文档内容
【拔尖特训】2022-2023学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【人教版】
专题18.14四边形中的线段最值问题提升专练（重难点培优30题）
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压
轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己
的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、单选题
1．（2021秋·全国·八年级专题练习）如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠DAB=60°，E为AB的中点，
F是AC上的一动点，则EF+BF的最小值为（ ）
A．3√3 B．6 C．3 D．3√2
【答案】A
【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分，点B关于AC的对称点是点D，连接ED，EF+BF最小值等于
ED的长，然后解直角三角形即可求解．
【详解】解：如图，连接BD，
∵菱形ABCD中，∠DAB=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∵在菱形ABCD中，AC与BD互相垂直平分，
∴点B、D关于AC对称，
如图，连接ED，则ED的长就是所求的EF+BF的最小值，
∵E为AB的中点，∠DAB=60°，
∴DE⊥AB，
∴ED=√AD2−AE2=√62−32=3√3，
∴EF+BF的最小值为3√3．
故选：A．【点睛】本题主要考查了菱形的性质和解直角三角形，关键是判断出ED的长就是所求的EF+BF的最小值．
2．（2022秋·广东湛江·八年级统考期末）如图，正方形ABCD的边长为4，点M在DC上，且DM=1，N
是AC上一动点，则DN+MN的最小值为（ ）
A．4 B．4√2 C．2√5 D．5
【答案】D
【分析】由正方形的对称性可知点B与D关于直线AC对称，连接BM交AC于N′，N′即为所求在
Rt△BCM中利用勾股定理即可求出BM的长即可．
【详解】∵四边形ABCD是正方形，
∴点B与D关于直线AC对称，
∴DN=BN，
连接BD，BM交AC于N′，连接DN′，
∴当B、N、M共线时，DN+MN有最小值，则BM的长即为DN+MN的最小值，
∴AC是线段BD的垂直平分线，
又∵CD=4，DM=1
∴CM=CD-DM=4-1=3，在Rt△BCM中，BM=√CM2+BC2=√32+42=5
故DN+MN的最小值是5．
故选：D．
【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题及正方形的性质，先作出D关于直线AC的对称点，由轴对称
及正方形的性质判断出D的对称点是点B是解答此题的关键．
3．（2021秋·全国·八年级期末）如图，P为正方形ABCD内一动点，PA=AB=4，M为PB的中点，则
CM的最小值为（ ）
12 13
A． B． C．2√2 D．2√5−2
5 5
【答案】D
【分析】取AB的中点N，连接MN，根据三角形中位线的性质可求出MN的长度，然后根据三角形三边关
系即可求出CM的最小值．
【详解】解：因为PA=AB=4，M为PB的中点，
取AB的中点N，连接MN，CN，
易得CN=2√5，
1
所以MN= PA=2.
2
在点P的运动过程中，MN的值不变，
因为CM+MN≥CN，
当C，M，N三点在同一条直线上时，CM最小，此时CM=CN−MN=2√5−2．
故选：D
【点睛】此题考查了三角形中位线的性质和三角形三边的关系，解题的关键是由题意作出辅助线．
4．（2021秋·全国·八年级专题练习）如图，正方形OABC的两边在坐标轴上，AB=6，OD=2，点P为
OB上一动点，PA+PD的最小值是（ ）
A．8 B．10 C．2√10 D．3√5
【答案】C
【分析】先找到点A关于OB的对称点C，连结CD交OB于点P′，当点P运动到P′时PA+PD最短，在
Rt△COD中用勾股定理求出CD即可．
【详解】正方形ABCO，
∴A、C两点关于OB对称，
∴连接CD，交OB于P'，
∴CP'=AP'，
∴AP'+P'D=CP'+PD'≥CD，
当C、P、D三点共线时，PA+PD取最小值，
∵OD=2，AB=CO=6，
∴CD=√22+62=2√10，
故选择：C．
【点睛】本题考查动点问题，掌握正方形的性质，与轴对称的性质，三角形三边关系，勾股定理，会利用对称性找对称点，会利用P、C、D三点一线最短，会用勾股定理求出最短距离是解题关键．
5．（2020秋·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、
CD上的动点，且BE＝CF，连接BF、DE，则BF＋DE的最小值为（）
A．√12 B．√20 C．√48 D．√80
【答案】D
【分析】连接AE，利用 ABE≌△BCF转化线段BF得到BF＋DE＝AE＋DE，则通过作A点关于BC对称
点H，连接DH交BC于△E点，利用勾股定理求出DH长即可．
【详解】解：解：连接AE，如图1，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°．
又BE＝CF，
∴△ABE≌△BCF（SAS）．
∴AE＝BF．
所以BF＋DE最小值等于AE＋DE最小值．
作点A关于BC的对称点H点，如图2，
连接BH，则A、B、H三点共线，
连接DH，DH与BC的交点即为所求的E点．
根据对称性可知AE＝HE，
所以AE＋DE＝DH．
在Rt ADH中，DH2＝AH2＋AD2＝82＋42＝80
∴DH＝△4√5∴BF＋DE最小值为4√5
故选： D．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、最短距离问题，一般求两条线段最短
距离问题，都转化为一条线段．
6．（2022秋·浙江金华·八年级校联考期中）如图 ，在平行四边形ABCD中 ，∠C=120° ，AB=4 ，
AD=8 ， 点H、G分别是边CD、BC上的动点．连接AH、HG ，点E为AH的中点 ，点F为GH的中点
，连接EF．则EF的最大值与最小值的差为（ ）
A．2 B．2√3−2 C．√3 D．4−√3
【答案】C
