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专题15 坐标系中的面积（和实数有关）
【例题讲解】
如图，在平面直角坐标系中， ， ， ，且 ．
(1)求a，b的值；
(2)①在x轴的正半轴上存在一点M，（使 的面积 的面积，求出点M的坐标；
②在坐标轴的其它位置是否存在点M，使 的面积 的面积恒成立？若存在，请直
接写出符合条件的点M的坐标．
（1）解：∵ ∴ ，解得： ，
（2）①点A的坐标为(-2，0)，点B的坐标为(3，0)，设M的坐标为(0，m)，
根据题意 ，解得：m=5，所以M点坐标为(0，5).
②存在.当点M在y轴上，设M的坐标为(0，m)，根据题意得 ，
解得m=±5，此时点M的坐标为(0，-5)(0，5).
当点M在x轴上，设M的坐标为(n，0)，根据题意得 ，
解得n=±2.5，此时点M的坐标为(-2.5，0)(2.5，0)，
综上所述：点M的坐标为(-5，0)，(5，0)，(-2.5，0)，(2.5，0)．
【综合解答】1．在平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b），且a、b满足 ．
(1)求OA，OB长度；
(2)在x轴上是否存在点C，使得三角形ABC的面积是12；若存在，求出点C的坐标；若不存在，
请说明理由；
(3)若点P从点B出发沿着y轴运动（点P不与原点、B点重合）速度为每秒2个单位长度，连接
AB、AP，当运动的时间t为几秒时， ？并求出此时点P的坐标．
【答案】(1)
(2)存在； 或
(3)当 移动2.25秒，此时 或 移动4.5秒，此时 时， ．
【分析】（1）根据非负性求出 的值即可；
（2）利用 进行计算即可；
（3） ， ，利用 进行计算即可．
（1）
解：∵ ， ，∴ ， ，
解得： ，
∴ ，
∴ ；
（2）
解：存在．
设
则： ，
∴ ，
∴ 或 ，
解得： 或 ，
∴ 或
（3）
解：设
，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
整理得： ，
解得： 或 ，
当 时： （秒），当 时： （秒）；
∴当 移动2.25秒，此时 或 移动4.5秒，此时 时， ．
【点睛】本题考查平面直角坐标系下的点的坐标和动点问题，根据题意准确的找出点的位置是解
题的关键．
2．如图1，已知，点A（1，a），AH⊥x轴，垂足为H，将线段AO平移至线段BC，点B（b，
0），其中点A与点B对应、点O与点C对应，a、b满足 ．
(1)填空：①直接写出A、B、C三点的坐标A（ ）、B（ ）、C（ ）；
②直接写出三角形AOH的面积 ．
(2)如图2，连OC，动点P从点B开始在x轴上以每秒2个单位的速度向左运动，同时点Q从点O
开始在y轴上以每秒1个单位的速度向下运动．若经过t秒，三角形AOP与三角形COQ的面积相
等，试求t的值及点P的坐标．
【答案】(1)①1，4；3，0；2，-4；②2
(2)t＝1.2时，P(0.6，0)；t＝2时，P(-1，0)
【分析】（1）①利用非负数的性质求出a，b的值，可得结论；②利用三角形面积公式求解即可；
（2）分两种情形：①当点P在线段OB上，②当点P在BO的延长线上时，分别利用面积关系，
构建方程，可得结论．
（1）
解：①∵ ，
又∵ ≥0， ，∴a＝4，b＝3，
∴A(1，4)，B(3，0)，
∵B是由A平移得到的，
∴A向右平移2个单位，向下平移4个单位得到B，
∴点C是由点O向右平移2个单位，向下平移4个单位得到的，
∴C(2，-4)．
故答案为：1，4；3，0；2，-4．
② ．
