考点03函数及其性质（核心考点讲与练）-2023年高考数学一轮复习核心考点讲与练（新高考专用）(解析版）_2.2025数学总复习_2023年新高考资料_一轮复习

考点 03 函数及其性质（核心考点讲与练） 1.函数的概念 设A，B是两个非空数集，如果按照确定的法则f，对A中的任意数x，都有唯一确定的数y与它对应，那 么就称 f ： A → B 为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A. 2.函数的定义域、值域 (1)函数y＝f(x)自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域；所有函数值构成的集合 {y |y ＝ f (x ) ， x ∈ A }叫做这个函数的值域. (2)如果两个函数的定义域相同，并且对应法则完全一致，则这两个函数为相等函数. 3.函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法. 4.分段函数 (1)在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这种函数称为分段函数. (2)分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集. 5.函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 设函数y＝f(x)的定义域为A，区间M A，如果取区间M中任意两个值 x，x，改变量Δx＝x－x>0，则当 1 2 2 1 ⊆ 定义 Δ y ＝ f (x ) － f (x )>0 时，就称 2 1 Δ y ＝ f (x ) － f (x )<0 时，就称函数y 2 1 函数y＝f(x)在区间M上是增函 ＝f(x)在区间M上是减函数 数 图象描 述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性，区间M 称为单调区间. 6.函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)对于任意x∈I，都有 f ( x )≤ M； (3)对于任意x∈I，都有 f ( x )≥ M；(2)存在x∈I，使得f(x)＝M (4)存在x∈I，使得 f ( x ) ＝ M 0 0 0 0 结论 M为最大值 M为最小值 7.函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都 奇函数 关于原点对称 有－x∈D，且 f ( － x ) ＝－ f ( x )，则这个函数叫做奇函数 设函数y＝g(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都 偶函数 关于 y 轴 对称 有－x∈D，且 g ( － x ) ＝ g ( x )，则这个函数叫做偶函数 8.函数的周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有 f ( x ＋ T ) ＝ f (x )，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中 存 在一个最小 的正数，那么这个最小正数就叫做f(x) 的最小正周期. 1.利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把 构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不 是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 2.已知函数零点(方程根)的个数求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象， 利用数形结合的方法求解. 3.函数的对称性与单调性，指数式、对数式的大小比较． 比较指数式大小时，常常化为同底数的幂，利用指数函数性质比较，或化为同指数的幂，利用幂函数性质 比较，比较对数式大小，常常化为同底数的对数，利用对数函数性质比较，如果不能化为同底数或同指数， 或不同类型的数常常借助中间值如0或1比较大小． 4.导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： （1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． （2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． （3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． （4）考查数形结合思想的应用． 函数及其表示 一、单选题 1．（2022·天津市第四十七中学模拟预测）已知函数 ，若在区间 上存在 个不同的数 ，使得 成立，则 的取值集合是 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意，可知 为方程 的解的个数，判断 的单调性，作出 与 的函数 图象，根据图象交点个数即可求解． 【详解】解：设 ，则方程 有 个根，即 有 个根， ， 所以 在 上单调递增，在 ， 上单调递减，且 ，当 时， ， 设 ，令 得 ， 所以当 时， ，即 ，当 时， ，即 ， 所以 在 上单调递增，在 上单调递减，且 ， 作出 与 的大致函数图象，如图所示： 由图象可知 的交点个数可能为1，2，3，4， 又 ，所以 的值为2，3，4． 故选：D． 2．（2022·天津市第四十七中学模拟预测）已知函数 ，若 ，则实 数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意，画出图形，结合 ，分 和 进行讨论，解得 的范围，从而即可 得实数 的取值范围．