文档内容
专题1 与垂线有关的计算与证明（原卷版）
第一部分 典例精析+变式训练
类型一 运用垂直的定义直接计算
典例1（2020•谷城县校级模拟）如图所示，直线 AB、CD相交于点O，OE⊥AB于O，∠COE＝55°，则
∠BOD的度数是（ ）
A．40° B．45° C．30° D．35°
变式训练
1．（2021春•江夏）如图所示，直线AB⊥CD于点O，直线EF经过点O，若∠1＝37°，则∠2的度数是（
）
A．37° B．53° C．43° D．63°
典例2 （2021秋•松阳县期末）如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝40°．
（1）若OE⊥CD，求∠BOE的度数；（2）若OA平分∠COE，求∠DOE的度数．
变式训练2
2．（2021秋•盱眙县期末）如图，直线AB与直线MN相交，交点为O，OC⊥AB，OA平分∠MOD，若
∠BON＝25°，求∠COD的度数．典例3（2022春•阳高县月考）如图，直线BC与MN相交于点O，AO⊥BC，OE平分∠BON，若∠EON＝
21°，求∠AOM的度数．
变式训练
1．（2022春•东莞市月考）如图，已知直线AB，CD，EF相交于点O，AB⊥CD，∠COE＝53°，求∠DOF
与∠BOF的度数．
类型二 运用方程思想进行计算
典例4（2021春•集贤县期中）如图，直线 AB、CD相交于点 O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE，
∠AOD：∠BOE＝4：1，求∠DOE和∠AOF的度数．
变式训练
1
1．如图，AO⊥BO，CO⊥DO，∠AOC= ∠BOC，求∠BOD的度数．
3典例5 （2021秋•泊头市期末）如图，点O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．
（1）如图1，若∠AOC＝40°，求∠DOE的度数；
1
（2）如图2，若∠COE= ∠DOB，求∠AOC的度数．
3
变式训练
1．如图，AB、CD、EF相交于点O，EF⊥AB，OG、OH分别为∠COF、∠DOG的平分线，若∠AOC：
∠COG＝4：7，则∠DOF＝ ，∠DOH＝ ．
2．（2021秋•城厢区期末）如图，直线MD、CN相交于点O，OA是∠MOC内的一条射线，OB是∠NOD
内的一条射线，∠MON＝70°．
1
（1）若∠BOD= ∠COD，求∠BON的度数；
2
（2）若∠AOD＝2∠BOD，∠BOC＝3∠AOC，求∠BON的度数．类型三 用计算的方法证明两直线垂直
典例6（2022春•郾城区校级月考）如图，已知∠1＝142°，∠ACB＝38°，CD平分∠ACB，∠2＝∠3，
FH⊥AB于H．试判断AB与CD有什么位置关系？并说明理由．
变式训练
1．（2021春•秦都区月考）如图，直线AB，CD相交于点O，OF平分∠BOE，∠DOF＝25°，∠AOC＝
40°，OE与CD垂直吗？为什么？
典例7 （2019•衢江区开学）如图，点O是直线AB上一点，∠AOC＝30°，OD平分∠AOC，∠COE＝
75°．
（1）则DO⊥OE，请说明理由；
（2）OE平分∠BOC吗？请说明理由．
变式训练
1．（蔡甸区期中）如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝28°，∠BOF＝59°，OF平分∠DOE，OE与
AB垂直吗？为什么？第二部分 专题提优训练
1．（2022•桐柏县一模）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O，∠EOC＝40°，求∠AOD
的度数（ ）
A．110° B．120° C．130° D．140°
第1题图 第2题图 第3题图
2．（2022春•福清市期中）如图，点O在直线CD上，已知∠1＝25°，OB⊥OA，则∠BOD等于（ ）
A．25° B．65° C．75° D．90°
3．（2020秋•南岗区期末）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为点O，若∠AOD＝132°，
则∠EOC＝ °．
4．（2020春•兴国县期末）如图，已知直线AB、CD、EF相交于点O，OG⊥CD，∠BOD＝24°．
（1）求∠AOG的度数；
（2）若OC是∠AOE的平分线，那么OG是∠AOF的平分线吗？说明你的理由．
5．（2021春•双辽市期末）如图，直线 AB，CD，EF相交于点O，且AB⊥CD，OG平分∠BOE，若
1
∠EOG= ∠AOE，求∠DOF的度数．
36．如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB．
（1）若∠1＝∠2，判断ON与CD的位置关系，请将下面的解题过程补充完整，在括号内填写理由．
解：ON CD．理由如下：
因为OM⊥AB，所以∠AOM＝ °（ ）
所以∠1+∠AOC＝90°．又因为∠1＝∠2，
所以 +∠AOC＝90°（等量代换），
即∠CON＝90°，所以 （ ）
（2）若∠BOC＝4∠1，求∠MOD的度数．
7．（2020秋•和平区期末）平面内两条直线AB、CD相交于点O，∠EOF＝90°，OB平分∠COF．
（1）如图1：
①若∠AOE＝20°，则∠DOF＝ °；
②请写出∠DOF和∠AOE的数量关系，并说明理由．
（2）如图2，∠DOF与∠AOE的数量关系是 ．
8．如图，已知钝角∠ABC．
（1）在钝角∠ABC外，过点B作射线BE，射线BD，使BE⊥AB，BD⊥BC．5
（2）在（1）的情况下，若∠EBD= ∠ABC，试求∠EBD和∠ABC的度数．
7
9．（未央区期末）如图，∠BOC＝2∠AOC，OD是∠AOB的平分线，且∠COD＝18°，求∠AOC的度数．
10．（2022春•大荔县期末）如图，已知直线AB，CD相交于点O，∠COE＝90°．若∠BOD：∠BOC＝
1：5，求∠AOE的度数．
11．（2019春•工业园区期末）如图，已知∠ADB＝∠BCE，∠CAD+∠E＝180°．
（1）判断AC与EF的位置关系，并说明理由；
（2）若CA平分∠BCE，EF⊥AF于点F，∠ADB＝80°，求∠BAD的度数．
12．（2022•江阴市期末）如图，直线 AB与CD相交于O，OE是∠COB的平分线，OE⊥OF．∠AOD＝
74°
（1）求∠BOE的度数；
（2）试说明OF平分∠AOC．13．（2022 秋•滑县期末）如图，直线 AB 与 CD 相交于点 O，OP 是∠BOC 的平分线，OE⊥AB，
OF⊥CD．如果∠AOD＝40°，求∠POF的度数．
14．（2020春•石城县期中）平面内两条直线EF、CD相交于点O，OA⊥OB，OC恰好平分∠AOF．
（1）如图1，若∠AOE＝40°，求∠BOD的度数；
（2）在图1中，若∠AOE＝x°，请求出∠BOD的度数（用含有 x的式子表示），并写出∠AOE和
∠BOD的数量关系；
（3）如图2，当OA，OB在直线EF的同侧时，∠AOE和∠BOD的数量关系是否会发生改变？若不变，
请直接写出它们之间的数量关系；若发生变化，请说明理由．