【分析】如图，取AD的中点M，连接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N．首先证明∠ACD＝90°，求出
1
AC，AN，利用三角形中位线定理，可知EF＝ AG，求出AG的最大值以及最小值即可解决问题．
2
【详解】解：如图，取AD的中点M，连接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N．
∵四边形ABCD是平行四边形，∠BCD＝120°，AD=2AB=8
∴∠D＝180°−∠BCD＝60°，AB＝CD＝4，
∵AM＝DM＝DC＝4，
∴△CDM是等边三角形，
∴∠DMC＝∠MCD＝60°，AM＝MC，
∴∠MAC＝∠MCA＝30°，
∴∠ACD＝90°，
∴AC＝4√3在Rt ACN中，∵AC＝4√3，∠ACN＝∠DAC＝30°，
△1
∴AN＝ AC＝2√3
2
∵AE＝EH，GF＝FH，
1
∴EF＝ AG，
2
∵点G在BC上，∴AG的最大值为AC的长，最小值为AN的长，
∴AG的最大值为4√3，最小值为2√3，
∴EF的最大值为2√3，最小值为√3，
∴EF的最大值与最小值的差为：√3
故选C．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定和性质、直角三角形30度
角性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，本题的突破点是证明∠ACD＝90°，属于
中考选择题中的压轴题．
7．（2022秋·安徽合肥·八年级统考期末）如图，在矩形ABCD中，点N、O、P、M分别是边AB、BC、
CD、DA上的点(不与端点重合)，若AN=CP，BO=DM，且AB=2BC=2，则四边形MNOP周长的最小值等于
（ ）
A．2√5 B．2√3 C．√5 D．√3
【答案】A
【分析】首先利用SAS证明△AMN≌△COP，得MN=PO，同理得NO=MP，则四边形MNOP是平行
四边形，作点N关于BC的对称点N'，连接ON'，PN'，求出 的长，从而解决问题．
【详解】解：∵BO=DM，
∴CO=AM．∵AN=CP，∠A=∠C=90°，
∴△AMN≌△COP（SAS），
∴MN=PO．
同理得，NO=MP，
∴四边形MNOP是平行四边形，
作点N关于BC的对称点N'，连接ON'，PN'，过点P和PH∥BC，将AB于点H，
则NO=N'O，NB=BN'，
∴PO+ON的最小值为PN'．
∵四边形ABCD是矩形，PH∥BC，∠ABC=∠A=90°，
∴四边形PCBH是矩形，
1
∴PH=BC= AB=1，HB=PC=AN．
2
∵NB=BN'，
∴HN'=HB+BN'=AN+BN=AB=2，
由勾股定理得，PN'=√PH2+H N'2=√12+22=√5，
∴四边形MNOP周长的最小值为2√5．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质，平行四边形的判定与性质，轴对称最短路线问题，勾股定理
等知识，证明四边形MNOP是平行四边形是解题的关键．
8．（2022秋·重庆·八年级统考期末）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P是BC上任
意一点，PE⊥BD于点E，PF⊥AC于点F，若AC=2√2，则EF的长的最小值为（ ）√2
A．2 B．1 C．√2 D．
2
【答案】B
【分析】如图，连接OP、EF，根据已知条件和正方形的性质可以得到当EF最小就是OP最小，然后利用
垂线段最短即可求解．
【详解】解：如图，连接OP、EF，
∵正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P是BC上任意一点，PE⊥BD于点E，PF⊥AC于点F，
∴四边形OEPF为矩形，
∴EF=OP，
∴EF最小时OP最小，
当OP⊥BC于P的时候OP最小，
而当OP⊥BC时，P为BC的中点，
1
∴OP= BC，
2
∵AC=2√2，
则BC=2，
∴OP=1，
∴EF的长的最小值为1．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，同时也利用了垂线段最短解决问题．
9．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC=6，ΔBDC面积为21，
AB的垂直平分线MN分别交AB,AC于点M,N，若点P和点Q分别是线段MN和BC边上的动点，则
PB+PQ的最小值为（ ）A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】连接AQ，过点D作DH⊥BC，根据垂直平分线的性质得到PA=PB，再根据
PB+PQ=AP+PQ≥AQ计算即可；
【详解】连接AQ，过点D作DH⊥BC，
∵BC=6，ΔBDC面积为21，
1
∴ ·BC·DH=21，
2
∴DH=7，
∵MN垂直平分AB，
∴PA=PB，
∴PB+PQ=AP+PQ≥AQ，
∴当AQ的值最小时，PB+PQ的值最小，根据垂线段最短可知，当AQ⊥BC时，AQ的值最小，
∵AD∥BC，
∴AQ=DH=7，
∴PB+PQ的值最小值为7；
故选C．
【点睛】本题主要考查了四边形综合，垂直平分线的性质，准确分析计算是解题的关键．
1
10．（2022春·上海·八年级阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，动点P满足S PBC＝ S
4
△
ABCD，则点P到B，C两点距离之和PB+PC的最小值为（ ）
矩形A．√10 B．√13 C．√15 D．2√3
【答案】B
1
【分析】先由S PBC＝ S ABCD．得出动点P在与BC平行且与BC的距离是1的直线l上，作B关于
4 矩形
△
直线l的对称点E，连接CE，则CE的长就是所求的最短距离．然后在直角三角形BCE中，由勾股定理求
得CE的值，即PB＋PC的最小值．
【详解】解：设△PBC中BC边上的高是h．
1
∵S PBC＝ S ABCD．
4 矩形
△
1 1
∴ BC•h＝ AB•AD，
2 4
1
∴h＝ AB＝1，
2
∴动点P在与BC平行且与BC的距离是1的直线l上，
如图，作B关于直线l的对称点E，连接CE，则CE的长就是所求的最短距离．
在Rt△BCE中，∵BC＝3，BE＝BA＝2，
∴CE＝√AB2+BC2=√13，