【详解】解：作出函数 的图象如图， 因为 ，若 ，由 在 上单调递增，且 ， 则 ，解得 ； 若 ，则 ，解得 ； 综上， ，解得 或 . 所以实数 的取值范围是 ． 故选：A. 3．（2022·河北·模拟预测）设函数 则不等式 的解集为 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由函数解析式可得 ， ，画出函数图象，则原不等式等价于 ，结合函数的单调性，即可得到 ，解得即可；【详解】解：因为 ，所以 ， ， 则 ，即 ， 的函数图象如下所示： 由函数图象可知当 时 且 在 上单调递减，所以 等价于 ，即 ，解得 ，即 ； 故选：A 4．（2022·浙江嘉兴·二模）已知函数 的图象如图所示，则 的解析式可能是 （ ）（ 是自然对数的底数） A． B．C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性可排除A，根据函数的定义域可排除CD. 【详解】解：对于A，函数 的定义域为 ， 由 ， 所以函数 为奇函数，不符合题意； 对于B，函数 的定义域为 ， 由 ， 所以函数 为偶函数，符合题意； 对于C，函数 ， 则 ，得 且 ， 故函数 的定义域为 且 ， 结合函数图像可知，不符题意； 对于D，函数 的定义域为 且 ， 结合函数图像可知，不符题意. 故选：B. 5．（2022·天津·耀华中学模拟预测）已知函数 （ ，且 ）在区间上为单调函数，若函数 有三个不同的零点，则实数a的取值范围为 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数在 在 上为单调函数，且当 时 单调递减，则满足 ， 可得到 的范围；再将 有三个不同的零点问题转化为函数 和 有三个交点问题，画 出两个函数的图象，可先判断当 时存在两个交点，则只需满足 时有且仅有一个交点即可，进而 求解，综合得到 的范围. 【详解】由题，因为 在 上为单调函数，且 时， 单调递减， 所以 ，解得 ， 在同一坐标系中画出 和 的图象，如图所示： 由图象可知当 时， 和 的图象有两个交点， 故只需当 时， 和 的图象有且只有一个交点， 当 ，即 ，即 时，满足题意；当 ，即 时，只需 与 相切， 联立可得 ，则 ，解得 ， 综上， 的取值范围是 故选：D 6．（2022·浙江省义乌中学模拟预测）已知函数 ，则图象为下图的函 数可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】A选项，利用当 时， 排除A选项，B选项，利用 时， 排除B选项，D选项，利用奇偶性排除D选项，C选项，满足图象要求. 【详解】A选项， ，其中当 时， 恒成立，故A选项错 误； B选项， ，当 时， ，不合要求，B错误； C选项， ，当 时， ，当 时， ，当 时， ，且为非奇非偶函数，故符合要求. D选项， ， 定义域为R，且 ，故 为奇函数，图象关于原点对 称，不合题意，D错误. 故选：C 7．（2021·全国·模拟预测）已知函数 的定义域是 （m，n为整数），值域是 ， 则满足条件的整数对 的个数是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据函数的单调性，并画出函数的大致图像即可 【详解】 由 ，得 或 由 ，得 易知当 时， 为增函数，当 时， 为减函数，其图像如上图所示 若使 的定义域是 （m，n为整数），值域是 ，满足条件的整数数对 有 ， ， ， ， 共5个 故选：D 8．（2020·南开中学模拟预测）下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A． 与 B． 与 C． 与 D． 与 【答案】D【分析】对于A：由定义域不同,即可判断； 对于B：由定义域不同，即可判断； 对于C：由对应关系不同，即可判断； 对于D：对应关系相同，定义域相同，可以判断为同一函数. 【详解】对于A： 的定义域为R， 的定义域为 ，定义域不同，所以A错误； 对于B： 的定义域为 ， 的定义域为R，定义域不同，所以B错误； 对于C： ，对于 ，对应关系不同，故C错误； 对于D： 定义域为R, ，定义域为R，二者对应关系相同，定义域相同，为同一函 数. 故选：D 9．（2020·广东中山·模拟预测）下列各组表示同一函数的是（ ） A． ， B． ， C． ， D． ， 【答案】B 【分析】两个函数若是同一函数，需定义域和对应关系相同，根据定义判断选项. 【详解】A. 的定义域为 ， 的定义域是 ，两个函数的定义域不相同，所 以不是同一函数； B. 和 的定义域是 ，且 ，两个函数的解析式相同，所以是同一 函数； C. ， ，两个函数的定义域都是 ，两个函数的对应关系不同，所以不是同一 函数； D. 的定义域是 ， 的定义域是 ，两个函数的定义域不同，所以不是同一函数.故选：B 10.（2020·全国·一模）网购女鞋时，常常会看到一张女鞋尺码对照表如下，第一行是我们习惯称呼的 “鞋号”（单位：.号），第二行是脚长（单位： ），请根据表中数据，思考：他们家正好有一款“32 号”的女鞋在搞打折，那么适合购买这款鞋的脚长的取值范围是（ ） 鞋码 35 36 37 38 39 脚长 225 230 235 240 245 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先建立函数关系 ，再求解即可. 【详解】解：设“脚长”为 ，“鞋号”为 ，根据题意发现 与 满足 的函数关系， 当 时， ， 故选：B. 【点睛】本题考查函数关系的建立，是基础题. 二、多选题 11．（2022·江苏南通·模拟预测）已知定义在R上的函数 的图象连续不间断，当 时， ，且当 时， ，则下列说法正确的是（ ） A． B． 