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第 03 讲 三角形的内角与外角
知识点1：三角形的内角
知识点2：三角形的外角
①三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180 度。
②证明方法：剪拼成平角、通过做平行线构造平角、构造两平行线下的同旁内
角。
测量法： 剪角拼角法 ：
【题型1三三角形的内角和定理】
【典例1】（24-25七年级下·福建漳州·阶段练习）学习了“平行线的性质和判定”后，聪
明的小颖同学只撕下三角形的一个角来拼到另一个角的顶点处便可说明三角形的内角
和等于180°．请阅读小颖的操作和说理过程，并完成相应任务：
如图1，△ABC中的三个内角分别为∠1，∠2，∠3．将∠2撕下，按图2的方式拼
摆，使∠2与∠1的顶点重合，∠2的一边与AB重合．理由：由操作可知∠B=∠2，
所以AD ∥________ （依据：________）．
所以，∠DAC+________=180°（依据：________）．
即∠1+________+________=180°．
所以，三角形的内角和等于180°
【变式1】（24-25七年级下·广东河源·期中）已知三角形的一个内角是50°，另两个内角的
度数比为2:3，则最大内角的度数是（ ）
A．78° B．80° C．90° D．100°
【变式2】（2025·河南信阳·三模）一副三角板按如图方式叠合在一起，AD与BE相交于点
H，则∠BHD的度数是（ ）
A．75° B．70° C．65° D．55°
【变式3】（2025·湖北襄阳·二模）已知直线a∥b，将一块含30°角的直角三角板
(∠BAC=30°)按如图所示放置，并且顶点A、C分别落在直线a,b上，若∠1=23°，
则∠2的度数为（ ）
A．17° B．53° C．37° D．60°【题型2 三角形中有关高、中线与角平分线综合运算】
【典例2】（24-25七年级下·江西吉安·阶段练习）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，
AD⊥BC于D，AE平分∠BAC．
(1)若∠B=50°，求∠DAE的度数．
(2)若AB=6,AC=8,BC=10，求AD的长．
【变式1】（24-25七年级下·全国·期末）如图，△ABC中，AD是BC上的高，AE平分
∠BAC，∠B=60°,∠C=40°，则∠DAE= 度．
1 1
【变式2】（24-25七年级下·山东青岛·阶段练习）在△ABC中，∠A= ∠B= ∠ACB，
2 3
CD是△ABC的高，CE是∠ACB的角平分线，则∠DCE= ．
【变式3】（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，
AD是BC边上的高．
(1)在图中将图形补充完整；
(2)当∠BAC=80°，∠C=72°时，求∠DAE的度数．【题型3 与角平分线有关的三角形内角和问题】
【典例3】（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，在△ABC中，∠ABC=80°，
∠ACB=50°，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，求∠BPC的度数．
对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．
解：∵____①____（已知），
1 1
∴∠PBC= ∠ABC= ×80°=40°．
2 2
同理可得∠PCB=____②____．
在△BPC中，三角形三个内角和等于180°，
∴____③____=180°，
∴∠BPC=180°−____④____（等式的性质）
=____⑤____．
【变式3-1】（2025·河南信阳·三模）如图，Rt△ABC中，∠B=50°，∠C=90°，线段
AD是∠CAB的平分线，∠ADB的度数为（ ）
A．80° B．100° C．110° D．150°
【变式3-2】（24-25八年级上·湖南长沙·期中）如图，点O是△ABC内一点，OA、OC分
别平分∠BAC、∠BCA，∠B=64°，则∠O= ．
【变式3-3】（24-25七年级下·四川遂宁·阶段练习）如图，在△ABC中，AD，CE是△ABC的角平分线，∠BAC=60°,∠ACE=40°，则∠AOC= ．
①定义：三角形的一边与另一条边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。
如图，∠ACD 是 △ABC 的一个外角
②结论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；三角形的一个外角大于与它不
相 邻的任何一个角。
【题型4 三角形外角性质】
【典例4】（2025·内蒙古包头·二模）如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，
∠1=30°,∠3=20°，则∠2的度数等于（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
【变式4-1】（24-25八年级上·广西防城港·阶段练习）如图，∠A=45°，∠B=55°，则
∠DCA的度数为（ ）A．100° B．80° C．55° D．90°
【变式4-2】（2023·四川宜宾·中考真题）如图， AB∥CD，且∠A=40°，∠D=24°，
则∠E等于（ ）
A．40° B．32° C．24° D．16°
一、单选题
1．（24-25八年级上·四川泸州·期中）如图，△ABC中，AB=AC，CD⊥AB于点D，
若∠ACD=40°，则∠BCD=（ ）
A．35° B．30° C．25° D．20°
2．（24-25八年级上·四川南充·期中）如图，已知点O是ΔABC内一点，且点O到△ABC
三边的距离相等，若∠A=80°，则∠BOC=（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°3．（24-25八年级上·广东肇庆·期中）如图，将一副常规的三角尺按如图方式放置，则图中
∠AOB的度数为（ ）
A．45° B．50° C．110° D．105°
二、填空题
4．（22-23八年级上·山东济宁·期中）如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，
∠B=39°，∠ACD=110°，则∠A等于 ．
5．（24-25八年级上·河南开封·期中）如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠B=70°，
则∠BAC的度数为 ．
6．（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，是某款婴儿车的几何示意图，若AD∥BC，
∠1=125°，∠3=40°，则∠2的度数是 °．
三、解答题7．（24-25八年级上·安徽宣城·期中）如图，AD平分∠BAC,∠EAD=∠EDA．
(1)求证：∠EAC=∠B；
(2)若∠B=45°,∠CAD:∠E=2:5，求∠E的度数．
8．（24-25七年级上·山东泰安·期中）如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线．
(1)若∠B=32°，∠C=60°，求∠DAC和∠DAE的度数．
(2)若AB⊥AC，AC=6，AB=8，求AD的长．
9．（23-24八年级上·四川泸州·阶段练习）如图，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的
高和角平分线，若∠B=30°，∠C=80°，求∠DAE的度数．
10．（23-24七年级下·宁夏银川·期中）如图，在△ABC中，点D在边BC上．(1)若∠1=∠2=35°，∠3=∠4，求∠DAC的度数；
(2)若AD为△ABC的中线，AB=9cm，AC=6cm，则△ABD的周长比△ACD的周长
大多少？
