文档内容
第 03 讲 矩形的性质和判定
【题型1 利用矩形的性质求角度】
【题型2根据矩形的性质求线段长】
【题型3根据矩形的性质求面积】
【题型4矩形与折叠问题】
【题型5直角三角形斜边上的中线】
【题型6矩形的判定】
【题型7 矩形的性质与判定综合】
考点 1：矩形的性质
※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。矩形是特殊的平行四边形。
※矩形的性质：（1）具有平行四边形的性质
（2）对角线相等
（3）四个角都是直角。
注意：（矩形是轴对称图形，有两条对称轴）
【题型1 利用矩形的性质求角度】
【典例1】（2024八年级下·全国·专题练习）如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于
点O，AE平分∠BAD交BC于点E，如果BO=BE，那么∠BOE的度数为（ ）
A．55° B．65° C．75° D．67.5°
【变式1-1】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，已知在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，∠BAE:∠EAD=3:2，则∠CAE的度数是（ ）
A．36° B．54° C．18° D．以上都不对
【变式1-2】（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，矩形ABCD的顶点A，C分别在
直线a，b上．若a∥b且∠1=40°，则∠2的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【变式1-3】（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，四边形ABCD是矩形，分别以点A
1
和点C为圆心，大于 AC长为半径作弧，两弧交于点M，N；作直线MN分别交
2
AD，BC于点E，F，连接AF，CE，若∠ACB=28°，则∠BAF= ．
【题型2根据矩形的性质求线段长】
【典例2】（24-25九年级上·河北保定·期末）如图，在矩形ABCD中，若对角线AC=4，
则BD= ．【变式2-1】（24-25九年级上·宁夏银川·期末）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交
于点O，若AB=6cm，BC=8cm，则△ABO的周长是 cm．
【变式2-2】（22-23八年级下·广东深圳·期末）如图，在矩形ABCD中，P,Q分别是
BC,DC上的点，E、F分别是AP、PQ的中点，BC=12，DQ=5，则线段EF的
长为 ．
【变式2-3】（2024·江苏南京·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，按以下步骤作图：①分
1
别以点B和D为圆心，以大于 BD的长为半径作弧，两弧相交于点E和F，②作直线
2
EF分别与DC，DB，AB交于点M，O，N，若DM=5，CM=3，则MN= ．
【题型3根据矩形的性质求面积】
【典例3】（23-24八年级下·内蒙古呼伦贝尔·期末）如图，矩形ABCD面积为40，点P在
边CD上，PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分别为E，F．若AC=10，则PE+PF=
（ ）．A．4 B．2.5 C．5 D．10
【变式3-1】（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一
点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E，F，连接PB，PD．若AE=2，
PF=8，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．10 B．12 C．16 D．18
【变式3-2】（24-25九年级上·内蒙古赤峰·阶段练习）如图，若将四根木条钉成的矩形木
框变形为平行四边形ABCD，并使其最小内角为30°，则这个四边形周长不变，面积
变为原来的 ．
【变式3-3】（22-23八年级下·甘肃庆阳·期末）如图，在矩形ABCD中，过对角线BD上一
点K分别作MN∥AD，PQ∥AB，其中点M，N，P、Q分别在边AB、CD、AD、
BC上，记四边形AMKP的面积为S ，四边形CNKQ的面积为S ，则S 与S 的大小关
1 2 1 2
系是 ．
【题型4矩形与折叠问题】
【典例4】（23-24八年级下·山西·期末）如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C
落在C′处，BC′交AD于E，AD=8，AB=4，则DE的长为（ ）A．6 B．5 C．4 D．3
【变式4-1】（22-23八年级下·安徽合肥·期中）如图，在长方形ABCD中，AB=8、
AD=10，点E为DC边上的一点，将△ADE沿直线AE折叠，点D刚好落在BC边上的
点F处，则DE的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式4-2】（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，将一个边长分别为AB=4,BC=8的
矩形纸片ABCD折叠，使点C与A重合，点D翻折到点D′处，则折痕EF的长是（ ）
A．❑√3 B．2❑√3 C．❑√5 D．2❑√5
【变式4-3】（23-24八年级上·广东肇庆·阶段练习）如图，在矩形ABCD中，BC=6，
CD=3，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点C′处，BC′交AD于点E，则线段
DE的长为 ．考点2：直角三角形斜边上的中线
直角三角形斜边上的中线 等于斜边的一半
【题型5直角三角形斜边上的中线】
【典例5】（23-24八年级下·河南漯河·期中）如图，在△ABC中，AB=6，BC=12，点
D、E分别是边AB、AC的中点，点F是线段DE上的一点，连接AF，BF，若
∠AFB=90°，则线段EF的长为 ．
【变式5-1】（23-24八年级下·云南昆明·期中）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是
∠BAC的平分线，且AD=8，BC=12，点E是AC的中点，则DE的值为 ．
【变式5-2】（22-23八年级下·山东泰安·阶段练习）如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AM的长为1km，则M，C两点间的距离为