即PB＋PC的最小值为√13．
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称−最短路线问题，三角形的面积，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短
的性质．得出动点P所在的位置是解题的关键．
二、填空题
11．（2022秋·北京西城·八年级校考期中）已知，如图，正方形ABCD的边长是8，M在DC上，且DM=2，N是AC边上的一动点，则DN+MN的最小值是______．
【答案】10
【分析】要求DN+MN的最小值，DN，MN不能直接求，可考虑通过作辅助线转化DN，MN的值，从
而找出其最小值求解．
【详解】解：∵正方形是轴对称图形，点B与点D是以直线AC为对称轴的对称点，
∴ 连接BN，BD，则直线AC即为BD的垂直平分线，
∴BN=ND ，
∴DN+MN=BN+MN ，
连接BM交AC于点P，
∵点N为AC上的动点，
由三角形两边和大于第三边，
知当点N运动到点P时，
BN+MN=BP+PM=BM ，
BN+MN的最小值为BM的长度，
∵ 四边形ABCD为正方形，
∴BC=CD=8，CM=8−2=6，∠BCM=90°，
∴BM=√62+82=10，
∴DN+MN的最小值是10．
故答案为10．
【点睛】本题考查轴对称的应用和勾股定理的基本概念．解答本题的关键是读懂题意，知道根据正方形的
性质得到DN+MN的最小值即为线段BM的长．12．（2022秋·重庆大足·八年级统考期末）在正方形ABCD中，AB=4，点E、F分别为AD、CD上一点，
且AE=CF，连接BF、CE，则BF+CE的最小值是________________．
【答案】4√5
【分析】首先利用正方形的性质可以证明ΔADF和ΔCDE(SAS)，然后利用全等三角形的性质得到
BF+CE的最小值就是BF+AF的最小值，最后利用轴对称即可求解．
【详解】解：如图，连接AF，
∵正方形ABCD中，AE=CF，
∴AD=CD，DE=DF，
在ΔADF和ΔCDE中，
¿，
∴ΔADF和ΔCDE(SAS)，
∴CE=AF，
∴BF+CE=BF+AF，
∴BF+CE的最小值就是BF+AF的最小值，
如图，作A关于CD的对称点H，连接BH交CD于F，则F即可满足BF+AF最小，
∵AB=4，
∴AD=DH=4，AH=8，
∴BF+CE=BF+AF=BH=√AB2+AH2=4√5．
∴BF+CE的最小值是4√5．
故答案：4√5．
【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，最短路径问题，同时也利用了正方形的性质，有一定的综合性．
13．（2022秋·江苏常州·八年级统考期中）如图，正方形ABCD的边长是8，点E、F分别是边AB、BC上的点，且AE=CF=1，若点P是对角线AC上一个动点，则EP+PF的最小值是______．
【答案】10
【分析】过E作AC的垂线交AD于点E′，连接E′F交AC于点P，过F作AD的垂线交AD于点G，则E′F
即为所求，根据正方形的性质可知 AEE′是等腰三角形，AE′=1，GD=CF=1，由AD=10即可求出GE′的长，
再由勾股定理即可求出E′F的长．△
【详解】解：过E作AC的垂线交AD于点E′，连接E′F交AC于点P，过F作AD的垂线交AD于点G，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC是正方形ABCD的一条对称轴，
∴点E、E′关于AC对称，
∴PE=PE′，
∴PE +PF的最小值是E′F的长，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAC=∠BAC=45°，
∵EE′⊥AC，
∴△AEE′是等腰三角形，
∴AE=AE′=3，
∵GF⊥AD，
∴GD=CF=1，
∴GE′=8-GD-AE′=8-1-1=6，
在Rt△GFE′中，GE′=6，GF=8，∴E′F=√E'G2+GF2=√62+82=10．
故答案为：10．
【点睛】本题考查的是最短路线问题及正方形的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．
14．（2022秋·重庆·八年级统考期末）如图，在正方形ABCD中，AB=2√2，AC与BD交于点O，N是
AO的中点，点M在BC边上，且BM=3，P为对角线BD上一点，则PM−PN的最大值为_____________．
【答案】1
【分析】作N关于BD的对称点E，连接PE，ME，过点M作MQ⊥AC，垂足为Q，可判定当点P，E，M
三点共线时，PM-PE的值最大，为ME 的长，求出CE，CQ，得到EQ，利用垂直平分线的性质得到
EM=CM=1即可．
【详解】解：如图：作N关于BD的对称点E，连接PE，ME，过点M作MQ⊥AC，垂足为Q，
∴PN=PE，
则PM-PN=PM-PE，
∴当点P，E，M三点共线时，PM-PE的值最大，为ME 的长，
在正方形ABCD中，AB=4，
∴AC=4√2，
∵N是AO的中点，点N和E关于BD成轴对称，
∴点E是OC中点，1
∴CE= AC=√2，
4
∵BC=4，BM=3，
1
∴CM=1= BC，
4
∵∠BCQ=45°，
∴△MCQ为等腰直角三角形，
CM √2
∴CQ= = ，
√2 2
√2
∴EQ= ，
2
∴CM=EM=1，
即PM-PN的最大值为1，
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质以及最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的
性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
15．（2022秋·重庆·八年级重庆一中校考期中）如图，正方形ABCD边长为4，P是正方形内一动点，且
S :S =1:3，则PC+PD的最小值是______．
△PAB △PCD
【答案】2√13
PE 1
【分析】过点P作EF∥AD，由S :S =1:3可得 = ，得PE=1，PF=3，过点P作MN//AB交
△PAB △PCD PF 3
AD于点M，交BC于点N，可得出四边形PFCN是矩形，得CN=PF=3，延长CB到K，使NK=CN=3，连
接DK，根据两点之间线段最短故可知PC+PD的最小值为DK的长，根据勾股定理可求解
