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专题21 平行四边形中的最值小题特训30道
1．如图，在直角三角形 中，， ， ，点 为 上任意一点，连接 ，以
， 为邻边作平行四边形 ，连接 ，则 的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】B
【分析】设PQ与AC交于点O，作 于 ，根据直角三角形的性质得 ，
根据勾股定理得 ，根据平行四边形的性质得 ，根据 ，
得 ，当P与 重合时，OP的值最小，则PQ的值最小，进行计算
即可得．
【详解】解：如图所示，设PQ与AC交于点O，作 于 ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形PAQC是平行四边形，
∴ ，
∵ ， ，∴ ，
当P与 重合时，OP的值最小，则PQ的值最小，
∴PQ的最小值为： ，
故选：B．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理的应用，平行四边形的性质，垂线段最短的性
质，解题的关键是掌握平行四边形的性质和垂线段最短的性质．
2．如图，在平行四边形 中， ．点M是 边的中点，点N是
边上的一个动点．将 沿 所在的直线翻折到 ，连接 ．则线段 长度的
最小值为（ ）
A．5 B．7 C． D．
【答案】A
【分析】由折叠可得 ，当 三点共线时， 的长度最小， 根
据勾股定理分别求出 的长度，即可求 长度的最小值．
【详解】解：如图：连接 ，作 ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ 且 ，∴ ，
∴ ；
∵M是 中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
∵折叠，
∴ ，
∴当 三点共线时， 的长度最小，
∴此时，
故选：A．
【点睛】本题考查了折叠问题，勾股定理，平行四边形的性质，关键是构造直角三角形求 的
长度．
3．如图，在菱形 中，E，F分别是边 ， 上的动点，连接 ， ，G，H分别为
， 的中点，连接 ．若 ， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接 ，利用三角形中位线定理，可知 ，求出 的最小值即可解决问题．
【详解】解：连接 ，如图所示：四边形 是菱形，
，
， 分别为 ， 的中点，
是 的中位线，
，
当 时， 最小， 得到最小值，
则 ，
，
是等腰直角三角形，
，
，
即 的最小值为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质、垂线段
最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
4．如图 ，在平行四边形 中 ， ，AB=4 ，AD=8 ， 点 、 分别是边CD、
上的动点．连接 、 ，点 为 的中点 ，点 为 的中点 ，连接 ．则 的最
大值与最小值的差为（ ）A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】如图，取AD的中点M，连接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N．首先证明∠ACD＝90°，
求出AC，AN，利用三角形中位线定理，可知EF＝ AG，求出AG的最大值以及最小值即可解决
问题．
【详解】解：如图，取AD的中点M，连接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N．
∵四边形ABCD是平行四边形，∠BCD＝120°，
∴∠D＝180°−∠BCD＝60°，AB＝CD＝4，
∵AM＝DM＝DC＝4，
∴△CDM是等边三角形，
∴∠DMC＝∠MCD＝60°，AM＝MC，
∴∠MAC＝∠MCA＝30°，
∴∠ACD＝90°，
∴AC＝
在Rt ACN中，∵AC＝ ，∠ACN＝∠DAC＝30°，
△
∴AN＝ AC＝
∵AE＝EH，GF＝FH，
∴EF＝ AG，
∵点G在BC上，∴AG的最大值为AC的长，最小值为AN的长，
∴AG的最大值为 ，最小值为 ，
∴EF的最大值为 ，最小值为 ，
∴EF的最大值与最小值的差为：故选C．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定和性质、直角三