km．
【变式5-3】（22-23九年级下·四川内江·阶段练习）如图，边长为2的正△ABC，两顶点
A、B 分别在直角∠MON的两边上滑动，点C在∠MON的内部，则OC的长的最大
值为 ；
考点3：矩形的判定
※矩形的判定：（1）有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。
（2）对角线相等的平行四边形是矩形。
（3）四个角都相等的四边形是矩形。
【题型6矩形的判定】
【典例6】（2024·四川内江·二模）在 ▱ABCD中，BE⊥CD于点E，点F在AB上，且
AF=CE，连接DF．(1)求证：△ADF≌△CBE；
(2)连接CF，若CF平分∠BCD，且CE=3，BE=4，判断四边形BEDF的形状，并
求其面积．
【变式6-1】（23-24八年级下·福建福州·期中）如图， ▱ABCD的对角线AC，BD相交于
O，将△ABO平移到△DCE，若AC=2，BD=4，AB=❑√5，求证：四边形OCED是
矩形．
【变式6-2】（23-24八年级下·甘肃陇南·期末）如图，四边形ABCD为平行四边形，
∠DBC=90°，点E在CB的延长线上，且EB=BC，连接AE、DE．
(1)求证：四边形AEBD是矩形；
(2)若CD=10,CB=6，求四边形AECD的面积．【变式6-3】（23-24八年级下·河南南阳·期末）如图，在 ▱ABCD中，O是AD的中点，连
接BO，BO,CD的延长线相交于点E，连接AE,BD．
(1)求证：四边形ABDE是平行四边形．
(2)若∠BOD=2∠C，求证：四边形ABDE是矩形．
【题型7 矩形的性质与判定综合】
【典例7】（2024·贵州黔东南·二模）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相
交于点O，AD⊥DB，点E，F分别是CD，BC的中点．
(1)求证：四边形OEFB是矩形；
(2)若AD=4，AC=10，求四边形OEFB的面积．
【变式7-1】（23-24八年级下·浙江台州·期末）如图，在 ▱ABCD中，对角线BD⊥CD，
延长CD至点E，使得DE=CD，连接AE．(1)求证：四边形ABDE为矩形；
(2)连接BE，若∠CBD=30°，CD=2，求BE的长．
【变式7-2】（23-24八年级下·湖北十堰·期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D
是AB上一点，AD=DC，DE平分∠ADC交AC于点E，DF平分∠BDC交BC于点
F，∠DFC=90°．
(1)求证：四边形CEDF是矩形；
(2)若∠B=30°，AD=2，连接BE，求BE的长．
【变式7-3】（23-24八年级下·广东江门·期末）如图，在四边形ABCD中，已知
AB∥DC,AD∥BC,∠BAD=∠D，点E为DC边的中点，点F为BC边的中点，延
长AF,DC交于点G．(1)求证：四边形ABCD为矩形；
(2)若AB=6,∠AED=2∠BAF，求四边形ABCD的面积．
一、单选题
1．（23-24八年级下·湖南邵阳·期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=2cm，点
D为AB的中点，则CD=（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
2．（23-24八年级下·广西防城港·期末）如图，李师傅在做门窗时，不仅要测量门窗两组对
边的长度是否分别相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形．其中的道理是（ ）
A．有三个角是直角的四边形是矩形 B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．有一个角是直角的平行四边形是矩形D．对角线相等的四边形是矩形
3．（22-23八年级下·黑龙江绥化·期末）矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，如
果∠ADO=75°，那么∠AOD的度数是（ ）
A．30° B．55° C．60° D．75°
4．（22-23八年级下·广东韶关·期末）把一张长方形纸片ABCD按如图方式折叠，使顶点B
和点D重合，折痕为EF．若AB=4，BC=8，则DF的长为（ ）
A．3 B．4 C．4.8 D．5
二、填空题
5．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，∠BOD=60°，BO=DO，点A在OB
上，四边形ABCD是矩形，且AB=3，连接AC,BD交于点E，连接OE．则OE=
．6．（23-24八年级下·湖北十堰·期末）工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：先截出
两对符合规格的铝合金窗料（如图①），使AB=CD、EF=GH；然后摆放成如图②
四边形；将直角尺紧靠窗框的一个角（如图③）调整窗框的边框，当直角尺的两条直
角边与窗框无缝隙时（如图④），说明窗框合格，这时窗框是 形，根据的
数学原理是： ．
7．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点
O，过点A作AE⊥BD，点E恰好为BO的中点，BD=2cm，则矩形ABCD的面积为
cm2．
8．（2022·青海·中考真题）如图矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线
分别交AD和BC于点E，F，AB=3，BC=4，则图中阴影部分的面积为 ．
9．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）如图，矩形ABCD中，AB=5，AD=12，点P在
对角线BD上，且BP=BA，连接AP并延长，交DC的延长线于点Q，连接BQ，则BQ的长为 ．
三、解答题
10．（2024·山东济南·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，
BE⊥AC，CF⊥BD垂足分别为E，F．求证：BE=CF．
11．（23-24八年级下·四川宜宾·期末）如图，已知点E、F在 ▱ABCD的对角线BD上，
且AE⊥CE于点E，∠BAE=∠DCF．
求证：
(1)△ABE≌△CDF；
(2)四边形AECF为矩形．
12．（23-24八年级下·河北唐山·期末）如图，平行四边形ABCD中，AC⊥BC，过点D
作DE∥AC交BC的延长线于点E．(1)求证：四边形ADEC是矩形；
(2)若AB=13，AC=12，求四边形ADEB的面积．