【详解】解：如图，过点P作EF∥AD，交AB于点E，交CD于点F，∵四边形ABCD是正方形，
∴AB⊥AD，AB⊥BC，BC⊥CD，AB=BC=CD=AD=4，
∴EF⊥AB，EF⊥CD
1 1
∵S = AB⋅PE，S = CD⋅PF，
△PAB 2 △PCD 2
1
AB⋅PE
S 2 1
∴ △PAB = = ，
S 1 3
△PCD CD⋅PF
2
PE 1
∴ =
PF 3
∵EF∥AD
∴EF=AD=4，
∴PF=3，PE=1，
过点P作MN//AB交AD于点M，交BC于点N，则PN⊥BC，
∴∠PNC=∠NCF=∠CFP=90°
∴四边形CFPN是矩形，
∴四边形AEFD是矩形，
∴CN=PF=3，
∵∠DAE=∠AEF=∠EPD=∠ADF=90°，
延长CB到K，使NK=CN=3，则有：CK=CN+KN=6
连接DK，当D，P，K在一条直线上时，DP+PK=DK，当D，P，K不在一条直线上时，
DP+PK>DK，
故当D，P，K共线时，DP+PK=DK=√DC2+CK2=√42+62=2√13
又N是CK的中点，PN⊥CK，
∴PN是CK的垂直平分线，
∴CP=PK，所以PC+PD的最小值为2√13，
故答案为：2√13．
【点睛】本题主要考查正方形的性质，矩形的判断与性质，勾股定理以及线段的垂直平分线的判断与性质
等知识，掌握正方形的性质，正确做出辅助线是解题的关键．
16．（2022秋·江苏扬州·八年级校联考期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝20，点E在AD上且
DE＝4.点G在AE上且GE＝8，点P为BC边上的一个动点，F为EP的中点，则GF＋EF的最小值为____．
【答案】10
【分析】作A点关于BC的对称点A'，连接A'E，交BC于点P，连接AP，此时GF + EF的值最小，根据
1
已知条件可得AP = 2GF，进而可得GF+ EF= A'E，在Rt△AA' E中，由勾股定理可求A' E的长，即可
2
得出答案．
【详解】作A点关于BC的对称点A'，连接A'E，交，BC于点P，连接AP，
∵ AD= 20，DE= 4，
∴ AE= 16，
∵GE=8，
∴G是AE的中点，
∵F是EP的中点，
∴ AP= 2GF，
1 1
∴GF+ EF= AP+ EP
2 21 1 1
= （AP+EP)= (A'P+EP)= A'E，
2 2 2
此时，GF+EF取得最小值，
∵AB=6，
∴AA`=12，
在Rt∆AA`E中，A'E=√A' A2+AE2=√122+162=20 ，
∴GF+EF的最小值为10．
故答案为：10．
【点睛】本题考查轴对称求最短距离、三角形的中位线定理、勾股定理，熟练掌握轴对称求最短距离的方
法及三角形中位线的性质是解题的关键．
17．（2022秋·山东泰安·八年级统考期末）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边CD，BC上的动点，连
接AE，EF，G，H分别为AE，EF的中点，连接GH．若∠B=45°，BC=2√3，则GH的最小值为
___________．
√6
【答案】
2
1
【分析】连接AF，利用三角形中位线定理，可知GH = AF，求出AF的最小值即可解决问题．
2
【详解】
连接AF，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
AB= BC= 2√3
∵ G， H分别为AE，EF的中点，
∴GH是△AEF的中位线，
1
GH = AF，
2当AF⊥BC时，AF最小，GH得到最小值，则∠AFB = 90°，
∵∠B= 45°，
∴△ABF是等腰直角三角形，
√2 √2
∴AF= AB= ×2√3=√6，
2 2
√6
∴GH =
2
√6
即GH的最小值为
2
√6
故答案为：
2
【点睛】本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短等知
识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
18．（2021秋·河南安阳·八年级统考期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，点E为对角线DB的
中点，P为线段AD上一动点，则△EPB的周长最小值为______．
【答案】√37+√5
【分析】延长BA至F，使得AF＝AB，连接EF，取AB中点G，连EG，先说明B、F关于直线AD对称，
1 1
将EP＋PB转化为EP＋PF≥EF，由E、G分别为DB、AB的中点，再结合中位线定理得EG＝ AD＝ BC
2 2
＝1，EG⊥AB，从而有EF=√37，EB＝√EG2+GB2=√5，故△EPB的周长最小值为√37+√5．
【详解】解：延长BA至F，使得AF＝AB，连接EF，取AB中点G，连EG，
∵AF＝AB，∠DAB＝90°，
∴AD垂直平分BF，即B、F关于直线AD对称，∴PB＝PF，
∴EP＋PB＝EP＋PF≥EF，
∵E、G分别为DB、AB的中点，
1 1
∴EG∥AD，EG＝ AD＝ BC＝1，FG＝AF＋AG＝4＋2＝6，
2 2
∴EG⊥AB，
∴EF＝√EG2+FG2=√62+12=√37，
EB＝√EG2+GB2=√5，
∴△EPB的周长最小值为√37+√5．
故答案为：√37+√5．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、最短距离问题、勾股定理、中位线定理，延长BA至F，使得AF＝
AB，构造B、F关于直线AD对称，将EP＋PB转化为EP＋PF≥EF是解决本题的关键．
19．（2021秋·重庆·八年级重庆实验外国语学校校考期中）已知，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，对
角线BD将菱形ABCD分成2个三角形，点E、F将对角线BD三等分，BD=12，点P在菱形ABCD的边
上（含顶点），则能够满足PE+PF=11的点P的个数有___________个．
【答案】8
【分析】先作点E关于AD的对称点E'，连接EF交AD与点P，求出PE+PF的最小值，再求出P与A重
合及P与D重合时 PE+PF的值判断AD边上符合条件的P的个数，再根据对称性求解．
【详解】解：①当点P菱形的边上时，
在菱形ABCD中，∠ABC=120°，则△ABD和△BCD为等边三角形，