角形30度角性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，本题的突破点是证明
∠ACD＝90°，属于中考选择题中的压轴题．
5．如图，△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC＝8，P为AB边上的一动点，以PA，PC为边作平行
四边形PAQC，则线段AQ长度的最小值为（ ）
A．6 B．8 C． D．
【答案】D
【分析】根据平行四边形的性质，垂线段最短，可以得到当CP⊥AB时，CP取得最小值，此时CP
的值就是AQ的最小值，从而可以解答本题．
【详解】解：∵四边形PAQC是平行四边形，
∴AQ＝PC，
∴要求AQ的最小值，只要求PC的最小值即可，
∴当CP⊥AB时，CP取得最小值，
∵∠BAC＝45°，
，
设 ，
在Rt△APC中，AB＝AC＝8，
则 ，即 ，
解得 ，
故选：D．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数
形结合的思想解答．
6．如图， 中， ， ，D为 边上一动点，E为平面内一点，以点B、
C、D、E为顶点的四边形为平行四边形，则 的最小值为（ ）A． B． C． D．4
【答案】C
【分析】首先根据已知得出 最小时 ， 的位置，进而利用三角形面积求出 的长，进而得
出答案．
【详解】解：当 为边时， ．
当 为对角线时，如图所示：过点 作 于点 ，
过点 作 于点 ，当 于点 时，此时 最小，
， ， ，
，
，
，
，
四边形 是平行四边形， ， ，
．
，
的最小值为： ．
故选：C．【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定以及三角形面积和勾股定理等知识，根据已知得出 ，
的位置是解题关键．
7．在平面直角坐标系中，已知四边形 各顶点坐标分别是： ，
且 ，那么四边形 周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】如图，把 向上平移一个单位得： ，作 关于直线 的对称点
连接 ，交直线 于 连接 ，则此时四边形 的周长最短，再利用勾
股定理可得： ，利用
从而可得答案．
【详解】解：如图，把 向上平移一个单位得： ，作 关于直线 的对称点
连接 ，交直线 于 连接 ，
，
由
四边形 是平行四边形，
所以此时：四边形 的周长最短，故选：
【点睛】本题考查的是图形与坐标，勾股定理的应用，轴对称的性质，平行四边形的判定与性质，
掌握以上知识是解题的关键．
8．在平行四边形ABCD中，BC＝4，∠B＝60°，过点A分别作BC，CD的垂线，垂足分别为M、
N，连接MN，则MN的最小值为（ ）
A． B．3 C．2 D．2
【答案】B
【分析】由平行四边形的性质和直角三角形的性质可求FC，AN，EN，AE的长，即可求解．
【详解】解：如图，过点C作CF⊥AB于点F，过点N作NE⊥AD于E，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ，∠B＝∠D＝60°，∵CF⊥AB，AN⊥CD，
∴ ，∠BCF＝30°，
∴四边形AFCN是平行四边形，BF BC＝2，CF BF＝2 ，
∴AN＝CF＝2 ，
∵AN⊥CD，∠D＝60°，
∴∠NAD＝30°，
∴EN AN ，AE EN＝3，
∵AM⊥BC，NE⊥AD，
∴ ，
∴当MN⊥EN时，MN有最小值为3，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造直角三角形是
解题的关键．
9．如图，在平行四边形ABCD纸片中，∠BAD=45°，AB=10．将纸片折叠，使得点A的对应点A
＇落在BC边上，折痕EF交AB、AD、AA＇分别于点E、F、G． 继续折叠纸片，使得点C的对
应点C＇落在A＇F上．连接GC＇，则GC＇的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】如图，作GH⊥AD，BR⊥AD， ， ，利用角平分线和中位线的性质求得
的长度，根据垂线段最短，即可求解．
【详解】解：如图，作GH⊥AD，BR⊥AD，GP⊥A＇F，A＇Q⊥AD，∵∠BAD=45°，AB=10
∴ 为等腰直角三角形，
