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第 02 讲 三角形的高线、中线、角平分线以及稳定性
课程标准 学习目标
1. 掌握三角形的高、中线以及角平分线的概念和画法。掌握钝
①三角形的高、中线与角平分线
角三角形短边上的高的画法。
②三角形的稳定性
2. 掌握三角形的稳定性以及在实际生活中的实际应用。
知识点01 三角形的高
1. 三角形高线的定义：
如图，过三角形的顶点作对边的垂线， 与 之间的线段是三角形
的高线。
BD是△ABC的高 BD AC
2. 三角形高的画法：
一靠：将三角尺的一条直角边靠在要作高的边上；
二移：移动三角尺，使另一条直角边通过要作高的顶点；
三画：画出垂线段。
3. 锐角三角形、直角三角形以及钝角三角形所有高线的图示：4.
三角形的垂心：
三角形有 条高线，且三条高线交于一点，这个点叫做三角形的 。
5.
高线与垂心的位置与三角形形状的关系：
锐角三角形的三条高都在 ，垂心在 。
直角三角形有两条高是 ，垂心在 。
钝角三角形有两条高在 ，垂心在 。
【即学即练1】
1．如图，在△ABC中，关于高的说法正确的是（ ）
A．线段AD是AB边上的高 B．线段BE是AC边上的高
C．线段CF是AC边上的高 D．线段CF是BC边上的高
【即学即练2】
2．如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．不能确定
知识点02 三角形的中线
1. 三角形中线的定义：
如图，三角形的顶点与 的连线段叫做三角形的中线。
2. 三角形中线的性质：
①AM是三角形的中线 M是BC的 BM CM＝
BC。。即：
②中线平分三角形的
③中线分三角三角形的周长差等于对应另两边的差。即：
④三角形有 条中线，且三条中线交于一点，叫做三角形的 。
【即学即练1】
3．如图，AD、CE都是△ABC的中线，连接ED，△ABC的面积是10cm2，则△BDE的面积是（ ）
A．1.25cm2 B．2cm2 C．2.5cm2 D．5cm2
【即学即练2】
4．如图，CM是△ABC的中线，BC＝8cm，若△BCM的周长比△ACM的周长大 2cm，则 AC的长为
（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
知识点03 三角形的角平分线
1. 三角形角平分线的定义：
如图。三角形的一个内角平分线与这个角对边相交，顶点和交点之间
的 是三角形的角平分线。
2. 三角形角平分线的性质：
①AD是三角形的角平分线 ∠1 ∠2。
②三角形的角平分线把三角形分得的两个小三角形的面积比等于被角平分线分边分得的两条线段
。（利用下一单元的知识点证明）
比。即
③三角形有 条角平分线，三条角平分交于一点，这一点叫做三角形的 。
【即学即练1】
5．如图，在△ABC中，∠1＝∠2＝∠3＝∠4，则下列说法中，正确的是（ ）
A．AD是△ABE的中线
B．AE是△ABC的角平分线C．AF是△ACE的高线
D．AE是△DAF的中线
知识点04 三角形的稳定性
1. 三角形的稳定性：
三角形的三条边确定，则这个三角形的 和 就会确定。这就是三角形的稳定性。
【即学即练1】
6．如图所示，工人师傅在砌门时，通常用木条 BD固定长方形门框ABCD，使其不变形，这样做的数学根
据是（ ）
A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短
C．同角的余角相等 D．三角形具有稳定性
题型01 画三角形的高线
【典例1】在下列各图的△ABC中，正确画出AC边上的高的图形是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】下列各图中，画出AC边上的高，正确的是（ ）
A． B．C． D．
【变式2】如图，在△ABC中，边AB上的高是（ ）
A．AF B．BE C．CE D．BD
【变式 3】如图所示，已知 AD⊥BC，GC⊥BC，CF⊥AB，D、C、F是垂足，下列说法中错误的是
（ ）
A．△ABC中，CF是AB边上的高
B．△AGC中，CF是AG边上的高
C．△GBC中，GC是BC边上的高
D．△BFC中，CG是BF边上的高
题型02 利用三角形的高线与垂心判断三角形的形状
【典例1】若一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．以上都 不对
【变式1】只有一条高在三角形内部的三角形是（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．直角三角形或钝角三角形
【变式2】若一个三角形的三条高所在直线的交点在三角形外部，此三角形是 三角形．
【变式3】若三角形的三条高的交点在这个三角形的内部，那么这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
题型03 中线平分三角形的面积
【典例1】三角形一边上的中线把原三角形分成两个（ ）A．形状相同的三角形 B．面积相等的三角形
C．直角三角形 D．周长相等的三角形
【变式1】王老汉要将一块如图所示的三角形土地平均分配给两个儿子，则图中他所作的线段 AD应该是
△ABC的（ ）
A．角平分线 B．中线
C．高线 D．以上都不是
【变式2】如图，已知△ABC中，点D、E分别是边BC、AB的中点．若△ABC的面积等于8，则△BDE
的面积等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式3】已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC ＝4cm2，则
阴影部分的面积为 cm2．
题型04 三角形的中线分得的三角形的周长差与边的差
【典例1】在△ABC中，AB＝20，BC＝18，BD是AC边上的中线，若△ABD的周长为45，△BCD的周长
是（ ）
A．47 B．43 C．38 D．25