∵点E、F将对角线BD三等分，则DE=EF=BF=4，
作点E关于CD的对称点E'，则A、D、E'共线，
连接E'F交CD于点P，则此时PE+PF最小，
则PE+PF最小值=PE'+PF=E'F，
过点E'作E'H⊥BD，交BD的延长线于点H，
在Rt△DHE'中，DE'=DE=4，∠HDE'=60°，
1
则DH= DE'=2，
2
HE'=√DE'2−DH2=√42−22=2√3，
在Rt△HE'F中，FH=DF+DH=8+2=10，则E'F=√HE'2+H F2=√(2√3) 2+102=√112<11，
②当P在D点时，PE+PF=12>11，
故P在菱形的每条边上符合距离和等于11的点是两个，
那么四条边上一共8个．
故答案为：8．
【点睛】本题考查菱形与最值问题．熟练掌握求四边形中的最值问题为解题关键．
20．（2021秋·内蒙古呼伦贝尔·八年级统考期末）如图，AC是边长为2的正方形ABCD的对角线，P为
BC边上一动点，E，F为AB，AC的中点．当PE+PF的值最小时，CP的值为________．
3
【答案】
2
【分析】作点E关于BC的对称点Q，连接FQ，交BC于点P，此时PE+PF最小，再利用中位线的性质求
解即可．
【详解】如图，作点E关于BC的对称点Q，连接FQ，交BC于点P，此时PE+PF最小，∵E，F为AB，AC的中点，BC=2，
1
∴EF//BC，EF= BC=1，
2
∵B为EQ中点，BP//EF，
∴BP为△EFQ的中位线，
1 1
∴BP= EF= ，
2 2
1 3
∴CP=BC−BP=2− = ．
2 2
3
故答案为： ．
2
【点睛】本题考查了最短路线问题-将军饮马模型，中位线的性质，熟练掌握将军饮马模型的作法是解题的
关键．
三、解答题
21．（2022秋·广东广州·八年级校考期中）如图，菱形ABCD的边长为1，∠ABC=60°，点E是边AB上
任意一点(端点除外)，线段CE的垂直平分线交BD，CE分别于点F，C，AE，EF的中点分别为M，N．
(1)求证：AF=EF；
(2)求MN+NG的最小值．
【答案】(1)见解析1
(2)
2
【分析】（1）连接CF，根据FG垂直平分CE和菱形的对称性即可得到CF=EF，CF=AF，从而求证结
论；
1
（2）利用M和N分别是AE和EF的中点，点G为CE的中点，即可得到MN+NG= (AF+CF)，当点
2
F与菱形ABCD对角线交点O重合时，AF+CF最小，此时MN+NG最小，结合已知推断△ABC为等边
三角形，即可求解．
（1）
证明：连接CF，
∵FG垂直平分CE，
∴CF=EF，
∵四边形ABCD为菱形，
∴A和C关于对角线BD对称，
∴CF=AF，
∴AF=EF；
（2）
解：连接AC，∵M和N分别是AE和EF的中点，点G为CE中点，
1 1
∴MN= AF,NG= CF，即
2 2
1
MN+NG= (AF+CF)
2
当点F与菱形ABCD对角线交点O重合时，AF+CF最小，
即此时MN+NG最小，
∵菱形ABCD边长为1，∠ABC=60°，
∴△ABC为等边三角形，AC=AB=1，
1
即MN+NG的最小值为 ．
2
【点睛】本题考查了菱形的性质，中位线的性质、等边三角形性质的知识，关键在于熟悉各个知识点在本
题的灵活运用．
22．（2022秋·江苏镇江·八年级校联考阶段练习）如图，在□ ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，
BD是对角线，过A点作AG∥DB交CB的延长线于点G．
(1)求证：DE∥BF；
(2)当△ABD满足什么条件时，四边形DEBF是菱形（不需要证明）
(3)请利用备用图分析，在（2）的条件下，若BE=2，∠DEB=120°，点M为BF的中点，当点P在BD
边上运动时，求PF+PM的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)当∠ADB=90°时，四边形DEBF是菱形，证明见解析
(3)√3
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到DF=BE，AB∥CD，根据平行四边形的判定定理证明四边形
DEBF是平行四边形，根据平行四边形的性质证明结论；
（2）根据矩形的判定定理得到四边形AGBD是矩形，根据直角三角形的性质得到ED=EB，证明结论；
（3）连接EM交BD于P，根据轴对称的性质证明此时PF+PM的值最小，根据等边三角形的性质计算即可．
【详解】（1）解：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∵E、F分别为边AB、CD的中点，
∴DF=BE，又AB∥CD，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴DE∥BF；
（2）当∠ADB=90°时，四边形DEBF是菱形．
理由：∵∠ADB=90°，又E为边AB的中点，
∴ED=EB，又四边形DEBF是平行四边形，
∴四边形DEBF是菱形；
（3）连接EF，连接EM交BD于P，
∵四边形DEBF是菱形，
∴点E和点F关于BD轴对称，此时PF+PM的值最小，
∵四边形DEBF是菱形，∠DEB=120°，
∴∠EBF=60°，
∴△BEF是等边三角形，又BE=2，
∴EM=√3，即PF+PM的最小值为√3．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查的是平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质，轴对称变换的
性质以及等边三角形的性质的综合运用，掌握相关的判定定理和性质定理、正确作出辅助性是解题的关键．
23．（2021秋·广西河池·八年级统考期中）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，将ΔCOD沿
CD所在直线折叠，得到ΔCED．（1）求证：四边形OCED是菱形；
（2）若BD=3，∠ACD=30°，P是CD边上的动点，Q是CE边上的动点，那么PE+PQ的最小值是多
少？
3√3
【答案】（1）见解析；（2）
4
【分析】（1）根据矩形的性质即可得到OC=OD，再根据翻折，即可得到四边相等，即可求证菱形；
（2）作OQ⊥CE于Q，交CD于P，证明OP=PE，所以PE+PQ转化为OP+PQ，当OQ⊥CE时，即OQ