故答案为：2．
（2）
解：①当点P在线段OB上，
由三角形AOP与三角形COQ的面积相等得：
OP· = OQ· ，
∴ ×(3﹣2t)×4＝ ×2t，
解得t＝1.2．
此时P(0.6，0)．
②当点P在BO的延长线上时，
由三角形AOP与三角形COQ的面积相等得：
OP· = OQ· ，
×(2t-3) ×4＝ ×2×t，
解得t＝2，
此时P(-1，0)，
综上所述，t＝1.2时，P(0.6，0)；t＝2时，P(-1，0)．
【点睛】本题主要考查坐标与图形变化-平移，非负数的性质，三角形的面积等知识，解题的关键
是学会利用参数构建方程解决问题．
3．已知，点 ， 轴，垂足为 ，将线段 平移至线段 ，点 ，其中点A
与点 对应，点 与点 对应， 、 满足 ．(1)填空：
①直接写出A、 、 三点的坐标 ______ 、 ______ 、 ______ ；
②直接写出三角形 的面积______．
(2)如图 ，若点 在线段 上，证明： ．
(3)如图 ，连 ，动点 从点 开始在 轴上以每秒 个单位的速度向左运动，同时点 从点
开始在 轴上以每秒 个单位的速度向下运动．若经过 秒，三角形 与三角形 的面积相
等，试求 的值及点 的坐标．
【答案】(1)① ， ， ；②2
(2)见解析
(3) 时， ； 时， ．
【分析】（1）①利用非负数的性质求出 ， 的值，可得结论．②利用三角形面积公式求解即可．
（2）连接 ，根据 的面积 的面积 的面积，构建关系式，可得结论．
（3）分两种情形：①当点 在线段 上，②当点 在 的延长线上时，分别利用面积关系，构
建方程，可得结论．
（1）
解：① ，
又 ， ，
， ，， ，
， ，
点A与点 对应，点 与点 对应，
点 的横坐标为 ，纵坐标为 ，
，
故答案为：1，4；3，0；2， ．
② 的面积 ，
故答案为：2．
（2）
证明：如图，连接 ．
的面积 的面积 的面积，
，
．
（3）
解：①当点 在线段 上， ，
解得 ．
此时 ．
当点 在 的延长线上时， ，解得 ，
此时 ，
综上所述， 时， ； 时， ．
【点睛】本题考查坐标与图形变化 平移，非负数的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是
学会利用参数构建方程解决问题．
4．如图，在平面直角坐标系中，已知 ， ，其中 ， 满足
(1)填空： ， ；
(2)如果在第三象限内有一点 ，请用含 的式子表示三角形 的面积
(3)在（2）的条件下，当 时，在 轴上有一点 ，使得三角形 的面积与三角形 的
面积相等，请求出点 的坐标．
【答案】(1)-1，3
(2)
(3) 或
【分析】（1）根据绝对值和平方的非负性，即可得出答案；
（2）过点M作MN⊥x轴于点N，MN为M点纵坐标的绝对值，也是三角形 的高，根据三角
形面积公式即可得出答案；
（3）设BM与y轴的交点为Q点，先用待定系数法求出BM的解析式，再求出Q点坐标，根据P
点所在的位置分类讨论，分为P点在Q点下方或P点在Q点上方两种情况，设出P点坐标，通过
代入，即可求出P点坐标．
（1）
∵ ， ， ，∴ 且 ，
∴ ， ，
故答案为：-1，3；
（2）
过点M作MN⊥x轴于点N，
∵ ， ，
∴AB=3-(-1)=4
∵ 位于第三象限
∴
∴
故答案为： ；
（3）
当 时， ，
设BM与y轴的交点为Q点，BM的解析式为 ，
将 和 代入得：
，解得 ，
∴BM的解析式为 ，
当x=0时， ，
∴ ,设 ，当P点位于Q点下方时，如图所示，
∴
解得 ，
∴ ；
当P点位于Q点上方时，如图所示，
解得 ，
∴ ；
综上所述， 或 ．
