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专题19线段和角的定值问题（解析版）
第一部分 教学案
类型一 线段中的定值问题
1
1．（2019秋•北仑区期末）如图，C为射线AB上一点，AB＝30，AC比BC的 多5，P、
4
Q两点分别从A、B两点同时出发，分别以2个单位/秒和1个单位/秒的速度在射线AB
上沿AB方向运动，当点P运动到点B时，两点同时停止运动，运动时间为t（s），M
1
为BP的中点，N为MQ的中点，以下结论：①BC＝2AC；②AB＝4NQ；③当BP=
2
BQ时，t＝12；④M，N两点之间的距离是定值．其中正确的结论 （填写序号）
思路引领：根据线段中点的定义和线段的和差关系即可得到结论．
1
解：∵AB＝30，AC比BC的 多5，
4
∴BC＝20，AC＝10，
∴BC＝2AC；故①正确；
∵P，Q两点分别从A，B两点同时出发，分别以2个单位/秒和1个单位/秒的速度，
∴BP＝30﹣2t，BQ＝t，
∵M为BP的中点，N为MQ的中点，
1 1
∴PM= BP＝15﹣t，MQ＝MB+BQ＝15，NQ= MQ＝7.5，
2 2
∴AB＝4NQ；故②正确；
1
∵BP=30-2t，BQ=t，BP= BQ，
2
t
∴30-2t= ，解得：t＝12，故③正确，
2
∵BP＝30﹣2t，BQ＝t，
1
∴BM= PB＝15﹣t，
2
∴MQ＝BM+BQ＝15﹣t+t＝15，
1 15
∴MN= MQ= ，
2 2
∴MN的值与t无关是定值，
故答案为：①②③④．
总结提升：本题考查两点间的距离，解题的关键是求出P到达B点时的时间，以及点P
与Q重合时的时间，涉及分类讨论的思想．2．（2020秋•东西湖区期末）如图，已知直线l上有两条可以左右移动的线段：AB＝a，
CD＝b，且a，b满足|a﹣2|+（b﹣6）2＝0．M为线段AB的中点，N为线段CD中点．
（1）求线段AB、CD的长；
（2）若线段AB以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时线段CD以每秒1个单位长
的速度也向右运动，在运动前A点表示的数为﹣2．BC＝6，设运动时间为t秒，求t为
何值时，MN＝4；
（3）若将线段CD固定不动，线段AB以每秒2个单位长度的速度向右运动，在运动前
AD＝36，在线段AB向右运动的某一个时间段内，始终有MN+BC为定值，求出这个定
值，并求出t的取值范围．
思路引领：（1）根据非负数的性质即可得到结论；
（2）t秒后点M表示的数是﹣1+2t，点N表示的数是9+t，然后根据MN＝4列出方程可
得答案；
（3）根据题意分类讨论得到结果．
解：（1）∵|a﹣2|+（b﹣6）2＝0，
∴a﹣2＝0，b﹣6＝0，
∴a＝2，b＝6，
∴AB＝2，CD＝6；
（2）∵运动前A点表示的数为﹣2，BC＝6，
∴点B表示的数是0，点C、D表示的数分别是6和12，
∵M为线段AB的中点，N为线段CD中点，
∴点M、N表示的数分别是﹣1和9，
t秒后点M表示的数是﹣1+2t，点N表示的数是9+t，
∴|（﹣1+2t）﹣（9+t）|＝4，
解得t＝14或6，
答：t＝14秒或6秒时，MN＝4；
（3）运动t秒后，MN＝|32﹣2t|，BC＝|28﹣2t|，
当0≤t＜14时，MN+BC＝32﹣2t+28﹣2t＝60﹣4t，
当14≤t≤16时，MN+BC＝32﹣2t+2t﹣28＝4，
当t＞16时，MN+BC＝2t﹣32+2t﹣28＝4t﹣60，
∴当14≤t≤16时，MN+BC为定值．
总结提升：本题主要考查了非负数的性质，一元一次方程的应用以及数轴和两点间的距
离等知识，解答本题的关键是掌握两点间的距离公式，解答第三问注意分类讨论思想，
此题难度不大．
3．（2020秋•遵化市期末）如图，已知线段AB＝m，CD＝n，线段CD在直线AB上运动
（点A在点B的左侧，点C在点D的左侧），若|m﹣12|+（6﹣n）2＝0．
（1）求线段AB，CD的长；（2）若点M，N分别为线段AC，BD的中点，BC＝4，求线段MN的长；
（3）当CD运动到某一时刻时，点D与点B重合，点P是线段AB的延长线上任意一点，
PA-PB PA+PB
下列两个结论：① 是定值，② 是定值，请选择你认为正确的一个并
PC PC
加以说明．
思路引领：（1）先由|m﹣12|+（6﹣n）2＝0，根据非负数的性质求出n＝6，m＝12，即
可得到AB＝12，CD＝6；
（2）需要分类讨论：①如图1，当点C在点B的右侧时，根据“M、N分别为线段
AC、BD的中点”，先计算出AM、DN的长度，然后计算MN＝AD﹣AM﹣DN；②如图
2，当点C位于点B的左侧时，利用线段间的和差关系求得MN的长度；
（3）计算①或②的值是一个常数的，就是符合题意的结论．
解：（1）∵|m﹣12|+（6﹣n）2＝0，
∴|m﹣12|＝﹣（6﹣n）2，
∴m﹣12＝0，6﹣n＝0，
∴n＝6，m＝12，
∴AB＝12，CD＝6；
（2）如图1，∵M、N分别为线段AC、BD的中点，
1 1
∴AM= AC= （AB+BC）＝8，
2 2
1 1
DN= BD= （CD+BC）＝5，
2 2
∴MN＝AD﹣AM﹣DN＝9；
如图2，∵M、N分别为线段AC、BD的中点，
1 1
∴AM= AC= （AB﹣BC）＝4，
2 2
1 1
DN= BD= （CD﹣BC）＝1，
2 2
∴MN＝AD﹣AM﹣DN＝12+6﹣4﹣4﹣1＝9；
（3）②正确．理由如下：
PA+PB (PC+AC)+(PC-CB) 2PC
∵ = = =2，
PC PC PC
PA+PB
∴② 是定值2．
PC总结提升：本题考查了一元一次方程的应用，比较线段的长短．利用中点性质转化线段
之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解
题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分
关键的一点．
4．（2018秋•江夏区期末）已知，如图所示，一条直线上依次有A、B、C三个点．
（1）若BC＝10，AC＝3AB，求AB的长；
BC
（2）若点D是射线CB上一点，点M为BD中点，点N为CD中点，求 的值；
MN
（3）当点P在线段BC的延长线上运动时，点E是AP的中点，点F是BC的中点（E，
EF EF
F不重合）．下列结论中：① 是定值；② 是定值，其中只有一个结
AC+BP AC-BP
论正确，请选择正确结论并求出其值．
思路引领：（1）由AC＝AB+BC＝3AB可得；
（2）分三种情况：①D在BC之间时②D在AB之间时③D在A点左侧时；
（3）分三种情况讨论：①F、E在BC之间，F在E左侧②F在BC之间，E在CP之
间③F、E在BC之间，F在E右侧；
解：（1）∵BC＝10，AC＝AB+BC＝3AB，
∴AB＝5；
（2）∵点M为BD中点，点N为CD中点，
∴BM＝BD，DN＝NC，
①D在BC之间时：
BC＝BD+CD＝2MD+2DN＝2MN，
BC
∴ = 2；
MN
②D在AB之间时：BC＝DC﹣DB＝2DN﹣2MB＝2（BN+2MB）﹣2MB＝2BN+2MB＝2MN，
BC
∴ = 2；
MN
③D在A点左侧时：
BC＝DN﹣NB＝MN+DM﹣NB＝MN+MB﹣NB＝MN+MN+NB﹣NB＝2MN，
BC
∴ = 2；
MN
BC
故 = 2；
MN
（3）点E是AP的中点，点F是BC的中点．
∴AE＝EP，BF＝CF，
①F、E在BC之间，F在E左侧，
1 1 1 1
EF＝FC﹣EC= BC﹣AC+AE= （AC﹣AB）﹣AC+AE＝AE- AB- AC，
2 2 2 2
BP＝AP﹣AB＝2AE﹣AB，
AC﹣BP＝AC﹣2AE+AB，
EF 1
∴ =- ．
AC-BP 2
②F在BC之间，E在CP之间，
1 1 1 1 1
EF= BC+CE= BC+AE﹣AC= （AC﹣AB）+AE﹣AC＝AE- AB- AC，
2 2 2 2 2
BP＝AP﹣AB＝2AE﹣AB，
AC﹣BP＝AC+AB﹣2AE，
EF 1
∴ =- ．
AC-BP 2
③F、E在BC之间，F在E右侧，
1 1 1 1 1
EF＝CE﹣CF＝CE- BC＝AC﹣AE- BC＝AC﹣AE- （AC﹣AB）= AC﹣AE+
2 2 2 2 2
AB，
BP＝AP﹣AB＝2AE﹣AB，∴AC﹣BP＝AC+AB﹣2AE，
EF 1
∴ = ，
AC-BP 2
EF 1
∴只能是② 是定值，定值为 ．
AC-BP 2
总结提升：本题考查线段之间量的关系，结合图形，能够考虑到所有分类是解题的关键．
5．（越秀区期末）已知线段AB＝8（点A在点B的左侧）
（1）若在直线AB上取一点C，使得AC＝3CB，点D是CB的中点，求AD的长；
（2）若M是线段AB的中点，点P是线段AB延长线上任意一点，请说明PA+PB﹣2PM
是一个定值．
思路引领：（1）①当点C在线段AB上时，如图1，②当点C在线段AB的延长线上时，
如图2，③当点C在BA的延长线上时，明显，次情况不存在；列方程即可得到结论；
1
（2）如图3，设BP＝x，则PA＝AB+BP＝8+x，PM= AB+BP＝4+x，代入PA+PB﹣
2
2PM即可得到结论．