最短，即可解决．
【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形
∴AC与BD相等且互相平分
∴OC=OD
∵ΔCOD关于CD的对称图形为ΔCED
∴OD=ED，EC=OC
∴OD=ED=EC=OC
∴四边形OCED是菱形
（2）解：作OQ⊥CE于Q，交CD于P，则∠OQC=90°如图所示：
∵ΔCOD沿CD所在直线折叠，得到ΔCED
∴∠DCE=∠DCO，PE=PO
∴PE+PQ=PO+PQ=OQ
3
∵AC=BD=3 ∴OC=OD=
2∵∠ACD=30° ∴∠DCE=30° ∴∠OCQ=60°
∴∠COQ=∠OQC−∠OCQ=90°−60°=30°
1 3
∴CQ= OC=
2 4
√ 3 2 3 2 3√3
∴在RtΔCOQ中，OQ=√OC2−CQ2= ( ) −( ) =
2 4 4
3√3
即PE+PQ的最小值为 ．
4
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，菱形的判定和最短路径问题，熟练菱形的判定方法以及最短路径的
方法是解决本题的关键．
24．（2021秋·河北沧州·八年级统考期末）如图，在平行四边形ABCD中，BC＝AC，E、F分别是AB、
CD的中点，连接CE、AF．
（1）求证：四边形AECF是矩形；
（2）当平行四边形ABCD的边或角满足什么关系时，四边形AECF是正方形？请说明理由．
（3）在（2）的条件下，若AE＝4，点M为EC中点，当点P在线段AC上运动时，求PE+PM的最小值．
【答案】（1）见解析；（2）∠B＝45°或AB＝√2BC，理由见解析；（3）2√5
【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形得AB＝CD，AB∥CD，再由E、F分别是AB、CD的中点得
1 1
AE＝ AB，CF＝ CD，即可证得四边形AECF为平行四边形，再由BC＝AC，E为AB中点，得CE⊥AB，
2 2
故四边形AECF是矩形；
1
（2）当∠B＝45°时，可证∠BAC＝90°，由E为AB的中点得EC＝ AB＝AE，故矩形AECF为正方形；当
2
AB＝√2BC时，由BC＝AC，AB＝√2BC，可证得AC2+BC2＝AB2，△ACB为直角三角形，再由E为AB的
1
中点得EC＝ AB＝AE，故矩形AECF为正方形；
2
（3）连接EF，连接FM交AC于P，由E和F关于AC对称得此时PE+PM最小，再在Rt△MCF中用勾股
定理求出FM即可．【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵E、F分别是AB、CD的中点，
1 1
∴AE＝ AB，CF＝ CD，
2 2
∴AE＝CF，
∵AE∥CF，
∴四边形AECF为平行四边形，
∵BC＝AC，E为AB中点，
∴CE⊥AB，
∴∠AEC＝90°四边形AECF是矩形；
（2）解：①当∠B＝45°时，四边形AECF是正方形，
理由：∵BC＝AC，∠B＝45°，
∴∠BAC＝∠B＝45°，
∴∠BAC＝90°，
∵E为AB的中点，
1
∴EC＝ AB＝AE，
2
∴矩形AECF为正方形，
或②当AB＝√2BC时，矩形AECF为正方形，
理由：∵BC＝AC，AB＝√2BC，
∴AC2+BC2＝2BC2，
AB2＝（√2BC）2＝2BC2，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ACB为直角三角形，
∵E为AB的中点，
1
∴EC＝ AB＝AE，
2
∴矩形AECF为正方形；
（3）解：连接EF，连接FM交AC于P，∵四边形AECF为正方形，
∴E和F关于AC对称，此时PE+PM最小且为FM，
在Rt△MCF中，CM＝2，CF＝AE＝4，
∴FM＝√CM2+CF2=2√5
∴PE+PM最小值为2√5．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定，正方形的性质与判定，勾股定理和勾股
定理的逆定理等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
25．（2021秋·广东惠州·八年级统考期末）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，将△COD沿
CD所在直线折叠，得到△CED．
（1）求证：四边形OCED是菱形；
（2）若AB＝2，当四边形OCED是正方形时，求OC的长；
（3）若BD＝3，∠ACD＝30°，P是CD边上的动点，Q是CE边上的动点，求PE+PQ的最小值．
3√3
【答案】（1）见解析；（2）√2；（3） ．
4
【分析】（1）根据四边相等的四边形是菱形即可判断．
（2）矩形的性质和勾股定理求解．
（3）作OQ⊥CE于Q，交CD于P，此时PE+PQ的值最小，由折叠的性质得出∠DCE＝∠DCO，PE＝
1 3
PO，得出PE+PQ＝PO+PQ＝OQ，由直角三角形的性质得出CQ＝ OC= ，OQ=√3CQ即可得到答案．
2 4
【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AC与BD相等且互相平分，
∴OC＝OD，
∵△COD关于CD的对称图形为△CED，
∴OD＝ED，EC＝OC，
∴OD＝ED＝EC＝OC，
∴四边形OCED是菱形．
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝2．
∵四边形OCED是正方形，
∴∠COD＝90°．
在直角△COD中，由勾股定理得：
OC²+OD²＝2²，
∵OD＝OC，
∴OC＝√2；
（3）解：作OQ⊥CE于Q，交CD于P，如图所示：
3√3
此时PE+PQ的值最小为 ；理由如下：
4
∵△COD沿CD所在直线折叠，得到△CED，
∴∠DCE＝∠DCO，PE＝PO，
∴PE+PQ＝PO+PQ＝OQ，
∵AC＝BD＝3，
3
∴OC＝OD＝ ，
2
∴∠DCO＝∠ACD＝30°，
∴∠DCE＝30°，
∴∠OCQ＝60°，
∴∠COQ＝30°，
1 3 3√3
∴CQ＝ OC= ，OQ=√3CQ=
2 4 4
3√3
即PE+PQ的最小值为 ．
4【点睛】本题主要考查了翻折变换的性质，矩形的性质，菱形的性质与判定，正方形的判定，勾股定理以
及垂线最短等知识，熟练掌握翻折的性质和菱形的性质与判定是解题的关键.