【点睛】本题考查了一次函数中的几何问题，包括已知点表示三角形面积，以及已知三角形面积
找出点的坐标，分类讨论思想和灵活运用函数知识和几何知识是本题的关键．
5．如图，C为x轴正半轴上一动点， ， ，且a，b满足 ， ．(1)求△ABO的面积；
(2)求点O到AB的距离；
(3)如图2，若 ， 轴于点C，点M从点P出发，在射线PA上运动，同时另一动点N
从点B出发向点A运动，到点A时两点停止运动，M，N的速度分别为2个单位长度/秒，3个单位
长度/秒，当 时，求运动的时间t的值．
【答案】(1)
(2)
(3) 秒或 秒
【分析】（1）先根据非负数的性质求出a、b的值，从而得到OA，OB的长，再根据三角形面积
公式求解即可；
（2）如图，过点O作OG⊥AB于G，利用面积法 进行求解即可；
（3）设运动时间为t秒，则PM＝2t，BN＝3t，然后分别用t表示出两个三角形的面积，结合题目
所给条件列出方程求解即可．
(1)
∵ ， ，
∴ ，
∴a＝6，b＝－8，
∴点 ，点 ，∴ ，OB＝8，
∴ ；
(2)
解：如图，过点O作OG⊥AB于G，
∵ ，
∴ ，
∴点O到AB的距离为 ；
(3)
解：设运动时间为t秒，则PM＝2t，BN＝3t，其中 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ， ，
∵ ，
答：运动时间为 秒或 秒．【点睛】本题主要考查了非负数的性质，坐标与图形，三角形面积，解绝对值方程等等，正确理
解题意求出a、b是解题的关键．
6．如图1，已知点A（0，a），点B（b，0），其中a，b满足 ，点C
（m，n）在第一象限，已知m的算术平方根是2，64的立方根为n．
(1)直接写出A，B，C三点的坐标；
(2)求出△ABC的面积；
(3)如图2，延长BC交y轴于D点，求点D的坐标；
(4)如图3，过点C作CE AB交y轴于E点，求E点的坐标．
【答案】(1)A（0，2），B（8，0），C（4，4）
(2)12
(3)点D（0，8）
(4)点E（0，5）
【分析】（1）由非负性和平方根的定义可求解；
（2）由面积和差关系可求解；
（3）由等腰三角形的性质可求解；
（4）由三角形的面积关系可求解．（1）解：∵ ∴2a+b-12=0，a-b+6=0，∴a=2，b=8，∴点A（0，2），点
B（8，0），∵m的算术平方根是2，64的立方根为n，∴m=4，n=4，∴点C（4，4）．
（2）如图1，过点C作CF⊥OB于F， ∵点A（0，2），点B（8，
0），点C（4，4），∴OA=2，OB=8，CF=OF=4，∴BF=OB-OF=4，∵S ABC=S BCF+S AOFC-
梯形
△ △
S AOB，∴ ．
△
（3）过点C作CF⊥x轴， ∵CF=BF=4，∠CFB=90°，
∴∠CBF=∠BCF=45°，∴∠ODB=45°∴∠OBD=∠ODB，∴OD=OB=8，∴点D（0，8）．
（4）如图3，连接BE， ∵CE AB，∴ ，∴
，∴AE=3，∴点E（0，5）．
【点睛】本题考查了非负数的性质，算术平方根，立方根，平行线的性质，坐标与图形，灵活运
用以上知识是解题的关键．
7．如图，在下面直角坐标系中，已知A（0，a）、B（b，0）、C（a，b）三点，其中a是 的
整数部分，b＋1的平方根是±2．
（1）请求出a、b的值；
（2）求出ABC的面积；
（3）在第四象限中是否存在点P到两坐标轴的距离相等且使四边形AOPB的面积与ABC的面积相等？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1） ， ;（2） ;（3） ， ．
