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专题 19.3 二次根式的乘法
1. 掌握最简二次根式的概念，并能够熟练的判断二次根式是否为最简二次根式。
教学目标 2. 掌握二次根式的乘法运算法则，并能够熟练的对二次根式进行乘法运算。
3. 掌握积的算术平方根的性质，并能够结合二次根式的性质对二次根式进行化简。
1. 重点
（1）最简二次根式；
（2）二次根式的乘法运算法则；
教学重难点 （3）积的算术平方根。
2. 难点
（1）判断被开放式是式子的最简二次根式；
（2）利用二次根式的乘法以及积的算术平方根对二次根式进行计算化简。知识点01 最简二次根式
1. 最简二次根式满足的三个条件：
①被开方数不含开方开的尽的数。
②根号下面不含分母。
③分母里面不含根号。
注意：若被开方数是多项式时，要判断多项式能否进行因式分解，若不能进行因式分解，则为最简二
次根式；若能进行因式分解，且分解的结果没有相同的式子，则也为最简二次根式。
【即学即练1】
1．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
√1
A．❑√5 B．❑ C．❑√0.2 D．❑√16
3
【答案】A
【解答】解：A、❑√5的被开方数不含分母，也无开得尽方的因数，选项是最简二次根式，符合题意；
√1
B、❑ 的被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
3
√1
C、❑√0.2=❑ ，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
5
D、❑√16=4，被开方数是能开得尽方的数，不是最简二次根式，不符合题意．
故选：A．
【即学即练2】
2．在下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A．❑√1.3x B．❑√a2+a8 C．❑√a2+b2 D．❑√18
【答案】C
√13 ❑√130x
【解答】解：A、❑√1.3x=❑ x= 不是最简二次根式，不符合题意；
10 10
B、❑√a2+a8=|a|❑√1+a6不是最简二次根式，不符合题意；
C、❑√a2+b2是最简二次根式，符合题意；
D、❑√18=3❑√2不是最简二次根式，不符合题意．
故选：C．
知识点02 二次根式的乘法
1. 二次根式的乘法法则：
几个二次根式相乘，根指数不变，把被开方数相乘。即
❑√ab
。
拓展：【即学即练1】
3．计算：❑√3×❑√2=（ ）
A．6 B．❑√6 C．❑√5 D．1
【答案】B
【解答】解：原式=❑√3×2=❑√6，
故选：B．
【即学即练2】
4．计算❑√8×❑√2的结果是（ ）
A．❑√10 B．❑√6 C．4 D．2
【答案】C
【解答】解：原式=❑√8×2=4．
故选：C．
知识点03 积的算术平方根的性质
1. 积的算术平方根的性质：
❑√a∙❑√b
两个非负数的积的算术平方根等于 这两个非负数的算术平方根的积 。即
。
【即学即练1】
√1
5．化简计算❑ ×❑√32正确的结果是（ ）
8
A．4 B．2 C．2❑√2 D．❑√2
【答案】B
√1
【解答】解：原式=❑ ×32=❑√4=2．
8
故选：B．
【即学即练2】
6．阅读材料，解答问题：
（1）计算下列各式：
❑√4×9=6，❑√4×❑√9=6；
❑√16×25= 2 0 ，❑√16×❑√25= 2 0 ．
通过以上计算：猜想得出❑√a⋅b（a＞0，b＞0）＝ ❑√a•❑√b ，
（2）运用（1）中的结论进行化简：
例如：❑√8=❑√4×2=❑√4×❑√2=2❑√2：❑√24=❑√4×6=❑√4×❑√6=2❑√6．
请化简：①❑√27；
②❑√9ab2（a＞0，b＞0）．
【答案】（1）20；20；❑√a•❑√b；
（2）3b❑√a．
【解答】解：（1）❑√16×25=❑√400=20，
❑√16×❑√25=4×5＝20；
猜想❑√a⋅b（a＞0，b＞0）=❑√a•❑√b；
故答案为：20；20；❑√a•❑√b；
（2）①❑√27=❑√9×3=❑√9×❑√3=3❑√3；
②❑√9ab2=❑√9•❑√a•❑√b2=3b❑√a（a＞0，b＞0）．
【即学即练3】
7．计算：
√1
（1）❑√18a⋅❑√2a(a≥0)； （2）2❑√3×❑ ； （3）❑√14×❑√35；