解：（1）①当点C在线段AB上时，如图1，
∵AC＝3BC，
设BC＝x，则AC＝3x，
∵AB＝AC+BC，
∴8＝3x+x，
∴x＝2，
∴BC＝2，AC＝6，
∵点D是CB的中点，
1
∴CD＝BD= BC＝1，
2
∴AD＝AC+CD＝6+1＝7；
②当点C在线段AB的延长线上时，如图2，
设BC＝x，AC＝3BC＝3x，
∵AB＝AC﹣BC＝2x＝8，
∴x＝4，
∴BC＝4，AC＝12，AB＝8，
∵点D是CB的中点，
1
∴BD＝CD= BC＝2，
2
∴AD＝AB+BD＝8+2＝10；
③当点C在BA的延长线上时，明显，次情况不存在；
综上所述，AD的长为7或10；1
（2）如图3，设BP＝x，则PA＝AB+BP＝8+x，PM= AB+BP＝4+x，
2
∴PA+PB﹣2PM＝8+x+x﹣2（4+x）＝0，
∴PA+PB﹣2PM是一个定值0．
总结提升：本题考查了两点间的距离，线段中点的定义，正确的作出图形是解题的关键．
6．（2020秋•奉化区校级期末）如图，已知直线l有两条可以左右移动的线段：AB＝m，
CD＝n，且m，n满足|m﹣4|+（n﹣8）2＝0．
（1）求线段AB，CD的长；
（2）线段AB的中点为M，线段CD中点为N，线段AB以每秒4个单位长度向右运动，
线段CD以每秒1个单位长度也向右运动，若运动6秒后，MN＝4，求线段BC的长；
（3）将线段CD固定不动，线段AB以每秒4个单位速度向右运动，M、N分别为AB、
CD中点，BC＝24，在线段AB向右运动的某一个时间段t内，始终有MN+AD为定值．
求出这个定值，并直接写出t在哪一个时间段内．
思路引领：（1）根据非负数的性质即可得到结论；
（2）若6秒后，M’在点N’左边时，若6秒后，M’在点N’右边时，根据题意列方
程即可得到结论；
（3）根据题意分类讨论于是得到结果．
解：（1）∵|m﹣4|+（n﹣8）2＝0，
∴m﹣4＝0，n﹣8＝0，
∴m＝4，n＝8，
∴AB＝4，CD＝8；
（2）若6秒后，M’在点N’左边时，
由MN+NN’＝MM’+M’N’，
即2+4+BC+6×1＝6×4+4，
解得BC＝16，
若6秒后，M’在点N’右边时，
则MM’＝MN+NN’+M’N’，
即6×4＝2+BC+4+6×1+4，解得BC＝8，
（3）运动t秒后 MN＝|30﹣4t|，AD＝|36﹣4t|，
当0≤t＜7.5时，MN+AD＝66﹣8t，
当7.5≤t≤9时，MN+AD＝6，
当t≥9时，MN+AD＝8t﹣66，
∴当7.5≤t≤9时，MN+AD为定值．
总结提升：本题主要考查了非负数的性质，一元一次方程的应用以及数轴和两点间的距
离等知识，解答本题的关键是掌握两点间的距离公式，解答第三问注意分类讨论思想，
此题难度不大．
7．（2022秋•平南县月考）如图AB＝48，C为线段AB的延长线上一点，M，N分别是
AC，BC的中点．
（1）若BC＝10，求MN的长；
（2）若BC的长度为不定值，其它条件不变，MN的长还是定值吗？若是，请求出MN
的长；若不是，请说明理由．
思路引领：（1）根据线段中点的性质，可得CM，CN的长，根据线段的和差，可得答
案；
（2）根据线段中点的性质，可得CM，CN的长，根据线段的和差，可得答案．
解：（1）由已知得AC＝AB+BC＝58．
由M，N分别是AC，BC的中点，得
CM＝29，NC＝5．
由线段的和差，得
MN＝CM﹣NC＝29+5＝24；
（2）若BC的长度为不定值，其它条件不变，MN的长是定值．
由M，N分别是AC，BC的中点，得
1 1
CM= （AB+BC），CN= BC，
2 2
MN＝CM﹣NC
1 1
= （AB+BC）-
BC
2 2
1
= AB
2
＝24．
总结提升：本题考查了两点间的距离，利用线段中点的性质得出MC，NC的长是解题关
键，又利用了线段的和差．
类型二 角中的定值问题
8．（2017秋•宁海县期末）如图，已知在同一平面内OA⊥OB，OC是OA绕点O顺时针方向旋转 （ ＜90°）度得到，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．
（1）若 ＝60即∠AOC＝60°时，则∠BOC＝ °，∠DOE＝ °．
α α
（2）在 的变化过程中，∠DOE的度数是一个定值吗？若是定值，请求出这个值；若
α
不是定值，请说明理由．
α
思路引领：（1）先得到∠BOC＝∠AOB+∠AOC＝150°，再根据角平分线的定义得到
∠DOC＝75°，∠EOC＝30°，然后计算∠DOC﹣∠EOC得到∠DOE的度数；
1 1 1 1
（2）根据角平分线的定义∠DOC= ∠BOC＝45°+ ，∠EOC= ∠AOC= ，所以
2 2 2 2
∠DOE＝∠DOC﹣∠EOC＝45°，从而可判断∠DOE的α度数是一个定值． α
解：（1）∵OA⊥OB，
∴∠AOB＝90°，
∴∠BOC＝∠AOB+∠AOC＝90°+60°＝150°，
∵OD平分∠BOC，
1
∴∠DOC= ∠BOC＝75°，
2
∵OE平分∠AOC，
1
∴∠EOC= ∠AOC＝30°，
2
∴∠DOE＝∠DOC﹣∠EOC＝75°﹣30°＝45°；
故答案为150°；45°；
（2）在 的变化过程中，∠DOE的度数是一个定值，为45°．
∵OD平分∠BOC，
α
1 1 1
∴∠DOC= ∠BOC= （90°+ ）＝45°+
2 2 2
∵OE平分∠AOC， α α
1 1
∴∠EOC= ∠AOC= ，
2 2
α 1 1
∴∠DOE＝∠DOC﹣∠EOC＝45°+ - ＝45°，
2 2
即∠DOE的度数是一个定值． α α总结提升：本题考查了角度的计算：会利用几何图形计算角度的和与差．也考查了角平
分线的定义．
9．（2020秋•平山区校级期中）已知∠AOB＝110°，∠COD＝40°，OE平分∠AOC，OF
平分∠BOD．
（1）如图1，当OB、OC重合时，∠AOE﹣∠BOF＝ ；
（2）如图2，当∠COD从图1所示位置绕点O以每秒3°的速度顺时针旋转t秒（0＜t＜
10），在旋转过程中∠AOE﹣∠BOF的值是否会因t的变化而变化，若不发生变化，请
求出该定值；若发生变化，请说明理由．
思路引领：（1）首先根据角平分线的定义求得∠AOE和∠BOF的度数，然后根据
∠AOE﹣∠BOF求解；
（2）首先由题意得∠BOC＝3t°，再根据角平分线的定义得∠AOC＝∠AOB+3t°，
∠BOD＝∠COD+3t°，然后由角平分线的定义解答即可．
解：（1）∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
1 1 1 1
∴∠AOE= ∠AOC= ×110°＝55°，∠BOF= ∠BOD= ×40°＝20°，
2 2 2 2
∴∠AOE﹣∠BOF＝55°﹣20°＝35°．
故答案为：35°；
（2）∠AOE﹣∠BOF的值是定值．
由题意∠BOC＝3t°，
则∠AOC＝∠AOB+3t°＝110°+3t°，∠BOD＝∠COD+3t°＝40°+3t°，
∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，1 1 3 1 1
∴∠AOE= ∠AOC= （110°+3t°）＝55°+ t°，∠BOF= ∠BOD= （40°+3t°）＝20°
2 2 2 2 2
3
+ t°，
2
3 3
∴∠AOE﹣∠BOF＝（55°+ t°）−（20°+ t°）＝35°，
2 2
∴∠AOE﹣∠BOF的值是定值，定值为35°．
总结提升：本题考查了角度的计算以及角的平分线的性质，理解角度之间的和差关系是
关键．
10．（2019秋•沙坪坝区校级期中）如图，已知∠AOC＝80°，∠BOD＝30°，若OM平分
∠AOB，ON平分∠COD．
（1）如图1，当OC与OB重合时，求∠MON的度数；
（2）如图2，当∠BOD从图1位置开始绕点O顺时针旋转m（0＜m＜90）时，∠BOM
﹣∠DON的值是否为定值？若是定值，求出∠BOM﹣∠DON的值；若不是定值，请说
明理由；
（3）如图2，当∠BOD从图1位置开始绕点O顺时针旋转m（30＜m＜70）时，满足
∠AOD+∠MON＝7∠BOD，求m的值．
1 1
思路引领：（1）由角平分线的定义求∠AOM＝∠MOB= ∠AOB，∠DON＝∠NOC=
2 2
∠COD，然后求∠MON；
（2）用含有m的式子表示∠AOM、∠BOD和∠AOD，然后利用角的和差关系求∠BOM
﹣∠DON；
（3）分别用含有m的式子表示∠AOD、∠MON和∠BOD，然后根据已知条件列出方程，
从而得到m的值．
解：（1）∵OM平分∠AOB，ON平分∠COD，
1 1
∴∠AOM＝∠MOB= ∠AOB，∠DON＝∠NOC= ∠COD，
2 2∵∠AOB＝80°，∠COD＝30°，
∴∠MOC＝40°，∠NOC＝15°，
∴∠MON＝∠MOC+∠NOC＝40°+15°＝55°；
（2）∠BOM﹣∠DON为定值25°，理由如下：
由题意可知：∠AOD＝∠AOB+∠COD+m＝110°+m，
1 1
由（1）可知：∠AOM＝∠MOB= ∠AOB，∠DON＝∠NOC= ∠COD，
2 2
1 1 1 1
∴∠BOM＝∠AOM＝∠ （∠AOC+m）= （80°+m），∠DON= （∠BOD+m）=
2 2 2 2
（30°+m），
