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考点 10-1 概率与统计
1．（2022·全国·高考真题（理））某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，
随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲
座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：
则（ ）
A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于
B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于
C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
【答案】B
【分析】由图表信息，结合中位数、平均数、标准差、极差的概念，逐项判断即可得解.
【详解】讲座前中位数为 ,所以 错；
讲座后问卷答题的正确率只有一个是 个 ,剩下全部大于等于 ,所以讲座后问卷答题的正确率
的平均数大于 ,所以B对；
讲座前问卷答题的正确率更加分散,所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差,所
以C错；
讲座后问卷答题的正确率的极差为 ，
讲座前问卷答题的正确率的极差为 ,所以 错.
故选:B.
2．（2022·陕西西安·模拟预测（理））如果一个 位十进制数 … 的数位上的数字满足“小大小
大…小大”的顺序，即满足： ，我们称这种数为“波浪数”.从1,2,3,4,5组成的数字不重复的五位数中任取一个五位数 ，这个数为“波浪数”的概率是
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】根据题意，分析可得在“波浪数”中，十位数字，千位数中必有一个是 ，另一数是 或 ，另一
数是 时，将 与 放在千位、十位上，有 种情况，剩余的 放在其余三个数位上，有 种情况，则
此时的“波浪数”有 个；
另一数 时， 必须相邻，有 四个“波浪数”，
则由 可构成数字不重复的五位“波浪数”个数为 ，
所以构成的“波浪数”的概率为 ，故选A．
3．（2022·全国·高三专题练习）定义： 在区域 内任取一点 ，则点
满足 的概率为
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用几何概型计算公式，求出试验包含的全部事件对应的集合 以及满足条件的事件A对应的面
积，即可求得．
【详解】试验包含的全部事件对应的集合是 ，满足条件的事件
，如图所示，
， ，所以 ，故选A．
【点睛】本题主要考查简单线性规划中可行域的画法和几何概型的概率计算．4.（2019·山西·一模（理））已知空间直角坐标系中的四个点
，经过 四点的球记作球M．从球M内部任取一点
P，则点P落在三棱锥 内部的概率是___
【答案】
【分析】由 四点的坐标可知 三点在平行于 坐标面的平面上，且三角形ABC是以C为
直角顶点的直角三角形，所以球心在过BD中点且垂直于 坐标面的直线上，求出球心坐标，，然后求
出三棱锥的体积和球体体积得到答案．
【详解】由题可得 三点在平行于 坐标面的平面上，且 ，
所以 是以C为直角顶点的直角三角形，
所以BD中点E 到 三顶点的距离相等，
又因为 三点的竖坐标均是 1，
所以 三点在平行于 坐标面的平面上，
设球心坐标 ，则 ,
即
解得 ，所以球体半径
球体体积
三棱锥 的体积
所以点P落在三棱锥 内部的概率是
故答案
【点睛】本题考查几何概型的体积型，解题的关键是找出球心．
5．（2021·内蒙古杭锦后旗奋斗中学高三阶段练习（理））给出下列三个命题:
①函数 有无数个零点；
②已知平面内一点 及 ,若 ,则点 在线段 上；
③设连续掷两次骰子得到的点数分别为 ， ，令平面向量 ， ，则事件“ ”发
生的概率为 .其中正确命题的序号是__________．
【答案】123
【详解】① 时，函数 ，故命题正确；
②由 ，故点 在线段 上；正确；
③由题 故 的所有情况有36种，事件“ ”发生即
有 共三种1情况，故事件“ ”发生的概率为 .，命题正确
故答案为①②③
6.（2022·云南师大附中高三阶段练习（理））根据气象学上的标准，连续5天的日平均气温低于 即为
入冬，将连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是自然数）作为一组样本，现有4组样本①、②、
③、④，依次计算得到结果如下：
①平均数 ；
②平均数 且极差小于或等于3；
③平均数 且标准差 ；
④众数等于5且极差小于或等于4．
则4组样本中一定符合入冬指标的共有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
【答案】B
【分析】举反例否定①；反证法证明②符合要求；举反例否定③；直接法证明④符合要求.
【详解】①举反例： ， ， ， ， ，其平均数 ．但不符合入冬指标；
②假设有数据大于或等于10，由极差小于或等于3可知，
则此组数据中的最小值为 ，此时数据的平均数必然大于7，
与 矛盾，故假设错误.则此组数据全部小于10. 符合入冬指标；
③举反例：1，1，1，1，11，平均数 ，且标准差 .但不符合入冬指标；
④在众数等于5且极差小于等于4时，则最大数不超过9.符合入冬指标.
故选：B．
7．（2021·天津·高考真题）从某网络平台推荐的影视作品中抽取 部，统计其评分数据，将所得 个
评分数据分为 组： 、 、 、 ，并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间
内的影视作品数量是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用频率分布直方图可计算出评分在区间 内的影视作品数量.
【详解】由频率分布直方图可知，评分在区间 内的影视作品数量为 .
故选：D.