【分析】（1）根据题意求出 ， 的值即可．
（2）连接 ，根据 ，求解即可．
（3）由题意可以假设 ，构建方程求出 即可解决问题．
【详解】解：（1） 是 的整数部分， 的平方根是 ，
， ．
（2）连接 ．由（1）可知， ， ， ，
．
（3）设 ，
由题意， ，
，
，
， ．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了四边形的面积，平方根的性质，二次根式的性质，三角
形的面积等知识，解题的关键是学会利用分割法求三角形面积，学会利用参数构建方程解决问题．
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（a，0），B（c，c），C（0，c），且满足（a+8）2+
＝0，P点从A点出发沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，Q点从O点出发
沿y轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动．
（1）直接写出点B的坐标，AO和BC位置关系是 ；
（2）如图（1）当P、Q分别在线段AO，OC上时，连接PB，QB，使S PAB＝4S QBC，求出点P
△ △
的坐标；
（3）在P、Q的运动过程中，当∠CBQ＝30°时，请直接写出∠OPQ和∠PQB的数量关系．
【答案】（1）B（﹣4，﹣4），平行；（2）P（﹣ ，0）；（3）∠PQB＝∠OPQ＋30°或∠BQP
＋∠OPQ＝150°
【分析】（1）由二次根式和平方数的非负性即可确定a和b的值，从而确定点A，B，C的坐标，
由B，C的纵坐标相同得出BC//AO；
（2）表示出t秒时点P和点Q的坐标，用含t的式子表示出△PAB和△QBC的面积，列出关于t的
方程，求出t即可确定P的坐标；
（3）过点Q作QH//x轴，交AB与点H，由平行线的性质即可确定∠OPQ和∠PQB的数量关系．【详解】解：（1）∵ ，
∴a+8＝0，c+4＝0，
∴a＝﹣8，c＝﹣4，
∴A（﹣8，0），B（﹣4，﹣4），C（0，﹣4），
∴BC//AO，
故答案为：平行；
（2）过B点作BE⊥AO于E，设时间经过t秒，S PAB＝4S QBC，则AP＝2t，OQ＝t，BE＝4，BC
△ △
＝4，CQ＝4﹣t，
∴S APB＝ AP•BE＝ ×2t×4＝4t，S BCQ＝ CQ•BC＝ （4−t）×4＝8−2t，
△ △
∵S APB＝4S BCQ，
△ △
∴4t＝4（8﹣2t）
解得，t＝ ，
∴AP＝2t＝ ，
∴OP＝OA﹣AP＝ ，
∴点P的坐标为（ ，0）；
（3）∠PQB＝∠OPQ＋30°或∠BQP＋∠OPQ＝150°．理由如下：
当点Q在点C的上方时，过Q点作QH∥AO，如图2所示，
∴∠OPQ＝∠PQH，∵BC∥AO，QH∥AO，
∴QH∥BC，
∴∠HQB＝∠CBQ＝30°，
∴∠OPQ＋∠CBQ＝∠PQH＋∠BQH，
∴∠PQB＝∠OPQ＋∠CBQ，即∠PQB＝∠OPQ＋30°；
②当点Q在点C的下方时；过Q点作HJ∥AO 如图3所示，
∴∠OPQ＝∠PQJ，
∵BC∥AO，QH∥AO，
∴QH∥BC，
∴∠HQB＝∠CBQ＝30°，
∴∠HQB＋∠BQP＋∠PQJ＝180°，
∴30°＋∠BQP＋∠OPQ＝180°，
即∠BQP＋∠OPQ＝150°，
综上所述，∠PQB＝∠OPQ＋30°或∠BQP＋∠OPQ＝150°．
【点睛】本题考查的是三角形的面积计算、坐标与图形性质、平行线的性质、三角形内角和定理，
掌握非负数的性质、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
