文档内容
专题 14 勾股定理之垂美四边形模型综合应用（3 大类
型）
解题思路
【定义】对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.
【结论】如图，四边形ABCD的对角线AC⊥BD，
则①AB²＋CD²＝AD²＋BC². ②S四ABCD＝ AC·BD
【典例分析】
【典例1】（2022春•海珠区校级期中）定义，我们把对角线互相垂直的四边形
叫做垂美四边形．
概念理解：如图②，在四边形ABCD中，如果AB＝AD，CB＝CD，那么四
边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由．性质探究：如图①，垂美四边形ABCD两组对边AB、CD与BC、AD之间有
怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明．
问题解决：如图③，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正
方形ACFG和正方形ABDE，连接CE、BG、GE．若AC＝2，AB＝5，则
①求证：△AGB≌△ACE
②GE＝ ．
【变式 1-1】（2022 秋•禅城区校级期中）四边形 ABCD 如图所示，已知
AB⊥BC，AB＝3，BC＝6，AD＝7，CD＝2．
（1）求证：AC⊥CD；
（2）求四边形ABCD的面积．【变式1-2】（2021春•祁阳县期末）如图1，我们把对角线互相垂直的四边形
叫做垂美四边形．
（1）概念理解：在下列四边形中，①正方形；②矩形；③菱形；④平行
四边形．是垂美四边形的是：
（2）
（3） （填写序号）；
（2）性质探究：如图1，垂美四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，试猜
想：两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系，并说明理由；
（3）问题解决：如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外
作正方形 ACFG 和正方形 ABDE，连接 CE，BG，GE，已知 BC＝6，AB＝
10，求GE长．
【变式1-3】（2021春•越秀区校级期中）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：给出下列图形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正
方形．其中一定是“垂美四边形”的是 （填序号）；
（2）性质探究：如图 1，四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O，
AC⊥BD．求证：AB2+CD2＝AD2+BC2；
（3）解决问题：如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外
作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE．已知AC＝ ，AB＝
3．
①请问四边形CGEB是垂美四边形吗？并说明理由；
②求GE的长．【夯实基础】
1．（2022春•海安市月考）如图1，我们把对角线相互垂直的四边形叫做垂美
四边形．
（1）概念理解，在四边形ABCD中，以下是垂美四边形的是 ．
①平行四边形；②矩形；③菱形；④AB＝AD，CB＝CD．
（2）性质探究，小美同学猜想“垂美四边形两组对边的平方和相等”，即，
如图1，在四边形ABCD中，若AC⊥BD，则AB2+CD2＝AD2+BC2．请判断小
美同学的猜想是否正确，并说明理由．
（3）问题解决：如图2．在△ABC中，BC＝3，AC＝4，D、E分别是AC、
BC的中点，连接AE、BD．有AE⊥BD，求AB．
2．（2021•新北区一模）如图 1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：我们已经学习了平行四边形、菱形、矩形、正方形，在这
四种图形中是垂美四边形的是 ．
（2）性质探究：如图2，已知四边形ABCD是垂美四边形，试探究其两组对
边AB，CD与BC，AD之间的数量关系，并写出证明过程．
（3）问题解决：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外
作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，CE交AB于点M，已
知AC＝4，AB＝5，求GE的长．
3．（2021春•红谷滩区校级期末）定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做
垂美四边形．（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形
ABCD是垂美四边形吗？请说明理由．
（2）性质探究：
①如图1，垂美四边形ABCD两组对边AB，CD与BC，AD之间有怎样的数
量关系．写出你的猜想，并给出证明；
②如图3，在Rt△ABC中，点F为斜边BC的中点，分别以AB，AC为底边，
在Rt△ABC外部作等腰三角形ABD和等腰三角形ACE，连接FD，FE，分别
交AB，AC于点M，N．试猜想四边形FMAN的形状，并说明理由；
（3）问题解决：
如图4，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和
正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC＝2，AB＝5．求GE的长．
4．（2021春•岳麓区校级期末）如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做
垂美四边形．
（1）判断：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的有 ；
（2）如图2，垂美四边形ABCD两组对边AB、CD与BC、AD之间有怎样的
