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第 05 讲 二次函数 的性质
1. 会用描点法画出二次函数y=a(x-h)2+k（a≠0）的图像，并结合图像理解抛
物线、对称轴、顶点坐标及开口方向等概念；
2. 掌握二次函数 y=a(x-h)2+（a≠0）性质，掌握y=ax²（a≠0）与y=a(x-h)2+
（a≠0） 之间联系。
知识点 1 y=a（x-h)²+k的图像性质：
【问题1】画出函数y＝－ (x+1)2－1的图象, 指出它的开口方向、顶点坐标、对称轴
先列表
再描点、连线.
由函数y＝－ (x+1)2－1的图象，观察其特点是：开口方向向下；顶点坐标是(-1,-1)；对称
轴是直线x=-1。【问题2】画出函数y=2(x+1)2-2图象，并说出抛物线的开口方向、对称轴、顶点.
通过列表、描点、连线得到如下图像
图像特点是：开口方向向上； 对称轴是直线x=-1；顶点坐标是(-1,-2)。
由【问题1】【问题2】概括二次函数 y=a(x-h)2+k（a ≠ 0）的性质是：
y=a(x-h)2+k a>0 a<0
开口方向 开口向上 开口向下
顶点坐标 （h，k） （h，k）
最值 当x=h时，y取最小值k 当x=h时，y取最大值k
当x＜h时，y随x的增大而减
当x＜h时，y随x的增大而增大；
增减性 小；当x＞h时，y随x的增大而
当x＞h时，y随x的减小而减小。
增大。
图象形状 抛物线形状
开口大小 a的绝对值越大，开口越小
知识点2 平移
平移步骤：（1）先将函数化成y=a(x-h)²+k，顶点坐标为（h,k）
（2）从函数y=ax²平移烦方法如下：注意：（1）上下平移 若原函数为
y=ax2 +bx+c
{向上平移m个单位，则平移后函数为 y=ax2 +bx+c+m
向下平移m个单位，则平移后函数为 y=ax2 +bx+c−m
注：①其中m均为正数，若m为负数则将对应的加（减）号改为（减）加号即
可。
②通常上述变换称为上加下减，或者上正下负。
（2）左右平移
若原函数为
y=ax2 +bx+c
，左右平移一般第一步先将函数的一般式化为
顶点式
y=a(x−h) 2 +k
然后再进行相应的变形
{若向左平移了n个单位，则平移后的函数为y=a(x−h+n) 2 +k
若向右平移了n个单位，则平移后的函数为y=a(x−h−n) 2 +k
注：①其中n均为正数，若n为负数则将对应的加（减）号改为（减）加号即
可。
②通常上述变换称为左加右减，或者左正右负。
【题型1 二次函数y=a(x-h)²+k的顶点、对称轴和最值问题】
【典例1】（2023•阿城区模拟）抛物线y＝﹣（x﹣6）2﹣5的顶点坐标是
．
【变式1-1】（2023•阿城区模拟）抛物线 y＝﹣（x﹣6）2﹣5的顶点坐标是．
【变式1-2】（2023•增城区二模）抛物线 y＝（x﹣2）2+1的对称轴是直线
．
【变式1-3】（2023春•蚌埠月考）二次函数 y＝a（x+3）2﹣1图象的顶点坐标
是（ ）
A．（3，1） B．（3，﹣1） C．（﹣3，1） D．（﹣3，﹣1）
【题型2 二次函数y=a(x-h)²+k图像变换问题】
【典例2】（2023•吕梁一模）将抛物线 先向左平移2个单位，
再向下平移3个单位，得到抛物线的函数关系表达式是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-1】（2023•道里区二模）将抛物线 y＝x2﹣2向右平移3个单位长度，
再向下平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为（ ）