【变式1】如图，在△ABC中，点E是BC的中点，AB＝7，AC＝10，△ACE的周长是25，则△ABE的周
长是（ ）
A．18 B．22 C．28 D．32
【变式2】如图所示，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，AD是△ABC的中线，则△ABD与△ADC的周长之
差为（ ）A．14 B．1 C．2 D．7
【变式3】如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多5cm，AB与AC
的和为13cm，求AC的长．
题型05 三角形的稳定性的应用
【典例1】如图，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中所示那样钉上两条斜拉的木板条（即图
中的AB和CD）．这样做的依据是（ ）
A．矩形的对称性 B．三角形的稳定性
C．两点之间线段最短 D．垂线段最短
【变式1】2024年年初，山西省最长的跨黄河大桥——临猗黄河大桥完成合龙任务，如图，这是桥身的一
部分，桥身采用三角形钢结构架，这其中蕴含的数学道理是（ ）
A．三线合一
B．三角形的稳定性
C．垂线段最短
D．三角形两边之和大于第三边
【变式2】如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是利用三角形的（ ）A．全等形 B．稳定性 C．灵活性 D．对称性1．下列图形中，正确画出AC边上的高的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列说法正确的是（ ）
A．三角形的角平分线是射线
B．连接三角形任意两边中点的线段是三角形的中线
C．三角形的高都在三角形的内部
D．直角三角形的三条高线交于直角顶点处
3．意大利面根根筋道，看起来极易折断，棉花糖柔软、容易固定．利用意大利面
做架子，棉花糖做连接，能搭建出“又高又稳”的建筑．在如图所示的模型中三
角形架子是其主要结构，这种设计的原理是（ ）
A．三角形具有稳定性 B．两点之间，线段最短
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
4．如图，AD是△ABC的中线，AB＝8，AC＝7．若△ACD的周长为18，则△ABD的周长为（ ）
A．15 B．16 C．20 D．19
5．如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线，则下列说法中错误的是（ ）
A．BF＝CF B．∠C+∠CAD＝90°
C．∠BAF＝∠CAF D．S△ABC ＝2S△ABF
6．如图，△ABC的角平分线AD、中线BE相交于点O．有下列两个结论：①AO是△ABE的角平分线；
②BO是△ABD的中线．其中（ ）A．只有①正确 B．只有②正确
C．①和②都正确 D．①和②都不正确
7．如图、AD，BE，CF分别是△ABC的中线、高和角平分线，∠ABC＝90°，CF交AD于点G，交BE于
点H，则下列结论一定正确的是（ ）
A．∠ABE＝∠FCB B．∠GAC＝∠GCA C．FG＝GC D．BF＝BH
8．如图，在△ABC中，BD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线，若DC＝6，则AE的长度为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
9．如图，在△ABC中，∠1＝∠2，G为AD的中点，连接BG并延长，交AC于点E，过点C作CH⊥AD
于点H，延长CH交AB于点F．下面说法错误的是（ ）
A．AD是△ABC的角平分线
B．CH是△ACD的边AD上的高线
C．AH是△ACF的角平分线和高线
D．BE是△ABD的边AD上的中线
10．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE
于点H，给出以下结论：①BF＝AF；②∠AFG＝∠AGF；③∠FAG＝2∠ACF；④S△ABE ＝S△BCE ；
⑤BH＝CH．其中结论正确的有（ ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
11．杜师傅在做完门框后，为防止门框变形常常需钉两根斜拉的木条，这样做的数学原理是 ．
12．已知AD是△ABC的边BC上的中线，若△ABD的周长比△ACD的周长大6，则AB与AC的差是
.
13．若△ABC中，∠ACB是钝角，AD是BC边上的高，若AD＝2，BD＝3，CD＝1，则△ABC的面积等于
．
14．如图，AD是△ABC的中线，若S△ABC ＝2，则S△ACD ＝ ．
15．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多4，AB+AC＝24，则AC
的长为 ．
16．为使五边形木架（用5根木条钉成）不变形，哥哥准备如图①那样再钉上两根木条，弟弟准备如图
②那样再钉上两根木条，哪种方法能使木架不变形？为什么？
17．如图，在△ABC中（AC＞AB），AC＝2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成55和45两部分，
求AC和AB的长．18．如图，在△ABC中，AD是中线，AB＝10cm，AC＝6cm．
（1）△ABD与△ACD的周长差为 cm．
（2）点E在边AB上，连接ED，若三角形ABC的周长被DE分成的两部分的差是2cm，求线段AE的
长．
19．如图，在△ABC中（AB＞AC），AD是△ABC的中线，AE是△ACD的中线．
（1）若DE＝4，求BC的长；
（2）若△ABC的周长为37，BC＝12，且△ABD与△ACD的周长差为3，求AC的长．
20．如图，在△ABC中，AD是中线，AB+AC＝14，△ABD的周长比△ACD的周长大4．
（1）求AB，AC的长；
（2）求△ABC周长的取值范围．