在 上单调递减 C．若 ，则 D．若 是 的两个零点，且 ，则 【答案】ACD 【分析】对于A，在 中令 ，即可判断A； 对于B，对 两边求导，结合 ，即可得出 在 上单调递增，即可判断B. 对于C，分别讨论 和 ，再结合 在 上单调递增， 上单调递减，即可判 断C. 对于D，先证明 ，则 ，再令 ，而由 ，所以 ，所以 ，即可判断D. 【详解】对于A，在 中令 ，则 ，所以 ，故A正确； 对于B，当 时， ，对 两边求导，则 ， 所以 时， ， 所以 ，令 ， ， ， 所以 在 上单调递增，所以B错； 对于C，由B知， 在 上单调递增， 上单调递减，由 知 不可能均 大于等于1，否则 ，则 ，这与条件矛盾，舍去. ①若 ，则 ，满足条件，此时， ；’ ②若 ，则 ，而 ，则 ， 所以 ，而 ，所以，C正确； 对于D，由 在 上单调递增， 上单调递减，知 ， 注意到 ， ， ， 所以 ， 若 ，则 ，则 ， 所以 ( )，这与 矛盾，舍去. 所以 ，在 时， 中，令 ，而 由 ，所以 ，所以 ，故D正确. 故选：ACD. 12．（2022·江苏·沭阳如东中学模拟预测）华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混沌”的数学 定义，由此发展的混沌理论在生物学､经济学和社会学领域都有重要作用.在混沌理论中，函数的周期点是 一个关键概念，定义如下：设 是定义在R上的函数，对于 R，令 ，若存在正 整数k使得 ，且当00），若 的最大值为 ，则正实数 a=___________. 【答案】1 【分析】依据题意列出关于a的方程即可求得正实数a的值. 【详解】令 ，则 ，则 令 当 时， 在 上单调递增， 则 ，即 的最大值为 则 ，解之得 . 当 时， （当且仅当 时等号成立）则 ，即 的最大值为 则 ，解之得 （舍） 综上，所求正实数 故答案为：1 10．（2020·山东临沂·二模）若 ， ，则实数 的取值范围为___________. 【答案】 【分析】利用基本不等式 的最小值，由此可得出实数 的取值范围. 【详解】 ， ，则 ， 由基本不等式可得 ， 当且仅当 即 时，等号成立， 所以 ， 因此实数 的取值范围是 . 故答案为： . 11．（2021·北京延庆·模拟预测）同学们，你们是否注意到：自然下垂的铁链；空旷的田野上，两根电 线杆之间的电线；峡谷的上空，横跨深涧的观光索道的钢索．这些现象中都有相似的曲线形态．事实上， 这些曲线在数学上常常被称为悬链线．悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用．在恰 当的坐标系中，这类函数的表达式可以为 （其中 ， 是非零常数，无理数 …），对于函数 以下结论正确的是______． ①如果 ，那么函数 为奇函数；②如果 ，那么 为单调函数； ③如果 ，那么函数 没有零点； ④如果 那么函数 的最小值为2． 【答案】②③ 【分析】利用函数的奇偶性，单调性，零点和基本不等式等性质对①②③④逐一分析即可得到结论. 【详解】对①：当 时，函数 ，此时 为偶函数，故①错误. 对②：当 时，令 ，函数 在其定义域上为单调递增函数，函数 在其定义域上 也为单调递增函数，故函数 在其定义域上为单调递增函数；当 ，函数 在 其定义域上为单调递减函数，函数 在其定义域上也为单调递减函数，故函数 在其定 义域上为单调递减函数；综上：如果 ，那么 为单调函数；故②正确. 对③：当 时，函数 ， 当 时，函数 ； 综上：如果 ，那么函数 没有零点；故③正确. 对④：由 ，则 ， 当 时，函数 ； 当 时，函数 ； 故 时，函数 没有最小值；故④错误. 故答案为：②③12．（2021·浙江浙江·二模）设 ， ，若 ，且 的最大值是 ，则 ___________. 【答案】4 【分析】令 =d与已知等式联立消元得一元二次方程，利用判别式法即可得解. 【详解】令 =d，由 消去a得： ，即 ， 而 ， ，则 ， ， ， 依题意 ，解得 . 故答案为：4 四、解答题 13．（2022·海南·模拟预测）已知函数 . (1)求 在区间 上的最大值和最小值； (2)设 ，若当 时， ，求实数a的取值范围. 【答案】(1)最大值为 ，最小值为 (2) 【分析】（1）对函数 求导，利用导数在函数最值中的应用，即可求出结果； （2）对函数 求导，分 和 ，两种情况研究函数的单调性，利用函数的单调性求出 的 最大值，再结合 ，即可求出结果. (1)解：由条件得 ， 当 时，有 ， ， ，所以 ，即 在 上单调递减， 因此 在区间 上的最大值为 ，最小值为 . (2)解：由题意得 ， 所以 ， 若 ，当 时，有 ， 所以 在 上单调递增，所以 ，符合题意. 若 ，令 ，则 ， 当 时， ，所以 在 上单调递减. 又因为 ， ，所以 在 上存在一个零点 ， 当 时， ，即 ，所以 单调递减， 此时 ，不符合题意. 综上可知，a的取值范围是 . 14．（2021·江西·模拟预测）设函数 是定义在 上的奇函数，且当 时， . (1)求 的解析式； (2)若 ，使得 ，求实数 的取值范围.【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数的奇偶性可得答案； （2）转化为 ，使得 ，令 ，转化为 在 有解， 构造函数 利用单调性可得答案. (1)因为函数 是定义在 上的奇函数，所以 ，且 ， 设 ，则 ，所以 ，所以 ， 所以 . (2)若 ，使得 ，由（1）知即 ，使得 ， 令 ，则转化为 在 有解， 令 ， 设 ，则 ， 因为 ，所以 ，所以 ，即 在 时是单调递增函数，所以 ， 所以 ， 所以实数 的取值范围是 .三、函数的奇偶性 一、单选题 1．（2022·广东茂名·二模）已知 ，则不等式 的解集为 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定函数的奇偶性，由导数确定单调性，然后由奇偶性变形不等式，由单调性求解． 