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考点 26 概率、二项分布与正态分布（核心考点讲与练）
1.概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围： 0 ≤ P ( A ) ≤ 1 .
(2)必然事件的概率P(E)＝1.
(3)不可能事件的概率P(F)＝0.
(4)互斥事件概率的加法公式
①如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝ P ( A ) ＋ P ( B ) .
②若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)＝ 1 － P ( B ) .
2.基本事件的特点
(1)任何两个基本事件是互斥的.
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.
3.古典概型
具有以下两个特征的概率模型称为古典的概率模型，简称古典概型.
(1)试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果.
(2)每一个试验结果出现的可能性相同.
3.如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概
率都是；如果某个事件 A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A)＝.
4.古典概型的概率公式
P(A)＝.
5.全概率公式
(1)完备事件组：
设Ω是试验E的样本空间，事件A，A，…，A 是样本空间的一个划分，满足：
1 2 n
①A∪A∪…∪A＝Ω.
1 2 n
②A，A，…，A 两两互不相容，则称事件A，A，…，A 组成样本空间Ω的一个完备事件组.
1 2 n 1 2 n
(2)全概率公式
设S为随机试验的样本空间，A ，A ，…，A 是两两互斥的事件，且有P(A)>0，i＝1，2，…，n，∪A＝
1 2 n i i
S，则对任一事件B，有P(B)＝(A)P(B|A)称满足上述条件的A，A，…，A 为完备事件组.
i i 1 2 n
6.独立重复试验与二项分布
(1)独立重复试验①定义：在相同的条件下，重复地做n次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为n次独立
重复试验.
②概率公式：在一次试验中事件A发生的概率为p，则n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率
为P(k)＝ C p k (1 － p ) n － k(k＝0，1，2，…，n).
n
(2)二项分布：在n次独立重复试验中，事件A发生的次数设为X，事件A不发生的概率为q＝1－p，则n
次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率是P(X＝k)＝ C p k q n － k，其中k＝0，1，2，…，n.于是X的分布
列：
X 0 1 … k … n
P C p 0 q n C pq n － 1 … Cpkqn－k … C p n q 0
此时称离散型随机变量X服从参数为n，p的二项分布，记作 X ～ B ( n ， p ) .
7.正态分布
(1)正态曲线：正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线，其函数表达式为f(x)＝e－，x∈R(其中μ，σ为
参数，且σ>0，－∞<μ<＋∞).
(2)正态曲线的性质
①曲线位于x轴上方，与x轴不相交，与x轴之间的面积为1；
②曲线是单峰的，它关于直线 x ＝ μ 对称；
③曲线在 x ＝ μ 处达到峰值；
④当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越
“矮胖”，表示总体的分布越分散.
(3)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
①P(μ－σ
