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专题17 期末复习绝对值专题（原卷版）
第一部分 教学案
类型一 利用绝对值的性质求值
例1 （2022秋•江岸区校级月考）已知|x|＝3，|y|＝5．
（1）若x＜y，求x+y的值；
（2）若xy＜0，求x﹣y的值．
变式训练
1．（2022秋•方城县校级月考）已知|x|＝3，|y|＝7．
（1）若x＜y，求x+y的值；
（2）若x＞y，求x﹣y的值．
类型二 利用绝对值的性质去绝对值
a
例2 已知a＜﹣b，且 ＞0，化简|a|﹣|b|+|a+b|+|ab|＝ ．
b
例3（2021秋•渝中区校级期中）已知有理数a，b，c在数轴上面的位置如图所示：
化简|a+b|﹣|c﹣a|+|b﹣c|＝ ．
变式训练
1．（2022秋•江岸区期中）如图，数轴上的点A、B、C、D对应的数分别为a、b、c、d，
且这四个点满足每相邻的两点之间的距离相等．
（1）化简|a﹣c|﹣|b﹣a|﹣|b﹣d|．
（2）若|a|＝|c|，b﹣d＝﹣4，求a的值．
2．（2021秋•贡井区期中）如图，数轴上的点A，B，C，D，E对应的数分别为a，b，c，
d，e，且这五个点满足每相邻两个点之间的距离都相等．
（1）填空：a﹣c 0，b﹣a 0，b﹣d 0（填“＞“，“＜“或“＝“）；
（2）化简：|a﹣c|﹣2|b﹣a|﹣|b﹣d|；
（3）若|a|＝|e|，|b|＝3，直接写出b﹣e的值．类型三 利用绝对值的非负性求值
例4（2009秋•新华区校级月考）已知|a+2|+|b﹣3|＝0，求a和b的值．
变式训练
1．（2020秋•洪山区校级月考）已知|a﹣1|＝3，|b﹣3|与（c+1）2互为相反数，且a＜b，
求代数式2a﹣b+c﹣abc的值．
类型四 类型问题
例 5 （2022 秋•隆昌市校级月考）阅读下列材料并解决有关问题，我们知道|x|
{ x(x＞0)
x x x x
= 0(x=0) ，当x＞0时， = =1，当x＜0时， = =-1．且当x＞0，y
|x| x |x| -x
-x(x＜0)
＜0时，xy＜0．现在我们可以用这个结论来解决下面问题：
a b
（1）已知a，b是有理数，当a＜0，b＞0时， + = ．
|a| |b|
a b
（2）已知a，b是有理数，当ab≠0时， + = ．
|a| |b|
b+c a+c a+b
（3）已知a，b，c是有理数，a+b+c＝0，abc＜0，求 + + 的值．
|a| |b| |c|变式训练
b+c c+a a+b
1．（2022秋•邛崃市期末）设a+b+c＝0，abc＞0，则 + + 的值是 ．
|a| |b| |c|
类型五 多绝对值问题
例6 （2020秋•恩施市月考）已经知道|x|的几何意义是数轴上数x所对应的点与原点之间
的距离，即|x﹣0|，也就是说，表示数轴上的数x与数0之间的距离，这个结论可以推广
为，|x ﹣x |表示数x 与数x 对应点之间的距离．
1 2 1 2
例1：已知|x|＝2，求x的值．
解：在数轴上与原点的距离为2的点表示的数为﹣2和2，所以x的值为2或者﹣2．
例2：已知|x﹣1|＝2，求x的值．
解：在数轴上与1对应的点的距离为2的点表示的数为3和﹣1，所以x的值为3或者﹣
1．根据两个例子，求解：
（1）|x﹣1|＝5，求x．
（2）|x+1|＝5，求x．
（3）|x+3|+|x﹣3|＝6，找出所有符合条件的整数x．
类型六 绝对值最值问题
例7 （2018秋•雨花区校级月考）同学们都知道，|2﹣（﹣1）|表示2与﹣1的差的绝对值，
实际上位可理解为在数轴上正数2对应的点与负数﹣1对应的点之间的距离，试探索：
（1）|2﹣（﹣1）|＝ ；如果|x﹣1|＝2，则x＝ ．
（2）求|x﹣2|+|x﹣4|的最小值，并求此时x的取值范围；
（3）由以上探索已知（|x﹣2|+|x+4|）+（|y﹣1|+|y﹣6|）＝20，则求x+y的最大值与最小
值；
（4）由以上探索及猜想，计算|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣2017|+|x﹣2018|的最小值．变式训练
1．（2022秋•灌南县校级月考）认真阅读下面的材料，完成有关问题．
材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如|5﹣3|表示5，3在数轴上
对应的两点之间的距离；|5+3|＝|5﹣（﹣3）|，所以|5+3|表示5，﹣3在数轴上对应的两
点之间的距离；|5|＝|5﹣0|，所以|5|表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，
A，B两点在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B两点之间的距离可表示为|a﹣b|．
（1）如果A，B，C三点在数轴上分别表示有理数x，﹣2，1，那么点A到点B的距
离与点A到点C的距离之和可表示为 （用含绝对值的式子表示）；