9．已知，在平面直角坐标系中，点A， B的坐标分别是(a， 0)，(b， 0)且 ．
(1)求a， b的值；
(2)在y轴上是否存在点C，使三角形ABC的面积是12？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请
说明理由．
(3)已知点P是y轴正半轴上一点，且到x轴的距离为3，若点P沿x轴负半轴方向以每秒1个单位
长度平移至点Q，当运动时间t为多少秒时，四边形ABPQ的面积S为15个平方单位？写出此时
点Q的坐标．【答案】（1）a=-4，b=2；（2）存在，点C的坐标为（0，4）或（0，-4）；（3）点P沿x轴负
半轴方向以4秒平移至点Q，所以点Q的坐标为（-4，3）．
【分析】（1）根据二次根式与绝对值的非负性可得a+4=0，b-2=0，解得a=-4，b=2；
（2）设点C到x轴的距离为h，利用三角形的面积公式可解得h=4，要考虑点C在y轴正半轴与负
半轴两种情况；
（3）先根据四边形ABPQ的面积积S＝ (6+PQ)×3＝15解得PQ=4，再求得点Q的坐标为（-4，
3）．
【详解】解：（1）根据题意，得
a+4=0，b-2=0，
解得a=-4，b=2；
（2）存在．设点C到x轴的距离为h，
则S ABC＝ AB•h＝ ×6h＝12，
△
解得h=4，
所以点C的坐标为（0，4）或（0，-4）；
（3）四边形ABPQ的面积S＝ (6+PQ)×3＝15，
解得PQ=4．
∴点P沿x轴负半轴方向以4秒平移至点Q，所以点Q的坐标为（-4，3）．
10．如图1,在平面直角坐标系中，点A(a，0)，B(0，b),且a、b满足 .
(1)请直接写出A、B两点的坐标：点A为_______,点B为________.
(2)若点P的坐标为(-2，n)，且三角形PAB的面积为7，求n的值.
(3)如图2，过点B作BC//x轴，点Q为x轴上点A左侧的一动点，连结QB，BM平分∠QBA，BN平分∠CBA，当点Q运动时，∠MBN:∠AQB的值是否发生变化？如果 变化，请说明理由；如果不变，
请求出其值.
【答案】(1)A(2,0)，B(0，﹣4)；(2)n=﹣1或﹣15；(3)∠MBN:∠AQB=1:2.
【分析】（1）根据绝对值的非负性、偶次方的非负性分别求出a、b，得到点A，B的坐标；
（2）设AP与y轴交于点C，由三角形PAB的面积和高可以求得底边BC长为3.5，得出C的坐标.再
利用待定系数法求直线AC的解析式，然后把点P的横坐﹣2代入解析式即可求得答案；
（3）根据角平分线的性质和两直线平行，内错角相等，易得∠MBN:∠AQB=1:2.
【详解】解：（1）∵ .
∴ ,
解得：a=2,b=﹣4
∴A(2,0)，B(0，﹣4)；
(2)如图 ,因为P(-2,n),所以点P在直线x=﹣2上，连接AP，BP，AP交y轴于点C,设C(0,a).
由图可知 ABP可分为 ABC和 BPC，
△ △ △∵A(2,0),P(-2,n)
∴△ABC和 BPC以BC为底边，高都是2，
△
∴ = + = BC·2+ BC·2=2BC
∵ =7,
∴2BC=7,BC=3.5
∵B(0,﹣4),C(0,a)
∴BC=｜a+4｜=3.5
∴a=﹣0.5或﹣7.5，即C(0,﹣0.5)或（0，﹣7.5）
设直线AC解析式为y=kx+b,把(2,0), (0,﹣0.5)代入求解可得y= x-
当x=﹣2时，y=﹣1;
把(2,0), (0,﹣7.5)代入y=kx+b求解可得y= x-
当x=﹣2时，y=﹣15;
∴P(﹣2,﹣1)或P(﹣2,﹣15)
故答案为n=﹣1或﹣15.
