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【拔尖特训】2022-2023学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【人教版】
专题18.11正方形的性质与判定大题提升专练（重难点培优30题）
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压
轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己
的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、解答题
1．（2021秋·江西赣州·八年级统考期末）如图，四边形ACMF、BCNE 是两个正方形．求证：AN＝BM．
2．（2021秋·江苏·八年级专题练习）如图，已知四边形ABCD是矩形，点E在对角线AC上，点F在边
CD上（点F与点C、D不重合），BE⊥EF，且∠ABE+∠CEF=45°．求证：四边形ABCD是正方形．
3．（2022秋·湖南张家界·八年级统考期中）如图，在正方形ABCD中，点E在BC边的延长线上，点F在
CD边的延长线上，且CE=DF，连接AE和BF相交于点M．
求证：AE=BF ．
4．（2019·八年级统考课时练习）如图，四边形ABCD是正方形，点G是BC上的任意一点，DE⊥AG于
点E，BF∥DE，交AG于点F．那么AF与BF+EF相等吗？请说明理由．5．（2022秋·八年级课时练习）已知：如图，在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，EF⊥AC，交
AD，AB于点F，H．求证：CF=CH．
6．（2022秋·八年级课时练习）已知：如图，在正方形ABCD中，G是对角线BD上的一点，¿⊥CD，
GF⊥BC，E，F分别为垂足，连结AG，EF，求证：AG=EF．
7．（2022秋·八年级课时练习）已知：如图，在正方形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为OB上一点，
DF⊥EC于点F，交CO于点P．求证：OE=OP．
8．（2022秋·福建厦门·八年级厦门外国语学校校考阶段练习）如图，已知点E、F分别是正方形ABCD中
边AB、BC上的点，且AB＝12，AE＝6，将正方形分别沿DE、DF向内折叠，此时DA与DC重合为DG，
求CF的长度．9．（2022春·江苏·八年级期中）如图，四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，
且DE＝BF，连接AE．
(1)求证：△ADE≌△ABF；
(2)若BC＝12，DE＝4，求△AEF的面积．
10．（2022秋·河北秦皇岛·八年级统考期末）如图，在正方形ABCD中，点P是对角线BD上的一个动点，
PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别是E、F，连接EF，猜想EF与AP的数量关系并证明你的猜想．
11．（2022秋·黑龙江大庆·八年级校考期中）如图，在边长为6的大正方形中有两个小正方形（小正方形
的顶点都在大正方形的边或对角线上），若两个小正方形的面积分别是S 和S ，求：S +S
1 2 1 2
12．（2022秋·黑龙江大庆·八年级校考期中）在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上一点，AE=3，
点Q是对角线AC上的动点．求：△BEQ周长的最小值．13．（2022秋·广西百色·八年级统考期末）如图，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，点E在
BC的延长线上，且PE=PB．
(1)求证：△BCP≌△DCP；
(2)求证：∠DPE=∠ABC；
(3)把正方形ABCD改为菱形ABCD，且∠ABC=60°，其他条件不变，如图．连接DE，试探究线段BP
与线段DE的数量关系，并说明理由．
14．（2022秋·山东烟台·八年级校考期中）如图，已知点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的
延长线上一点，连接AF，且EA⊥AF．
(1)求证：DE＝BF；
(2)若AH平分∠FAE交线段BC上一点H，连接EH，请判断线段DE、BH、HE三者存在怎样的数量关系？
并加以证明．
15．（2022秋·江西上饶·八年级统考期末）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC和CD上，且
AEF为等边三角形．
△(1)求证：CE=CF；
(2)若AE=4，求AC的长．
16．（2022秋·江苏镇江·八年级统考期中）如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E是线段OD上一点，
连接EC，过点B作BF⊥CE于点F，交OC于点G．
(1)求证：BG=CE；
(2)若OB=√2，BF是∠DBC的角平分线，求OE的长．
17．（2022秋·河北保定·八年级统考期末）如图，正方形ABCD的周长是40．点P是正方形ABCD对角线
AC上一动点，过P点分别作AB、BC的垂线，垂足分别为E，F．
(1)求证：四边形PEBF是矩形．
(2)请你猜想EF与DP的数量关系，并给出证明．
(3)在P点运动过程中，EF的长也随之变化，求EF的最小值．
18．（2022春·江苏·八年级专题练习）如图，在正方形ABCD中，点P是边AB上的定点．(1)如图1中仅用圆规分别在AD、BC上作点E、F，使EP⊥PF，且EP=PF，保留作图痕迹，不写作法；
(2)根据你的作图步骤，利用图2证明：EP⊥PF，且EP=PF．
19．（2022秋·安徽芜湖·八年级统考期末）如图，正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，连接AE，
CE，延长AE交CD边于点F．
(1)求证：∠AEB=∠CEB．
(2)若∠AEC=2α，∠AFD=β，求证：α+β=135°．
20．（2021秋·四川资阳·八年级统考期末）如图，正方形ABCD中，P是AB上一点，连结DP，E是DP上
一点，连结AE，过点A作AF⊥AE，交DP的延长线于点F，AE=AF.