数量关系？写出你的猜想，并给出证明；
（3）如图 3，分别以 Rt△ABC 的直角边 AC 和斜边 AB 为边向外作正方形
ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，CE与BG交于点O，已知AC＝
3，AB＝5，求△OGE的中线OH的长．
5．（2020•科尔沁区模拟）定义：我们把对角线互相垂直的四边形称为“垂美
四边形”．
（1）概念理解：如：图1，四边形ABCD中，BA＝BC，DA＝DC，问四边形
ABCD是垂美四边形吗？请说明理由．（2）性质探究：如图 2，四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O，
AC⊥BD．试证明：AB2+CD2＝AD2+BC2；
（3）问题解决：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外
作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE、BG、GE．若AC＝4，AB＝5，
求GE的长．
6．（2019春•曾都区校级期中）【知识感知】我们把对角线互相垂直的四边形
叫做垂美边形．
（1）【概念理解】如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边
形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由．
（2）【性质探究】如图 1，试探索垂美四边形 ABCD两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系，并证明你的猜想．
（3）【性质应用】如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向
外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC＝8，AB＝
10，求GE长．
7．（2019•兰州模拟）阅读理解：如图 1，我们把对角线互相垂直的四边形叫
做垂美四边形．垂美四边形有如下性质：
垂美四边形的两组对边的平方和相等．
已知：如图1，四边形ABCD是垂美四边形，对角线AC、BD相交于点E．
求证：AD2+BC2＝AB2+CD2
证明：∵四边形ABCD是垂美四边形
∴AC⊥BD，∴∠AED＝∠AEB＝∠BEC＝∠CED＝90°，
由勾股定理得，AD2+BC2＝AE2+DE2+BE2+CE2，
AB2+CD2＝AE2+BE2+CE2+DE2，
∴AD2+BC2＝AB2+CD2．
拓展探究：
（1）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂
美四边形吗？请说明理由．
（2）如图3，在Rt△ABC中，点F为斜边BC的中点，分别以AB，AC为底
边，在Rt△ABC外部作等腰三角形ABD和等腰三角形ACE，连接FD，FE，
分别交AB，AC于点M，N．试猜想四边形FMAN的形状，并说明理由；
问题解决：
如图4，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和
正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC＝4，AB＝5．求GE长．
8．（通州区期末）【图形定义】
我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
【性质探究】
如图1，四边形ABCD是垂美四边形，试探究两组对边 AB，CD与BC，AD
之间的数量关系，并证明你的结论；
【拓展应用】
如图2，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，分别以AC和AB为直角边向外作等腰
Rt△ACD和等腰Rt△ABE，连接DE，若AC＝4，AB＝5，求DE的长．9．（2021•南明区模拟）如图，我把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边
形”．
（1）性质探究：如图 1．已知四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，求证：
AB2+CD2＝AD2+BC2．
（2）解决问题：已知AB＝5，BC＝4，分别以△ABC的边BC和AB向外作
等腰Rt△BCQ和等腰Rt△ABP．
①如图2，当∠ACB＝90°，连接PQ，求PQ；
②如图3，当∠ACB≠90°，点M、N分别是AC、AP中点连接MN．若MN
＝2 ，则S ＝ ．
△ABC
10．（天水）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形
ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；
（2）性质探究：如图 1，四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O，
AC⊥BD．试证明：AB2+CD2＝AD2+BC2；
（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外
作正方形 ACFG 和正方形 ABDE，连接 CE、BG、GE．已知 AC＝4，AB＝5，求GE的长．
11．（2021•姑苏区校级二模）如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂
美四边形．
（1）概念理解：我们已经学习了平行四边形、菱形、矩形、正方形，在这
四种图形中肯定是垂美四边形的是 ．
（2）性质探究：如图1，已知四边形ABCD是垂美四边形，直接写出其两组
对边AB、CD与BC、AD之间的数量关系 ．
（3）问题解决：如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外
作正方形 ACFG和正方形 ABDE，连接 BE，CG，已知 AC＝4，AB＝5，求
GE的长．
