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专题 12 一元一次方程实际应用
【思维导图】
一元一次方程解决实际问题的一般步骤
列方程解应用题的基本思路为：问题 方程 解答．由此可得解决此类
题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答．
备注：
（1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找
等量关系；
（2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数；
（3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类
量，单位要统一；
（4）“解”就是解方程，求出未知数的值．
（5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可；
（6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚．
◎考点题型1 配套问题
例．（2022·四川广元·七年级期末）有一所寄宿制学校，开学安排宿舍时，如果每间宿舍安排住4人，就
会空出5间宿舍；如果每间宿舍安排住3人，就有100人没床位，那么在学校住宿的学生有多少人？设在学校住宿的学生有x人，根据题意可列方程为（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2022·福建三明·模拟预测）用200张彩纸制作圆柱，每张彩纸可制作圆柱侧面20个或底面60个，
一个圆柱侧面与两个底面组成一个圆柱．为使制作的圆柱侧面和底面正好配套，设把x张彩纸制作圆柱侧
面，则方程可列为（ ）
A． B．
C． D．
变式2．（2022·辽宁阜新·七年级期末）某服装厂要生产同一种型号的服装，已知3m长的布料可做上衣2
件或裤子3条，一件上衣和一条裤子为一套．
(1)列一元一次方程解决问题：现库内存有布料200m，应如何分配布料做上衣和做裤子才能恰好配套？可
以生产多少套衣服？
(2)如果恰好有这种布料327m，最多可以生产多少套衣服？本着不浪费的原则，如果有剩余，余料可以做
几件上衣或裤子？
变式3．（2021·山东烟台·期末）列方程解应用题
某啤酒公司的啤酒车间先将散装啤酒灌装成瓶装啤酒，再将瓶装啤酒装箱出车间．该车间有灌装、装箱生
产线共21条，每条灌装生产线每小时装350瓶，每条装箱生产线每小时装450瓶．某日，生产前车间内已
有未装箱的瓶装啤酒5200瓶，8:00开始，车间内的生产线全部投入生产．
(1)若当日到10:00时，该车间内未装箱的瓶装啤酒达到5500瓶.设灌装生产线有x条，当日到10:00时，灌
装生产线共装多少瓶啤酒（用含x的代数式表示）？该车间内灌装生产线有多少条？
(2)若该日车间工作8小时，灌装生产线设计多少条时？该日车间内的瓶装啤酒恰好全部装箱？
◎考点题型2工程问题
如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1．基本关系式：
（1）总工作量=工作效率×工作时间；
（2）总工作量=各单位工作量之和．
例．（2022·山东济宁·七年级期末）一项工程由甲工程队单独完成需要12天，由乙工程队单独完成需要16
天．甲工程队单独施工5天后，为加快工程进度，又抽调乙工程队加入该工程施工，问还需多少天可以完
成该工程？如果设还需x天可以完成该工程，则可列方程为（ ）A． B． C． D．
变式1．（2022·福建三明·七年级期末）某车间原计划用15小时生产一批零件，实际每小时多生产了10件，
用了13小时不但完成了任务，而且还多生产了80件，设原计划每小时生产 个零件，那么下列方程正确
的是（ ）
A． B．
C． D．
变式2．（2022·河南三门峡·七年级期末）整理一批快递，如果由一个人单独做要用20小时，现先安排一
部分人用1小时整理，随后又增加4人和他们一起做了2小时，恰好完成整理工作，假设每个人的工作效
率相同，那么应先安排多少人整理这批快递？
变式3．（2023·江苏·七年级专题练习）在防疫政策的指导下，疫情得到了全面控制某医疗器械厂计划在规
定时间内完成一批防护服的生产任务，如果每天生产防护服300套，那么就比原计划生产任务少生产100
套；如果每天生产350套，那么可提前一天完成任务，并且还超过原计划生产任务50套，求这批防护服原