【详解】由题意知 的定义域为R，且 ，得 为奇函数，且 ，且 在 上单调递增． 由 得 ，即 ．解得 ． 故选：B． 2．（2022·湖南湘潭·三模）函数 的部分图象大致为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先通过奇偶性排除C选项，再结合 时 排除A、B选项即可. 【详解】易知，函数定义域为R，因为 ，所以 是奇函数，排除C选项； 当 时， ，则 ，排除A、B选项. 故选： . 3．（2022·广东茂名·二模）已知函数 ， 分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且 ，若函数 有唯一零点，则正实数 的值为 （ ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】首先利用方程组法求函数 的解析式，由解析式判断 的对称性，利用导数分析 的单调 性及极值点，根据函数有唯一的零点知极小值 ，即可求正实数 值. 【详解】由题设， ，可得： ， 由 ，易知： 关于 对称. 当 时， ，则 ， 所以 单调递增，故 时 单调递减，且当 趋向于正负无穷大时 都趋向于正无穷大， 所以 仅有一个极小值点1，则要使函数只有一个零点，即 ，解得 . 故选：B 4．（2021·全国·模拟预测）已知 为定义在R上的奇函数，且当 时， ，则 （ ） A．﹣2022 B．2022 C． D． 【答案】C 【分析】根据奇函数的性质和对数运算法则即可求解.【详解】因为 为定义在R上的奇函数，且当 时， ， 所以 ， 故选：C. 5．（2022·辽宁·大连二十四中模拟预测）已知函数 ，若 且 ，则有 （ ） A． 可能是奇函数，也可能是偶函数 B． C． 时， D． 【答案】D 【分析】根据奇函数的定义结合 即可判断A；令 ，利用导数结合已知判断函数 的单调性，再根据函数 的单调性逐一判断BCD即可得解. 【详解】解：若 是奇函数，则 ， 又因为 ，与 矛盾， 所有函数 不可能时奇函数，故A错误； 令 ， 则 ， 因为 ， ， 所以 ，所以函数 为增函数， 所以 ，即 ， 所以 ，故B错误；因为 ，所以 ， ， 所以 ， 故 ，即 ， 所以 ，故C错误； 有 ，即 ，故D正确. 故选：D. 6．（2022·江苏南通·模拟预测）若函数 为奇函数，则实数 的值为（ ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得 ，计算可得 ，经检验均符合题意，即可得解. 【详解】由 为奇函数， 所以 ， 所以 ，可得 ， 解得 ， 当 时， 的定义域为 ，符合题意， 当 时， 的定义域为 符合题意， 故选：D 7．（2022·湖北·二模）已知函数 ，则使不等式 成立的x的取 值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】判断 的奇偶性与单调性，由题意列不等式后求解【详解】由 得 定义域为 ， ，故 为偶函数， 而 ， 在 上单调递增， 故 在 上单调递增， 则 可化为 ，得 解得 故选：D 8．（2022·天津三中二模）设函数 的定义域为D，若对任意的 ，且 ，恒有 ，则称函数 具有对称性，其中点 为函数 的对称中心，研究函数 的对称中心，求 （ ） A．2022 B．4043 C．4044 D．8086 【答案】C 【分析】令函数 ，得出函数 为奇函数，其图象关于原点对称，进而求得函数 的图象关于 点中心对称，得到当 时 ，再结 合倒序相加法，即可求解. 【详解】令函数 ，则 ， 所以函数 为奇函数，其图象关于原点对称， 可得 的图象关于 点中心对称， 即当 ，可得 ， 设， 所以 所以 . 故选：C. 二、多选题 9．（2022·江苏泰州·模拟预测）已知定义在 上的单调递增的函数 满足：任意 ，有 ， ，则（ ） A．当 时， B．任意 ， C．存在非零实数 ，使得任意 ， D．存在非零实数 ，使得任意 ， 【答案】ABD 【分析】令 可推导得 ，结合 的值可知A正确；令 可推导得 ，结合 可推导知B正确；根据 单调性可知C错误；当 时， 根据 的对称中心及其在 时的值域可确定 时满足 ，知D正确. 【详解】对于A，令 ，则 ，即 ， 又 ， ； 令 得： ， ， ， ，则由 可知：当 时， ，A正确； 对于B，令 ，则 ，即 ， ， 由A的推导过程知： ， ，B正确； 对于C， 为 上的增函数， 当 时， ，则 ；当 时， ，则 ， 不存在非零实数 ，使得任意 ， ，C错误； 对于D，当 时， ； 由 ， 知： 关于 ， 成中心对称，则当 时， 为 的对称中心； 当 时， 为 上的增函数， ， ， ， ； 由图象对称性可知：此时对任意 ， ，D正确. 故选：ABD. 三、填空题 10．（2022·广东深圳·二模）已知函数 是偶函数，则 ___________． 【答案】 ##0.5 【分析】依据偶函数的定义建立方程即可求解. 【详解】由题意知： 是偶函数，则 ， 即： 即： 即： ，解得： . 故答案为： . 11．（2022·山东菏泽·一模）已知奇函数 在区间 上是增函数，且 ， ，当 ， 时，都有 ，则不等式 的解集为______． 【答案】 【分析】根据函数的单调性将不等式进行转化，根据函数奇偶性和单调性的关系以及抽象函数关系判断出 函数在区间 上也是增函数 ，利用赋值法求得特殊值，再根据函数的单调性进行求解即可． 【详解】不等式 等价为 ， 即 或 ， 即 或 ， 是奇函数，且 ， ， 故 ，则 ， ， ， 又奇函数 在区间 上是增函数 ，故 在区间 上也是增函数， 故 即 或 ， 此时 ； 而 即 或 ，此时 ； 故不等式 的解集为 ， 故答案为： 12．（2022·山东枣庄·一模）已知函数 是偶函数，则实数 的值为______． 