由题意可得， 垂直平分 ， ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，当 、 两点重合时，
即 的最小值为
故选：B．
【点睛】此题考查了轴对称的性质，角平分线的性质，等腰直角三角形的性质，中位线的性质，
垂线段最短，解题的关键是作出合适的辅助线，灵活运用相关性质进行求解．
10．如图，在 中， ， ， ， 为 上的动点，连接 以 、
为边作平行四边形 ，则 长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由勾股定理可去 ，由平行四边形的性质可得 ，由平行线之间的距离和垂
线段最短可得当 时， 有最小值，即可求解．
【详解】解：如图，， ， ，
，
四边形 是平行四边形，
，
当 时， 有最小值，
有最小值为 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，平行线之间的距离，灵活运用这些性质是本
题的关键．
11．如图，在▱ABCD中，AB＝2，BC＝4，∠D＝60°，点P、Q分别是AC和BC上的动点，在点P
和点Q运动的过程中，PB+PQ的最小值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．4
【答案】C
【分析】取BC的中点G，连接AG．首先证明∠BAC＝90°，作点B关于AC的对称点F，连接
GF，证FG⊥BC，则FG的长即为PB+PQ的最小值．
【详解】解：取BC的中点G，连接AG．在▱ABCD中，AB＝2，BC＝4，∠D＝60°，
∴AB＝BG＝2，∠ABG＝∠D＝60°，
∴△ABG是等边三角形，
∴AG＝GC＝2，∠AGB＝∠BAG＝60°，
∴∠GAC＝∠GCA＝30°，
∴∠BAC＝90°，作点B关于AC的对称点F，连接GF， 交AC于点P，由对称可知，B、A、F在一条直线上，
AG＝AF，
∵∠BAG＝∠F+∠AGF＝60°，
∴∠F＝∠AGF＝30°，
∴∠FGB＝90°，
当点Q与点G重合时，PB+PQ=PF+PG=FG，FG的长即为PB+PQ的最小值，
∵∠F＝∠AGF＝30°，AG＝GC＝2，
∴BF＝4，
，
∴BP+PQ的最小值为2 ．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了轴对称﹣最短路线问题，勾股定理，等边三角形的性质，根据垂线段最
短作出辅助线，确定点P，Q的位置是解答此题的关键．
12．如图，矩形 中， ， ，点 ， ， ， 分别在矩形 各边上，且四
边形 为平行四边形，则平行四边形 周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】如图，作点E关于BC的对称点E＇，连接FE＇，GE＇，当G、F、E＇共线时，平行四
边形EFGH周长最小，过G作GG＇⊥AB于G＇，证明△AHE≌△CFG（AAS）得AE=CG，根据矩
形的性质和对称性质可证得G＇E＇=AB=8，GG＇=BC=4，由勾股定理求得GE＇的长即可解答．
【详解】解：∵四边形EFGH是平行四边形，
∴HE=GF，HE∥GF，
∴平行四边形EFGH的周长为2（GF+EF），
作点E关于BC的对称点E＇，连接FE＇，GE＇，则EF=FE＇，BE=BE＇，
∴GF+EF=GF+FE＇≥GE＇，
∴当G、F、E＇共线时，平行四边形EFGH周长最小，最小值为2GE＇，
过G作GG＇⊥AB于G＇，则四边形BCGG＇是矩形，
则GG＇=BC=4，CG=BG＇，
∵HE∥GF，EF=FE＇，
∴∠AEH=∠E＇=∠FGC，
在△AHE和△CFG中，
，
∴△AHE≌△CFG（AAS），
∴AE=CG，
∴G＇E＇=BE＇+BG＇=BE+AE=AB=8，
在Rt△GG′E′中，GG＇=4，G＇E＇=8，
∴ ，
∴平行四边形EFGH周长最小值为 ．
故选：B．
【点睛】本题考查矩形的判定与性质、平行四边形的性质、对称性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、平行线的性质、最短路径问题等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
13．如图， 的顶点A，D分别在直角 的两边OM，ON上运动（不与点O重合），
的对角线AC，BD相交于点P，连接OP，若 ，则 的周长最小值是（
）．
A．20 B．25 C．10 D．15
【答案】A