8．（2023·全国·高三专题练习）甲、乙两人独立地破解同一个谜题，破解出谜题的概率分别为 ， .则谜
题被破解的概率为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【分析】由对立事件和独立事件的概率公式求解即可
【详解】设“甲独立地破解谜题”为事件 ，“乙独立地破解谜题”为事件 ，“谜题被破解”为事件 ，
且事件 相互独立，
则 ，
故选：C
9.（2022·安徽·合肥市第六中学模拟预测（理））“田忌赛马”的故事千古流传，故事大意是：在古代齐国，
马匹按奔跑的速度分为上、中、下三等.一天，齐王找田忌赛马，两人都从上、中、下三等马中各派出一匹
马，每匹马都各赛一局，采取三局两胜制.已知田忌每个等次的马，比齐王同等次的马慢，但比齐王较低等
次的马快.若田忌事先打探到齐王第一场比赛会派出上等马，田忌为使自己获胜的概率最大，采取了相应的
策略，则其获胜的概率最大为_________.
【答案】 ##
【分析】设齐王有上、中、下三等的三匹马 、 、 ，田忌有上、中、下三等的三匹马 、 、 ，列举
出所有比赛的情况，以及齐王第一场比赛会派出上等马的比赛情况和田忌使自己获胜时比赛的情况，结合
古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】设齐王有上、中、下三等的三匹马 、 、 ，田忌有上、中、下三等的三匹马 、 、 ，
所有比赛的方式有： 、 、 ； 、 、 ； 、 、 ； 、 、 ； 、 、 ；
、 、 ，一共 种.若齐王第一场比赛派上等马，则第一场比赛田忌必输，此时他应先派下等马 参加.
就会出现两种比赛方式： 、 、 和 、 、 ，其中田忌能获胜的为 、 、 ，
故此时田忌获胜的概率最大为 .
故答案为： .
10．（2022·山西太原·三模（理））设某总体是由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下
面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列数字开始，从左到右依次选取两个数
字，则选出来的第5个个体编号为_________.
1818 0792 4544 1716 5809 7983 8619
6206 7650 0310 5523 6405 0526 6238
【答案】19
【分析】根据随机数表，依次进行选择即可得出结果.
【详解】由题意得，选取的这5个个体分别是
07，17，16，09，19，
所以选出的第5个个体编号为19.
故答案为：19.
11.（2022·四川成都·高三期末（理））若数据9，m，6，n，5的平均数为7，方差为2，则数据11，9，
，17， 的平均数和方差分别为（ ）
A．13，4 B．14，4 C．13，8 D．14，8
【答案】C
【分析】根据数据9，m，6，n，5的平均数和方差，求出 ，得到数据11，9， ，17， ，进
而利用平均数和方差的公式求解即可.
【详解】数据9，m，6，n，5的平均数为 ，
方差为 ，
化简得 ，解得 或 ，
或 ，
则数据11，9， ，17， 为 或 ，
两组数据有相同的平均数和方差，平均数为 ，
方差为 ，
故选：C
12．（2022·广东·高三开学考试）在0至5这6个数字中任选3个不同的数，组成一个三位数，若从这些三
位数中任取一个，则该数为三位偶数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出从0至5这6个数字中任选3个不同的数可组成的基本事件个数，再求出三位偶数包含的
基本事件个数，由古典概型的概率公式代入即可得出答案.
【详解】在0至5这6个数字中任选3个不同的数，共可组成 个三位数，
其中共有 个偶数，
由古典概型概率计算公式有 ．
故选：B．
13．（2022·河南·高三阶段练习（理））花窗是一种在窗洞中用镂空图案进行装饰的建筑结构，这是中国
古代建筑中常见的美化形式，既具备实用功能，又带有装饰效果．如图所示是一个花窗图案，点E，F，
G，H分别为AB，BC，CD，DA上的三等分点；点P，M，N，O分别为EF，FG，GH，HE上的三等分点；
同样，点Q，R，S，T分别为PM，MN，NO，OP上的三等分点．若在大正方形中随机取一点，则该点取
自阴影部分的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意可以得到图形里面由多对相似三角形，可得到 ，利用边长的比例
可以得到面积的比例为 ，继而得到 和 与
的关系，通过面积比即可得到答案
【详解】解：由题意，根据三角形相似可知 ．则 ．
故 即 ，
即
故 ．
故选：C．
14．（2022·江苏泰州·模拟预测）元宵节是我国的传统节日，又称上元节、元夕或灯节．赏花灯是元宵节
的传统民俗活动．今年元宵节期间，某单位购买了宫灯、兽头灯、花卉灯三种类型的花灯，其中宫灯4个，
兽头灯5个，花卉灯1个．现从中随机抽取4个花灯，则三种花灯各至少被抽取一个的概率为______．
【答案】
【分析】根据分类加法计数原理和排列数的计数即可求解.
【详解】三种花灯各至少被抽取一个有两种情况：宫灯2个，兽头灯1个，花卉灯1个，或者宫灯1个，
兽头灯2个，花卉灯1个，故由分类加法计数原理可得 ．
故答案为：
15．（2022·全国·高三专题练习（理））已知样本数据 的平均数 与方差 满足如下关系式：
，若已知15个数 的平均数为6，方差为9；现从原15个数中
剔除 这5个数，且剔除的这5个数的平均数为8，方差为5，则剩余的10个数 的
方差为___________.
【答案】
【分析】利用方差公式及题中的数据可求解.
【详解】根据题目所给的条件 ，
，
所以 ，
所以剩余10个数的平均数为5.
，，
所以 ，
所以这10个数的方差为 .
故答案为：
