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专题 19.3 二次根式的乘法
1. 掌握最简二次根式的概念，并能够熟练的判断二次根式是否为最简二次根式。
教学目标 2. 掌握二次根式的乘法运算法则，并能够熟练的对二次根式进行乘法运算。
3. 掌握积的算术平方根的性质，并能够结合二次根式的性质对二次根式进行化简。
1. 重点
（1）最简二次根式；
（2）二次根式的乘法运算法则；
教学重难点 （3）积的算术平方根。
2. 难点
（1）判断被开放式是式子的最简二次根式；
（2）利用二次根式的乘法以及积的算术平方根对二次根式进行计算化简。知识点01 最简二次根式
1. 最简二次根式满足的三个条件：
①被开方数不含开方开的尽的数。
②根号下面不含分母。
③分母里面不含根号。
注意：若被开方数是多项式时，要判断多项式能否进行因式分解，若不能进行因式分解，则为最简二
次根式；若能进行因式分解，且分解的结果没有相同的式子，则也为最简二次根式。
【即学即练1】
1．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
√1
A．❑√5 B．❑ C．❑√0.2 D．❑√16
3
【即学即练2】
2．在下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A．❑√1.3x B．❑√a2+a8 C．❑√a2+b2 D．❑√18
知识点02 二次根式的乘法
1. 二次根式的乘法法则：
几个二次根式相乘，根指数不变，把被开方数相乘。即 。
拓展：
【即学即练1】
3．计算：❑√3×❑√2=（ ）
A．6 B．❑√6 C．❑√5 D．1
【即学即练2】
4．计算❑√8×❑√2的结果是（ ）
A．❑√10 B．❑√6 C．4 D．2
知识点03 积的算术平方根的性质
1. 积的算术平方根的性质：
两个非负数的积的算术平方根等于 。即
。
【即学即练1】
√1
5．化简计算❑ ×❑√32正确的结果是（ ）
8A．4 B．2 C．2❑√2 D．❑√2
【即学即练2】
6．阅读材料，解答问题：
（1）计算下列各式：
❑√4×9=6，❑√4×❑√9=6；
❑√16×25= ，❑√16×❑√25= ．
通过以上计算：猜想得出❑√a⋅b（a＞0，b＞0）＝ ，
（2）运用（1）中的结论进行化简：
例如：❑√8=❑√4×2=❑√4×❑√2=2❑√2：❑√24=❑√4×6=❑√4×❑√6=2❑√6．
请化简：
①❑√27；
②❑√9ab2（a＞0，b＞0）．
【即学即练3】
7．计算：
√1
（1）❑√18a⋅❑√2a(a≥0)； （2）2❑√3×❑ ； （3）❑√14×❑√35；
3
2
（4）2❑√5a⋅❑√10a(a≥0)； （5）3a❑√12ab⋅(− ❑√6b)（a≥0；
3
b≥0）．题型01 判断最简二次根式
【典例1】下列各式是最简二次根式的是（ ）
√5
A．❑√13 B．❑√12 C．❑√a2 D．❑
3
√x
【变式1】在根式①❑√a2+b2②❑ ③❑√x2−xy④❑√27abc中，最简二次根式是（ ）
5
A．①② B．③④ C．①③ D．①④
1
【变式2】在式子❑√4、❑√0.5、 ❑√3、❑√a2+b2中，是最简二次根式的有（ ）
2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
√1 ❑√a−b
【变式 3】在式子❑√18，❑ ，❑√0.5m，❑√x2+4，❑√2a， 中，是最简二次根式的式子有（
3 a+b
）个．
A．2 B．3 C．1 D．0
题型02 二次根式的乘法运算
【典例1】计算❑√12×❑√3的结果是（ ）
A．3 B．6 C．❑√6 D．2❑√6
【变式1】计算：
√1
（1）❑√3×❑√5； （2）❑ ×❑√27．
3
【变式2】计算：
√1
（1）❑√5×❑√15 （2）❑√3x⋅❑ xy （3）5❑√3×(−❑√6) （4）❑√12×❑√18×❑√27
3
【变式3】计算：
1 1 1 √b
（1）❑√3×❑√6 （2）2❑√10×3❑√5×❑√8 （3） ❑√27× ❑√12 （4）3❑√a2b3 ⋅ ❑ ．
3 2 2 a
题型03 二次根式的化简【典例1】化简：
（1）❑√9= ；（2）❑ √ 3 = ；（3）(❑√3) 2= ；（4）❑√(−5) 2= ．
25
【变式1】化简．
（1）❑√180． （2）❑√2a•❑√8a（a≥0）． （3）3❑√5a•2❑√10b．
【变式2】化简：
（1）❑√144×81； （2）❑√500；
（3）❑√8m2n2（m＞0，n＞0） （4）❑√5×❑√10．
1．下列二次根式中是最简二次根式的是（ ）√1
A．❑√0.3 B．❑√7 C．❑√12 D．❑
2
2．计算❑√2×❑√6所得结果是（ ）
A．❑√6 B．❑√8 C．2❑√3 D．❑√12