【答案】2 【分析】直接由偶函数得到 ，化简求解即可. 【详解】由题意知：定义域为R，函数 是偶函数，则 ， 即 ，化简得 ，解得 . 故答案为：2. 四、函数的周期性 一、单选题 1．（2022·山东济宁·一模）定义在R上的奇函数 满足 ，则 （ ） A．0 B．1 C．－1 D．2022 【答案】A 【分析】求出函数的周期，利用周期和 可得答案. 【详解】因为 ，可得 ， 所以 ， 所以 的周期为4， 函数 是定义在 上的奇函数，所以 ， 所以 ， . 故选：A.2．（2022·福建·模拟预测）已知 是定义在 上的奇函数， ，且 ，则 （ ） A．1 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】根据奇函数的概念和性质可得f（x）是周期为4的函数，将f（2021）化为f（1）即可. 【详解】因为f（x）为奇函数， 所以f（x＋1）＝f（1－x）＝－f（x－1）， 所以f（x＋3）＝f（x＋2＋1）＝－f（x＋2－1）＝f（x－1）， 所以 ， 即f（x）是周期为4的函数， 故f（2021）＝f（1）＝－f（－1）＝－1. 故选：D 3．（2022·江苏江苏·二模）已知 是定义域为R的偶函数，f(5.5)＝2，g(x)＝(x－1) .若g(x ＋1)是偶函数，则 ＝( ) A．－3 B．－2 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据g(x＋1)得到g(x)关于x＝1对称，得到 ，结合g(x)＝(x－1) 和f(x)为 偶函数即可得f(x)周期为4，故可求出f(2.5)＝2，则 即可求值﹒ 【详解】 为偶函数，则 关于 对称，即 ， 即 ，即 ， 关于 对称，又f(x)是定义域为R的偶函数， ∴ ， ∴f(x－4)＝f[(x－2)－2]＝－f(x－2)＝－[－f(x)]＝f(x)，即f(x－4)＝f(x)，周期为 ， ∴ ， . 故选：D. 二、多选题 4．（2022·河北·模拟预测）若函数 （ ）是周期为2的奇函数．则下列选项一定正确的是 （ ） A．函数 的图象关于点 对称 B．2是函数 的一个周期 C． D． 【答案】AC 【分析】本题考查抽象函数的对称性与周期性，利用函数 是奇函数得到关系式 和 ，即可逐个判断出选项. 【详解】 函数 是奇函数， ，函数 图象关于点 对称，故A正确； 函数 是周期为2，所以 的周期为4，故B错误； 函数 是周期为2的奇函数， ，故C正确； ，无法判断 的值，故D错误. 故选：AC. 5．（2022·全国·模拟预测）已知函数 ，则（ ）A． 是函数 的一个周期 B． 是函数 的一条对称轴 C．函数 的最大值为 ，最小值为 D．函数 在 上单调递增 【答案】ABC 【分析】根据给定条件利用周期定义、对称性性质判断选项A，B；换元借助二次函数最值判断选项C；利 用复合函数单调性判断选项D作答. 【详解】因 ，A正确； 因 ，B正确； 令 ，有 ，则 ， ， 因为 在 上单调递增，即函数 的最大值为 ，最小值为 ， C正确； 函数 由 和 复合而成，函数 在 上单调递增， 在 上递增，在 上递减，则函数 在 上不单调，D不正确. 故选：ABC 6．（2021·广东肇庆·模拟预测）已知定义在 上的偶函数 对任意的 满足 ，当 时， ，函数 且 ，则下列结论正确的有 （ ） A． 是周期为 的周期函数B．当 时， C．若 在 上单调递减，则 D．若方程 在 上有 个不同的实数根，则实数 的取值范围是 【答案】ACD 【分析】根据周期性定义可知A正确；由 ， 可知B错误； 由分段函数单调性可确定两段函数单调性及分段处大小关系，由此得到不等式组知C正确； 分别在 和 两种情况下，采用数形结合的方式确定不等关系，解得 的范围，知D正确. 【详解】对于A， ， 是周期为 的周期函数，A正确； 对于B，当 时， ， ， 又 是周期为 的周期函数， 当 时， ，B错误； 对于C，若 在 上单调递减，则 ， ，C正确； 对于D，当 时，若 在 上有 个不同的实数根，则大致图象如下图所示， ，解得： ； 当 时，若 在 上有 个不同的实数根，则大致图象如下图所示，，解得： ； 综上所述： 的取值范围为 ，D正确. 故选：ACD. 三、填空题 7．（2022·广东茂名·二模）请写出一个函数 _______，使之同时具有以下性质：①图象关于y轴 对称；② ， ． 【答案】 (答案不唯一) 【分析】根据题设函数性质的描述，只需写出一个周期为4的偶函数，结合余弦函数的性质即可写出函数 解析式. 【详解】由题设，写出一个周期为4的偶函数即可， 所以 满足题设要求. 故答案为： (答案不唯一) 8．（2022·重庆·二模）已知定义域为R的函数 满足 且 ，则函数 的解析式可以是______. 【答案】 （答案不唯一）；【分析】根据题意，得到函数 是定义域 上的奇函数，且周期为2，进而得到函数的解析式. 【详解】由题意，函数 满足 且 ， 可得函数 是定义域 上的奇函数，且周期为2， 可令函数的解析式为 （答案不唯一）； 故答案为： （答案不唯一）； 五、函数的对称性 一、单选题 1．（2022·广东佛山·模拟预测）已知函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称， 将 的图象向右平移 个单位长度后得到函数 的图象，则函数 在 时的值域 为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由对称性先求出 的解析式，再由平移得出 的解析式，再由正弦函数的性质得出其值 域. 【详解】设 为 的图像上一点，则点 关于直线 对称的点为 由题意点 在函数 的图象上，则 所以 ，则 当 时， ，则所以 故选：C 2．（2021·全国·模拟预测）已知函数 ，且对任意的实数x， 恒成立.若存在实数 ， ，…， （ ），使得 成立，则n 的最大值为（ ） A．