1 1
∴∠BOM﹣∠DON= （80°+m）- （30°+m）＝25°，
2 2
∴∠BOM﹣∠DON的值为25°；
1 1
（3）由（2）知：∠AOD＝110°+m，∠AOM= （80°+m），∠DON= （30°+m），
2 2
1 1
∴∠MON＝∠AOD﹣∠AOM﹣∠DON＝110°+m- （80°+m）- （30°+m）＝55°，
2 2
∵∠AOD+∠MON＝7∠BOD，∠BOD＝30°，
∴110°+m+55°＝7×30°，
∴m＝45°．
总结提升：本题考查了角平分线的定义和图形的旋转，探究角与角之间的关系时，要注
意先理清楚所求角与已知角的和差关系，然后再逐步求解．
11．（2022秋•沁阳市期末）已知∠AOB＝110°，∠COD＝40°，OE平分∠AOC，OF平分
∠BOD．
（1）如图1，当OB、OC重合时，∠AOE﹣∠BOF＝ ；
（2）如图2，当∠COD从图1所示位置绕点O以每秒3°的速度顺时针旋转t秒（0＜t＜
10），在旋转过程中∠AOE﹣∠BOF的值是否会因t的变化而变化，若不发生变化，请
求出该定值；若发生变化，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，当∠COF＝17°时，t＝ 秒．思路引领：（1）首先根据角平分线的定义求得∠AOE和∠BOF的度数，然后根据
∠AOE﹣∠BOF求解；
（2）首先由题意得∠BOC＝3t°，再根据角平分线的定义得∠AOC＝∠AOB+3t°，
∠BOD＝∠COD+3t°，然后由角平分线的定义解答即可；
3
（3）根据题意得∠BOF＝（3t+17）°，故3t+17=20+ t，解方程即可求出t的值．
2
解：（1）∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
1 1 1 1
∴∠AOE= ∠AOC= ×110°=55°，∠BOF= ∠BOD= ×40°=20°，
2 2 2 2
∴∠AOE﹣∠BOF＝55°﹣20°＝35°．
故答案为：35°；
（2）∠AOE﹣∠BOF的值是定值．
由题意∠BOC＝3t°，
则∠AOC＝∠AOB+3t°＝110°+3t°，∠BOD＝∠COD+3t°＝40°+3t°，
∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
1 1 3
∴ ∠AOE= ∠AOC= (110°+3t°)= 55° + t° ，
2 2 2
1 1 3
∠BOF= ∠BOD= (40°+3t°)=20°+ t°，
2 2 2
3 3
∴∠AOE﹣∠BOF=(55°+ t°)-(20°+ t°)=35°，
2 2
∴∠AOE﹣∠BOF的值是定值，定值为35°；
（3）根据题意得∠BOF＝（3t+17）°，
3
∴3t+17=20+ t，
2
解得t＝2．故答案为2．
总结提升：本题考查了角度的计算以及角的平分线的性质，理解角度之间的和差关系是
关键．
12．（2017秋•宿豫区期末）如图，将两块直角三角尺的 60°角和90°角的顶点A叠放在一
起．将三角尺ADE绕点A旋转，旋转过程中三角尺ADE的边AD始终在∠BAC的内部
在旋转过程中，探索：
（1）∠BAE与∠CAD的度数有何数量关系，并说明理由；
（2）试说明∠CAE﹣∠BAD＝30°；
（3）作∠BAD和∠CAE的平分线AM、AN，在旋转过程中∠MAN的值是否发生变化？
若不变，请求出这个定值；若变化，请求出变化范围．
思路引领：（1）根据题意得到∠BAD+∠CAD＝60°，∠CAE+∠CAD＝90°，根据角的和
差即可得到结论；
（2）根据题意得到∠BAD+∠CAD＝60°，∠CAE+∠CAD＝90°，列方程即可得到结论；
（3）根据题意得到∠BAD+∠CAD＝60°，∠CAE+∠CAD＝90°，根据角平分线的定义和
角的和差即可得到结论．
解：（1）∠BAE+∠CAD＝150°，
理由：∵∠BAD+∠CAD＝60°，∠CAE+∠CAD＝90°，
∴∠BAE＝∠BAD+∠CAD+∠CAE＝60°+90°﹣∠CAD，
∴∠BAE+∠CAD＝150°；
（2）∵∠BAD+∠CAD＝60°，∠CAE+∠CAD＝90°，
∴∠CAD＝60°﹣∠BAD，∠CAD＝90°﹣∠CAE，
∴60°﹣∠BAD＝90°﹣∠CAE，
∴∠CAE﹣∠BAD＝90°﹣60°＝30°；
（3）在旋转过程中∠MAN的值不会发生变化，
如图，∵∠BAD+∠CAD＝60°，∠CAE+∠CAD＝90°，
∴∠BAD＝60°﹣∠CAD，∠CAE＝90°﹣∠CAD，
∵AM，AN分别是∠∠BAD和∠CAE的平分线，1 1 1 1
∴∠MAD= ∠BAD＝30°- ∠CAD，∠NAC= ∠CAE＝45°- ∠CAD，
2 2 2 2
1 1
∵∠MAN＝∠MAD+∠CAD+∠NAC＝30°- ∠CAD+∠CAD+45°- ∠CAD＝75°．
2 2
总结提升：本题考查了角的计算，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键．
13．（2022秋•晋州市期中）如图所示，以直线AB上的一点O为端点，在直线AB的上方
作射线OP，使∠BOP＝68°，将一块直角三角尺（∠MON＝90°）的直角顶点放在点O
处，且直角三角尺在直线AB的上方．设∠BOM＝n°（0＜n＜90）．
（1）当n＝30时，求∠PON的大小；
（2）当OP恰好平分∠MON时，求n的值；
（3）当n≠68时，嘉嘉认为∠AON与∠POM的差为定值，淇淇认为∠AON与∠POM
的和为定值，且二人求得的定值相同，均为 22°，老师说，要使两人的说法都正确，需
要对n分别附加条件．请你补充这个条件：
当n满足 时，∠AON﹣∠POM＝22°；
当n满足 时，∠AON+∠POM＝22°．
思路引领：（1）根据角的和差关系可得答案；
（2）根据角平分线的定义与角的和差关系可得答案；
（3）分两种情况：OM在OP的左侧和右侧时，根据角的和差关系可得结论．
解：（1）当n＝30°时，∠BOM＝30°，
∵∠POB＝68°，
∴∠POM＝68°﹣30°＝38°，∵∠MON＝90°，
∴∠PON＝90°﹣38°＝52°；
（2）∵OP恰好平分∠MON，∠MON＝90°，
∴∠POM＝45°，
∵∠POB＝68°，
∴n＝68﹣45＝23；
（3）当0＜n＜68时，如图1，∠AON﹣∠POM＝22°，理由如下：
∵∠POB＝68°，
∴∠POM＝68°﹣n°，
∵∠MON＝90°，
∴∠AON＝180°﹣90°﹣n°＝90°﹣n°，
∴∠AON﹣∠POM＝（90°﹣n°）﹣（68°﹣n°）＝22°；
当68＜n＜90时，如图2，理由如下：
∵∠POB＝68°，
∴∠POM＝n°﹣68°，
∵∠MON＝90°，
∴∠AON＝180°﹣90°﹣n°＝90°﹣n°，
∴∠AON+∠POM＝（90°﹣n°）+（n°﹣68°）＝22°；
故答案为：0＜n＜68，68＜n＜90．
总结提升：本题考查了角的和差，平角的定义，角平分线的定义，熟练掌握角的和与差
关系，角平分线的定义的应用，分情况讨论是解题关键．14．（2021秋•迁安市期末）如图1，把∠APB放置在量角器上，P与量角器的中心重合，
射线PA、PB分别对准刻度 117°和153°，将射线PA绕点P逆时针旋转90°得到射线
PC．
（1）∠APB＝ 度；
（2）求出∠CPB的度数；
（3）小红在图1的基础上，在∠CPB内部任意做一条射线PD，并分别做出了∠CPD和
∠BPD的平分线PE和PF，如图2，发现PD在∠CPB内部的不同位置，∠EPF的度数
都是一个定值，请你求出这个定值．
思路引领：（1）∠APB＝153°﹣117°；
（2）根据∠CPB＝∠APB+∠APC，可得∠CPB的度数；
1 1
（3）根据角平分线的定义得到∠EPD= ∠CPD，∠FPD= ∠BPD，再根据角的和差
2 2
可得答案．
解：（1）由图可得，∠APB＝153°﹣117°＝36°．
故答案为：36；
（2）由题意得，∠APC＝90°，
∴∠CPB＝∠APB+∠APC＝36°+90°＝126°．
答：∠CPB的度数是126°；
（3）∵∠CPD和∠BPD的平分线是PE和PF，
1 1
∴∠EPD= ∠CPD，∠FPD= ∠BPD，
2 2
1 1 1
∴∠EPF＝∠EPD+∠FPD= ∠CPD+ ∠BPD= ∠CPB＝63°．
2 2 2
∴当PD在∠CPB内部的不同位置时，∠EPF的度数都是一个定值是63°．
总结提升：本题考查角的计算，熟练掌握角平分线的定义和角的和差是解题关键．
15．（2022秋•硚口区期末）∠AOB与它的补角的差正好等于∠AOB的一半
（1）求∠AOB的度数；
（2）如图1，过点O作射线OC，使∠AOC＝4∠BOC，OD是∠BOC的平分线，求
∠AOD的度数；
（3）如图2，射线OM与OB重合，射线ON在∠AOB外部，且∠MON＝40°，现将
∠MON绕O顺时针旋转n°，0＜n＜50，若在此过程中，OP平分∠AOM，OQ平分∠AOP-∠BOQ
∠BON，试问 的值是定值吗？若是，请求出来，若不是，请说明理由．
∠POQ
思路引领：（1）设∠AOB＝x°，根据题意列方程即可得到结论；
