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专题14 二次函数中的平行四边形
类型一 坐标轴和抛物线上两动点和两定点成平行四边形
1．如图，二次函数 的图象与 轴交于点 和 ，点 的坐标是 ，与 轴交于点
，点 在抛物线上运动．
(1)求抛物线的表达式；
(2)当点 在 轴上运动时，探究以点 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形，并直接写出点 的坐
标．
2．在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与x轴交于 ， 两点，与y轴交于点
C.(1)求这个二次函数的解析式；
(2)点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q，为顶点的四边形是平行四边形?
若存在，直接写出M的坐标；若不存在，说明理由.
3．如图，抛物线 与x轴交于点 ， ，与y轴交于点C．
(1)求出抛物线的解析式；
(2)点P是抛物线上的一动点，在y轴上存在点Q，使得以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，
求点P的坐标．
类型二 对称轴和抛物线上两动点和两定点成平行四边形
5．如图抛物线经过点 ， ， ，点 为该抛物线的顶点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)在该抛物线的对称轴上是否存在点 ，且在该抛物线上是否存在点 ，使得以 、 、 、 为顶点的
四边形是平行四边形，若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
6．如图，在平面直角坐标系中，二次函数 （ ）的图象经过点A（－1，0）、点B
（3，0）、点C（0，3）．（1）求此抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）若在x轴上有一动点M，在抛物线 上有一动点N，则M、N、B、C四点是否能构成平
行四边形，若存在，请求出所有适合的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
7．如图，二次函数 y=﹣x2+bx+c 的图象经过 A（1，0），B（0，﹣3）两点．
（1）求这个抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点 P，使得 O、B、C、P 四点为顶点的四边形是平行四边形？若存
在，请直接写出 P 点坐标；若不存在，请说明理由．
8．如图，二次函数 的图象与x轴相交于点A和点 ，与y轴相交于点 ．(1)求二次函数的表达式及A点坐标；
(2)M是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点N，使以点M、N、B、O为顶点的四边
形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
9．已知二次函数 的图象与 轴的交于A、B（1，0）两点，与 轴交于点 ．
(1)求二次函数的表达式及 点坐标；
(2) 是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点 ．使以 、 、 、 为顶点的四
边形是平行四边形？若有，请写出点 的坐标（不写求解过程）．
10．已知二次函数 的图像与x轴交于A(-3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C(0，-3)．
（1）求抛物线的解析式；
（2）M是二次函数图像对称轴上的点，在二次函数图像上是否存在点N，使以M、N、B、O为顶点的四
边形是平行四边形？若有，请直接写出点N的坐标
类型三 已知直线和抛物线上两动点和两定点成平行四边形
11．如图，二次函数 的图像交x轴于 ，交y轴于 ，过 画直线．（1）求二次函数的解析式；
（2）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线 上的动点，请判断是否存在以P、Q、O、C为顶点的四
边形为平行四边形，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
12．已知抛物线 的图象与x轴相交于点A和点 ，与y轴交于点C，连接AC，有一动点
D在线段AC上运动，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点F，AB＝4，设点D的横坐标为
m．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当 时，在平面内是否存在点Q，使以B，C，E，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求
出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
13．如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过点A的直
线：y＝－x＋n与y轴交于点C，与抛物线y＝－x2＋bx＋c的另一交点为D，且点D坐标为（5，－6），点
P为抛物线y＝－x2＋bx＋c上一动点（不与A、D重合）(1)求直线和抛物线的解析式；
(2)设M为直线上的点，探究是否存在点M，使得以点N、C、M、P为顶点的四边形为平行四边形？若存
在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-5（a≠0）交x轴于A，C两点，交y轴于点B，且
5OA=OB=OC．
(1)求此抛物线的表达式；
(2)连接BC，点P是线段BC上一点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求当四边形OBQP为平行四
边形时点P的坐标．