26．（2021秋·全国·八年级专题练习）如图，在平行四边形ABCD中，AB=2,AD=1,∠B=60°，将平
行四边形ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D'处，折痕交CD边于点E．
（1）求证：四边形BCED'是菱形；
（2）若点P是直线l上的一个动点，请作出使PD'+PB为最小值的点P，并计算PD'+PB．
【答案】（1）见解析；（2）作图见解析，√7
【分析】（1）利用翻折变换的性质以及平行线的性质得出∠DAE=∠EAD'=∠DEA=∠D'EA，进而
利用平行四边形的判定方法得出四边形DAD'E是平行四边形，进而求出四边形BCED'是平行四边形，根
据折叠的性质得到AD=AD'，然后又菱形的判定定理即可得到结论；
（2）由四边形DAD'E是平行四边形，得到▱DAD'E是菱形，推出D与D'关于AE对称，连接BD交AE
1 √3
于P，则BD的长即为PD'+PB的最小值，过D作DG⊥BA于G，解直角三角形得到AG= ，DG= ，
2 2
根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：证明：（1）∵将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D'处，
∴∠DAE=∠D' AE，∠DEA=∠D'EA，∠D=∠AD'E，
∵DE//AD'，
∴∠DEA=∠EAD'，
∴∠DAE=∠EAD'=∠DEA=∠D'EA，
∴∠DAD'=∠DED'，∴四边形DAD'E是平行四边形，
∴DE=AD'，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AB//DC，
∴CE=D'B，CE//D'B，
∴四边形BCED'是平行四边形；
∵AD=AD'，
∵AB=2，AD=1，
∴AD=AD'=BD'=CE=BC=1，
∴▱BCED'是菱形；
（2）∵四边形DAD'E是菱形，
∴D与D'关于AE对称，
连接BD交AE于P，则BD的长即为PD'+PB的最小值，
过D作DG⊥BA于G，
∵CD//AB，
∴∠DAG=∠CDA=60°，
∵AD=1，
1 √3
∴AG= ，DG= ，
2 2
5
∴BG= ，
2
∴BD=√DG2+BG2=√7，
∴PD'+PB的最小值为√7．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，最短距离问题，勾股定理，菱形的判定和性质，正确的作出辅助
线是解题的关键．27．（2019秋·湖南长沙·八年级雅礼中学校考期中）如图，在平行四边形ABCD中，AB=10，AD=16，
∠A=60°，P是射线AD上一点，连接PB，沿PB将ΔAPB折叠，得ΔA'PB．
（1）如图所示，当∠DPA'=10°时，APB=_______度；
（2）如图所示，当PA'⊥BC时，求线段PA的长度；
（3）当点P为AD中点时，点F是边AB上不与点A、B重合的一个动点，将ΔAPF沿PF折叠，得到
ΔA'PF，连接BA'，求ΔBA'F周长的最小值．
【答案】（1）85°；（2）5√3+5；（3）2+2√21
【分析】（1）求出∠APA'，利用翻折不变性解决问题即可．
（2）如图2中，作BH⊥AD于H．根据30度角所对的直角边等于斜边的一半及勾股定理求出AH，PH即
可解决问题．
（3）ΔBA'F的周长=F A'+BF+BA'=AF+BF+BA'=AB+BA'=10+BA'，推出当BA'的周长最小时，
ΔBA'F的周长最小，由此即可解决问题．
【详解】（1）如图1：
∵∠DPA'=10°∴∠APA'=180°−∠DPA'=180°−10°=170°
由折叠的性质可知：
1
∠APB=∠A'PB= ×170°=85°
2
故答案为：85°
（2）如图2：作BH⊥AD于H
在Rt△ABH中
∵∠AHB=90°，AB=10，∠A=60°
∴∠ABH=30°
1
∴AH= AB=5
2
∴BH=√AB2−AH2=√102−52=5√3
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC
∵PA'⊥BC
∴PA'⊥AD
∴∠APA'=90°
∴∠HPB=∠BPA'=45°
∴PH=BH=5√3
∴PA=AH+PH=5√3+5
故答案为：5√3+5
（3）如图3中，作BH⊥AD于H ，连接BP
∵PA=8，AH=5
∴PH=3
∵BH=5√3∴PB=√PH2+BH2=√32+(5√3) 2=2√21
由翻折可知: PA=PA'=8， FA=FA'，
ΔBFA'的周长
FA'+BF+BA'=AF+BF+BA'=AB+BA'=10+BA'
∴当BA'最小时， ΔBFA'的周长最小
∵BA'≥PB−PA'
∴BA'≥2√21−8
∴BA'的最小值为2√21−8
∴ΔBFA'的周长的最小值为: 10+2√21−8=2√21+2
故答案为：2√21+2
【点睛】本题考查了轴对称—最短路线问题、翻折变换（折叠问题），在求解过程中用到了平行四边形性
质知识点．
28．（2016秋·福建泉州·八年级统考期末）如图，正方形ABCD的边长为4，点P为对角线BD上一动点，
点E在射线BC上．
（1）填空：∠PBC= 度．
（2）若BE=t，连结PE、PC，则|PE+PC的最小值为 ，|PE﹣PC|的最大值是 （用含t的代数式表
示）；
（3）若点E 是直线AP与射线BC的交点，当△PCE为等腰三角形时，求∠PEC的度数．【答案】（1）45；（2） ；|4﹣t|；（3）当△PCE为等腰三角形时，∠PEC的度数为30°或120°．
【详解】试题分析：（1）根据正方形的对角线平分一组对角，且四个角为直角，确定出所求角度数即可；
（2）连接AP，当AP与PE在一条线上时，PE+PC最小，利用勾股定理求出最小值；当P与B重合时，|
PE﹣PC|最大，表示出最大值即可；
（3）分两种情况考虑：①当E在BC延长线上时，如图2所示，△PCE为等腰三角形，则CP=CE；②当E