A．y＝（x+3）2﹣3 B．y＝（x+3）2+3
C．y＝（x﹣3）2+3D．y＝（x﹣3）2﹣3
【变式2-2】（2023•南岗区三模）将抛物线y＝3x2向右平移1个单位，再向上
平移2个单位后所得到的抛物线的解析式为（ ）
A．y＝3（x+1）2﹣2 B．y＝3（x+1）2+2
C．y＝3（x﹣1）2﹣2 D．y＝3（x﹣1）2+2
【变式2-3】（2023•瓯海区二模）将抛物线y＝3x2先向左平移1个单位，再向
下平移2个单位，所得抛物线的表达式为（ ）
A．y＝3（x﹣1）2+2 B．y＝3（x+1）2﹣2
C．y＝3（x+1）2+2 D．y＝3（x﹣1）2﹣2
【题型3 二次函数y=a(x-h)²+k的性质】
【典例3】（2022秋•会泽县期中）对于二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象，下列
说法正确的是（ ）
A．开口向下
B．对称轴是直线x＝﹣1C．顶点坐标是（﹣1，2）
D．当x＜1时，y随x的增大而减小
【变式3-1】（2023•高州市二模）在以下关于二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象
的说法，正确的是（ ）
A．开口向下
B．当x＞1时，y随x的增大而减小
C．对称轴是直线x＝﹣1
D．顶点坐标是（1，2）
【变式3-2】（2022秋•大安市期末）在二次函数y＝﹣（x+1）2+2的图象中，
若y随x的增大而增大，则x的取值范围是（ ）
A．x≤﹣1 B．x≥﹣1 C．x≤1 D．x≥1
【变式3-3】（2022秋•漳州期末）已知抛物线y＝（x﹣1）2+2，下列结论中正
确的是（ ）
A．抛物线的开口向上
B．抛物线的对称轴为直线x＝﹣1
C．抛物线的顶点坐标为（﹣1，2）
D．当x＞1时，y随x的增大而减小
【题型4 二次函数y=a(x-h)²+k的y值大小比较】
【典例4】（2023•南溪区二模）若二次函数y＝（x﹣3）2+k的图象过A（﹣1，
y ）、B（2，y ）、C（3，y ）三点，则 y 、y 、y 的大小关系正确的是（
1 2 3 1 2 3
）
A．y ＞y ＞y B．y ＞y ＞y C．y ＞y ＞y D．y ＞y ＞y
1 2 3 1 3 2 2 1 3 3 1 2
【变式4-1】（2022秋•盐湖区期末）抛物线y＝a（x﹣2）2+k的开口向上，点
A（﹣1，y ），B（3，y ）是抛物线上两点，则y ，y 的大小关系是（ ）
1 2 1 2
A．y ＞y B．y ＜y C．y ＝y D．无法比较
1 2 1 2 1 2
【变式 4-2】（2022 秋•历下区期末）已知二次函数 y＝（x﹣2）2+2，当点
（3，y ）、（2.5，y ）、（4，y ）在函数图象上时，则y 、y 、y
1 2 3 1 2 3
的大小关系正确的是（ ）
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
3 1 2 2 1 3 3 2 1 1 2 3
【变式4-3】（2022秋•海州区校级月考）若二次函数 y＝a（x﹣2）2+7的图象开口向上，点A（﹣2，y ），B（﹣1，y ），C（8，y ）都在二次函数y＝a
1 2 3
（x﹣2）2+7的图象上，则下列结论正确的是（ ）
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
1 2 3 2 1 3 3 1 2 1 3 2
【题型5 二次函数y=a(x-h)²+k的最值问题探究】
【典例5】（2023•龙川县一模）关于二次函数y＝﹣（x﹣1）2+3的最值，说法