3．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
√a
A．❑√0.5 B．❑√9a C．❑√a2+b2 D．❑
2
4．下列从左到右的变形不一定正确的是（ ）
A．❑√a •❑√b=❑√ab B．❑√a2=|a|
C．(❑√a) 2=a(a≥0) D．❑√ab =❑√a•❑√b
√ a+b
5．二次根式❑√a2+3a+2，❑√−x y3，❑√0.75，❑ 中，其中是最简二次根式的有（ ）
a−b
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
6．给出四个算式：
√ x √ y
（1）3❑√2×4❑√2=12❑√2；（2）5❑√x•5❑√y=5❑√xy；（3）2❑ •3❑ =6；（4）❑√(−7) 2×6=−7❑√6．
y x
其中正确的算式有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
7．若❑√x(3−x)=❑√x⋅❑√3−x，化简❑√(x+1) 2+|x−4|的结果是（ ）
A．﹣3 B．5 C．2x﹣3 D．3﹣2x
8．若❑√10与❑√m的积是一个有理数，则m的值可以是（ ）
A．2 B．4 C．9 D．10
9．已知a=❑√2，b=❑√3，用含a、b的代数式表示❑√6（ ）
A．a+b B．2a C．2b D．ab
10．若m＝20222﹣2021×2022，n=❑√20232−4×2022，k=❑√2022×2020，则m，n，k的大小关系是（
）
A．m＜n＜k B．m＜k＜n C．n＜k＜m D．k＜n＜m
11．将二次根式❑√50化为最简二次根式 ．
12．等式❑√x2−1=❑√x+1⋅❑√x−1成立的条件是 ．
13．若 ❑√3a+1 是最简二次根式，且a为整数，则a的最小值是 ．
14．若最简二次根式a+ √12a+5与❑√4a+3b相等，则a＝ ．
15 ． 观 察 下 列 各 式 ： ❑√1+1×2×3×4=12+3×1+1； ❑√1+2×3×4×5=22+3×2+1；
❑√1+3×4×5×6=32+3×3+1．猜测❑√1+100×101×102×103= ．
16．计算．√ y √ 1
（1）❑√15×❑√3； （2）2❑√14×3❑√7； （3）2❑√xy•❑ ； （4）❑√144×❑ ．
x 72
17．已知b−√a3b和❑√2b−a+2是相等的最简二次根式．
（1）求a，b的值；
（2）求❑√b3+a2014的值．
18．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：3+2
❑√2=1+2❑√2+2＝（1+❑√2）2，善于思考的小明进行了以下探索：设a+b❑√2=（m+n❑√2）2（其中a、b、
m、n均为整数），则有a+b❑√2=m2+2n2+2mn❑√2．∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把部
分a+b❑√2的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b❑√3=（m+n❑√3）2，用含m、n的式子分别表示a、b的值；
（2）试着把7+4❑√3化成一个完全平方式．
√ 2 √8 √22×2 √2
19．【阅读材料】先来看一个有趣的现象：❑2 =❑ =❑ =2❑ ，这个根号里的2经过适当的演变，
3 3 3 3竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”．具有这现象的数还有许多，例如：
√ 3 √3 √ 4 √ 4
❑3 =3❑ ，❑4 =4❑ 等．
8 8 15 15
√ 5
【猜想】（1）❑5 = ，并证明你的猜想；
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【推理证明】（2）请你用一个正整数n（n为“穿墙”数，n≥2）表示含有上述规律的等式，并给出证
明．
√ 8 √8
【创新应用】（3）按此规律，若❑a+ =a❑ （a，b为正整数），则a+b的值为 ．
b b
20．探究过程：（1）❑√62+13；（2）❑√132+27；（3）❑√252+51；（4）❑√312+63
观察计算过程：
❑√62+13=❑√62+2×6+1=❑√(6+1) 2=6+1=7
❑√132+27=❑√132+2×13+1=❑√(13+1) 2=13+1=14
❑√252+51=❑√252+2×25+1=❑√(25+1) 2=25+1=26
❑√2532+507=❑√2532+2×253+1=❑√(253+1) 2=253+1=254
（1）按照上面的思路解法，计算❑√492+99；
（2）请你用含n（n＞0）的式子表示上面过程中的规律；
（3）应用根据上面解题方法解决下面的数学问题：
如图，已知图1是边长为756和❑√1513的两个正方形，图2是由图1通过切割后拼成的一个大正方形，
请求出大正方形的边长．