（2）①当OC在∠AOB的内部时，②当OC在∠AOB外部时，根据角的和差和角平分
线的定义即可得到结论；
（3）根据角的和差和角平分线的定义即可得到结论．
1
解：（1）设∠AOB＝x°，依题意得：x﹣（180﹣x）= x
2
∴x＝120
答：∠AOB的度数是120°
（2）①当OC在∠AOB的内部时，∠AOD＝∠AOC+∠COD
设∠BOC＝y°，则∠AOC＝4y°，
∴y+4y＝120，y＝24，
∴∠AOC＝96°，∠BOC＝24°，
∴OD平分∠BOC，
1
∴∠COD= ∠BOC＝12°，
2
∴∠AOD＝96°+12°＝108°，
②当OC在∠AOB外部时，同理可求∠AOD＝140°，
∴∠AOD的度数为108°或140°；
（3）∵∠MON绕O顺时针旋转n°，
∴∠AOM＝（120+n）°
∵OP平分∠AOM，
120+n
∴∠AOP＝（ ）°
2
∵OQ平分∠BON，
40+n
∴∠MOQ＝∠BOQ＝（ ）°，
2
∴∠POQ＝120+40+n﹣∠AOP﹣∠NOQ，
120+n 40+n 160+2n
＝160+n- - =160+n- =80°，
2 2 2120+n 40+n
∴∠AOP﹣∠BOQ= - =40°，
2 2
∠AOP-∠BOQ 40 1
∴ = = ．
∠POQ 80 2
总结提升：本题考查了角的计算，余角和补角的定义，解题时注意方程思想和分类思想
的灵活运用．
16．（2019秋•莆田期末）定义：若 ﹣ ＝90°，且90°＜ ＜180°，则我们称 是 的差余
角．例如：若 ＝110°，则 的差余角 ＝20°．
α β α β α
（1）如图1，点O在直线AB上，射线OE是∠BOC的角平分线，若∠COE是∠AOC
α α β
的差余角，求∠BOE的度数；
（2）如图2，点O在直线AB上，若∠BOC是∠AOE的差余角，那么∠BOC与∠BOE
有什么数量关系；
（3）如图3，点O在直线AB上，若∠COE是∠AOC的差余角，且OE与OC在直线
∠AOC-∠BOC
AB的同侧， 请你探究是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请
∠COE
说明理由．
1
思路引领：（1）根据角平分线的定义得到∠COE＝∠BOE= ∠BOC，根据题意得到
2
1
∠AOC﹣∠COE＝∠AOC- ∠BOC＝90°，于是得到结论；
2
（2）根据角的和差即可得到结论； α
（3）如图3，由∠COE是∠AOC的差余角，得到∠AOC＝90°+∠COE，∠BOC＝90°﹣
∠COE，如图4，由∠COE是∠AOC的差余角，得到∠AOC＝90°+∠COE，于是得到结
论．
解：（1）∵OE是∠BOC的角平分线，
1
∴∠COE＝∠BOE= ∠BOC，
2
∵∠COE是∠AOC的差余角，
1
∴∠AOC﹣∠COE＝∠AOC- ∠BOC＝90°，
2
∵∠AOC+∠BOC＝180°，
∴∠BOC＝60°，
∴∠BOE＝30°；（2）∵∠BOC是∠AOE的差余角，
∴∠AOE﹣∠BOC＝∠AOC+∠COE﹣∠COE﹣∠BOE＝∠AOC﹣∠BOE＝90°，
∵∠AOC+∠BOC＝180°，
∴∠BOC+∠BOE＝90°；
（3）答：是，
理由：如图3，∵∠COE是∠AOC的差余角，
∴∠AOC﹣∠COE＝∠AOE＝90°，
∴∠AOC＝90°+∠COE，∠BOC＝90°﹣∠COE，
∠AOC-∠BOC 90°+∠COE-90°+∠COE
∴ = = 2（定值）；
∠COE ∠COE
如图4，∵∠COE是∠AOC的差余角，
∴∠AOC﹣∠COE＝90°，
∴∠AOC＝90°+∠COE，
∵∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣（90°+∠COE）＝90°﹣∠COE，
∠AOC-∠BOC 90°+∠COE-90°+∠COE
∴ = = 2（定值），
∠COE ∠COE
∠AOC-∠BOC
综上所述， 为定值．
∠COE
总结提升：本题考查了余角和补角，角的和差的计算，正确的理解题意是解题的关键．
17．（2018秋•荔城区期末）如图∠AOB＝120°，把三角板60°的角的顶点放在O处．转动
三角板（其中OC边始终在∠AOB内部），OE始终平分∠AOD．
（1）【特殊发现】如图1，若OC边与OA边重合时，求出∠COE与∠BOD的度数．
（2）【类比探究】如图2，当三角板绕O点旋转的过程中（其中OC边始终在∠AOB内
部），∠COE与∠BOD的度数比是否为定值？若为定值，请求出这个定值；若不为定
值，请说明理由．
（3）【拓展延伸】如图3，在转动三角板的过程中（其中OC边始终在∠AOB内部），
若OP平分∠COB，请画出图形，直接写出∠EOP的度数（无需证明）思路引领：（1）∵OC边与OA边重合，如图1，根据角的和差和角平分线的定义即可
得到结论；
（2）①0°≤∠AOC＜60°时，如图2，②当60°≤∠AOC≤120°时，如图3，根据角的
和差和角平分线的定义即可得到结论；
（3）①0°≤∠AOC＜60°时，设∠AOC＝ ，∠BOD＝ ，②当60°≤∠AOC≤120°时，
设∠AOC＝ ，∠BOD＝ ，根据角的和差和角平分线的定义即可得到结论；．
α β
解：（1）∵OC边与OA边重合，如图1，
α β
∴∠AOD＝60°，∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD＝120°﹣60°＝60°，
1
∵OE平分∠AOD，∴∠COE= ∠AOD＝30°；
2
（2）①0°≤∠AOC＜60°时，如图2，
1
∵OE平分∠AOD，∴∠DOE= ∠AOD，
2
1
∴∠COE＝∠COD﹣∠EOD＝60°- ∠AOD，
2
∵∠DOB＝∠AOB﹣∠AOD＝120°﹣∠AOD，1
∴∠COE：∠BOD= ；
2
②当60°≤∠AOC≤120°时，如图3，
1
∵OE平分∠AOD，∴∠DOE= ∠AOD，
2
1
∴∠COE＝∠EOD﹣∠COD= ∠AOD﹣60°，
2
∵∠DOB＝∠AOD﹣∠AOB＝∠AOD﹣120°，
1
∴∠COE：∠BOD= ；
2
（3）①0°≤∠AOC＜60°时，
设∠AOC＝ ，∠BODD＝ ，
∵∠AOB＝120°，∠COD＝60°，
α β
∴ + ＝60°，
∴∠AOD＝60°+ ，∠BOC＝60°+ ，
α β
∵OE始终平分∠AOD，OP平分∠COB，
α β
1 1 1 1
∴∠AOE= ∠AOD＝30°+ α，∠BOP= ∠BOC＝30°+ β，
2 2 2 2
1 1
∴∠POE＝∠AOB﹣∠AOE﹣∠BOP＝120°﹣（30°+ α）﹣（30°+ β）＝30°；
2 2
②当60°≤∠AOC≤120°时，设∠AOC＝ ，∠BOD＝ ，
∵∠AOB＝120°，∠COD＝60°，
α β
∴∠BOC＝120°﹣∠AOC＝60°﹣∠BOD，
∴120°﹣ ＝60°﹣ ，
∴ ﹣ ＝60°，
α β
α β∴∠AOD＝120°+ ，∠BOC＝60°﹣ ，
∵OE始终平分∠AOD，OP平分∠COB，
β β
1 1 1 1
∴∠DOE= ∠AOD＝60°+ β，∠BOP= ∠BOC＝30°- β，
2 2 2 2
1 1
∴∠POE＝∠DOE﹣∠BOD﹣∠BOP＝（60°+ α）﹣ ﹣（30°- β）＝30°；
2 2
综上所述，∠POE＝30°． β
总结提升：本题考查了角的计算，角平分线的定义，分类讨论是解题的关键．
第二部分 配套作业
1．（2022秋•成都期末）已知点O为数轴原点，点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数
为b，A、B之间的距离记作AB，且|a+4|+（b﹣10）2＝0．
（1）求线段AB的长；
（2）设点P在数轴上对应的数为x，当PA+PB＝20时，求x的值；
（3）如图，M、N两点分别从O、B出发以v 、v 的速度同时沿数轴负方向运动（M在
1 2
线段AO上，N在线段BO上），P是线段AN的中点，若M、N运动到任一时刻时，总
v
2
有PM为定值，下列结论：① 的值不变；②v +v 的值不变．其中只有一个结论是正
v 1 2
1
确的，请你找出正确的结论并求值．
思路引领：（1）根据非负数的和为0，各项都为0即可求解；
（2）应考虑到A、B、P三点之间的位置关系的多种可能解题；
1
（3）设运动时间为t，首先得到PM＝AP﹣AM＝3- v t+v t，由M、N运动到任一时刻
2 2 1
时，总有PM为定值，得到PM＝3，t＝1时，t＝2时，于是得到结论．
解：（1）∵|a+4|+（b﹣10）2＝0，
∴a＝﹣4，b＝10，
∴AB＝|a﹣b|＝14，即线段AB的长度为14；
（2）如图1，当P在点A左侧时．PA+PB＝（﹣4﹣x）+（﹣x+10）＝20，即﹣2x+6＝
20，解得 x＝﹣7；如图2，当点P在点B的右侧时，PA+PB＝（x+4）+（x﹣10）＝20，即2x﹣6＝20，解
得 x＝13；
如图3，当点P在点A与B之间时，PA+PB＝x+4+10﹣x＝20，不存在这样的x的值，
综上所述，x的值是﹣7或13；
v
2
（3）① 的值不变．如图4，设运动时间为t，理由如下：
v
1
∵PM＝AP﹣AM
1
= AN﹣（OA﹣OM）
2
1
= （AB﹣BN）﹣OA+OM