计划生产任务是多少？
◎考点题型3 销售盈亏问题
（1）
(2) 标价＝成本(或进价)×(1＋利润率)
(3) 实际售价＝标价×打折率
(4) 利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率
注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损.打几折就是按标
价的十分之几或百分之几十销售．
例．（2022·河北保定·七年级期末）一件上衣标价为225元，若以标价的八折（即标价的80%）出售，仍
可获利20%，则该件上衣的进价为（ ）元．
A．140 B．150 C．160 D．180
变式1．（2022·广东·汕头市金平区金园实验中学七年级期末）某商店以120元一件购进一批上衣，提价
25%后出售，以8折售出，则在这次买卖中每件上衣（ ）
A．赚了5元 B．赚了13元 C．赔了9元 D．不赔不赚
变式2．（2022·河南驻马店·七年级期末）某超市用4900元购进甲、乙两种商品，且购买乙种商品的数量比甲种商品数量的2倍还多10件．甲、乙两种商品的进价和标价如表：
甲 乙
进价（元/件） 34 22
标价（元/件） 50 35
(1)该超市购进甲、乙两种商品各多少件？
(2)若甲商品打9折销售，乙商品打8折销售，这批商品全部售完可获利多少元？
变式3．（2022·广东·汕头市金平区金园实验中学七年级期末）某市两超市在元旦节期间分别推出如下促销
方式：
甲超市：全场均按八八折优惠；
乙超市：购物不超过200元，不给于优惠；超过了200元而不超过500元一律打九折；超过500元时，其
中的500元打九折，超过500元的部分打八折；
已知两家超市相同商品的标价都一样．
(1)当一次性购物总额是400元时，甲、乙两家超市实付款分别是多少？
(2)某顾客在乙超市购物实际付款482元，试问该顾客的选择划算吗？试说明理由．
◎考点题型4 比赛积分问题
例．（2022·陕西咸阳·七年级期末）某校举办班级篮球比赛，每场比赛都要决出胜负，每队胜一场得2分，
负一场得1分．如果七年级（1）班在8场比赛中共得13分，设获胜的场数是x场，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
变式1．（2021·河南安阳·七年级开学考试）在一次数学抢答竞赛中，共有20道题，规定每答对一道得10
分、答错一道扣5分，奋斗组最后得分是155分．那么，奋斗组共答错了（ ）道题
A．3 B．6 C．9 D．17
变式2．（2022·新疆克拉玛依·七年级期末）利用二元一次方程组解应用题：为有效落实双减工作，切实做
到减负提质，很多学校高度重视学生的体育锻炼，并不定期举行体育比赛．已知在一次足球比赛中，胜一
场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某队在已赛的11场比赛中保持连续不败，共得25分，求该队
获胜的场数．
变式3．（2022·浙江绍兴·八年级期末）为增强同学们垃圾分类意识，某学校举行了垃圾分类知识竞赛，一共有25道题，满分100分，每一题答对得4分，答错扣1分，不答得0分．
(1)若某参赛同学只有1道题没有作答，最后他的总得分为86分，则该参赛同学一共答对了多少道题？
(2)若规定参赛者每道题都必须作答且总得分大于或等于90分才可以被评为“垃圾分类小达人”，则参赛
者至少需答对多少道题才能被评为“垃圾分类小达人”？
◎考点题型5 方案选择问题
选择设计方案的一般步骤：
（1）运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况．
（2）用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比较两种方案的优劣性后下结
论．
例．（2021·江苏苏州·七年级期末）商店将标价为6元的笔记本，采用如下方式进行促销；若购买不超过3
本，则按原价付款；若一次性购买3本以上，则超过的部分打七折．小明有54元钱，他购买笔记本的数量
是（ ）
A．11本 B．最少11本 C．最多11本 D．最多12本
变式1．（2022·云南文山·七年级期末）某班参加“3.12”植树活动，若每人植 棵树，则余 棵树；若每
人植 棵树，则差 棵树，求该班有多少名学生？若设该班有 名学生，则可列方程是（ ）
A． B．
C． D．