3
2
（4）2❑√5a⋅❑√10a(a≥0)； （5）3a❑√12ab⋅(− ❑√6b)（a≥0；
3
b≥0）．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）原式=❑√36a2=6a；
√ 1
（2）原式＝2❑3× =2；
3
（3）原式=❑√2×7×7×5=7❑√10；
（4）原式＝2❑√50a2=10a❑√2；
（5）原式＝﹣3a❑√72ab2=−18ab❑√2a．
题型01 判断最简二次根式
【典例1】下列各式是最简二次根式的是（ ）
√5
A．❑√13 B．❑√12 C．❑√a2 D．❑
3
【答案】A
【解答】解：A、❑√13是最简二次根式；
B、❑√12=❑√4×3=2❑√3，不是最简二次根式；C、❑√a2=|a|，不是最简二次根式；
√5
D、❑ ，被开方数的分母中含有字母，不是最简二次根式；
3
故选：A．
√x
【变式1】在根式①❑√a2+b2②❑ ③❑√x2−xy④❑√27abc中，最简二次根式是（ ）
5
A．①② B．③④ C．①③ D．①④
【答案】C
【解答】解：①❑√a2+b2是最简二次根式；
√x ❑√5x
②❑ = ，被开方数含分母，不是最简二次根式；
5 5
③❑√x2−xy是最简二次根式；
④❑√27abc=3❑√3abc，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式．
①③是最简二次根式，故选C．
1
【变式2】在式子❑√4、❑√0.5、 ❑√3、❑√a2+b2中，是最简二次根式的有（ ）
2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解答】解：∵❑√4=2，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；
❑√2
❑√0.5= ，被开方数含分母，不是最简二次根式；
2
1
❑√3，被开方数不含能开得尽方的因数，也没有分母，是最简二次根式；
2
❑√a2+b2，被开方数不含能开得尽方的因式，也没有分母，是最简二次根式；
综上所述，是最简二次根式的个数是2个．
故选：B．
√1 ❑√a−b
【变式 3】在式子❑√18，❑ ，❑√0.5m，❑√x2+4，❑√2a， 中，是最简二次根式的式子有（
3 a+b
）个．
A．2 B．3 C．1 D．0
【答案】B
√1
【解答】解：根据条件（1），排除❑ ，❑√0.5m；
3
根据条件（2），排除❑√18．
❑√a−b
最简二次根式有三个：❑√x2+4，❑√2a， ，故选B．
a+b题型02 二次根式的乘法运算
【典例1】计算❑√12×❑√3的结果是（ ）
A．3 B．6 C．❑√6 D．2❑√6
【答案】B
【解答】解：原式=❑√36=6，
故选：B．
【变式1】计算：
√1
（1）❑√3×❑√5； （2）❑ ×❑√27．
3
【答案】（1）❑√15；
（2）3．
【解答】解：（1）❑√3×❑√5=❑√15；
√1
（2）❑ ×❑√27
3
=❑√9
＝3．
【变式2】计算：
√1
（1）❑√5×❑√15 （2）❑√3x⋅❑ xy （3）5❑√3×(−❑√6) （4）❑√12×❑√18×❑√27
3
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）原式=❑√75=❑√52×3=5❑√3；
（2）原式=❑√x2y=x❑√y；
（3）原式＝﹣5❑√18=−15❑√2；
（4）原式＝2❑√3×3❑√2×3❑√3=54❑√2．
【变式3】计算：
1 1 1 √b
（1）❑√3×❑√6 （2）2❑√10×3❑√5×❑√8 （3） ❑√27× ❑√12 （4）3❑√a2b3 ⋅ ❑ ．
3 2 2 a
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）原式=❑√3×6
=❑√18
＝3❑√2；
（2）原式＝2❑√10×3❑√5×2❑√2
＝（2×3×2）❑√10×5×2
＝12❑√100＝120；
（3）原式=❑√3×❑√3
＝3；
1 √ b
（4）原式＝（3× ）❑a2b3×
2 a
3
= ❑√ab4
2
3
= b2❑√a．
2
题型03 二次根式的化简
【典例1】化简：