2
1
= （14﹣v t）﹣4+v t
2 2 1
1
＝3- v t+v t，
2 2 1
∵M、N运动到任一时刻时，总有PM为定值，
而t＝0时，PM＝3，
1
t＝1时，PM＝3- v +v ，
2 2 1
t＝2时，PM＝3﹣v +2v ，
2 1
1
∴3﹣v +2v ＝3- v +v ＝3，
2 1 2 2 1
v 1 v
∴
1=
，即：
2
的值不变，值为2．
v 2 v
2 1
总结提升：此题主要考查了一元一次方程的应用，渗透了分类讨论的思想，体现了思维
的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解．利用中点性质转化线段之间的倍分
关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．
同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．
2．（2022秋•江岸区校级月考）已知：如图，一条直线上依次有A、B、C三点．
（1）若BC＝60，AC＝3AB，求AB的长；BC
（2）若点D是射线CB上一点，点M为BD的中点，点N为CD的中点，求 的值；
MN
（3）当点P在线段BC的延长线上运动时，点E是AP中点，点F是BC中点，下列结
论中：
AC+BP
① 是定值；
EF
AC-BP
②
| |是定值．其中只有一个结论是正确的，请选择正确结论并求出其值．
EF
思路引领：（1）由AC＝AB+BC＝3AB可得；
（2）分三种情况：①D在BC之间时②D在AB之间时③D在A点左侧时；
（3）分三种情况讨论：①F、E在BC之间，F在E左侧②F在BC之间，E在CP之
间③F、E在BC之间，F在E右侧；
解：（1）∵BC＝60，AC＝AB+BC＝3AB，
∴AB＝30；
（2）∵点M为BD中点，点N为CD中点，
∴BM＝BD，DN＝NC，
①D在BC之间时：
BC＝BD+CD＝2MD+2DN＝2MN，
BC
∴ = 2；
MN
②D在AB之间时：
BC＝DC﹣DB＝2DN﹣2MB＝2（BN+2MB）﹣2MB＝2BN+2MB＝2MN，
BC
∴ = 2；
MN
③D在A点左侧时：BC＝DN+NB＝MN+DN﹣NB＝MN+MB﹣NB＝MN+MN+NB﹣NB＝2MN，
BC
∴ = 2；
MN
BC
故 = 2；
MN
（3）点E是AP的中点，点F是BC的中点．
∴AE＝EP，BF＝CF，
①
1 1 1 1
EF＝FC﹣EC= BC﹣AC+AE= （AC﹣AB）﹣AC+AE＝AE- AB= AC，
2 2 2 2
BP＝AP﹣AB＝2AE﹣AB，
AC﹣BP＝AC﹣2AE+AB，
AC-BP
∴| |= 2．
EF
②
1 1 1 1 1
EF= BC+CE= BC+AE﹣AC= （AC﹣AB）+AE﹣AC＝AE- AB- AC，
2 2 2 2 2
BP＝AP﹣AB＝2AE﹣AB，
AC﹣BP＝AC+AB﹣2AE，
AC-BP
∴| |= 2．
EF
③
1 1 1 1 1
EF＝CE﹣CF＝CE- BC＝AC﹣AE- BC＝AC﹣AE- （AC﹣AB）= AC﹣AE+
2 2 2 2 2
AB，
BP＝AP﹣AB＝2AE﹣AB，
∴AC﹣BP＝AC+AB﹣2AE，
AC-BP
∴| |= 2．
EF
总结提升：本题考查线段之间量的关系，结合图形，能够考虑到所有分类是解题的关键．3．（2016秋•启东市校级月考）如图，线段AB＝24，动点P从A出发，以2个单位/秒的
速度沿射线AB运动，M为AP的中点．
（1）出发多少秒后，PB＝2AM；
（2）当P在线段AB上运动时，试说明2BM﹣BP为定值．
（3）当P在AB延长线上运动，N为BP的中点，下列两个结论：①MN长度不变；
②MN+PN的值不变．选出一个正确的结论，并求其值．
思路引领：（1）分两种情况讨论，①点P在点B左边，②点P在点B右边，分别求出
t的值即可．
（2）AM＝x，BM＝24﹣x，PB＝24﹣2x，表示出2BM﹣BP后，化简即可得出结论．
1
（3）PA＝2x，AM＝PM＝x，PB＝2x﹣24，PN= PB＝x﹣12，分别表示出 MN，
2
MN+PN的长度，即可作出判断．
解：（1）如图1，设出发x秒后PB＝2AM，
当点P在点B左边时，PA＝2x，PB＝24﹣2x，AM＝x，
由题意得，24﹣2x＝2x，
解得：x＝6；
当点P在点B右边时，P′A＝2x，P′B＝2x﹣24，AM＝x，
由题意得：2x﹣24＝2x，方程无解；
综上可得：出发6秒后PB＝2AM．
（2）∵AM＝x，BM＝24﹣x，PB＝24﹣2x，
∴2BM﹣BP＝2（24﹣x）﹣（24﹣2x）＝24；
（3）选①；
1
如图2，∵PA＝2x，AM＝PM＝x，PB＝2x﹣24，PN= PB＝x﹣12，
2
∴①MN＝PM﹣PN＝x﹣（x﹣12）＝12（定值）；
②MN+PN＝12+x﹣12＝x（变化）．
总结提升：本题考查了两点间的距离，解答本题的关键是用含时间的式子表示出各线段
的长度，有一定难度．
4．（2022秋•高新区期中）如图，线段AB＝12，动点P从A出发，以每秒2个单位的速度
沿射线AB运动，M为AP的中点．
（1）出发多少秒后，PB＝2AM？
（2）当P在线段AB上运动时，试说明2BM﹣BP为定值．（3）当P在AB延长线上运动时，N为BP的中点，下列两个结论：①MN长度不变；
②MA+PN的值不变，选择一个正确的结论，并求出其值．
思路引领：（1）由题意表示：AP＝2t，则PB＝12﹣2t，根据PB＝2AM列方程即可；
（2）把BM＝12﹣t和BP＝12﹣2t代入2BM﹣BP中计算即可；
（3）分别代入求MN和MA+PN的值，发现①正确；②不正确．
解：（1）如图1，由题意得：AP＝2t，则PB＝|12﹣2t|，
∵M为AP的中点，
∴AM＝t，
由PB＝2AM得：|12﹣2t|＝2t，
即12﹣2t＝2t或2t﹣12＝2t，
t＝3，
答：出发3秒后，PB＝2AM；
（2）如图1，当P在线段AB上运动时，BM＝12﹣t，
2BM﹣BP＝2×（12﹣t）﹣（12﹣2t）＝24﹣2t﹣12+2t＝12，
∴当P在线段AB上运动时，2BM﹣BP为定值12；
（3）选①；
如图2，由题意得：MA＝t，PB＝2t﹣12，
∵N为BP的中点，
1 1
∴PN= BP= （2t﹣12）＝t﹣6，
2 2
①MN＝PA﹣MA﹣PN＝2t﹣t﹣（t﹣6）＝6，
∴当P在AB延长线上运动时，MN长度不变；
所以选项①叙述正确；
②MA+PN＝t+（t﹣6）＝2t﹣6，
∴当P在AB延长线上运动时，MA+PN的值会改变．
所以选项②叙述不正确．
总结提升：本题考查了两点间的距离，解答本题的关键是用含时间的式子表示出各线段
的长度，有一定难度．
5．（2021秋•双流区期末）如图，已知直线l上有两条可以左右移动的线段：AB＝m，CD
＝n，且m，n满足|m﹣4|+（n﹣8）2＝0，点M，N分别为AB，CD中点．
（1）求线段AB，CD的长；
（2）线段AB以每秒4个单位长度向右运动，线段CD以每秒1个单位长度也向右运动．若运动6秒后，MN＝4，求此时线段BC的长；
（3）若BC＝24，将线段CD固定不动，线段AB以每秒4个单位速度向右运动，在线
段AB向右运动的某一个时间段t内，始终有MN+AD为定值．求出这个定值，并直接写
出t在哪一个时间段内．
思路引领：（1）根据非负数的性质即可得到结论；
（2）若6秒后，M’在点N’左边时，若6秒后，M’在点N’右边时，根据题意列方
程即可得到结论；
（3）根据题意分类讨论于是得到结果．
解：（1）∵|m﹣4|+（n﹣8）2＝0，
∴m﹣4＝0，n﹣8＝0，
∴m＝4，n＝8，
∴AB＝4，CD＝8；
（2）若6秒后，M′在点N′左边时，
由MN+NN′＝MM′+M′N′，
即2+4+BC+6×1＝6×4+4，
解得BC＝16，
若6秒后，M′在点N′右边时，
则MM′＝MN+NN′+M′N′，
即6×4＝2+BC+4+6×1+4，
解得BC＝8．
综上，BC＝16或8；
（3）运动t秒后 MN＝|30﹣4t|，AD＝|36﹣4t|，
当0≤t＜7.5时，MN+AD＝66﹣8t，
当7.5≤t≤9时，MN+AD＝6，
当t≥9时，MN+AD＝8t﹣66，
∴当7.5≤t≤9时，MN+AD为定值．
总结提升：本题主要考查了非负数的性质以及数轴和两点间的距离等知识，解答本题的
关键是掌握两点间的距离公式，解答第三问注意分类讨论思想，此题难度不大．
6．（2021秋•洛川县校级期末）已知∠AOB＝110°，∠COD＝40°，OE平分∠AOC，OF
平分∠BOD．（1）如图①，当OB、OC重合时，求∠AOE﹣∠BOF的值；
（2）当∠COD从图①所示位置绕点O以每秒3°的速度顺时针旋转t秒（0＜t＜10）；
在旋转过程中∠AOE﹣∠BOF的值是否会因t的变化而变化，若不发生变化，请求出该
定值；若发生变化，请说明理由．
思路引领：（1）首先根据角平分线的定义求得∠AOE和∠BOF的度数，然后根据
∠AOE﹣∠BOF求解；
（2）首先由题意得∠BOC＝3t°，再根据角平分线的定义得∠AOC＝∠AOB+3t°，
1 1
∠BOD＝∠COD+3t°，然后由角平分线的定义得∠AOE= ∠AOC= （110°+3t°）、