在BC上，如图3所示，△PCE是等腰三角形，则PE=CE，分别求出∠PEC的度数即可．
解：（1）∠PBC=45度；
故答案为45；
（2）如图1所示：当AP与PE在一条线上时，PE+PC最小，
∵AB=4，BE=t，
∴PE+PC的最小值为 ；
当P与B重合时，|PE﹣PC|的最大值，最大值是|4﹣t|；
故答案为 ；|4﹣t|；
（3）分两种情况考虑：
①当点E在BC的延长线上时，
如图2所示，△PCE是等腰三角形，则CP=CE，
∴∠CPE=∠CEP，
∴∠BCP=∠CPE+∠CEP=2∠CEP，
∵在正方形ABCD中，∠ABC=90°，
∴∠PBA=∠PBC=45°，在△ABP和△CBP中，
，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴∠BAP=∠BCP=2∠CEP，
∵∠BAP+∠PEC=90°，
∴2∠PEC+∠PEC=90°，
∴∠PEC=30°；
②当点E在BC上时，
如图3所示，△PCE是等腰三角形，则PE=CE，
∴∠CPE=∠PCE，
∴∠BEP=∠CPE+∠PCE=2∠ECP，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠PBA=∠PBC=45°，
又AB=BC，BP=BP，
∴△ABP≌△CBP，
∴∠BAP=∠BCP，
∵∠BAP+∠AEB=90°，
∴2∠BCP+∠BCP=90°，
∴∠BCP=30°，
∴∠AEB=60°，
∴∠PEC=180°﹣∠AEB=120°，
综上所述：当△PCE为等腰三角形时，∠PEC的度数为30°或120°．
29．（2021秋·全国·八年级专题练习）如图，正方形ABCD中，AB=2√5，O是BC边的中点，点E是正
方形内一动点，OE=2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE，CF.（1）若A、E、O三点共线，求CF的长；
（2）求△CDF的面积的最小值.
【答案】（1）3；（2）10−2√5
【分析】（1）利用勾股定理求出AO长，易得AE长，由正方形的性质利用SAS可证△ADE≌△CDF，
根据全等三角形对应边相等可得结论；
（2）过点E作EH⊥AD于点H，当O,E,H三点共线，EH最小，求出EH长，根据三角形面积公式求解
即可.
【详解】（1）由旋转得：∠EDF=90°，ED=DF，
1
∵O是BC边的中点，∴BO= BC=√5.
2
在Rt△AOB中，AO=√AB2+BO2=√20+5=5.
∴AE=AO−EO=5−2=3.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=90°，AD=CD，
∴∠ADC=∠EDF，
即∠ADE+∠EDC=∠EDC+∠CDF，
∴∠ADE=∠CDF.
在△ADE和△CDF中
¿
∴△ADE≌△CDF.
∴CF=AE=3.
（2）由于OE=2，所以E点可以看作是以O为圆心，2为半径的半圆上运动.
过点E作EH⊥AD于点H.∵△ADE≌△CDF，
∴S =S
△ADE △CDF
当O,E,H三点共线，EH最小，EH=OH−OE=2√5−2.
1
∴S =S = ×AD×EH=10−2√5.
△CDF △ADE 2
【点睛】本题是正方形与三角形的综合题，涉及的知识点主要有正方形的性质、全等三角形的判定与性质、
勾股定理，熟练的利用正方形的性质证明三角形全等是解题的关键.
30．（2022秋·湖北咸宁·八年级统考期末）如图1，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于O，E为BC边
上一动点（不与B，C重合），OF⊥OE交CD于F．
(1)求证：△OBE≌△OCF；
(2)求证：2OE2=BE2+DF2；
(3)如图2，若正方形ABCD边长为2√2，G为EF中点，点E在运动过程中，CG长的最小值为___________．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)1
【分析】（1）先判断出OB=OC，∠OBC=∠OCD=45°，∠BOC=90°，再判断出∠BOE=∠COF，
即可得出结论；
（2）先判断出CE=DF，再利用勾股定理即可得出结论；
（3）先判断出OE⊥BC时，CG长的值最小，即可求出答案．
（1）证明：∵正方形ABCD的对角线AC，BD相交于O，
∴OB=OC，∠OBC=∠OCD=45°，∠BOC=90°，
∵OE⊥OF，
∴∠EOF=90°=∠BOC，
∴∠BOE=∠COF，
在△OBE和△OCF中，
¿，
∴△OBE≌△OCF(SAS)．
（2）
由（1）知：△OBE≌△OCF，
∴OE=OF，BE=CF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，BC=CD，
∴BC−BE=CD−CF，
∴CE=DF，
在Rt△ECF中，CF2+CE2=EF2，
∴BE2+DF2=EF2，
在Rt△EOF中，OE=OF，
∴EF2=OE2+OF2=2OE2，
∴2OE2=BE2+DF2．
（3）
解：在Rt△ECF中，G为EF中点，
1
∴CG= EF，
2
由（2）知：EF=√OE2+OF2=√2OE2=√2OE，
√2
∴CG= OE，
2
要CG长的值最小，则OE长的值最小，
∵点E在BC上，正方形ABCD边长为2√2，OB=OC，∠BOC=90°，
∴当OE⊥BC时，OE长的值最小，
此时OE是Rt△BOC的BC边上的中线，1 1
∴OE= BC= ×2√2=√2，
2 2
√2 √2
∴CG长的最小值为 OE= ×√2=1．
2 2
故答案为：1．
【点睛】本题是四边形综台题，主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角
形的性质，等腰三角形的三线合一，垂线段最短．确定线段OE的长取得最小值时所在的位置是解题的关
键．