【分析】由平行四边形的性质可得AP=PC，由三角形中位线定理和直角三角形的性质可得PH=
，OH= AD，利用三角形三边关系得出AB+AD≥2OP=10，即可求解．
【详解】解：如图，取AD的中点H，连接PH,OH,
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴.AP=PC，
∵点H是AD中点，∠AOD=90°，
∴.PH= ，OH= AD，
∴OH+PH≥OP，
∴AB+AD≥2OP=10，
∴平行四边形ABCD的周长最小值为2（AB+AD）=20，
故选：A．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，三角形三边关系，直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
14．如图，在平行四边形 中， ， ， ， 是 边的中点， 是线段
上的动点，将 沿 所在直线折叠得到 ，连接 ，则 的最小值是（ ）
A． B．6 C．4 D．
【答案】D
【分析】点 的运动轨迹以E为圆心，以AE的长为半径的圆，则当点 落在DE上时， 取
最小值，根据折叠的性质利用勾股定理即可求解．
【详解】解：点 的运动轨迹以E为圆心，以AE的长为半径的圆，则当点 落在DE上时，
取最小值，如图所示：
∵AB=4，E是AB边的中点，
∴AE=BE=2，
由 沿 所在直线折叠得到 ，
∴ ，
在平行四边形ABCD中，
∵∠B=60°，
∴∠BEG=∠AEH=30°，
∴BG=AH=1，
，
∴DH=AD=AH=6+1=7，
在Rt△DHE中，由勾股定理得：
，
∴ ，∴ 的最小值是 ，
故选：D．
【点睛】本题考查了折叠的性质，平行四边形的性质，两点之间线段最短的综合应用，勾股定理，
含30°角的直角三角形，确定点 的位置，利用勾股定理解决问题是解题的关键．
15．如图，在 中， ， ， ，D为AB边上一点，将DC平移到AE（点
D与点A对应），连接DE，则DE的最小值为（ ）
A． B．2 C．4 D．
【答案】A
【分析】过点C作CG⊥AB于点G，连接CE，根据 ， ， ，运用勾股定理
的逆定理，证明 ABC是直角三角形，得到∠ACB=90°，根据平移性质证明四边形ADEC是平行四
边形，得到CE∥△AD，根据当DE⊥AB时， DE最小，此时，根据∠DEC=∠ECG=90°，证明四边形
EDGC是矩形，得到DE=CG，运用面积法得到 ，求出 ，得
到DE的最小值为 ．
【详解】过点C作CG⊥AB于点G，连接CE，
则∠AGC=90°，
∵ 中， ， ， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，∠ACB=90°，
由平移知，AE∥CD，AE=CD，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∴CE∥AD，当DE⊥AB时， DE最小，
此时，∠DEC=∠ECG=90°，
∴四边形EDGC是矩形，
∴DE=CG，
∵
∴
∴ ，
∴ ，
∴DE的最小值为 ．
故选A．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，平移，平行四边形，三角形面积，垂线段，解决问
题的关键是添加辅助线，熟练掌握用勾股定理的逆定理判断直角三角形，平移的性质，平行四边
形的判定和性质，三角形面积公式，垂线段最短的性质．
16．如图，已知 ▱OABC的顶点A，C分别在直线x＝1和x＝4上，O是坐标原点，则对角线OB长
的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】过点B作BD⊥直线x＝4，交直线x＝4于点D，过点B作BE⊥x轴，交x轴于点E．则OB＝ ．由于四边形OABC是平行四边形，所以OA＝BC，又由平行四边形的性质可推得
∠OAF＝∠BCD，则可证明△OAF≌△BCD，所以OE的长固定不变，当BE最小时，OB取得最小
值，从而可求．
【详解】解：过点B作BD⊥直线x＝4，交直线x＝4于点D，过点B作BE⊥x轴，交x轴于点E，
直线x＝1与OC交于点M，与x轴交于点F，直线x＝4与AB交于点N，如图：
∵四边形OABC是平行四边形，
∴∠OAB＝∠BCO，OC AB，OA＝BC，
∵直线x＝1与直线x＝4均垂直于x轴，
∴AM CN，
∴四边形ANCM是平行四边形，
∴∠MAN＝∠NCM，