（2）利用数轴探究：
①满足|x﹣3|+|x+1|＝6的x的值是 ，
②设|x﹣3|+|x+1|＝p，当x的取值在不小于﹣1且不大于3的范围时，p的值是不变的，
而且是p的最小值，这个最小值是 ；当x的取值在 的范围时，|x|+|x﹣2|的最
小值是 ；
（3）求|x﹣3|+|x﹣2|+|x+1|的最小值以及此时x的值；
（4）若|x﹣3|+|x﹣2|+|x﹣1|+|x|≥a对任意有理数x都成立，求a的最大值．第二部分 配套作业
1．（2020秋•江汉区期末）下列说法：①|a|＝﹣a，则a为负数；②数轴上，表示a、b两
点的距离为a﹣b；③|a+b|＝a﹣b，则a＞0，b＝0或a＝0，b＜0；④|a+b|＝|a|﹣|b|，则
ab≤0．其中正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2022秋•江岸区校级期中）下列说法正确的个数为（ ）
①如果|a|＝a，那么a＞0；②使得|x﹣1|+|x+3|＝4的x的值有无数个；③用四舍五入法
把数2005精确到百位是2000；④几个数相乘，积的符号一定由负因数的个数决定，当
负因数的个数为偶数时积为正
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3．（2021秋•涪城区校级月考）下列说法：①若a为有理数，且a≠0，则a＜a2；②若
1
=a，则a＝1；③若a3+b3＝0，则a、b互为相反数；④若|a|＝﹣a，则a＜0；⑤若b
a
＜0＜a，且|a|＜|b|，则|a+b|＝﹣|a|+|b|，其中正确说法的有 ．
4．（2022秋•蒲江县校级期中）已知：|a|＝2，|b|＝3且a＞b，求a+b的值．
5．（2022秋•安岳县校级月考）（1）已知|a|＝5，|b|＝3，且a＞b，求a﹣b的值；
（2）已知|a+2|+|b﹣4|+|c﹣5|＝0，求式子a﹣2b﹣（﹣c）的值．
6．（2021秋•新洲区期中）已知|x+1|＝4，（y+2）2＝4，若x+y≥﹣5，求x﹣y的值．
7．（1）已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：|a+b|﹣2|c﹣b|+|c﹣a|﹣|a+c|
（2）已知a＜0，ab＞0，|c|﹣c＝0，化简：|b|﹣|a+b|﹣|c﹣b|+|a﹣c|．8．（2021 秋•西城区校级期中）已知 |ab﹣2|与|b﹣1|互为相反数，求式子
1 1 1 1
+ + +⋯+ 的值．
ab (a+1)(b+1) (a+2)(b+2) (a+2021)(b+2021)
9．阅读材料：我们知道：|x|的几何意义为数轴上表示数x的点到原点的距离，点A，B在
数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A，B两点之
间的距离AB＝|a﹣b|，所以式子|x﹣3|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数3的点
之间的距离．
根据上述材料，回答下列问题：
（1）数轴上表示数﹣2的点与表示数5的点之间的距离为 ；
（2）等式|x﹣2|＝3的几何意义是 ，x的值为 ；
（3）若|x﹣3|＝|x﹣5|，求x的值；
（4）求式子|x﹣1|+|x﹣3|的最小值．
10．（2022秋•安阳期中）我们知道，在数轴上，|a|表示数a到原点的距离，这是绝对值的
几何意义．进一步地，数轴上两个点A、B，分别用a，b表示，那么A、B两点之间的
距离为：AB＝|a﹣b|．利用此结论，回答以下问题：
（1）数轴上表示﹣10和﹣5的两点之间的距离是 ．
（2）数轴上表示x和﹣3的两点A，B之间的距离是 ．
（3）说出|x+2|+|x﹣2|+|x﹣4|的最小值是 ．
（4）结合数轴求|x﹣1|+|x|+|x+2|+|x﹣4|的最小值为 ．此时符合条件的整数x为
．11．（2022秋•祁阳县校级期中）我们知道，在数轴上，|a|表示a到原点的距离，这是绝对
值的几何意义．进一步地，数轴上两个点A、B，分别用a，b表示，那么A、B两点之
间的距离为：AB＝|a﹣b|利用此结论．
回答以下问题：
（1）数轴上表示﹣10和﹣5的两点之间的距离是 ；
（2）数轴上表示x和﹣3的两点A，B之间的距离是 ；
（3）式子|x+2|+|x﹣2|+|x﹣4|的最小值是 ．
13．（2020秋•公安县期中）探究活动：
【阅读】
我们知道，|﹣5|表示数轴上表示﹣5的点到原点的距离，|a|表示数轴上表示a的点到原
点的距离，这是绝对值的几何意义．
【探索】
（1）数轴上表示﹣1和﹣5的两点之间的距离是 ，数轴上表示2和﹣3的两点之
间的距离是 ；数轴上两个点A、B，分别用数a、b表示，那么A、B两点之间的
距离为AB＝ ．
（2）数轴上表示﹣2和x的两点A、B之间的距离是 ，如果AB＝3，那么x的值
为 ．
（3）若|x﹣2|+|x+3|＝7，试求x的值；
（4）当x为何值时，式子|x+2020|+|x﹣1|取最小值，最小值是多少．