(3)如图，
∵BM平分∠ABQ
∴∠1=∠2
∵BN平分∠ABC
∴∠ABN=∠NBC，即∠1+∠2+∠3=∠4
∴∠MBN=∠2+∠3
∵x轴//BC
∴∠AQB=∠CBQ=∠3+∠4
∴∠AQB=∠3+∠1+∠2+∠3=∠3+∠2+∠2+∠3=2（∠2+∠3）
∴∠MBN:∠AQB=1:2.【点睛】本题考查的是非负数的性质、平移变换、三角形的面积计算，掌握坐标与图形的关系、
灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
11．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（ ，0），B（ ，0），C
（﹣1，2），且 ．
(1)求 的值；
(2)若点M在 轴上运动，使三角形COM的面积是三角形ABC面积的2倍，请求出M的坐标；
(3)过点C作AB的平行线，交y轴于点D，连接BD，过A作BD的平行线AE，交直线CD于点
E，再作EG⊥ 轴于G.动点P从D出发，沿DE→EG方向运动，速度为每秒1个单位长度，设运
动时间为t秒，请回答：
①求P在运动过程中的坐标（用含t的式子表示出来）；
②当6秒﹤t﹤8秒时，设∠EDP= ,∠PBG= ,∠DPB= ,请求出 之间的数量关系．
【答案】(1) ，
(2) 或
(3)① 时， ； 时，
②
【分析】（1）根据平方和二次根式的非负性可得a+2=0，b-4=0，从而得出a和b的值；
（2）表示出 COM和 ABC的面积，可得OM的长，从而得出点M的坐标；
（3）①分点△P在线段E△D或EG上，分别得出点P的坐标；
②当6＜t＜8时，可知点P在EG上，过点P作PF ED，则PF ED BG，根据两直线平行，内
错角相等可得答案．
（1）
解：（1）∵ ，∴a+2=0，b-4=0，
∴a=-2，b=4；
（2）
解：∵三角形COM的面积是三角形ABC面积的2倍，
∴ OM×2=2× ×（4+2）×2，
解得OM=12，
∴M（12，0）或（-12，0）；
（3）
解：①当点P在DE上时，P（-t，2），
当点P在EG上时，P（-6，8-t）；
②当6＜t＜8时，可知点P在EG上，
过点P作PF ED，则PF ED BG，
∴∠EDP=∠DPF，∠PBG=∠BPF，
∴∠DPB=∠EDP+∠PBG，
即γ=α+β．
【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了平方和二次根式的非负性，三角形的面积，平行线的
性质等知识，熟练掌握坐标和线段长度之间的转化以及平行线的性质是解题的关键．
12．如图1，在平面直角坐标系中， ， ， ，且
(1)求 ， 的值．
(2)①在 轴的正半轴上存在一点 ，使 ，求点 的坐标；②在坐标轴的其它位置是否存在点 ，使 仍然成立，若存在，请直接写出符合条
件的点 的坐标．
(3)如图2，过点 作 轴交 轴于点 ，点 为线段 延长线上一动点，连接 ， 平
分 ， ．当点 运动时， 的值是否会改变？若不变，求其值；若改变，说明
理由．
【答案】(1) ，
(2) ， ，
(3)
【分析】（1）根据平方和绝对值的非负性求解．
（2）①设出点M的坐标，利用M的坐标表示出长度后借助面积公式和面积关系求解；
②在坐标轴的不同位置设出不同的M的坐标，再根据题中面积关系分类讨论求解．
（3）根据平行线、角平分线的性质得出 、 的关系，再得出 的值为定值，从
而求得其值．
【详解】（1）∵ ， ， ，
∴ ， ，
解得 ， ．
（2）①设 ，
由题意可得：
， ，
中OM边上的高为1， 中AB边上的高为2，
∵ ，
∴ ，
解得 ，②由（1）得，
当M在y轴负半轴上时，有 ，
解得 ，
当M在x轴上时，设 ，
则 ， 中OM边上的高为2，
则 ，
解得 ，
， ，
（3）
如图所示，
由题意可得：
平分 ，
，
轴
，【点睛】本题考查利用坐标计算长度，三角形面积的计算，角平分线、平行线的性质及分类讨论
的思想，解决本题的关键是熟悉各性质并综合应用．