∴∠OAF＝∠BCD，
∵∠OFA＝∠BDC＝90°，
∴∠FOA＝∠DBC，
在△OAF和△BCD中，
，
∴△OAF≌△BCD．
∴BD＝OF＝1，
∴OE＝4+1＝5，
∴OB＝ ．
由于OE的长不变，所以当BE最小时（即B点在x轴上），OB取得最小值，最小值为OB＝OE＝
5．
故选：C．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握
平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
17．如图，在平行四边形 中， ， ， ，点 是折线 上
的一个动点(不与 、 重合)．则 的面积的最大值是( )
A． B．1 C． D．
【答案】D
【分析】分三种情况讨论：①当点E在BC上时，高一定，底边BE最大时面积最大；②当E在CD
上时，△ABE的面积不变；③当E在AD上时，E与D重合时，△ABE的面积最大，根据三角形的面
积公式可得结论．
【详解】解：分三种情况：
①当点E在BC上时，E与C重合时，△ABE的面积最大，如图1，
过A作AF⊥BC于F，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠C+∠B=180°，
∵∠C=120°，
∴∠B=60°，
Rt△ABF中，∠BAF=30°，
∴BF= AB=1，AF= ，
∴此时△ABE的最大面积为： ×4× =2 ；②当E在CD上时，如图2，此时，△ABE的面积= S▱ABCD = ×4× =2 ；
③当E在AD上时，E与D重合时，△ABE的面积最大，此时，△ABE的面积=2 ，
综上，△ABE的面积的最大值是2 ；
故选：D．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，三角形的面积，含30°的直角三角形的性质以及勾股定理等
知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，并运用分类讨论的思想解决问题．
18．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线AB与y轴交于点A（0，6），与x轴的负半轴交
于点B，且∠BAO＝30°， M、N是该直线上的两个动点，且MN＝2，连接OM、ON，则△MON
周长的最小值为 （ ）
A．2＋3 B．2＋2 C．2＋2 D．5＋
【答案】B
【详解】解：如图作点O关于直线AB的对称点O’，作 且 ，连接O’C交AB
于点D，连接ON，MO，四边形MNOC为平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∴在 中， ，即 ，
当点M到点D的位置时，即当O’、M、C三点共线， 取得最小值，
， ，
∵设 ，则 ，
，
解得： ，
即： ， ，
，
解得： ，
，
∴ ，
∵ ，
∴
，
∵
，
∴ ，
∴在 中，，
即： ，
，
∴
故选：B．
【点睛】题目主要考查轴对称及平行线、平行四边形的性质，勾股定理解三角形， 角的直角三
角形性质，理解题意，作出相应图形是解题关键．
19．已知平面直角坐标系中，点A、B在动直线y＝mx﹣3m+4（m为常数且 ）上，AB＝5，点
C是平面内一点，以点O、A、B、C为顶点的平行四边形面积的最大值是（ ）
A．24 B．25 C．26 D．30
【答案】B
【分析】由直线关系式确定出直线过定点（3，4），平行四边形面积最大转化为求△ABO的最大
面积．
【详解】解：∵直线AB：y＝mx﹣3m+4＝m（x﹣3）+4，
∴AB过定点M（3，4），
∴OM＝5，
作OH⊥AB于H，
∴OH≤5，
∴S ABO最大＝ ，
△
∴以点O、A、B、C为顶点的平行四边形面积的最大值是25，故选：B．
【点睛】此题考查了一次函数性质，动点平行四边形面积最值问题，解题的关键是把求平行四边
形面积最大转化为求△ABO的最大面积．
20．如图，在等腰 和等腰 ， ， ， 为 的中点，则线
段 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】取AB的中点G，接DG，CG，过C作 于点H，根据三角形中位线的性质和勾
股定理解答即可．
【详解】解：取AB得中点G，连接DG，CG，过点C作 交AB延长线与H．
∵点D是AE的中点，点G是AB的中点，
∴AD = ED，AG=BG，