(1)求证： ADE≌△ABF；
(2)若AD=△3，DE=1，求DF的长.
21．（2022秋·北京顺义·八年级阶段练习）如图，在正方形ABCD中，Q为对角线BD上一点(DQ>BQ)，
连接AQ、CQ．(1)求证：AQ=CQ；
(2)过点Q作QR⊥BD交BC于点R，延长CB至点H使BH=CR，连接AH．
①依题意补全图形；
②用等式表示AH与CQ之间的数量关系，并证明．
22．（2022春·河南鹤壁·八年级校考期中）如图1，有一个正方形ABCD，将边CB绕点C旋转得到线段
CE，连接BE，点F是BE的中点，过点A作AG⊥BE交直线BE于点G．
(1)如图2，当点E落在正方形内部时，易得：
①CF与BE的位置关系是 ；
②线段AG与FB的数量关系是 ；
③CF，AG，GF的数量关系是 ．
(2)若点E落在正方形外部（点B，C，E不在同一直线上）时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请
证明；若不成立，请直接写出新的结论．
23．（2022春·全国·八年级专题练习）（1）如图①，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点
且∠EAF=45°．猜测线段EF、BE、FD三者存在哪种数量关系？直接写出结论．（不用证明）结论：
．
（2）如图②，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF是∠BAD的一半．（1）中猜测的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
24．（2021秋·海南省直辖县级单位·八年级统考期中）如图，在边长为1的正方形ABCD中，点P是对角
线BD上（不与点B，D重合）的任意一点，且PE⊥DC于点E，PF⊥BC于点F．
(1)求证：①AP=CP；
②AP2=PE2+PF2；
(2)若∠APF=105°，求线段PB的长．
25．（2022秋·吉林长春·八年级统考期末）【感知】如图①，点F是正方形ABCD的边AB上一点，点E
是AD延长线上一点，且CE⊥CF．易证△CBF≌△CDE，进而证得BF=DE．
【应用】（1）如图②，在正方形ABCD中，点F、G分别在边AB、AD上，且∠FCG=45°．求证：
BF+DG=FG．
【拓展】（2）如图③，在四边形ABCD中，BC=DC，∠A=∠BCD=90°，点M、N分别在边AB、
AD上，且∠MCN=45°．若BD=7，MN=4.2，则四边形MBDN的周长为______．
26．（2022秋·江苏扬州·八年级校考阶段练习）【方法回顾】
如图1，过正方形ABCD的顶点A作一条直l交边BC于点P，BE⊥AP于点E，DF⊥AP于点F，猜想
BE，DF，EF三条线段的数量关系： ，并证明你的猜想．【问题解决】
3
如图2，菱形ABCD的边长为 ，过点A作一条直线l交边BC于点P，且∠DAP=90°，点F是AP上一点，
2
且∠BAD+∠AFD=180°，过点B作BE⊥AB，与直线l交于点E，若EF=1，求BE的长．
【思维拓展】
如图3，在正方形ABCD中，点P在AD所在直线上的上方，AP=2，连接PB，PD，若△PAD的面积与
△PAB的面积之差为m(m>0)，则PB2−PD2的值为 （用含m的式子表示）
27．（2022秋·四川·八年级校联考期中）已知，如图1，四边形ABCD是正方形，E，F分别在边BC、
CD上，且∠EAF=45°，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种
常用的方法．
(1)在图1中，连接EF，为了证明结论“EF=BE+DF ”，小亮将ΔADF绕点A顺时针旋转90°后解答
了这个问题，请按小亮的思路写出证明过程；
(2)如图2，当∠EAF绕点A旋转到图2位置时，试探究EF与DF、BE之间有怎样的数量关系？
28．（2022·全国·八年级专题练习）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上一点，且点E不与点B、C
重合，点F是BA的延长线上一点，且AF=CE．(1)求证：△DCE≌△DAF；
(2)如图，连接EF，交AD于点K，过点D作DH⊥EF，垂足为H，延长DH交BF于点G，连接HB，
HC，求证：HD=HB；
(3)在（2）的条件下，试判断∠ADF与∠EHC的大小关系并说明理由．
29．（2022春·江苏南京·八年级南京市第一中学校考阶段练习）在正方形ABCD中，AD=CD，
∠ADC=90°，点E是平面内一点，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接EF．
(1)如图1，若点E在AB上运动，连接CF，当AB=4，AE=1时，BF=__，EF=__；
(2)如图2，若EF恰好经过点C，连接AE，求证：AE+CE=√2DE．
30．（2022秋·福建厦门·八年级统考期中）如图1，正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点P是
线段AO上（不与A、O重合）的一个动点，过点P作PE⊥PB且交边CD于点E．
(1)求证：PB=PE；
(2)若正方形ABCD的边长为6．
①过点E作EF⊥AC于点F，如图2，则在点P运动的过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，请直接写出这个不变的值；若变化，请说明理由．
②连接BE交AC于点G，在点P运动的过程中，当CE=2，求PG的长．
