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【拔尖特训】2022-2023学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【人教版】
专题17.4勾股定理与网格问题专项提升训练（重难点培优30题）
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压
轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己
的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、单选题
1．（2022春·四川成都·八年级校考期中）如图，每个小正方形的边长为1，若A、B、C是小正方形的顶点，
则∠ABC度数为（ ）
A．60° B．45° C．30° D．20°
2．（2022春·山西运城·八年级统考期末）如图，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点
上，则BC边长的高为（ ）
√15 8 4 √13
A． B． √5 C． √5 D．
2 5 5 2
3．（2022春·陕西西安·八年级西安市第二十六中学阶段练习）如图，在边长为1的正方形网格中，A、
B、C均在正方形格点上，则C点到AB的距离为（ ）3√10 2√10 5√10 4√10
A． B． C． D．
10 5 4 5
4．（2022春·福建莆田·八年级统考期中）如图，边长为1的正方形网格图中，点A，B都在格点上，若
4√13
AC= ，则BC的长为（ ）
3
2√13
A． B．√13 C．2√13 D．3√13
3
5．（2022·八年级单元测试）如图，在由单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线
段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（ ）
A．AB、CD、EF B．AB、CD、GH C．AB、EF、GH D．CD、EF、GH
6．（2021秋·海南省直辖县级单位·八年级统考期中）如图，在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，则
下列关系正确的是（ ）
A．a<b<c B．c<a<b C．c<b<a D．b<a<c
7．（2022春·江苏南京·八年级校考阶段练习）如图．每个小正方形的边长为1，格点线段ED与CG交于点
A，FH与DG交于点B，连接AB．有下列结论①CG⊥ED；②△ABD≅△HBD；③∠CGH=30°；④
AC=2.5；⑤∠EAB=∠EFB；⑥△ABD的面积为0.75．其中正确的结论有（ ）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
8．（2022春·安徽·八年级校考期中）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，
以A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则CD的长为（ ）
√2
A．√3−1 B．3−√5 C．√5 D．
2
9．（2022·全国·八年级专题练习）在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的
格点应是（ ）
A．点M B．点N C．点P D．点Q
10．（2022春·辽宁辽阳·八年级校考阶段练习）如图，正方形网格中，每一小格的边长为1．网格内有
△PAB，则∠PAB+∠PBA的度数是（ ）
A．30° B．45° C．50° D．60°
二、填空题11．（2022春·江苏扬州·八年级校考期中）如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，点A、B、C是小
正方形的顶点，则∠ABC的度数为________°．
12．（2022春·江苏苏州·八年级校考期中）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC各顶点均
在网格的格点上，CD⊥AB于点D，则CD的长为_____．
13．（2021春·四川成都·八年级成都外国语学校校考期中）如图，数轴上点A所表示的数为1，点B，C，
D是4×4的正方形网格上的格点，以点A为圆心，AD长为半径画圆交数轴于P，Q两点，则P点所表示的
数为 ___________．（可以用含根号的式子表示）
14．（2022春·湖北荆州·八年级统考期中）如图，在5×5的网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长
度，点O，A，B，C在网格的交点（格点）上，点C(0,3)，在第三象限内的格点上找一点D，使△ABD与
△ABC全等，则点D的坐标为______．15．（2022春·福建宁德·八年级统考期中）如图，在8×8的方格纸中小正方形的边长为1，△ABC的三个
顶点都在小正方形的格点上，下列结论正确的有_____（填写序号）．
①△ABC的形状是直角三角形；
②△ABC的周长是3√5+5；
③点B到AC边的距离是2；
④若点D在格点上（不与A重合），且满足S =S ，这样的D点有3个不同的位置．
△BCD △BCA
16．（2022秋·福建厦门·八年级厦门外国语学校校考阶段练习）如图，在小正方形边长为1的方格中，以
线段AB、BC、CD为边的三角形的面积为 _____．
17．（2022秋·重庆武隆·八年级校考期中）如图，每个小正方形的边长为1，在△ABC中，点D为AB的
中点，则线段CD的长为________
18．（2022春·八年级课时练习）如图所示的网格是正方形网格，每个小正方形的边长均为1，点A，B，
C，D都在格点上，则∠DAB+∠CAB的度数是______度．19．（2022春·江苏常州·八年级统考期中）如图，正方形网格中每一个小正方形的边长为1，小正方形的
顶点为格点，点A，B，C为格点，点D为AC与网格线的交点，则∠ADB−∠ABD=__________．
20．（2022春·浙江舟山·八年级统考期末）在边长为1的网格图形中，以顶点都是格点的正方形ABCD的
边为斜边，向外作四个全等的直角三角形，使四个直角顶点E，F，G，H都是格点，且四边形EFGH为正
方形，在图1所示的格点图形中，正方形ABCD的边长为√26，此时正方形EFGH的面积为52．写出正方
形EFGH的面积的所有可能值是__________（不包括52）．
三、解答题
21．（2022春·吉林长春·八年级期末）问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为√5、√10、
√13，求这个三角形的面积．佳佳同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长为
1)，再在网格中画出格点△ABC．(即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处)．如图①所示，这样不需求
△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．
