C=45°，从而得到
∠EBD=90°，由勾股定理即可得到DE的长．
试题解析：（1）①∵△ABE≌△AFC，∴AE=AF，FC=BE，∠B=∠ACF=45°，∵∠EAF=90°，
∠DAE=45°，∴∠EAF=∠DAE，在△AED和△AFD中，∵AF=AE，∠EAF=∠DAE，AD=AD，
∴△AED≌△AFD；
②∵△AED≌△AFD，∴ED=FD，∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠ACB=45°，∵∠ACF=45°，
∴∠DCF=90°，∴ ，∴ ；
（2）连结BE．∵BD=5，BC=17，∴DC=12，∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∠BAC=∠DAE=90°，∴AB=AC，AE=AD，∠EAD=∠BAC=90°，∴∠EAB=∠DAC，在△EAB和△DAC中，
∵EA=AD，∠EAB=∠DAC，AB=AC，∴△EAB≌△DAC，∴BE=DC，∠EBA=∠C=45°，∵∠ABC=45°，
∴∠EBD=90°，∴ ，∴DE= =13．考点：1．旋转的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．勾股定理．
12．类比探究：
（1）如图1，等边△ABC内有一点P，若AP＝8，BP＝15，CP＝17，求∠APB的大小；（提示：
将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处）
（2）如图2，在△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点，且∠EAF＝45°．求证：
EF2＝BE2+FC2；
（3）如图3，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，点O为△ABC内一点，连接AO、BO、
CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，若AC＝1，求OA+OB+OC的值．
【答案】（1）150°；（2）见解析；（3） .
【解析】
【分析】
（1）根据 APB绕着点A逆时针旋转60°得到 ACP′，根据旋转变换前后的两个三角形全等，全等
三角形对应△边相等，全等三角形对应角相等以△及等边三角形的判定和勾股定理逆定理即可得到结
论；
（2）把 ABE绕点A逆时针旋转90°得到 ACE′，根据旋转的性质可得AE′=AE，CE′=CE，
∠CAE′=∠△BAE，∠ACE′=∠B，∠EAE′=90°，△再求出∠E′AF=45°，从而得到∠EAF=∠E′AF，然后利用
“边角边”证明 EAF和 E′AF全等，根据全等三角形对应边相等可得E′F=EF，再利用勾股定理列
式即可得证； △ △
（3）将 AOB绕点B顺时针旋转60°至 A′O′B处，连接OO′，根据直角三角形30°角所对的直角边
等于斜边△的一半求出AB=2AC，即A′B的△长，再根据旋转的性质求出 BOO′是等边三角形，根据等
边三角形的三条边都相等可得BO=OO′，等边三角形三个角都是60°求△出∠BOO′=∠BO′O=60°，然后求出C、O、A′、O′四点共线，再利用勾股定理列式求出A′C，从而得到OA+OB+OC=A′C．
【详解】
解：（1）如图1，将 APB绕着点A逆时针旋转60°得到 ACP′，
△ △
∴△ACP′≌△ABP，
∴AP′＝AP＝8、CP′＝BP＝15、∠AP′C＝∠APB，
由题意知旋转角∠PA P′＝60°，
∴△AP P′为等边三角形，
∴P P′＝AP＝8，∠A P′P＝60°，
∵PP′2+P′C2＝82+152＝172＝PC2，
∴∠PP′C＝90°，
∴∠APB＝∠AP′C＝∠A P′P+∠P P′C＝60°+90°＝150°
（2）如图2，把 ABE绕着点A逆时针旋转90°得到 ACE′，
△ △
则AE′＝AE，CE′＝CE，∠CAE′＝∠BAE，
∵∠BAC＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠CAF＝∠CAF+∠CAE′＝∠FAE′＝45°，
∴∠EAF＝∠E′AF，且AE＝AE'，AF＝AF，
∴△AEF≌△AE′F（SAS），
∴EF＝E′F，
∵∠B+∠ACB＝90°，
∴∠ACB+∠ACE′＝90°，
∴∠FCE′＝90°，
∴E′F2＝CF2+CE′2，∴EF2＝BE2+CF2；
（3）如图3，将 AOB绕点B顺时针旋转60°至 A′O′B处，连接OO′，
△ △
∵在Rt ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，
∴AB＝2△，
∴
∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，
∴△A′O′B如图所示；
∠A′BC＝∠ABC+60°＝30°+60°＝90°，
∵∠ACB＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC＝2，
∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到 A′O′B，
∴A′B＝AB＝2，BO＝BO′，A′O′＝AO， △
∴△BOO′是等边三角形，
∴BO＝OO′，∠BOO′＝∠BO′O＝60°，
∵∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，
∴∠COB+∠BOO′＝∠BO′A′+∠BO′O＝120°+60°＝180°，
∴C、O、A′、O′四点共线，
在Rt A′BC中， ，
△
∴OA+OB+OC＝A′O′+OO′+OC＝A′C＝ ．
【点睛】
本题属于全等三角形综合题，考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，利用旋
转构造出全等三角形以及直角三角形是解题的关键，属于中考压轴题．
13．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB=2，
DE=1，BD=8，设CD=x.
(1)用含x的代数式表示AC+CE的长；(2)求AC+CE的值最小；
(3)根据(2)中的规律和结论,请构图求出代数式 的最小值．
【答案】(1) ；(2) 当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小，最小值为 ；
(3)13.
【解析】
【分析】
（1）由于△ABC和△CDE都是直角三角形，故AC，CE可由勾股定理求得；
（2）若点C不在AE的连线上，根据三角形中任意两边之和＞第三边知，AC+CE＞AE，故当A、
C、E三点共线时，AC+CE的值最小；
（3）由（1）（2）的结果可作BD=12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB=2，ED=3，连
接AE交BD于点C，则AE的长即为代数式 的最小值，然后构造矩形AFDB，
Rt△AFE，利用直角三角形的性质可求得AE的值．
【详解】
解：（1）由线段的和差，得
BC=（8-x）．
由勾股定理，得
AC+CE= = ；
（2）当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小，如图：作EF⊥AB于F点．，
，
四边形BDEF是矩形，
BF=DE=1，EF=BD=8，
AF=AB+BF=2+1=3，
AE= = = ，∴最小值为 ；
（3）如下图所示，作BD=12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB=2，ED=3，连接AE交
BD于点C，设BC=x，则AE的长即为代数式 的最小值．
过点A作AF⊥DE交ED的延长线于点F，得矩形ABDF，
则AB=DF=2，AF=BD=12，EF=ED+DF=3+2=5，
所以AE= = =13，
即 的最小值为13．
故答案为(1) ；(2) 当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小，最小值为 ；
(3)13.
【点睛】
本题考查最短线路问题，（1）利用勾股定理；（2）利用两点之间线段最短得出C的位置是解题
关键，（3）利用数形结合的思想，求形如 的式子的最小值，可通过构造直
角三角形，利用勾股定理求解．