∴DG是 的中位线，
∴DG= BE，
∵AB=BC=BE=2，
∴DG=1，BG=1，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，∴ ，
∴ ，
∴HG= BG +BH=2，
在 中，
，
∵ ，
∴ ，
∴当且仅当D、G、C三点共线时，线段CD取最小值为 ．
故选：B．
【点睛】此题考查勾股定理，关解题的键是根据三角形的中位线定理和勾股定理解答．
21．如图四边形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，AB＝2，BC＝3，P为AB边上的一动点，以
PD，PC为边作平行四边形PCQD，则对角线PQ的长的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】过点Q作QH⊥BC，交BC的延长线于H，如图，根据AAS易证得Rt△ADP≌Rt△HCQ，可
得AD＝HC，进而可求得BH的长，则可得当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为BH的长．
【详解】解：过点Q作QH⊥BC，交BC的延长线于H，如图，
∵AD∥BC，
∴∠ADC＝∠DCH，即∠ADP+∠PDC＝∠DCQ+∠QCH，
∵PD∥CQ，
∴∠PDC＝∠DCQ，
∴∠ADP＝∠QCH，
又∵PD＝CQ，∠A=∠CHQ=90°，
∴Rt△ADP≌Rt△HCQ（AAS），∴AD＝HC，
∵AD＝1，BC＝3，
∴BH＝4，
∴当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为4．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质以及垂线段最短等知识，属于
常考题型，正确作出辅助线、熟练掌握上述知识、明确当PQ⊥AB时，PQ的长最小是解题的关键．
22．一个大平行四边形按如图方式分割成九个小平行四边形且只有标号为①和②的两个小平行四
边形为菱形，在满足条件的所有分割中，若知道九个小平行四边形中n个小平行四边形的周长，
就一定能算出这个大平行四边形的长，则n的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】设菱形①的边长为a，菱形②的周长为b，平行四边形③的周长为c．由题意易知大平行
四边形的周长＝a+b+c，由此即可判断．
【详解】如图所示：
设菱形①的边长为a，菱形②的周长为b，平行四边形③的周长为c．
由题意易知大平行四边形的周长＝a+b+c，
∴知道九个小平行四边形中小平行四边形①②③的周长，就一定能算出这个大平行四边形的周长，
∴n的最小值为3．
故选B．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是学会利用参数解决问题．23．在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的坐标分别为A（-1，0）、B（0，2）、C（3，
2）、D（2，0），点P是AD边上的一个动点，若点A关于BP的对称点为 ，则 C的最小值为
（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】由轴对称的性质可知BA=BA′，在 BA′C中由三角形三边关系可知A′C≥BC-BA′，则可求得答
案． △
【详解】解：∵平行四边形ABCD的坐标分别为A（-1，0）、B（0，2）、C（3，2）、D（2，
0），
∴AB= ＝ ，BC=3，
∵若点A关于BP的对称点为A'，
∴BA′=BA= ，
在 BA′C中，由三角形三边关系可知A′C≥BC-BA′，
△
∴A′C≥3- ，即A′C的最小值为3- ，
故选B．
【点睛】本题考查平行四这形及轴对称的性质，利用三角形的三边关系得到A′C≥BC-BA′是解题的关
键．
24．如图，已知 的顶点A、C分别在直线 和 上，O是坐标原点，则对角线OB长
的最小值为（ ）A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】当B在x轴上时，对角线OB长度最小，由题意得出∠ADO＝∠CED＝90°，OD＝1，OE＝
4，由平行四边形的性质得出OA∥BC，OA＝BC，得出∠AOD＝∠CBE，由AAS证明△AOD≌△CBE，
得出OD＝BE＝1，即可得出结果.