2 2
1 1
∠BOF= ∠BOD= （40°+3t°），最后根据∠AOE﹣∠BOF求解可得；
2 2
解：（1）∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
1 1 1 1
∴∠AOE= ∠AOB= ×110°＝55°，∠BOF= ∠COD= ×40°＝20°，
2 2 2 2
∴∠AOE﹣∠BOF＝55°﹣20°＝35°；
（2）∠AOE﹣∠BOF的值是定值，
如图2，
由题意∠BOC＝3t°，
则∠AOC＝∠AOB+3t°，∠BOD＝∠COD+3t°，
∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
1 1 1 1
∴∠AOE= ∠AOC= （110°+3t°），∠BOF= ∠BOD= （40°+3t°），
2 2 2 2
1 1
∴∠AOE﹣∠BOF= （110°+3t°）- （40°+3t°）＝35°，
2 2
∴∠AOE﹣∠BOF的值是定值．总结提升：本题考查了角度的计算以及角的平分线的性质，理解角度之间的和差关系是
关键．
7．（2021秋•侯马市期末）已知∠AOB＝110°，∠COD＝40°，OE平分∠AOC，OF平分
∠BOD．
（1）如图，当OB、OC重合时，求∠EOF的度数；
（2）如图，当OB、OC重合时，求∠AOE﹣∠BOF的值；
（3）当∠COD从图示位置绕点O以每秒3°的速度顺时针旋转t秒（0＜t＜10）；在旋
转过程中∠AOE﹣∠BOF的值是否会因t的变化而变化？若不发生变化，请求出该定值；
若发生变化，请说明理由．
思路引领：（1）（2）直接利用角平分线的性质求出各自的角即可；
（3）当OC边绕O顺时针旋转时，∠AOB是变化的，∠AOB＝110°+3°t，∠BOD是不
变化的，所以∠AOE﹣∠BOF值是不变化的；
解：（1）∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
1 1
∴∠EOF＝∠EOB+∠BOF= ∠AOB+ ∠BOD，
2 2
∵∠AOB＝110°，∠COD＝40°，
∴∠EOF＝75°；
（2）∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，∠AOB＝110°，∠COD＝40°，
∴∠AOE＝55°，∠BOF＝20°，
∴∠AOE﹣∠BOF＝35°；
（3）∵OF平分∠BOD，1
∴∠BOF= ∠BOD，
2
∵∠AOB＝110°，∠COD从图示位置绕点O以每秒3°的速度顺时针旋转t秒，
1
∴∠AOC＝110°+3°t，∠BOF= （40°+3°t），
2
∵OE平分∠AOC，
1
∴∠AOE= （110°+3°t），
2
1 3°
∴∠AOE﹣∠BOF= （110°+3°t）﹣20°- t＝35°，
2 2
∴在旋转过程中∠AOE﹣∠BOF的值是不会因t的变化而变化．
总结提升：本题考查角平分线的定义．能够从图中找到要求的角之间的关系，然后利用
角平分线的定义求出所求的角，是解决本题的思路．
8．（2019秋•玄武区校级期末）已知∠AOB＝150°，OC 为∠AOB 内部的一条射线，
∠BOC＝60°．
1
（1）如图1，若OE平分∠AOB，OD为∠BOC内部的一条射线，∠COD= ∠BOD，
2
求∠DOE的度数；
（2）如图2，若射线OE绕着O点从OA开始以15度/秒的速度顺时针旋转至OB结束、
OF绕着O点从OB开始以5度/秒的速度逆时针旋转至OA结束，运动时间为t秒，当
∠EOC＝∠FOC时，求t的值：
（3）若射线OM绕着O点从OA开始以15度/秒的速度逆时针旋转至OB结束，在旋转
过程中，ON平分∠AOM，试问2∠BON﹣∠BOM在某时间段内是否为定值，若不是，
请说明理由；若是请补全图形，求出这个定值并写出t所在的时间段．（本题中的角均
为大于0°且小于180°的角）
思路引领：（1）根据∠EOD＝∠EOB﹣∠DOB，只要求出∠EOB，∠DOB即可；
（2）分三种情形列出方程即可解决问题；
（3）①当0＜t≤2时，2∠BON﹣∠BOM＝150°．②当4＜t＜12时，2∠BON﹣∠BOM
＝210°．
用t表示∠BON、∠BOM，求2∠BON﹣∠BOM的值即可；
解：（1）∵∠AOB＝150°，OE平分∠AOB，
1
∴∠EOB= ∠AOB＝75°，
21
∵∠BOC＝60°，∠COD= ∠BOD，
2
∴∠BOD＝40°，∠COD＝20°，
∴∠EOD＝∠EOB﹣∠DOB＝75°﹣40°＝35°．
（2）当OE在∠AOC内部时，∵∠EOC＝∠FOC，
∴90﹣15t＝60﹣5t，
∴t＝3．
当OE与OF重合时，15°t+5°t＝150°，
t＝7.5．
120
当OE与OB重合，t= =24，
5
综上所述，当∠EOC＝∠FOC时，t＝3s或7.5s或24s．
（3）①当0＜t＜2时，2∠BON﹣∠BOM＝150°．
理由：∵∠AOM＝15t°．∠AON＝∠MON＝7.5°t，∠BON＝150°+7.5°t，∠BOM＝150°
+15°t，
∴2∠BON﹣∠BOM＝2（150°+7.5°t）﹣（150°+15°t）＝150°
②当2＜t＜4时，2∠BON﹣∠BOM＝2（150°+7.5°t）﹣（210﹣15t°）＝30°t+90，不是
定值．
③当4＜t≤12时，2∠BON﹣∠BOM＝210°．
理由：∵∠AOM＝15°t．∠AON＝∠MON＝7.5°t，∠BON＝210°﹣7.5°t，∠BOM＝210°
﹣15°t，
∴2∠BON﹣∠BOM＝2（210°﹣7.5°t）﹣（210°﹣15°t）＝210°（4＜t≤12），
④当12＜t＜14时，如图，2∠BON﹣∠BOM＝30°t﹣270°，理由：∵∠AOM＝360°﹣15°t，ON平分∠AOM，
15
∴∠AON＝∠MON＝180°﹣（ ）°t，
2
15
∴∠BON＝∠AOB﹣∠AON＝（ ）°t﹣30°，∠BOM＝∠AOM﹣∠AOB＝210°﹣15°t，
2
∴2∠BON﹣∠BOM＝15°t﹣60°﹣（210°﹣15°t）＝30°t﹣270°，不为定值．
综上所述，当0＜t＜2时，2∠BON﹣∠BOM＝150°．
当4＜t≤12时，2∠BON﹣∠BOM＝210°．
总结提升：本题考查角的计算、角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握角的和
差定义，灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考
题型．
9．（2022秋•云梦县期末）已知∠AOB＝90°，∠COD＝30°，OE平分∠AOC，OF平分
∠BOD．
（1）如图1，当OB、OC重合时，求∠EOF的度数．
（2）当∠COD从图1所示位置绕点O顺时针旋转n°（0＜＜90）时，如图2，∠AOE﹣
∠BOF的值是否为定值？若是定值，求出∠AOE﹣∠BOF的值，若不是，请说明理由．
1 1
思路引领：（1）根据角平分线的定义知∠EOB= ∠AOB、∠BOF= ∠COD，再根据
2 2
∠EOF＝∠EOB+∠BOF可得答案；
（2）由题意知∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝90°+n°、∠BOD＝∠BOC+∠COD＝n°+30°，
1 90°+n° 1 n°+30°
根据角平分线的定义得∠AOE= ∠AOC = 、∠BOF = ∠BOD = ，
2 2 2 2
代入计算可得．解：（1）∵OE平分∠AOC，
1
∴∠EOB= ∠AOB，
2
∵OF平分∠BOD，
1
∴∠BOF= ∠COD，
2
∴∠EOF＝∠EOB+∠BOF
1 1
= ∠AOB+ ∠COD
2 2
1 1
= ×90°+ ×30°
2 2
＝60°；
（2）是定值，
∵∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝90°+n°，
∠BOD＝∠BOC+∠COD＝n°+30°，
1 90°+n°
∴∠AOE= ∠AOC = ，
2 2
1 n°+30°
∠BOF= ∠BOD= ，
2 2
90°+n° n°+30°
∴∠AOE﹣∠BOF= - =30°，
2 2
∴∠AOE﹣∠BOF是定值．
总结提升：本题主要考查角的计算和角平分线的定义，熟练掌握角平分线的性质是解题
的关键．
10．（2020秋•江岸区期末）已知如图1，∠AOB＝40°．
1
（1）若∠AOC= ∠BOC，则∠BOC＝ ；
3
（2）如图2，∠AOC＝20°，OM为∠AOB内部的一条直线，ON是∠MOC四等分线，
且3∠CON＝∠NOM，求4∠AON+∠COM的值；
（3）如图3，∠AOC＝20°，射线OM绕着O点从OB开始以5度/秒的速度逆时针旋转
一周至 OB 结束，在旋转过程中，设运动的时间为 t，ON 是∠MOC 四等分线，且3∠CON＝∠NOM，当t在某个范围内4∠AON+∠BOM会为定值，请直接写出定值，并
指出对应t的范围（本题中的角均为大于0°且小于180°的角）．
1
思路引领：（1）分两种情况讨论：①OC在∠AOB内部时，由∠AOC= ∠BOC得到
3
3 1 3