（1）❑√9= 3 ；（2）❑ √ 3 = ❑√3 ；（3）(❑√3) 2= 3 ；（4）❑√(−5) 2= 5 ．
25 5
❑√3
【答案】（1）3；（2） ；（3）3；（4）5．
5
【解答】解：（1）原式＝3．
故答案为：3；
❑√3 ❑√3
（2）原式= = ．
❑√25 5
❑√3
故答案为： ；
5
（3）原式＝3．
故答案为：3；
（4）❑√(−5) 2=❑√25=5．
故答案为：5．
【变式1】化简．
（1）❑√180．
（2）❑√2a•❑√8a（a≥0）．
（3）3❑√5a•2❑√10b．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）原式=❑√36×5=6❑√5；
（2）∵a≥0，
∴原式=❑√16a2=|4a|＝4a；
（3）原式＝6❑√50ab=30❑√2ab．
【变式2】化简：（1）❑√144×81；
（2）❑√500；
（3）❑√8m2n2（m＞0，n＞0）
（4）❑√5×❑√10．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）❑√144×81=12×9＝108；
（2）❑√500=❑√100×5=10❑√5；
（3）❑√8m2n2（m＞0，n＞0）
＝2❑√2mn；
（4）❑√5×❑√10=5❑√2．
1．下列二次根式中是最简二次根式的是（ ）
√1
A．❑√0.3 B．❑√7 C．❑√12 D．❑
2
【答案】B
❑√30 √1 ❑√2
【解答】解：∵❑√0.3= ，❑√12=2❑√3，❑ = ，
10 2 2
故选：B．
2．计算❑√2×❑√6所得结果是（ ）
A．❑√6 B．❑√8 C．2❑√3 D．❑√12
【答案】C
【解答】解：❑√2×❑√6=❑√12=2❑√3，
故选：C．
3．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
√a
A．❑√0.5 B．❑√9a C．❑√a2+b2 D．❑
2
【答案】C
【解答】解：根据最简二次根式定义：最简二次根式需满足被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数
或因式，逐项分析判断如下：
√1
A：❑√0.5 ＝ ❑ ，被开方数含分母，不是最简二次根式，故该选项不合题意；
2
B：❑√9a ＝ 3❑√a，被开方数含平方因数9，不是最简二次根式，故该选项不合题意；
C：❑√a2+b2，被开方数不含分母且不含平方因式，是最简二次根式，故该选项符合题意；√a
D：❑ ，被开方数含分母，不是最简二次根式，故该选项不合题意．
2
故选：C．
4．下列从左到右的变形不一定正确的是（ ）
A．❑√a •❑√b=❑√ab B．❑√a2=|a|
C．(❑√a) 2=a(a≥0) D．❑√ab =❑√a•❑√b
【答案】D
【解答】解：A、左边❑√a⋅❑√b要求a≥0且b≥0，此时右边❑√ab也有意义且等式成立，变形正确，故此
选项不符合题意；
B、❑√a2=|a|，对任意实数a成立，变形正确，故此选项不符合题意；
C、当a≥0，(❑√a) 2=a成立，变形正确，故此选项不符合题意；
D、左边❑√ab要求ab≥0，但当a＜0且b＜0时，ab＞0左边有意义，右边❑√a⋅❑√b无意义，等式不成立，
故变形不一定正确，故此选项符合题意．
故选：D．
√ a+b
5．二次根式❑√a2+3a+2，❑√−x y3，❑√0.75，❑ 中，其中是最简二次根式的有（ ）
a−b
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【解答】解：❑√a2+3a+2：被开方数可因式分解为（a+1）（a+2），但无完全平方因式，是最简二次
根式，符合题意；
❑√−x y3：被开方数含y2（因y3＝y2•y），可化为|y|❑√−xy，不是最简二次根式，不符合题意；
3 ❑√3
❑√0.75：被开方数0.75= ，分母4是平方数，可化为 ，不是最简二次根式，不符合题意；
4 2
√ a+b
❑ ：被开方数为分式，含分母a﹣b，不是最简二次根式，不符合题意．
a−b
综上，只有1个是最简二次根式．
故选：B．
6．给出四个算式：
√ x √ y
（1）3❑√2×4❑√2=12❑√2；（2）5❑√x•5❑√y=5❑√xy；（3）2❑ •3❑ =6；（4）❑√(−7) 2×6=−7❑√6．
y x