【详解】当B在x轴上时，对角线OB长度最小，如图所示：
直线x＝1与x轴交于点D，直线x＝4与x轴交于点E，
根据题意得：∠ADO＝∠CEB＝90°，OD＝1，OE＝4，
四边形ABCD是平行四边形，
∴OA∥BC，OA＝BC，
∴∠AOD＝∠CBE，
在△AOD和△CBE中，
，
∴△AOD≌△CBE(AAS)，
∴OD＝BE＝1，
∴OB＝OE＋BE＝5，故答案为5.
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握
平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键.
25．如图，已知：在 ▱ABCD中，AB=AD=2，∠DAB=60°，F为AC上一点，E为AB中点，则EF+BF
的最小值为____．
【答案】 ．
【详解】试题分析：首先菱形的性质可知点B与点D关于AC对称，从而可知BF=DF，则
EF+BF=EF+DF，当点D、F、E共线时，EF+BF有最小值．
解：∵ ▱ABCD中，AB=AD，
∴四边形ABCD为菱形．
∴点D与点B关于AC对称．
∴BF=DF．
连接DE．
∵E是AB的中点，
∴AE=1．
∴ =
又∵∠DAB=60°，
∴cos∠DAE= ．
∴△ADE为直角三角形．
∴DE= = = ，
故答案为 ．
【点评】本题主要考查的是最短路径、平行四边形的性质以及菱形的性质和判定，由轴对称图形的性质将EF+FB的最小值转化为DF+EF的最小值是解题的关键．
26．如图，△APB中，AB=2，∠APB=90°，在AB的同侧作正△ABD、正△APE和正△BPC，则四边
形PCDE面积的最大值是__．
【答案】1．
【详解】试题分析：先延长EP交BC于点F，得出PF⊥BC，再判定四边形CDEP为平行四边形，根
据平行四边形的性质得出：四边形CDEP的面积=EP×CF=a× b= ab，最后根据 ，判断
ab的最大值即可．
试题解析：延长EP交BC于点F，∵∠APB=90°，∠AOE=∠BPC=60°，∴∠EPC=150°，∴∠CPF=180°
﹣150°=30°，∴PF平分∠BPC，又∵PB=PC，∴PF⊥BC，设Rt△ABP中，AP=a，BP=b，则
CF= CP= b， ，∵△APE和△ABD都是等边三角形，∴AE=AP，AD=AB，
∠EAP=∠DAB=60°，∴∠EAD=∠PAB，∴△EAD≌△PAB（SAS），∴ED=PB=CP，同理可得：
△APB≌△DCB（SAS），∴EP=AP=CP，∴四边形CDEP是平行四边形，∴四边形CDEP的面积
=EP×CF=a× b= ab，又∵ ≥0，∴2ab≤ ，∴ ab≤1，即四边形
PCDE面积的最大值为1．故答案为1．
考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；最值问题．
27．如图，在平行四边形ABCD中，AB=4a，E是BC的中点，BE=2a，∠BAD=120°，P是BD上的动
点，则PE+PC的最小值为_____【答案】
【详解】试题分析：根据菱形的判定，得出平行四边形ABCD为菱形，作出E关于BD的对称点
E′，转化为线段长度的问题，再根据等边三角形的性质判断出△BCE′为直角三角形，利用勾股定理
即可求出CE′的长．
∵E是BC的中点，BE=2a，
∴BC=2BE=2×2a=4a，
故BC=AC，
∴平行四边形ABCD为菱形．
∴∠ABD=∠CBD，
∴BD是∠ABC的平分线．
作E关BD的对称点E′，
连接CE′，PE，
则PE=PE′，
此时，PE+PC=PE′+PC=CE′，
CE′即为PE+PC的最小值．
∵∠A=120°，
∴∠ABD=∠ADB=30°，
∴∠ABC=60°，
又∵BE′=BE，
∴△E′BE为正三角形，EE′=2a，∠ABE=60°，
故EE′=EC，
∠EE′C=∠ECE′=30°，
∴∠BE′C=60°+30°=90°，在Rt△BCE′中，
考点：轴对称---最短路径问题，菱形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，勾股定理
点评：本题综合性较强，难度较大，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握.