正确的是（ ）
A．最小值为﹣1 B．最小值为3 C．最大值为1 D．最大值为3
【变式5-1】（2022秋•天津校级期末）二次函数 y＝﹣（x﹣2）2+6的最大值是
（ ）
A．2 B．﹣2 C．6 D．﹣6
【变式5-2】（2023•永嘉县三模）已知二次函数的图象（0≤x≤4）如图，关于
该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值2，有最小值﹣2.5
B．有最大值2，有最小值1.5
C．有最大值1.5，有最小值﹣2.5
D．有最大值2，无最小值
【变式 5-3】（2022 秋•顺平县期中）若二次函数 y＝x2﹣4x+c 的图象经过点
（0，3），则函数的最小值是（ ）
A．﹣1 B．3 C．5 D．7
【题型6 根据二次函数y=a(x-h)²+k的性质写解析式】
【典例6】（2022秋•肃州区校级期末）抛物线和 y＝2x2的图象形状相同，对称
轴平行于y轴，顶点为（﹣1，3），则该抛物线的解析式为 ．
【变式6-1】（2022秋•邯山区校级期末）一个二次函数的图象与抛物线 y＝3x2
的形状相同、开口方向相同，且顶点为（1，4），那么这个函数的解析式是
．【变式6-2】（2022秋•肇源县期末）请你写出一个抛物线使它满足以下条件：
（1）开口向下，（2）顶点坐标为（1，3），则这个抛物线的表达式是
．
【变式6-3】（2022秋•阳新县校级月考）顶点为（﹣2，1），与y＝ x2﹣4x+3
的形状、开口方向均相同的抛物线的解析式为 ．
【题型7 二次函数y=a(x-h)²+k的图像问题】
【典例7】（2022秋•凤山县期中）二次函数的y＝3（x﹣2）2的大致图象是（
）
A． B．
C． D．
【变式7-1】（2021秋•德保县期末）二次函数 y＝（x﹣1）2+1的大致图象是（
）
A． B．
C． D．【变式7-2】（2022秋•广阳区校级期末）若二次函数y＝2（x﹣1）2﹣1的图象
如图所示，则坐标原点可能是（ ）
A．点M B．点N C．点P D．点Q
1．（2023•鹤山市模拟）把函数y＝（x﹣1）2+2图象向右平移1个单位长度，
向下平移3个单位长度，平移后图象的函数解析式为（ ）
A．y＝x2﹣1 B．y＝（x﹣1）2+1
C．y＝（x﹣2）2+5D．y＝（x﹣2）2﹣1
2．（2023•道里区二模）将抛物线 y＝x2﹣2向右平移3个单位长度，再向下平
移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为（ ）
A．y＝（x+3）2﹣3 B．y＝（x+3）2+3
C．y＝（x﹣3）2+3D．y＝（x﹣3）2﹣3
3．（2023•黔东南州二模）已知A（x ，y ），B（x ，y ），C（3，y ）是抛物
1 1 2 2 3
线y＝﹣（x﹣2）2﹣m+4上的三个点，若x ＞x ＞3，则（ ）
1 2
A．y ＞y ＞y B．y ＜y ＜y C．y ＞y ＞y D．y ＜y ＜y
1 2 3 1 2 3 2 1 3 2 3 1
4．（2023•永嘉县三模）已知二次函数的图象（0≤x≤4）如图，关于该函数在
所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值2，有最小值﹣2.5
B．有最大值2，有最小值1.5
C．有最大值1.5，有最小值﹣2.5D．有最大值2，无最小值
5．（2023•永嘉县校级二模）已知点 A（a，y ），B（a+5，y ），C（c，y ）
1 2 3
都在抛物线y＝（x﹣1）2﹣3上，0＜y ＜y ＜y ，点A，B在对称轴的两侧，
1 2 3
下列选项正确的是（ ）