(1)请你将△ABC的面积直接填写在横线上___________；
(2)在图②中画△≝¿，使DE、EF、DF三边的长分别为√2、2√2、√10；
(3)这个三角形的形状是____________．22．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第四十七中学校考期中）图1、图2分别是10×6的网格，网
格中每个小正方形的边长均为1，各个小正方形的顶点叫做格点，A、B两点在格点上，请在下面的网格中
按要求分别画图，使得每个图形的顶点均在格点上．
(1)在图1中画一个△ABC，使△ABC为钝角等腰三角形，且△ABC的面积为10；
(2)在图2中画一个平行四边形ABEF，使其周长为10+2√13
(3)在图2中连接BF，并直接写出BF的长，BF=_________．
23．（2022春·福建漳州·八年级漳州三中校考阶段练习）作图．网格中每个小正方形的边长都是1，
(1)在图1网格中作一个直角三角形，使它的三边长都是整数；
(2)在图2网格中作一个直角三角形，使它的三边长都是无理数；
(3)在图3网格中作一个钝角三角形，使它的面积等于6．
24．（2022春·江西吉安·八年级统考期中）图1、图2是两张形状大小完全相同的方格纸，方格纸中的每
个小正方形的边长均为1，线段AB的端点均在小正方形的顶点上，请仅用无刻度的直尺在网格内完成下列作图：
(1)如图1，请以线段AB为斜边作等腰直角△ABC；
(2)如图2，请以线段AB为底边作等腰△ABD，且使得腰长为有理数；
25．（2022春·浙江宁波·八年级校联考期中）在如图所示的6×6的网格中，每个小正方形的边长均为1个
单位．
(1)请你在图1中画一个以格点为顶点，面积为6个平方单位的等腰三角形；
(2)请你在图2中画一个以格点为顶点，一条直角边边长为√10的直角三角形；
(3)请你在图3中画出△ABC的边BC上的高AD，∠ACB的角平分线CE．
26．（2022春·山西运城·八年级统考期中）综合与实践
【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三
角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，另一种是等于四
1 1
个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即 ab×4+(b−a) 2，从而得到等式c2= ab×4+(b−a) 2，
2 2
化简便得结论a2+b2=c2．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双
求法”．【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．
向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形△ABC和△DEA如图2放置，其三
边长分别为a，b，c，∠BAC=∠DEA=90°，显然BC⊥AD．
(1)请用a，b，c分别表示出四边形ABDC，梯形AEDC，△EBD的面积，再探究这三个图形面积之间的
关系，证明勾股定理a2+b2=c2．
(2)【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶
点，可得△ABC，则AB边上的高为______．
(3)如图4，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB=4，AC=5，BC=6，设BD=x，求x的值．
27．（2022春·江苏无锡·八年级校联考期中）作图：
(1)如图1，△ABC在边长为1的正方形网格中：
①画出△ABC关于直线l轴对称的△≝¿（其中D、E、F分别是A、B、C的对应点）；
②直接写出△ABC中AB边上的高=___________．
(2)如图2，在四边形ABCD内找一点P，使得点P到AB、BC的距离相等，并且点P到点A、D的距离也
相等．（用直尺与圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
28．（2022春·江苏无锡·八年级无锡市天一实验学校校考期中）在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分
别为√5，√10，√13，求这个三角形的面积．小明同学在解答这道题时，先画一个正方形网格（每个小正
方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所
示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．(1)△ABC的面积为______．
(2)若△≝¿的三边DE、EF、DF长分别为√8，√13，√17，请在图2的正方形网格中画出相应的△≝¿，并
求出△≝¿的面积为______．
(3)在△ABC中，AB=√10，AC=3、BC=1，以AB为边向△ABC外作△ABD（D与C在AB异侧），使
△ABD为等腰直角三角形，则线段CD的长为______．
29．（2022春·北京昌平·八年级统考期中）数学王老师组织了“探究√2”的活动，下面是同学们的探究过
程：
(1)√2到底有多大？
下面是小明探究√2的近似值的过程，请补充完整：
我们知道面积是2的正方形边长是√2，且√2>1.4设√2=1.4+x，画出如下示意图：
由面积公式，可得x2+______+1.96=2
因为x的值很小，所以x2更小，略去x2，得方程______，
解得x≈______（保留到0.001），
即√2≈______．
(2)怎样画出√2？
下面是小亮探索画√2的过程，请补充完整：
现在有2个边长为1的正方形，如图（1），请把它们分割后拼成一个新的正方形．要求：画出分割线并在
正方形网格中画出拼接成的新正方形．
小亮的做法是：设新正方形的边长为x(x>0)，割补前后图形的面积相等，则x2=2，结合实际解得x=√2．
把图（1）如图所示进行分割，请在图（2）中画出拼接成的新正方形．请参考小亮的做法，现有5个边长为1的正方形，如图（3），请把它们分割后拼成一个边长为√5的新的
正方形，在图（4）中画出即可．
30．（2022春·陕西西安·八年级统考期中）
(1)问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为√5、√10、√13，求此三角形的面积小辉同学
在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即
△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示．这样不需求△ABC的高而借用网格就能计算出它
的面积请你将△ABC的面积直接填写在横线上______．
(2)思维拓展：我们把上述求△ABC面积的方法叫做方格构图法．如果△ABC三边的长分别为√5a、√8a、
√17a(a>0)，请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积；
(3)探索创新：若 三边的长分别为 ， ， （ ， ，且 ），
△ABC √m2+16n2 √9m2+4n2 2√m2+n2 m>0 n>0 m≠n
试运用构图法在图③网格中画出相应的△ABC示意图，并求出这个三角形的面积．