∠BOC= ∠AOB；② OC 在∠AOB 外部时，由∠AOC= ∠BOC 得到∠BOC=
4 3 2
∠AOB．
（2）设∠CON＝x°，根据题意用x表示有关角的度数，最终得4∠AON+∠COM的值；
（3）按OM和ON的不同位置分五种情况分别讨论，记OM转过的角度为 ，第一种情
况：当0＜ ≤60°，即0＜t≤12时；第二种情况：当60°＜ ≤180°时，即12＜t≤36时；
α
第三种情况：当180°＜ ≤240°时，即36＜t≤48时；第四种情况：当240°＜ ≤340°，
α α
即48＜t≤68时；第五种情况：当340°＜ ≤360°，即68＜t≤72时．用t表示出有关角
α α
的度数，再求4∠AON+∠BOM的最后结果．
α
解：（1）①C在∠AOB内部时，如下图，
1
∵∠AOC= ∠BOC，
3
3 3
∴∠BOC= ∠AOB= ×40°＝30°，
4 4
②OC在∠AOB外部时，如下图，
1
∠AOC= ∠BOC，
3
3 3
∴∠BOC= ∠AOB= ×40°＝60°，
2 2
综上所述：∠BOC＝30°或60°；
故答案为：30°或60°．
（2）解：设∠CON＝x，
∵ON是∠MOC的四等分点，且3∠CON＝∠NOM，
∴∠NOM＝3x，∠COM＝4x，
又∵∠AOC＝20°，
∴∠AOM＝4x﹣20°，
∴∠AON＝∠NOM﹣∠AOM＝3x﹣（4x﹣20°）＝20°﹣x，
∴4∠AON+∠COM＝4（20°﹣x）+4x＝80°，
∴4∠AON+∠COM＝80°．
（3）记OM的旋转角度为 ，分五种情况讨论：
第一种，当0°＜ ≤60°，即0＜t≤12时，如下图，
α
α
射线OM绕着O点从OB开始以5度/秒的速度逆时针旋转得∠MOB＝5t°，
∴∠COM＝∠COA+∠AOB﹣∠MOB＝60°﹣5t°，
∵ON是∠MOC四等分线，且3∠CON＝∠NOM，
1
∴∠CON= ∠COM，
4
1 1 5
∴∠AON＝∠COA﹣∠CON＝∠COA- ∠COM＝20°- （60°﹣5t°）＝5°+ t°，
4 4 4
5
∴4∠AON+∠BOM＝4（5°+ t°）+5t°＝20°+10t°，
4
∴0≤t≤12时，4∠AON+∠BOM＝20°+10t°，不是定值．
第二种情况：当60°＜ ＜180°，即12＜t＜36时，如下图，
α∵∠MOB＝5t°，
∴∠COM＝∠MOB﹣∠BOC＝5t°﹣60°，
1
∵∠CON= ∠COM，
4
1 1 5
∴∠AON＝∠COA+∠CON＝∠COA+ ∠COM＝20°+ （5t°﹣60°）＝5°+ t°，
4 4 4
5
∴4∠AON+∠BOM＝4（5°+ t°）+5t°＝10t°+20°，
4
∴12＜t＜36时，4∠AON+∠BOM不是定值．
第三种情况：当180°≤ ≤240°，即36≤t≤48时，如下图，
α
由∠MOB＝360°﹣5t°得，∠COM＝5t°﹣60°，
∵ON是∠MOC四等分线，且3∠CON＝∠NOM，
1 1 5
∴∠AON＝∠CON+∠COA= ∠COM+∠COA= （5t°﹣60°）+20°＝5°+ t°，
4 4 4
5
∴4∠AON+∠BOM＝4（5°+ t°）+360°﹣5t°＝380°，
4
∴当36≤t≤48时，4∠AON+∠COM为定值380°；
第四种情况：当240°＜ ＜340°时，即48＜t＜68，如下图，
α
由∠MOB＝360°﹣5t°得，∠COM＝∠MOB+∠BOC＝360°﹣5t°+60°＝420°﹣5t°，1 1 5
∴∠AON＝∠CON﹣∠COA= ∠COM﹣∠COA= （420°﹣5t°）﹣20°＝85°- t°，
4 4 4
5
∴4∠AON+∠BOM＝4（85°- t°）+360°﹣5t°＝700°﹣10t°，
4
∴48＜t＜68时，4∠AON+∠COM不是定值；
第五种情况：当340°≤ ≤360°，即68≤t≤72时，如下图，
α
由∠MOB＝360°﹣5t°得，∠COM＝∠MOB+∠BOC＝360°﹣5t°+60°＝420°﹣5t°，
1 1 5
∴∠AON＝∠COA﹣∠CON＝∠COA- ∠COM＝20°- （420°﹣5t°）= t°﹣85°，
4 4 4
5
∴4∠AON+∠BOM＝4（ t°﹣85°）+360°﹣5t°＝20°，
4
∴68≤t≤72时，4∠AON+∠COM为定值20°．
综上所述：当 36≤t≤48 时，4∠AON+∠COM 为定值 380°；当 68≤t≤72 时，
4∠AON+∠COM＝20°，为定值20°．
总结提升：本题考查了角的三等分线，四等分线的定义，角的和差关系，图形的旋转，
是个综合题，掌握每种情况以及未知数的取值范围，并画出对应的图形是解决此题的关
键．
11．（2020秋•渝中区校级期末）如图1，∠AOB＝40°，∠COD＝60°，OM、ON分别为
∠AOB和∠BOD的角平分线．
（1）若∠MON＝70°，则∠BOC＝ °；
（2）如图2，∠COD从第（1）问中的位置出发，绕点O逆时针以每秒4°的速度旋转；
当OC与OA重合时，∠COD立即反向绕点O顺时针以每秒6°的速度旋转，直到OC与
OA互为反向延长线时停止运动．整个运动过程中，∠COD的大小不变，OC旋转后的
对应射线记为 OC′，OD旋转后的对应射线记为 OD′，∠BOD′的角平分线记为
ON′，∠AOD′的角平分线记为OP．设运动时间为t秒．
①当OC′平分∠BON′时，求出对应的t的值；
②请问在整个运动过程中，是否存在某个时间段使得|∠BOP﹣∠MON′|的值不变？若
存在，请直接写出这个定值及其对应的t的取值范围（包含运动的起止时间）；若不存
在，请说明理由．思路引领：（1）根据角平分线的定义结合图形根据已知条件求角的大小；
（2）①分类讨论顺时针、逆时针转两种情况，根据角平分线的定义用t表示出角的度
数，列出等量关系式求出t；
②求出OP与OB重合时t的值，射线OD，OA共线时t的值，射线OD与射线OB重合
时t的值，可得结论．
解：（1）∵OM为∠AOB的角平分线、∠AOB＝40°，
∴∠MOB＝20°．
∵∠MON＝70°，
∴∠BON＝∠MON﹣∠MOB＝50°．
∵ON为∠BOD的角平分线，
∴∠BON＝∠DON＝50°．
∴∠CON＝∠COD﹣∠DON＝10°
∴∠BOC＝∠DON﹣∠CON＝40°．
故答案为：40°．
（2）如图①：
①逆时针旋转时：
当C′在B上方时，根据题意可知，∠BOC′＝40°﹣4t，∠BOD′＝∠BOD﹣4t＝100°
﹣4t．1 1
∠BON′= ∠BOD′= (100°-4t)=50°﹣2t，
2 2
∵OC′平分∠BON′，
1 1
∴∠BOC′= ∠BON'，即40°﹣4t= （50°﹣2t），
2 2
解得：t＝5（s）．
当C′在B下方时，此时C′也在N′下方，此时不存在OC′平分∠BON′．
顺时针旋转时：如图②，
同理当C′在B下方时，此时C′也在N′下方，此时不存在OC′平分∠BON′．
当C′在B上方时，即OC′与OB重合，
由题意可求OC′与OB重合用的时间＝∠AOC÷4+∠AOB÷6
＝（∠AOB+∠BOC）÷4+∠AOB÷6
80
= （s）．
3
80
∴OC′与OB重合之后，∠BOC′＝6（t- ）（s）．
3
80
∴∠BOD′＝∠BOC′+60°＝6（t- ）+60°＝6t﹣100°．
3
1 1
∴∠BON′= ∠BOD'= （6t﹣100°）＝3t﹣50°，
2 2
∵OC′平分∠BON′，
1
∴∠BOC′= ∠BON'，
2
80 1
∴6（t- ）= （3t﹣50°），
3 2
解得：t＝30（s）
综上所述t的值为5或30．
②逆时针旋转时：如图3中，当射线OP在射线OB的上方时，1 1
∵∠POB= （140°﹣4t）﹣40°＝30°﹣2t，∠BON′= （100°﹣4t）＝50°﹣2t，
2 2
∴∠PON′＝∠BON′﹣∠POB＝20°
∴|∠BOP﹣∠MON′|＝|∠BOM+∠PON′|＝40°，
1
当OP与OB重合时， （140°﹣4t）﹣40°＝0，解得t＝15．
2
∴0≤t≤15时，|∠BOP﹣∠MON′|的值不变，是40°．
10 70
当射线OP返回时与OB重合时．时间t＝20+ = ，
3 3
当运动到射线OD与OA共线时，60°+6（t﹣20）＝180°时，解得t＝40，
70
观察图象可知， ≤t≤40时，|∠BOP﹣∠MON′|的值不变，是40°．
3
140
当射线OD运动到与射线OB共线时，20°+6（t﹣20）＝180°，解得t= ，
3
140
当 ≤t≤50时，如图4中，同法可得，∠PON′＝20°，
3
∴|∠BOP﹣∠MON′|＝|∠BOM+∠PON′|＝40°，
70 140
综上所述，满足条件的t的值为：0≤t≤15或 ≤t≤40或 ≤t≤50．
3 3总结提升：本题考查旋转的综合题，掌握根据角平分线的定义，利用已知条件找到角的
等量关系，分类讨论是解决本题的关键．
12．（2016秋•荔湾区期末）已知∠AOB＝100°，∠COD＝40°，OE平分∠AOC，OF平分
∠BOD．
（1）如图1，当OB，OC重合时，求∠EOF的度数；
（2）如图2，当∠COD从图1所示位置绕点O顺时针旋转n°（0＜n＜90）时，∠AOE
﹣∠BOF的值是否为定值？若是定值，求出∠AOE﹣∠BOF的值；若不是，请说明理由．