变式2．（2022·山东潍坊·八年级期末）某校开展校园艺术节系列活动，派小明到文体超市购买若干个文具
袋作为奖品．这种文具袋标价每个10元，请认真阅读结账时老板与小明的对话：
(1)结合两人的对话内容，求小明原计划购买文具袋多少个？
(2)学校决定，再次购买钢笔和签字笔共60支作为补充奖品，两次购买奖品总支出不超过500元．其中钢
笔标价每支10元，签字笔标价每支6元，经过沟通，这次老板给予8折优惠，那么小明最多可购买钢笔多
少支？
变式3．（2022·湖北孝感·七年级期末）一种商品按销售量分三部分制定销售单价，如下表：
销售量 单价不超过100件的部分 3元/件
超过100件不超过200件的部分 2.5元/件
超过200件的部分 2元/件
如购买120件这种商品，则需100×3＋（120－100）×2.5＝350（元）
(1)求购买100件、200件和260件这种商品，分别需要多少元？
(2)某人购买这种商品花了400元，求他购买了这种商品多少件？
(3)若某人花了n（n＞0）元，恰好购买了 件这种商品，求n的值．
◎考点题型6数字问题
已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数
字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a．
例．（2022·四川眉山·七年级期末）如图，三阶幻方中每行、每列及每条对角线上的各数和都相等，则t的
值为（ ）
A．18 B．16 C．12 D．10
变式1．（2022·浙江湖州·七年级期末）数学魔术：魔术师请观众心想一个数，然后将这个数按以下步骤操
作：
魔术师能立刻说出观众想的那个数．小玲 告诉魔术师的数是2，那么她心里想的数是（ ）
A．0 B． C． D．
变式2．（2022·河北·石家庄市第二十八中学二模）数轴上有不同两点 、 ，点A表示的数是：2
+3． 点B表示的数是：3 -2．
(1)若点 表示的数是-1，求点 表示的数；(2)若点 在点 的左侧，求 的取值范围．
变式3．（2022·江苏·七年级专题练习）已知一列数2，0，﹣1．﹣ ．
(1)求最大的数和最小的数的差；
(2)若再添上一个有理数m，使得五个有理数的和为0，求m的值．
◎考点题型7几何问题
例．（2022·河南许昌·七年级期末）在如图所示的数轴上， ，A、B两点对应的实数分别是
和-1，则点C所对应的实数是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2022·辽宁大连·七年级期末）一个长方形的周长为28cm，若把它的长减少1cm，宽增加3cm，
就变成一个正方形，则这个长方形的面积是（ ）
A．48 B．45 C．40 D．33
变式2．（2022·河南平顶山·七年级期末）如图所示，有甲、乙两个容器，甲容器盛满水，乙容器里没有水，
现将甲容器中的水全部倒入乙容器，问：水会不会溢出？如果不会溢出，请你求出倒入水后乙容器中的水
深；如果水会溢出，请你说明理由．（容器壁厚度忽略不计，图中数据的单位：cm）
变式3．（2023·江苏·七年级专题练习）用一根长为10米的铁丝围成一个长方形，若该长方形的长比宽多
2米，长方形的长、宽各为多少？◎考点题型8 和差倍分问题
（1）基本量及关系：增长量＝原有量×增长率，
现有量＝原有量+增长量，现有量＝原有量-降低量．
（2）寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增
长率等．
例．（2022·黑龙江黑河·七年级期末）逊克县中小学校的第二课堂活动开展的有声有色．某校合唱团30人，
舞蹈队20人要共同外出表演，现根据演出需要，从舞蹈队中抽调了部分同学参加合唱团，使合唱团的人数
恰好是舞蹈队人数的4倍．设从舞蹈队中抽调了x人参加合唱团，可列方程为（ ）．
A．4（30﹣x）＝20＋x B．30＋x＝4（20﹣x）
C．30﹣4x＝20＋x D．30﹣x＝4（20﹣x）
变式1．（2022·重庆市第七中学校七年级期中）学校在举办“读书月”的活动中，将一些图书分给了七年
级一班的学生阅读，如果每人分2本，则剩余15本；如果每人分3本，则还缺20本．若设该校七年级一
班有学生 人，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
变式2．（2022·河南郑州·七年级期末）某校组织七年级（ ）班学生分成甲、乙两队参加社会劳动实践，
