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专题13.2 将军饮马（最值模型） 专项讲练
三角形中的最值（将军饮马模型）问题在考试中，无论是解答题，还是选择、填空题，都是学生感觉
有困难的地方，也恰是学生能力区分度最重要的地方，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中
都以中高档题为主，中考说明中曾多处涉及。在解决几何最值问题主要依据是：①两点之间，线段最短；
②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形
两边之差小于第三边”等。希望通过本专题的讲解让大家对这类问题有比较清晰的认识。
【解题技巧】
B B A
A
P
图形 A l
l l
P M N
B
将军
原理 两点之间线段最短 两点之间线段最短 三角形三边关系
饮马
A，B为定点，l为定直 A，B为定点，l为定直
模型
线，P为直线l上的一个 A，B为定点，l为定直线，MN为直线l 线，P为直线l上的一个
特征
动点，求AP+BP的最小 上的一条动线段，求AM+BN的最小值 动点，求|AP-BP|的最大
值 值
作其中一个定点关于定 先平移AM或BN使M，N重合，然后 作其中一个定点关于定
转化
直线l的对称点 作其中一个定点关于定直线l的对称点 直线l的对称点
题型1: 求两条线段和最小值
例1．（2022·广东新丰·八年级期末）如图所示，在 中， ，直线EF是AB的垂直平分线，D
是BC的中点，M是EF上一个动点， 的面积为12， ，则 周长的最小值是______．
变式1．（2022·甘肃西峰·八年级期末）如图，在等边△ABC中，E为AC边的中点，AD垂直平分BC，P
是AD上的动点．若AD=6，则EP+CP的最小值为_______________．变式2．（2021·湖北洪山·八年级期中）如图，将△ABC沿AD折叠使得顶点C恰好落在AB边上的点M处，
D在BC上，点P在线段AD上移动，若AC＝6，CD＝3，BD＝7，则△PMB周长的最小值为 ___．
变式3．（2022·河南濮阳·八年级期末）如图，等边三角形 的边长为5，A、B、 三点在一条直线上，
且 ．若D为线段 上一动点，则 的最小值是________．
变式4．（2022•西湖区月考）如图直线l ，l 表示一条河的两岸，且l ∥l ，现要在这条河上建一座桥．桥
1 2 1 2
建在何处才能使从村庄A经过河到村庄B的路线最短？画出示意图，并说明理由．
题型2: 求两条线段差最大值
例2．（2022·绵阳市·八年级专题练习）如图， ， ，AD是∠BAC内的一条射线，
且 ，P为AD上一动点，则 的最大值是______．变式1．（2022·福建福州·八年级期中）如图，在等边 中，E是 边的中点，P是 的中线
上的动点，且 ，则 的最大值是________．
题型3: 求三条（周长）最小值（双动点问题）
【模型图示】
要求：点P位定点，在直线 l 1， l 2上分别找点M， N ，使 △PMN 周长（即 PM+PN+MN ）最小
操作：分别作点P关于直线 l 1， l 2的对称点P’和P”，连结P’P”与直线 l 1， l 2的交点为M， N ，
(C ) =P’P”
△PMN 最小值
求P’P”长度通法：如上图，一般会给一个特殊角（15°，30°，45°，60°，75°）A，连结 AP’， AP ，
AP”，由对称性可求∠P’AP”=2∠A也为特殊角（30°，60°，90°，120°，150°）， AP’=AP=AP”，
可得特殊等腰 △AP’P” ，利用三边关系求出P’P”
要求：点P， Q 为定点，直线 l 1， l 2上分别找M， N ，使 PQMN 周长（即 PQ+PM+PN+MN ）小分别作点P， Q 关于直线 l 1， l 2的对称点P’和 Q’ ，连结 P’Q’ 与直线 l 1， l 2的交点为M， N ，
操作：
(C ) =PQ+P’Q’
四边形PQMN 最小值
例3．（2022·上虞市初二月考）如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=6cm，点M和点N分别是射线OA
和射线OB上的动点，若 PMN周长的最小值是6 cm，则∠AOB的度数是（ ）