1 1
思路引领：（1）根据角平分线的定义知∠EOB= ∠AOB、∠BOF= ∠COD，再根据
2 2
∠EOF＝∠EOB+∠BOF可得答案；
（2）分两种情况讨论：0＜n≤80；80＜n＜90．
解：（1）∵OE平分∠AOC，
1
∴∠EOB= ∠AOB，
2
∵OF平分∠BOD，
1
∴∠BOF= ∠COD，
2
∴∠EOF＝∠EOB+∠BOF
1 1
= ∠AOB+ ∠COD
2 2
1 1
= ×100°+ ×40°
2 2
＝70°；
（2）∠AOE﹣∠BOF的值不是定值，理由是：
当0＜n≤80时，如图2．∠AOE﹣∠BOF的值是定值，理由是：
∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝100°+n°，
∠BOD＝∠BOC+∠COD＝n°+40°，
∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
1 100°+n° 1 n°+40°
∴∠AOE= ∠AOC= 、∠BOF= ∠BOD= ，
2 2 2 2100°+n° n°+40°
∴∠AOE﹣∠BOF= - =30°；
2 2
当80＜n＜90时，如图3．
1 1
∠AOE= （360°﹣100°﹣ ）＝130°- n°，
2 2
1 α
∠BOF= （40°+n°），
2
则∠AOE﹣∠BOF＝110°﹣n°，不是定值．
总结提升：本题主要考查角的计算和角平分线的定义，熟练掌握角平分线的性质是解题
的关键．
13．（2015秋•武昌区期末）已知∠AOB＝100°，∠COD＝40°，OE平分∠AOC，OF平分
∠BOD．（本题中的角均为大于0°且小于等于180°的角）．
（1）如图1，当OB、OC重合时，求∠EOF的度数；
（2）当∠COD从图1所示位置绕点O顺时针旋转n°（0＜n＜90）时，∠AOE﹣∠BOF
的值是否为定值？若是定值，求出∠AOE﹣∠BOF的值；若不是，请说明理由．
（3）当∠COD 从图 1 所示位置绕点 O 顺时针旋转 n°（0＜n＜180）时，满足
∠AOD+∠EOF＝6∠COD，则n＝ ．
思路引领：（1）首先根据角平分线的定义求得∠EOB和∠COF的度数，然后根据
∠EOF＝∠EOB+∠COF求解；
（2）解法与（1）相同，只是∠AOC＝∠AOB+n°，∠BOD＝∠COD+n°；
（3）利用n表示出∠AOD，求得∠EOF的度数，根据∠AOD+∠EOF＝6∠COD列方程
求解．
解：（1）∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，1 1 1 1
∴∠EOB= ∠AOB= ×100°＝50°，∠COF= ∠COD= ×40°＝20°，
2 2 2 2
∴∠EOF＝∠EOB+∠COF＝50°+20°＝70°；
（2）∠AOE﹣∠BOF的值不是定值，理由是：
当0＜n＜80时，如图2．∠AOE﹣∠BOF的值是定值，理由是：
∠AOC＝∠AOB+n°，∠BOD＝∠COD+n°，
∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
1 1 1 1
∴∠AOE= ∠AOC= （100°+n°），∠BOF= ∠BOD= （40°+n°），
2 2 2 2
1 1
∴∠AOE﹣∠BOF= （100°+n°）- （40°+n°）＝30°；
2 2
当n＝80时，∠AOC＝180°不合题意舍去，
当80＜n＜90时，如图3．
1 1
∠AOE= （360°﹣100°﹣ ）＝130°- n°，
2 2
1 α
∠BOF= （40°+n°），
2
则∠AOE﹣∠BOF＝110°﹣n°，不是定值；
（3）当0＜n＜40时，C和D在OA的右侧，
∠AOD＝∠AOB+∠COD+n°＝100°+40°+n°＝140°+n°，
1 1
∠EOF＝∠EOC+∠COF＝∠EOC+∠COD﹣∠DOF= （100°+n°）+40°- （40°+n°）
2 2
＝70°，
∵∠AOD+∠EOF＝6∠COD，
∴（140+n）+70°＝6×40，
∴n＝30．
当40≤n＜80时，如图2所示，D在OA的左侧，C在OA的右侧．
当∠AOD＝∠AOB+∠COD+n°＞180°时，∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠COD＝220°﹣n°，
∠EOF＝70°，
∵∠AOD+∠EOF＝6∠COD，
∴220°﹣n°+70°＝6×40°，
解得n＝50．
当80＜n＜140时，如图3所示，
1 1
∠AOD＝360°﹣100°﹣40°﹣ ＝220°﹣n°，∠EOF＝360°﹣（130°- n）- （40°+n）
2 2
﹣100°＝110°， α
则（220﹣n）+110°＝240°，解得n＝90°；
当140≤n＜180时，
∠AOD＝220°﹣n°，∠EOF＝70°，
则220﹣n+70＝240，解得n＝50（舍去）．
故答案是：30或50或90．
总结提升：本题考查了角度的计算以及角的平分线的性质，理解角度之间的和差关系是
关键．
14．（2016秋•武昌区校级期末）如图，两条直线 AB、CD相交于点 O，且∠AOC＝
∠AOD，射线OM（与射线OB重合）绕O点逆时针方向旋转，速度为15°/s，射线ON
（与射线OD重合）绕O点顺时针方向旋转，速度为12°/s．两射线OM、ON同时运动，
运动时间为t秒．（本题出现的角均指小于平角的角）
（1）图中一定有 个直角；当t＝2时，∠MON的度数为 ，∠BON的度数为
，∠MOC的度数为 ．
（2）当0＜t＜12时，若∠AOM＝3∠AON﹣60°，试求出t的值；
7∠COM+2∠BON
（3）当0＜t＜6时，探究 的值，在t满足怎样的条件是定值，在t
∠MON
满足怎样的条件不是定值．思路引领：（1）根据两条直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝∠AOD，可得图中一定
有4个直角；当t＝2时，根据射线OM，ON的位置，可得∠MON的度数，∠BON的度
数以及∠MOC的度数；
（2）分两种情况进行讨论：当 0＜t≤7.5时，当7.5＜t＜12时，分别根据∠AOM＝
3∠AON﹣60°，列出方程式进行求解，即可得到t的值；
10
（3）先判断当∠MON为平角时t的值，再以此分两种情况讨论：当0＜t＜ 时，当
3
10 7∠COM+2∠BON
＜t＜6时，分别计算 的值，根据结果作出判断即可．
3 ∠MON
解：（1）如图所示，∵两条直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝∠AOD，
∴∠AOC＝∠AOD＝90°，
∴∠BOC＝∠BOD＝90°，
∴图中一定有4个直角；
当t＝2时，∠BOM＝30°，∠NON＝24°，
∴∠MON＝30°+90°+24°＝144°，∠BON＝90°+24°＝114°，∠MOC＝90°﹣30°＝60°；
故答案为：4；144°，114°，60°；
（2）当ON与OA重合时，t＝90÷12＝7.5（s），
当OM与OA重合时，t＝180°÷15＝12（s），
如图所示，当0＜t≤7.5时，∠AON＝90°﹣12t°，∠AOM＝180°﹣15t°，
由∠AOM＝3∠AON﹣60°，可得
180°﹣15t°＝3（90°﹣12t°）﹣60°，
10
解得t= ；
7如图所示，当7.5＜t＜12时，∠AON＝12t°﹣90°，∠AOM＝180°﹣15t°，
由∠AOM＝3∠AON﹣60°，可得
180°﹣15t°＝3（12t°﹣90°）﹣60°，
解得t＝10；
10
综上所述，当∠AOM＝3∠AON﹣60°时，t的值为 s或10s；
7
（3）当∠MON＝180°时，∠BOM+∠BOD+∠DON＝180°，
∴15t°+90°+12t°＝180°，
10
解得t= ，
3
10
①如图所示，当0＜t＜ 时，
3
∠COM＝90°﹣15t°，∠BON＝90°+12t°，
∠MON＝∠BOM+∠BOD+∠DON＝15t°+90°+12t°，
7∠COM+2∠BON 7(90°-15t°)+2(90°+12t°) 810°-81t°
∴ = = （ 不 是 定
∠MON 15t°+90°+12t° 27t+90°
值），
10
②如图所示，当 ＜t＜6时，
3∠COM＝90°﹣15t°，∠BON＝90°+12t°，
∠MON＝360°﹣（∠BOM+∠BOD+∠DON）＝360°﹣（15t°+90°+12t°）＝270°﹣27t°，
7∠COM+2∠BON 7(90°-15t°)+2(90°+12t°) 810°-81t°
∴ = = =3（定值），
∠MON 270°-27t° 270°-27t°
10 7∠COM+2∠BON 10
综上所述，当0＜t＜ 时， 的值不是定值，当 ＜t＜6时，
3 ∠MON 3
7∠COM+2∠BON
的值是3．
∠MON
总结提升：本题属于角的计算综合题，主要考查了角的和差关系的运用，解决问题的关键
是将相关的角用含t的代数式表示出来，并根据题意列出方程进行求解，以及进行分类讨
论，解题时注意方程思想和分类思想的灵活运用．