28．如图，在 中， ， ， ，点E在 上， ，点P是
边上的一动点，连接 ，则 的最小值是________．
【答案】
【分析】过点A作直线 的对称点F，连接 交 于点P，此时 有最小值，最小值为
的长，过点E作直线 的垂线，利用含30度的直角三角形的性质以及勾股定理即可求解．
【详解】解：过点A作直线 的对称点F，连接 ，连接 交 于点P，此时
有最小值，最小值为 的长，
∵点A与点F关于直线 对称，
∴ ， ，则 ，
∴ 是等边三角形，
∵在 中， ，
∴ ，
过点E作直线 的垂线，垂足为点G，
∵ ，∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值是 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，含30度的直角三角形的性质
以及勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
29．如图，∠ABC＝45°，AB＝2，BC＝2 ，点P为BC上一动点，AQ∥BC，CQ∥AP，AQ 、CQ
交于点Q，则四边形APCQ的形状是______，连接PQ，当PQ取得最小值时，四边形APCQ的周
长为_____．
【答案】 平行四边形 ##
【分析】根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可求解；当PQ是AQ和BC间距离时PQ
取得最小值，计算四边形APCQ的周长即可．
【详解】解：如图，∵AQ BC，CQ AP，
∴四边形APCQ是平行四边形．
当PQ⊥BC时，PQ取得最小值，
∵四边形APCQ是平行四边形，
∴AH=HC= AC，QH=PH= PQ，
∵∠ABC=45°，AB=2，BC= ，
∴AC=2，∠ACB=45°，∵QP⊥BC，
∴∠PHC=45°，
∴PH=PC= ，
∴PQ= ，
∴QC= ，
∴四边形APCQ的周长为：2PC+2QC=2× +2× = ，
故答案为：平行四边形； ．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，垂线段最短的性质，综合性较
强．
30．如图，在 中，点 是定点，点 、 是直线 和 上两动点， ，且点 到直线
和 的距离分别是1和4，则对角线 长度的最小值是_____．
【答案】5
【分析】过点D作DM⊥l 于点M，延长DM交l 于点H，过点B作BN⊥l 于点N，连接MN，设
1 2 2
CD与l 交于点E，AB与l 交于点F，证明 ADE≌△CBF（AAS），可得BN=DM=1，根据垂线段最
1 2
△短、两点之间线段最短可得，当MN⊥l 时，MN最短，此时BD的长度是最小值，最小值为
1
DM+BN+MH的长，进而可以解决问题．
【详解】解：如图，过点D作DM⊥l 于点M，延长DM交l 于点H，过点B作BN⊥l 于点N，连接
1 2 2
MN，设CD与l 交于点E，AB与l 交于点F，
1 2
∵DM⊥l，l∥l，
1 1 2
∴DM⊥l，∠AED=∠DCF，
2
∵点D是定点，且点D到直线l 和l 的距离分别是1和4，
1 2
∴DM=1，DH=4，
∴MH=DH-DM=4-1=3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD=BC，∠ADC=∠CBA，
∴∠BFC=∠DCF，
∴∠AED=∠BFC，
在 ADE和 CBF中，
△ △
，
∴△ADE≌△CBF（AAS），
∴BN=DM=1，
根据垂线段最短、两点之间线段最短可得，
当MN⊥l 时，MN最短，BD的长度有最小值，最小值为DM+BN+MH的长，
1
∴对角线BD长度的最小值是1+3+1=5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了平行线的性质，平行线之间的距离，解决本题的关键是掌握垂线段最短、两
点之间线段最短．
