文档内容
专题15 二次函数中的矩形、菱形
类型一 二次函数中的矩形
1．如图，在平面直角坐标系中抛物线L：y＝﹣x2＋bx＋c的图象与x轴的一个交点为A（﹣3，0），顶点
B的横坐标为﹣1
(1)求抛物线L的函数表达式；
(2)点P为坐标轴上一点将抛物线L绕点P旋转180后得到抛物线L′，且A、B的对应点分别为C、D，当以
A、B、C、D为顶点的四边形是矩形时，请求出符合条件的点P坐标．
2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与坐标轴交于 ， 两点，直线
交y轴于点C．点D为直线AB下方抛物线上一动点，过点D作x轴的垂线，垂足为G，
DG分别交直线BC，AB于点E，F．(1)求b和c的值；
(2)H是y轴上一点，当四边形BEHF是矩形时，求点H的坐标．
3．如图，抛物线与 轴交于 、 两点（ 点 在点 的左侧），点 坐标 ，抛物线与 轴交于点
，点 为抛物线顶点，对称轴 与 轴交于点 ，连接 、 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点 是抛物线上一动点，点 是平面上一点，若以点 、 、 、 为顶点的四边形为矩形，直接写
出满足条件的点 的横坐标．
4．抛物线 与 轴交于另一点 ， 两点．与 轴交于 ， 为抛物线的顶点．(1)求 ， ， ， 的坐标；
(2)点 是 轴上一动点，点 为平面内任意一点，当以 ， ， ， 为顶点的四边形是矩形，直接写
出点 的坐标．
5．综合与探究
如图，抛物线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ， ，过点 作 轴与抛
物线交于另一点 ．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点 是 轴上的一个点，点 是平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点 ，使得以
为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 ( )与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，连接
BC，OA=1，对称轴为 ，点D为此抛物线的顶点．(1)求抛物线的解析式；
(2)点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B，C，P，Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点
P的坐标．
类型二 二次函数中的菱形
7．如图，二次函数 （ ）的图象经过点 ，与x轴分别交于点A，点 ．
(1)求该二次函数的解析式及其图象的顶点坐标；
(2)点P是直线BC上方的抛物线上任意一点，点P关于y轴的对称点记作点 ，当四边形 为菱形时，
求点P的坐标；
8．如图，已知直线 与抛物线 交于点P( ，4)，与 轴交于点A，与 轴交于点
C，PB⊥ 轴于点B，且AC=BC，若抛物线的对称轴为 ，且S PBC=8．
△(1)求直线和抛物线的函数解析式；
(2)物线上是否存在点D，使以B、C、P、D为顶点的四边形是为菱形?如果存在，求出点D的坐标；如果
不存在，请说明理由
9．如图，直线y＝﹣x+n与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，B．
(1)求抛物线解析式；
(2)若点H是抛物线的顶点，在x轴上有一点M，平面内是否存在点N，使得以A、H、M、N为顶点的四边
形是菱形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由
10．如图，一次函数 的图象与x轴和y轴分别交于点B和点C，二次函数 的图象
经过B，C两点，并与x轴交于点A．点 是线段OB上一个动点（不与点O、B重合），过点M作
x轴的垂线，分别与二次函数图象和直线BC相交于点D和点E，连接CD．(1)求这个二次函数的解析式．
(2)求DE、CE的值（用含m的代数式表示）．
(3)点F是平面内一点，是否存在以C，D，E，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；
若不存在，请说明理由．
11．如图，抛物线 与 轴交于A， 两点，且 ，与 轴交于点 ，连接 ，抛物
线对称轴为直线 ， 为第一象限内抛物线上一动点，过点 作 于点 ，与 交于点 ，
设点 的横坐标为 ．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点 是抛物线对称轴上的一点，点 是坐标平面内的一点，是否存在点 ，使得以点 ， ， ， 为
顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
12．综合与探究
如图，抛物线 与x轴交于点A（－1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，对称轴
与x轴交于点D，点P是直线BC上方抛物线上一点．(1)求抛物线的解析式；
(2)若点M为直线BC上一点，N为平面内一点，是否存在这样的点M和点N使得以C、D、M、N为顶点
的四边形是菱形？若存在，直接写出点M坐标；若不存在，说明理由．
13．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点A，B在 轴上，抛物线 经过
点B， 两点，且与直线DC交于一点E．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点F为抛物线对称轴上一点，点Q为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q，F，E，B为顶点的
四边形是以BE为边的菱形．若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；