25 B．26 C．28 D．31 【答案】B 【分析】求解本题的关键：一是根据已知条件得到 ， ，从而求出函数 的解析 式；二是根据函数 的解析式的结构特征换元求得 时 的值域；三是根据题意得到 . 【详解】由题意得 ， ，所以 解得 所以 . 令 ，若 ，则 . 令 ， ，故 ，即当 时， .存在 ， ，…， （ ）使得 成立，即存在 ， ，…， （ ），使得，由 时， 的最小值为2，最大值为51，得 ，得 ，又 ，所以可得n的最大值为26. 故选：B. 3．（2021·浙江·模拟预测）已知定义在 上的图象连续的函数 的导数是 ， ，当 时， ，则不等式 的解集为 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题设，易知 ，构造 ，利用导数研究其在 上的 单调性，并确定对称轴，进而得到 的单调性，由 等价于 ，即可求 解集. 【详解】当 时， ，即有 ． 令 ，则当 时， ，故 在 上单调递增． ∵ ， ∴ 关于直线 对称，故 在 上单调递减， 由 等价于 ，则 ，得 ． ∴ 的解集为 ． 故选：A. 4．（2021·广东·梅州市梅江区嘉应中学模拟预测）已知定义在R上的函数 满足：对任意 ，都 有 ，且当 时， （其中 为 的导函数）．设 ，， ，则a，b，c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知确定函数的对称性与单调性，然后把“ ”后面自变量的值转化为同一单调区间上，可得 大小关系． 【详解】由 ，得 的图象关于直线 对称，又 时， ，所以 ，即 在 上单调递减，所以在 上单调递增， ， ， ， ， ， ，所以 ， 所以 ． 故选：C． 二、多选题 5．（2022·江苏·新沂市第一中学模拟预测）已知三次函数 ，若函数 的图象关于点（1，0）对称，且 ，则（ ） A． B． 有3个零点 C． 的对称中心是 D． 【答案】ABD 【分析】由题设 且 ，可得 ，代入解析式，结合已知条 件即可判断选项的正误. 【详解】由题设， ，且 ， 所以 ，整理得 ， 故 ，可得 ，故 ，又 ，即 ，A正确； 有3个零点，B正确； 由 ，则 ，所以 关于 对称，C错误； ，D正确. 故选：ABD 三、填空题 6．（2022·重庆·模拟预测）写出一个同时满足下列三个条件的函数 的解析式__________. ① 的定义域为 ，值域为 ； ② ； ③ 在 上单调递减. 【答案】 【分析】根据②判断函数对称性，结合①③的性质选择函数即可. 【详解】因为 ， 所以函数 的对称轴为： ，该函数可以是二次函数， 0, ,0 又因为 的定义域为 ，值域为 ，在 上单调递减， f(x)(x1)2 所以该二次函数为： ， f(x)(x1)2 故答案为： f xsinxln 2x3 7．（2022·广东广州·二模）函数 的所有零点之和为__________． 【答案】9 ysinx yln 2x3 【分析】根据给定条件，构造函数 ， ，作出这两个函数的部分图象，确定两个图象 的交点个数，再结合性质计算作答. f x0sinxln|2x3| ysinx yln 2x3 【详解】由 ，令 ， ，3 x 显然 ysinx 与yln 2x3 的图象都关于直线 2 对称， ysinx yln 2x3 在同一坐标系内作出函数 ， 的图象，如图， ysinx yln 2x3 x,x ,x ,x ,x ,x 观察图象知，函数 ， 的图象有6个公共点，其横坐标依次为 1 2 3 4 5 6， 3 x 这6个点两两关于直线 2 对称，有x x x x x x 3，则x x x x x x 9， 1 6 2 5 3 4 1 2 3 4 5 6 f xsinxln 2x3 所以函数 的所有零点之和为9. 故答案为：9 一、单选题 y f x x(0,) yax0a1 1．（2020·山东·高考真题）已知函数 是偶函数，当 时， ，则该函数 在(,0)上的图像大致是（ ） A． B． C． D．【答案】B 【分析】根据偶函数，指数函数的知识确定正确选项. x(0,) yax0a1 f x 0, 【详解】当 时， ，所以 在 上递减， f x f x ,0 是偶函数，所以 在 上递增. 注意到a0 1， 所以B选项符合. 故选：B f x x x R 2．（2020·山东·高考真题）已知函数 的定义域是 ，若对于任意两个不相等的实数 1， 2，总有 f x  f x  2 1 0 x x 成立，则函数 f x 一定是（ ） 2 1 A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．减函数 【答案】C 【分析】利用函数单调性定义即可得到答案. f x  f x  2 1 0 【详解】对于任意两个不相等的实数x，x，总有 x x 成立， 1 2 2 1 x x f x  f x  等价于对于任意两个不相等的实数 1 2，总有 1 2 . f x 所以函数 一定是增函数. 故选：C 1 3．（2020·山东·高考真题）函数 f x 的定义域是（ ） lgx 0, 0,1  1, 0,1U1, 1, A． B． C． D． 【答案】B x0  【分析】根据题意得到lgx0，再解不等式组即可. x0  【详解】由题知：lgx0，解得x0且x1.0,1 1,  所以函数定义域为 . 故选：B f x f x1 f x2 4．（2021·全国·高考真题（理））设函数 的定义域为R， 为奇函数， 为偶函数， 9 当 x1,2 时， f(x)ax2b．若 f 0 f 36 ，则 f  2    （ ） 9 3 7 5 A．  B． C． D． 