△
A．15 B．30 C．45 D．60
变式1．（2022·安徽安庆·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，在
BC、CD上分别取一点M、N，使 AMN的周长最小，则∠MAN＝_____°．
△
变式2．（2021·江苏九年级一模）如图，Rt ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，D，E，F分别是AB，
BC，AC边上的动点，则△DEF的周长的最小△值是（ ）
A．2.5 B．3.5 C．4.8 D．6变式3．（2021·和平区·天津一中八年级期末）如图， ，点M，N分别是边 ， 上的定点，
点P，Q分别是边 ， 上的动点，记 ， ，当 的值最小时，
的大小=__________（度）．
课后训练：
1．（2022·重庆八中七年级期末）如图， ，且 ，D，E分别为射线 和射线
上两动点，且 ，当 有最小值时，则 的面积为________．
2．（2021·山东临沂市·八年级期末）如图， 中， ， ， ， 于点 ，
是 的垂直平分线，交 于点 ，交 于点 ，在 上确定一点 ，使 最小，则这个最
小值为（ ）
A．3.5 B．4 C．4.5 D．5
3．（2022·山东八年级期末）如图，在 中， ， ， ，直线 是 中 边的垂直平分线， 是直线 上的一动点，则 的周长的最小值为_________．
4．（2022·陕西安康·八年级期末）如图， 的面积为24， 的长为8， 平分 ，E、F分别
是 和 上的动点，则 的最小值为____________．
5．（2022·山东临沂·八年级期中）如图， 中， ， ， ， 于点 ，
是 的垂直平分线，交 于点 ，交 于点 ，在 上确定一点 ，使 最小，则这个最
小值为（ ）
A．3.5 B．4 C．4.5 D．5
6．（2022·河南·安阳市殷都区教科培中心八年级期末）如图，在 中， ，边 的垂直平分
线 分别交 ， 于点 ， ，点 是边 的中点，点 是 上任意一点，连接 ， ，若
， ， 周长最小时， ， 之间的关系是（ ）A． B． C． D．
7．（2022·全国·八年级期中）如图，在 中， ， ， ， ， 是
的平分线，若点 、 分别是 和 上的动点，则 的最小值是______．
8．（2022·清远市八年级期中）如图，点D是锐角 内一点， 于点E，点F是线段 的一
个动点，点G是射线 的一个动点，连接 、 、 ，当 的周长最小时， 与 的
数量关系式是________．
9．（2021·湖北武汉市·八年级期末）如图，点A在y轴上，G、B两点在x轴上，且G（﹣3，0），B（﹣
2，0），HC与GB关于y轴对称，∠GAH＝60°，P、Q分别是AG、AH上的动点，则BP＋PQ＋CQ的最
小值是（ ）A．6 B．7 C．8 D．9
10．（2022·河南·九年级专题练习）如图，在 中， ， 的垂直平分线交 于点 ，交
于点M， ， 的周长是 ，若点 在直线 上，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
11．（2021·河南商丘·八年级期中）如图，等边△ABC中，AD为BC边上的高，点M、N分别在AD、AC
上，且AM＝CN，连BM、BN，当BM+BN最小时，∠MBN的度数为（ ）
A．15° B．22.5° C．30° D．47.5°
12．（2022·湖北青山·八年级期中）如图，在Rt ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，以BC为
边向左作等边△BCE，点D为AB中点，连接CD△，点P、Q分别为CE、CD上的动点．
（1）求证：△ADC为等边三角形；（2）求PD+PQ+QE的最小值．
13．（2022·福建·莆田二中八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C在直线MN
上，∠BCN＝30°，点P为MN上一动点，连结AP，BP．当AP+BP的值最小时，∠CBP的度数为 _____．14．（2022·湖北·武汉市六中位育中学八年级）如图， ， 为 上一动点， ，过
作 交直线 于 ，过 作 交直线 于点 ，若 ，当 的值最大
时，则 ________ ．