其中甲队人数是乙队人数的 倍，后因劳动需要，从甲队抽调 人支援乙队，这时甲队人数是乙队人数的
一半，则甲、乙两队原来各有多少人？
变式3．（2022·吉林·东北师大附中七年级期中）请根据图中提供的信息，回答下列问题：
(1)分别求每个水瓶和每个水杯的钱数．
(2)王老师购买了6个水瓶和20个水杯，商家打八折，求王老师花的钱数．
◎考点题型9 电费水费问题
例．（2022·云南文山·七年级期末）为鼓励居民节约用水，某市对居民用水实行“阶梯收费”，规定每户每月用水量不超过10吨，水价为每吨2元；超过10吨的部分每吨3.5元．已知小莉家某月交水费34元，
则小莉家该月用水多少吨？若设小莉家该月用水x吨，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
变式1．（2022·山东·潍坊市寒亭区教学研究室二模）潍坊出租车采用阶梯式的计价收费办法如下表：
行驶里程 计费方法
不超过3公里 起步价8元
超过3公里且不超过7公里的部分 每公里按标准租费收费
超过7公里且不超过25公里的部分 每公里再加收标准租费的50%
超过25公里且不超过100公里的部分 每公里再加收标准租费的75%
超过100公里的部分 每公里再加收标准租费的100%
说明：行驶里程不足1公里，按1公里计算；
行驶里程超过3公里时的标准租费为1.8元/公里．
若某人一次乘车费用为26元，那么行驶里程为（ ）A．13公里 B．12公里 C．11公里 D．10公
里
变式2．（2022·江苏·七年级专题练习）某市收取水费按以下规定：若每月每户不超过20立方米，则每立
方米水价按1.2元收费；若超过20立方米，则超过部分按每立方米2元收费，那么
(1)如果某户居民在某月用水x立方米，且x≤20，则所交水费为 ；
(2)如果某户居民在某月用水x立方米，且x＞20，则所交水费为 元；
(3)如果某户居民在某月所交水费的平均水价为每立方米1.5元，设这户居民这个月共用了x立方米的水，
请写出x的范围，并列出方程．
计费方法 计费方法
A B
每月基本服务费（元/月） 58元 88元
每月免费通话时间（分） 150分 350分
超出后每分钟收费（元/分） 0.25元 0.20元
(1)若月通话时间是3小时，则使用计费方法A的用户话费为_______元，使用计费方法B的用户话费为
_______元；(2)若月通话时间是x分钟（x>350），则按A、B两种计费方法的用户话费分别是多少？（用含x的代数式
表示）
(3)当通话时间为多长时，按A、B两种计费方法所需的用户话费相等？
◎考点题型10 行程问题
（1）三个基本量间的关系： 路程=速度×时间
（2）基本类型有：
①相遇问题（或相向问题）：Ⅰ．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间
Ⅱ．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离．
②追及问题：Ⅰ．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间
Ⅱ．寻找相等关系：
第一，同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程；
第二，第二，同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程．
③航行问题：Ⅰ．基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度，
逆流速度=静水速度－水流速度，
顺水速度－逆水速度＝2×水速；
Ⅱ．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考
虑．
（3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析．
例．（2021·湖北黄石·七年级期末）汽车以72千米/时的速度在公路上行驶，开向寂静的山谷，驾驶员按一
下喇叭，4秒后听到回响，这时汽车离山谷多远？已知空气中声音的转播速度约为340米/秒．设按喇叭时，
汽车离山谷x米，根据题意，可列出方程为（ ）
A．2x+4×72＝4×340 B．2x﹣4×72＝4×340
C．2x+4×20＝4×340 D．2x﹣4×20＝4×340
变式1．（2022·河北邢台·七年级期末）某学校七年级进行一次徒步活动，带队教师和学生们以4km/h的速