其中正确的算式有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【答案】C
【解答】解：（1）3❑√2×4❑√2=24，故本项错误；
（2）5❑√x•5❑√y=25❑√xy，故本项错误；√ x √ y
（3）2❑ •3❑ =6，故本项正确；
y x
（4）❑√(−7) 2×6=7❑√6，故本项错误．
正确的只有（3）．
故选：C．
7．若❑√x(3−x)=❑√x⋅❑√3−x，化简❑√(x+1) 2+|x−4|的结果是（ ）
A．﹣3 B．5 C．2x﹣3 D．3﹣2x
【答案】B
【解答】解：根据二次根式有意义的条件可得：
∴x≥0，3﹣x≥0，
∴0≤x≤3，
∴x+1＞0，x﹣4＜0，
∴❑√(x+1) 2+|x−4|=x+1+4−x=5．
故选：B．
8．若❑√10与❑√m的积是一个有理数，则m的值可以是（ ）
A．2 B．4 C．9 D．10
【答案】D
【解答】解：A、❑√10×❑√2=❑√20=2❑√5，积不是有理数，不符合题意，
B、❑√10×❑√4=❑√40=2❑√10，积不是有理数，不符合题意，
C、❑√10×❑√9=3❑√10，积不是有理数，不符合题意，
D、❑√10×❑√10=10，积是有理数，符合题意．
故选：D．
9．已知a=❑√2，b=❑√3，用含a、b的代数式表示❑√6（ ）
A．a+b B．2a C．2b D．ab
【答案】D
【解答】解：∵❑√2×❑√3=❑√6，
∴❑√6=❑√2×❑√3=ab．
故选：D．
10．若m＝20222﹣2021×2022，n=❑√20232−4×2022，k=❑√2022×2020，则m，n，k的大小关系是（
）
A．m＜n＜k B．m＜k＜n C．n＜k＜m D．k＜n＜m
【答案】D
【解答】解：m＝20222﹣2021×2022＝2022×（2022﹣2021）＝2022×1＝2022，
∵m＝2022，
∴n=❑√20232−4×2022=❑√(m+1) 2−4×m=❑√(m−1) 2=m−1=2021，∴n＜m，
∵n＝2021，
∴k=❑√2022×2020=❑√(n+1)×(n−1)=❑√n2−1＜❑√n2=n，
∴k＜n＜m．
故选：D．
11．将二次根式❑√50化为最简二次根式 5❑√2 ．
【答案】5❑√2
【解答】解：原式＝5❑√2，
故答案为：5❑√2
12．等式❑√x2−1=❑√x+1⋅❑√x−1成立的条件是 x ≥ 1 ．
【答案】x≥1
【解答】解：由题意可得，
{x+1≥0)
，
x−1≥0
解得x≥1．
13．若 ❑√3a+1 是最简二次根式，且a为整数，则a的最小值是 2 ．
【答案】2．
【解答】解：由题意得3a+1≥0，
1
解得a≥− ，
3
∵a为整数，
∴当a＝0时，❑√3a+1=❑√1，不是最简二次根式，舍去；
当a＝1时，❑√3a+1=❑√4，不是最简二次根式，舍去；
当a＝2时，❑√3a+1=❑√7，是最简二次根式；
故答案为：2．
14．若最简二次根式a+ √12a+5与❑√4a+3b相等，则a＝ 1 ．
【答案】1
【解答】解：根据题意得a+1＝2，2a+5＝4a+3b，
所以a＝1，b＝1．
故答案为1．
15 ． 观 察 下 列 各 式 ： ❑√1+1×2×3×4=12+3×1+1； ❑√1+2×3×4×5=22+3×2+1；
❑√1+3×4×5×6=32+3×3+1．猜测❑√1+100×101×102×103= 1030 1 ．
【答案】10301．
【解答】解：猜测❑√1+100×101×102×103=1002+3×100+1＝10301，
故答案为：10301．16．计算．
（1）❑√15×❑√3；
（2）2❑√14×3❑√7；
√ y
（3）2❑√xy•❑ ；
x
√ 1
（4）❑√144×❑ ．
72
【答案】（1）3❑√5；
（2）42❑√2；
（3）2y；
（4）❑√2．
【解答】解：（1）❑√15×❑√3
=❑√45
＝3❑√5；
（2）2❑√14×3❑√7
＝6❑√14×7
＝6×7❑√2
＝42❑√2；
√ y
（3）2❑√xy•❑
x
＝2❑√y2
＝2y；
√ 1
（4）❑√144×❑
72
=❑√2．
17．已知b−√a3b和❑√2b−a+2是相等的最简二次根式．
（1）求a，b的值；