4 2 4 2 【答案】D f x1 f x2 f x2x22 【分析】通过 是奇函数和 是偶函数条件，可以确定出函数解析式 ，进而利 用定义或周期性结论，即可得到答案． f x1 f x1f x1 【详解】因为 是奇函数，所以 ①； f x2 f x2 f x2 因为 是偶函数，所以 ②． f 0f 24ab f 3 f 1ab x1 令 ，由①得： ，由②得： ， f 0 f 36 4abab6a2 因为 ，所以 ， x0 f 1f 1 f 10b2 f x2x22 令 ，由①得： ，所以 ． 思路一：从定义入手． 9 5   5   1 f   f  2 f  2 f   2 2   2   2  1  3  3  5 f   f  1f  1f    2  2  2  2 5 1   1  3 f  f  2f  2= f   2 2   2  2 9 3 5 f  f   所以 2 2 2． 思路二：从周期性入手f x T 4 由两个对称性可知，函数 的周期 ． 9 1 3 5 f   f  f   所以 2 2 2 2． 故选：D．  1 1 5．（2021·全国·高考真题（文））设 f x是定义域为R的奇函数，且 f 1x f x.若 f    3    3 ， 5 则 f   （ ） 3 5 1 1 5 A． B． C． D． 3 3 3 3 【答案】C 5 f   【分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得 3的值. 5  2  2 2 【详解】由题意可得： f   f 1  f  f  ， 3  3  3 3 2  1 1  1 1 而 f   f 1  f  f   ， 3  3 3  3 3 5 1 故 f   . 3 3 故选：C. 1x 6．（2021·全国·高考真题（理））设函数 f(x) ，则下列函数中为奇函数的是 1x （ ） f x11 f x11 f x11 f x11 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可. 1x 2 【详解】由题意可得 f(x) 1 ， 1x 1x 2 对于A， f x11 2不是奇函数； x 2 f x11 对于B， 是奇函数； x2 对于C， f x11 2，定义域不关于原点对称，不是奇函数； x2 2 对于D， f x11 ，定义域不关于原点对称，不是奇函数. x2 故选：B 二、填空题 f xx3 a2x2x a 7．（2021·全国·高考真题）已知函数 是偶函数，则 ______. 【答案】1 【分析】利用偶函数的定义可求参数a的值. f xx3 a2x2x f xx3 a2x2x 【详解】因为 ，故 ， f x f x f x 因为 为偶函数，故 ， x3 a2x2x x3 a2x2x a1 2x+2x =0 时 ，整理得到 ， 故a1， 故答案为：1 三、解答题 f(x) x2,g(x) 2x3  2x1 8．（2021·全国·高考真题（文））已知函数 ． y f x ygx （1）画出 和 的图像； f xa gx （2）若 ，求a的取值范围． 11 【答案】（1）图像见解析；（2）a 2 【分析】（1）分段去绝对值即可画出图像；1  （2）根据函数图像数形结和可得需将 y f x 向左平移可满足同角，求得 y f xa 过 A 2 ,4 时a的 值可求. 2x,x2 f(x) x2  【详解】（1）可得 x2,x2，画出图像如下：  3 4,x  2   3 1 g(x) 2x3 2x1 4x2, x ，画出函数图像如下： 2 2   1 4,x   2 （2） f(xa)|xa2|， f x,gx 如图，在同一个坐标系里画出 图像， y f xa y f x a 是 平移了 个单位得到， f(xa)g(x) y f x a0 则要使 ，需将 向左平移，即 ，1  1 11 5 当 y f xa 过 A 2 ,4 时， | 2 a2|4 ，解得 a 2 或  2（舍去）， 11 11 则数形结合可得需至少将y f x向左平移 2 个单位，a 2 . 一、单选题 x2 2x2,x0 f x 1. （2022·全国·模拟预测）已知函数  xa,x0 的值域为1,，则a的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A f x 【分析】利用函数的单调性分别求出x0和x0时，所对应函数解析式的范围，根据函数 的值域 a 即可求出 的取值范围. 【详解】由已知得 f x x2 2x2x12 1 1, 当x0时， ，值域为 ； f xxa a, x0 当 时， ，值域为 ； f x 1, ∵函数 的值域为 ， ∴a1，则a的最小值为1.故选：A. 0, 2. （2022·北京·北师大实验中学模拟预测） 下列函数中，既是偶函数又在 单调递增的函数是 （ ） y lnx y  x 1 y x2 1 y 3x A. B. C. D. 【答案】B 【分析】分析各选项中函数的定义域、奇偶性、在 0, 上的单调性即可判断作答. 【详解】对于A，函数y lnx定义域是 0, ，不是偶函数，A不是； y  x 1 0, 对于B，函数 定义域为R，是偶函数且在 上单调递增，B是； y x2 1 0, 对于C，函数 定义域为R，是偶函数且在 上单调递减，C不是； y 3x 0, 对于D，函数 定义域为R，是偶函数且在 上单调递减，D不是. 故选：B f(x)ln |x|1cosx [,] 3. （2022·全国·模拟预测） 函数 在 上的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】先求函数的定义域，根据函数的奇偶性，排除部分选项，再利用特殊点处的函数值排除不合适的 选项，即可得解. 【详解】由题知 f(x)的定义域为R， f(x) f(x)，所以 f(x)是偶函数，排除A；f()ln 11lne10 ，排除B，D. 故选：C. x2,x1 4. （2022·全国·模拟预测）已知函数 f x ，则 f f  e  （ ） lnx,x1   1 1 A. e B. 1 C. 4 D. 2 【答案】C 【分析】根据分段函数的定义及对数的运算即可求得答案. 