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专题13 实数、数轴、勾股定理结合
【例题讲解】
如图，Rt△OAB的直角边OA＝2，AB＝1，OA在数轴上，在OB上截取BC＝BA，以原点O为圆心，
OC为半径画弧，交数轴于点P，则OP的中点D对应的实数是_____．
解：∵Rt△OAB的直角边OA＝2，AB＝1，∴OB＝ ＝ ＝ ，
又∵BA＝BC，∴OC＝OB﹣BC＝ ﹣1＝OP，∵点D是OP的中点，
∴OD＝ OP＝ ，即点D所表示的数为： ，故答案为： ．
【综合解答】
1．如图所示，数轴上点 A 所表示的数为 a，则 a 的值是( ).
A． B． C． D．
2．如图，已知 ，以点A为圆心，线段 长为半径画弧，交x轴正半轴于点C，则
点C的横坐标是（ ）A． B． C． D．
3．如图，Rt△OAB的直角边OA＝2，AB＝1，OA在数轴上，在OB上截取BC＝BA，以原点O为
圆心，OC为半径画弧，交数轴于点P，则OP的中点D对应的实数是_____．
4．正方形ABCD中，AB＝1，AB在数轴上，点A表示的数是﹣1，若以点A为圆心，对角线AC
长为半径作弧，交数轴正半轴于点M，则点M表示的数是_____．
三、解答题
5．如图甲，这是由 个同样大小的立方体组成的魔方，总体积为 ．
（1）当魔方体积 时，求出这个魔方的棱长；
（2）①图甲中阴影部分是一个正方形 ，求出阴影部分正方形 的边长；
②把正方形 放置在数轴上，如图乙所示，使得点 与数 重合，求点 在数轴上表示的数是
多少．
6．学习了无理数之后，我们已经把数的领域扩大到了实数的范围，下面让我们在几个具体的图形
中认识一下无理数．
（1）如图1，直径为1个单位长度的圆从原点O沿数轴向右滚动一周，圆上的一点P（开始滚动
时与点O重合）由原点到达点O′，则OO′的长度就等于圆的周长，所以数轴上点O′代表的实数就
是 ，它是一个无理数．
（2）如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，根据勾股定理可以求得AB＝ ．
（3）你能在6×5的网格图中（图3）（每个小正方形边长均为1），画出一条长为 的格点线
段吗？如果能，请在图中表示出来．（4）请你在数轴上（图4）找到表示 的点．
7．某课外学习小组在一次活动中．对如何画出在数轴上表示“ 的整数”一类实数点的
方法进行如下探讨：
A同学说：按照下图可画出表示(第 个数) (第 个数) ，（第 个数） ，(第 个数)的
点；
B同学说：我找到了表示 点的画法，如图2
C同学说：以上两位同学的方法都不能在数轴上画出，表示 等无理数点来．我可以在 同
学的基础上完美地画出表示“ 的整数)”型实数的点
问题按 同学的画法，第 个数应是 ．第 个数是 ．
请你在图2上补画出表示 的点；
C同学说的更完美的方法你能画出吗?若能使用直尺和圆规在同一数轴上画出表示：
的点来表达其画法，若不能请说明理由，
8．如图是 网格，每个小正方形的边长都为1个单位长度，利用这个 网格作出面积为5个
平方单位的正方形，然后在数轴上准确表示实数 和 ．
9．作图：在数轴上作出表示﹣ 、3﹣ 的点（保留作图痕迹，不写作法）．
10．我们在学习“实数”时，画了这样一个图，以数轴上的单位长为1的线段作一个正方形，然
后以原点O为圆心，正方形的对角线长为半径画弧交x轴于点A，请根据图形回答下列问题：
（1）线段OA的长度是___________
（2）这种研究和解决问题的方式，体现了的数学思想方法（ ）．
A．数形结合B．归纳C．换元D．消元
（3）计算： ﹣ ．
11．甲同学用如图方法作出C点，在△OAB中，∠OAB＝90°，OA＝2，AB＝3，且点O、A、C在同
一数轴上，OB＝OC．（1）请求出甲同学所做的点C表示的数；
（2）仿照小明同学的做法，请你在如下所给数轴上描出表示－ 的点D．
12．利用勾股定理可以在数轴上画出表示 的点，请依据以下思路完成画图，并保留画图痕迹：
第一步：（计算）尝试满足 ，使其中a，b都为正整数.你取的正整数a=____，
b=________；
第二步：（画长为 的线段）以第一步中你所取的正整数a，b为两条直角边长画Rt OEF，使
△
O为原点，点E落在数轴的正半轴上， ，则斜边OF的长即为 .
请在下面的数轴上画图：（第二步不要求尺规作图，不要求写画法）
第三步：（画表示 的点）在下面的数轴上画出表示 的点M，并描述第三步的画图步骤：
_______________________________________________________________.
13．如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，将所得到的4个直角三角形进行拼接，可
得到一个的大正方形．若将得到的直角三角形 按如图2所示放置在数轴上，使直角顶点A与
数轴上的原点重合，（1）图1中大正方形的边长为_______．
（2）如图2，若将直角三角形 绕顶点C按顺时针方向翻转，使顶点B落在数轴上，称为第1
次翻转，将翻转所得到的的图形再绕顶点B按顺时针方向翻转，使顶点A落在数轴上，称为第2
次翻转…．以此类推．
①第1次翻转后得到的三角形顶点B在数轴上对应的数是_______．
②第2010次翻转后得到的三角形顶点C在数轴上对应的数是____________．