（2）求❑√b3+a2014的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵b−√a3b和❑√2b−a+2是相等的最简二次根式，
{ b−a=2 )
∴ ．
3b=2b−a+2
{a=0)
解得， ，
b=2
∴a的值是0，b的值是2；（2）❑√b3+a2014=❑√23=2❑√2．
18．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：3+2
❑√2=1+2❑√2+2＝（1+❑√2）2，善于思考的小明进行了以下探索：设a+b❑√2=（m+n❑√2）2（其中a、b、
m、n均为整数），则有a+b❑√2=m2+2n2+2mn❑√2．∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把部
分a+b❑√2的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b❑√3=（m+n❑√3）2，用含m、n的式子分别表示a、b的值；
（2）试着把7+4❑√3化成一个完全平方式．
【答案】（1）a＝m2+3n2，b＝2mn；
（2）7+4❑√3=（2+❑√3）2．
【解答】解：（1）∵a+b❑√3=（m+n❑√3）2，
∴a+b❑√3=m2+2❑√3mn+3n2，
∴a＝m2+3n2，b＝2mn；
（2）7+4❑√3=4+4❑√3+3＝（2+❑√3）2．
√ 2 √8 √22×2 √2
19．【阅读材料】先来看一个有趣的现象：❑2 =❑ =❑ =2❑ ，这个根号里的2经过适当的演变，
3 3 3 3
竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”．具有这现象的数还有许多，例如：
√ 3 √3 √ 4 √ 4
❑3 =3❑ ，❑4 =4❑ 等．
8 8 15 15
√ 5 √ 5
【猜想】（1）❑5 = 5❑ ，并证明你的猜想；
24 24
【推理证明】（2）请你用一个正整数n（n为“穿墙”数，n≥2）表示含有上述规律的等式，并给出证
明．
√ 8 √8
【创新应用】（3）按此规律，若❑a+ =a❑ （a，b为正整数），则a+b的值为 7 1 ．
b b
√ 5
【答案】【猜想】（1）5❑ ，证明见解析；【推理证明】（2）见解析；【创新应用】（3）71．
24
√ 5 √ 5
【解答】解：（1）❑5 =5❑ ，证明如下，
24 24
√ 5 √24×5+5 √52×5 √ 5
❑5 =❑ =❑ =5❑ ，
24 24 24 24
√ 5
故答案为：5❑ ；
24
√ n √ n
（2）❑n =n❑ ，证明如下，
n2−1 n2−1√ n √n3−n+n √n2 ⋅n √ n
❑n =❑ =❑ =n❑ ；
n2−1 n2−1 n2−1 n2−1
（3）由条件可知a＝8，b＝a2﹣1，
∴b＝82﹣1＝63，
∴a+b＝8+63＝71，
故答案为：71．
20．探究过程：（1）❑√62+13；（2）❑√132+27；（3）❑√252+51；（4）❑√312+63
观察计算过程：
❑√62+13=❑√62+2×6+1=❑√(6+1) 2=6+1=7
❑√132+27=❑√132+2×13+1=❑√(13+1) 2=13+1=14
❑√252+51=❑√252+2×25+1=❑√(25+1) 2=25+1=26
❑√2532+507=❑√2532+2×253+1=❑√(253+1) 2=253+1=254
（1）按照上面的思路解法，计算❑√492+99；
（2）请你用含n（n＞0）的式子表示上面过程中的规律；
（3）应用根据上面解题方法解决下面的数学问题：
如图，已知图1是边长为756和❑√1513的两个正方形，图2是由图1通过切割后拼成的一个大正方形，
请求出大正方形的边长．
【答案】（1）50；（2）❑√n2+2n+1=❑√(n+1) 2=n+1；（3）757．
【解答】解：（1）由题意可得，
❑√492+99=❑√492+2×49×1+12=❑√(49+1) 2=50；
（2）由探究规律可得，
❑√n2+2n+1=❑√(n+1) 2=n+1；
（3）设大正方形的边长为a，
由图1和图2的面积相等可得：7562+(❑√1513) 2=a2，即7562+1513＝a2，
∴a=❑√7562+1513=❑√7562+2×756×1+12=❑√(756+1) 2=757，
即大正方形的边长为757．