度从学校出发，20min后，小王骑自行车前去追赶．如果小王以12km/h的速度行驶，那么小王要用多少小
时才能追上队伍？设小王要用xh才能追上队伍，那么可列出的方程是（ ）
A．12x＝4（x+20） B．12x＝4（ +x）
C．12x＝4× +x D．4x＝12（ x）变式2．（2022·山东潍坊·七年级期末）甲车和乙车分别从A，B两地同时出发相向而行，分别去往B地和
A地，两车匀速行驶2小时相遇，相遇时甲车比乙车少走了20千米．相遇后，乙车按原速继续行驶1.8小
时到达A地．
(1)乙车的行驶速度是多少千米/时？
(2)相遇后，甲车先以100千米/时的速度行驶了一段路程后，又以120千米/时的速度继续行驶，刚好能和
乙车同时到达目的地，试求相遇后，甲车以100千米/时的速度行驶的路程和以120千米/时的速度行驶的路
程各是多少千米？
变式3．（2022·陕西咸阳·七年级期末）已知甲、乙两地相距80千米，小明从甲地出发，开车去乙地．小
军从乙地出发，开车去甲地．若小明与小军同时出发，且小明的平均车速是每小时45千米，小军的平均车
速是每小时55千米，问经过多少小时两人相遇？（请列方程并求解）
◎考点题型11比例分配问题
寻找相等关系的方法：抓住调配后甲处的数量与乙处的数量间的关系去考虑．
例．（2023·福建·泉州五中三模）明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：“隔墙听得客分
银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤.”其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，
则剩余四两，如果每人分九两，则还差半斤（注： 明代时 1 斤＝16 两，故有“半斤八两”这个成语）．
设总共有 x 个人，根据题意所列方程正确的是（ ）
A．7x - 4 = 9x+8 B．7x+4 = 9x-8
C． D．
变式1．（2021·江苏·七年级专题练习）“和尚分馒头”问题是我国古代的数学名题之一，它出自明代数学
家程大位写的《算法统宗》．书中的题目是这样的：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，
大小和尚得几丁？设有小和尚 人，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
变式2．（2021··期中）六年级和七年级分别有192人和133人，现在需要从两个年级选出133人参加“读
书节”活动，并且要使六年级，七年级剩余学生数之比为2：1，问应从六年级，七年级各选出多少人？
变式3．（2022·山东泰安·期末）白菜是泰安特产之一，去年泰安白菜大丰收．某乡镇要把116吨白菜运往
某市的A，B两地，用大、小两种货车共10辆，恰好能一次性运完这批白菜，已知这两种货车的载重量分
别为14吨/辆和10吨/辆，求这两种货车各有多少辆？◎考点题型12 日历问题
例．（2022·四川成都·七年级期末）将连续奇数1，3，5，7，9，…排成如图所示的数表，若将十字形框上
下左右移动，可框出另外五个数，则框出的五个数之和可以是（ ）
A．2020 B．2022 C．2023 D．2025
变式1．（2022·重庆渝中·二模）正整数1至300按一定的规律排列如表所示，若将表中三个涂黑的方框同
时移动到表中其它的位置，使它们重新框出三个数，那么方框中三个数的和可能是（ ）
1 2 3 4 5 6 7
1
8 9 10 11 12 14
3
1 1 2
15 17 19 21
6 8 0
2 2 2
22 24 26 28
3 5 7
…
A．315 B．416 C．530 D．644
变式2．（2022·湖北武汉·七年级期末）已知关于x的两个多项式A＝x2－8x＋3．B＝ax－b，且整式A＋B
中不含一次项和常数项．
（1）求a，b的值；
（2）如图是去年2021年3月份的月历．用带阴影的十字方框覆盖其中5个数字，例如：1，7，8，9，
15．现在移动十字方框使其覆盖的5个数之和等于9a＋6b，则此时十字方框正中心的数是 _____ ．变式3．（2021·四川达州·七年级期中）将连续的奇数1，3，5，7，9，…排成如图所示：
（1）十字框中5个数之和是41的几倍？
（2）设十字框中间的数为a，用代数式表示这十字框中五个数的和．
（3）十字框中的五个数之和能等于2000吗？若能，请写出这五个数，若不能，请说明理由．