【详解】由题意， f f  e   f  ln e   f   1   1 .   2 4 故选：C. x2 f(x) 5. （2022·全国·模拟预测）函数 xlnx 的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】解法一，利用特殊值，即可排除选项；解法二，通过特殊值，以及 x0时，xlnx， 即可排除选项. e2 f(e) 0 【 详 解 】 解 法 一 由 f(1)10， 排 除 A ； 由 e1 ， 排 除 C ； 因 为1 2 2  1  e2 e2 f  e2    f(1) 1 2 1 1 2 0，所以 f   1    f(1) ，排除B. e2 e2 e2  故选：D. 1 f(3) 0 解法二 当x0时，xlnx， f(x)0，排除B；由 3ln3 ，排除A，C. 故选：D. f x f 1x f 1x4 x1 6. （2022·全国·模拟预测）已知定义域为R的函数 满足 ，且当 时， 25 fx x2  8 f x2lnx10 x2 2 ，则不等式  的解集为（ ） 2, 1, (1,2)  2,e2 A. B. C. D. 【答案】A 【分析】由题设得 f 12且 f x 关于 (1,2) 中心对称，利用导数及对称性研究 f x 在R上单调性，再 讨论lnx1 的符号并利用单调性解不等式. 【详解】由 f 1x f 1x4得： f 12且 f x 关于 (1,2) 成中心对称． 25 25 fx x2  8 x2 2 100 当x1时， x2 2 x2 2 ，当且仅当 x 3 时等号成立， f x 1, f x 所以 在 上单调递增，由中心对称可得： 在R上单调递增． lnx10 lnx10   由   f x2  lnx10 得：  f x20 或  f x20 ，解得 x2 . 故选：A． 1 f x x3ax2 x1 3a,3aa0 7. （2022·全国·模拟预测）若函数 3 在 上的最大值与最小值1  之和不小于 4 ，则实数a的取值范围为（ ）  1  1 A.   0, 3  B.   0, 2  C. 0,1 D. 0,2 【答案】B 【分析】法一：由题设得 f(x) x2 2ax1a 0 ，结合二次函数的性质研究 f(x)符号，进而确定 1 的单调性，求得不同情况下的最值并结合 f(x)  f(x)  ，即可求参数范围； f(x) max min 4 f 3a3a1 f 3a18a33a1 f(x) 法二：由题设可得 、 ，应用作差法，与 比较大小，即可确 1 f(x)  f(x)  定最值结合 max min 4 ，即可求参数范围； fx x2 2ax1a 0 f�( x) =0 【详解】法一：由题意， ，对于 ， 4a2 40 0a1 f�( x) �0 f x 3a,3a 当 ，即 时， ， 在 上单调递增， 1 1 f 3a f 3a218a3  a3  0a 1 所以 4，即 8 ，因此 2； 当 4a2 40 ，即a1时，由 4a2 40 、 f3a0 且 f3a0 ，则 f�( x) =0 在 3a,3a x x 上有两个不相等的实根 1， 2， x x 3a,x  f�( x) >0 x ,x  f�( x) <0 x ,3a f�( x) >0 不妨设 1 2，则 1 上 ， 1 2 上 ， 2 上 ， f x 3a,x  x ,x  x ,3a 所以 在 1 上单调递增，在 1 2 上单调递减，在 2 上单调递增， f x min  f 3a, f x  f x max  f 3a, f x  由此， min 2 ， max 1 .1 1 1  f x  f 3a x3ax2 x 3a  x2x 3ax 3a x 3a x21 0   由 1 3 1 1 1 3 1 1 1 1 3 1  ，则 f x  f 3a f x  f 3a 1 ，同理可得 2 ， 1 1 f x  f 3a f x  f 3a f 3a f 3a218a3  a 所以 ， ，则 3 ，解得 2 ，与 max min a1矛盾. 1 综上，0a . 2 1 f 3a 3a3 a3a2 3a13a1 法二：由题意得： 3 ， 1 f 3a 3a3 a3a2 3a118a33a1 3 . x3a,3a 当 时， 1 1 1  f x f 3a x3 ax2 x3a  x2x3ax3a x3a x2 1 0 3 3  3   ，即 f x f 3a ， f x  f 3a 所以 max ； 1 1 f x f 3a x3ax2 x  18a33a   x3ax2 2ax218a3x3a 3 3 1  3 x2x3a2a  x2 9a2 x3a ，又x3a0，x2 9a2 0，即 f x f 3a ， f x  f 3a 所以 min . 1 1 f 3a f 3a3a118a33a1218a3  a3  0a 1 综上， 4 ，即 8 ，得 2. 故选：B.f x f 22 x ,x 0, x  x 8. （2022·全国·模拟预测） 已知 为R上的奇函数， ，若 1 2 且 1 2， f x  f x  1  2 x x 都有 2 1 0，则不等式 的解集为（ ） x x x1 f x14 1 2 ,13, ,3 A. B. 1,3 1, C. D. 【答案】C 【分析】设 gx xf x ，由题意得到gx 为偶函数且在 0, 上单调递增，由2f 2 g24将 原不等式转化为gx1 g2 ，然后利用gx 的图象与性质将问题转化为 x1 2，解不等式即可得 解. f x  f x  1  2 【详解】由 x x ，得 x f x x f x  ， 2 1 0 1 1 2 2 0 x x x x 1 2 1 2 gx xf x 设 ， gx 0, f x 则 在 上单调递增，∵ 为奇函数， gx ∴ 为偶函数， gx1x1 f x142f 2 g2 x1 2 -1