A．若c＜0，则a＜c＜0 B．若c＜0，则c＜0＜a
C．若c＞0，则0＜a+5＜c D．若c＞0，则0＜c＜a+5
6．（2023•凉山州模拟）下列关于抛物线y＝﹣（x+1）2+4的判断中，错误的
是（ ）
A．形状与抛物线y＝﹣x2相同
B．对称轴是直线x＝﹣1
C．当x＞﹣2时，y随x的增大而减小
D．当﹣3＜x＜1时，y＞0
7．（2023•宽城区二模）在平面直角坐标系中，点 A（m，y ）、B（m+1，y ）
1 2
在抛物线 y＝（x﹣1）2﹣2上．当 y ＜y 时，抛物线上 A、B两点之间（含
1 2
A、B两点）的图象的最高点的纵坐标为3，则m的值为 ．
1．（2023•长沙县二模）二次函数y＝（x﹣2）2+1的图象向右平移1个单位，
得到的图象对应的函数表达式是（ ）
A．y＝（x﹣1）2+1 B．y＝（x﹣3）2+1
C．y＝（x﹣2）2 D．y＝（x﹣2）2+2
2．（2023•灞桥区校级四模）已知点A（x ，y ），B（x ，y ）在抛物线y＝（x
1 1 2 2
﹣2）2+k（k是常数）上，若x ＞2＞x ，x +x ＜4，则下列大小比较正确的是
2 1 1 2
（ ）
A．y ＞y ＞k B．y ＞y ＞k C．k＞y ＞y D．k＞y ＞y
1 2 2 1 1 2 2 1
3．（2023•南溪区二模）若二次函数y＝（x﹣3）2+k的图象过A（﹣1，y ）、
1
B（2，y ）、C（3，y ）三点，则y 、y 、y 的大小关系正确的是（ ）
2 3 1 2 3
A．y ＞y ＞y B．y ＞y ＞y C．y ＞y ＞y D．y ＞y ＞y
1 2 3 1 3 2 2 1 3 3 1 2
4．（2022 秋•岳麓区校级期末）二次函数 y＝﹣（x﹣1）2+3 的最大值是（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
5．（2023•寿宁县模拟）抛物线y＝﹣（x﹣2）2+1的顶点坐标（ ）
A．（2，1） B．（2，﹣1） C．（﹣2，1） D．（﹣2，﹣1）
6．（2023•灞桥区校级模拟）已知抛物线 y＝a（x﹣h）2﹣7，点 A（1，﹣
5）、B（7，﹣5）、C（m，y ）、D（n，y ）均在此抛物线上，且|m﹣h|＜|
1 2
n﹣h|，则y 与y 的大小关系是（ ）
1 2
A．y ＜y B．y ＞y C．y ＝y D．不能确定
1 2 1 2 1 2
7.（2022秋•五常市期末）已知抛物线 y＝（x﹣3）2+1，下列结论错误的是（
）
A．抛物线开口向上
B．抛物线的对称轴为直线x＝3
C．抛物线的顶点坐标为（3，1）
D．当x＜3时，y随x的增大而增大
8．（2022秋•石门县期末）抛物线的对称轴为直线 x＝3，y的最大值为﹣5，且
与y＝ x2的图象开口大小相同．则这条抛物线解析式为（ ）
A．y＝﹣ （x+3）2+5 B．y＝﹣ （x﹣3）2﹣5
C．y＝ （x+3）2+5 D．y＝ （x﹣3）2﹣5
9．（2022秋•雨花区期末）若二次函数的图象的顶点坐标为（2，﹣1），且抛
物线过（0，3），则二次函数的解析式是（ ）
A．y＝﹣（x﹣2）2﹣1 B．y＝﹣ （x﹣2）2﹣1
C．y＝（x﹣2）2﹣1 D．y＝ （x﹣2）2﹣1
10．（2023•瓯海区二模）将抛物线 y＝3x2先向左平移1个单位，再向下平移2
个单位，所得抛物线的表达式为（ ）
A．y＝3（x﹣1）2+2 B．y＝3（x+1）2﹣2
C．y＝3（x+1）2+2 D．y＝3（x﹣1）2﹣211．（2023•双流区模拟）在平面直角坐标系中，如果抛物线 y＝﹣x2+2x﹣1经
过平移可以与抛物线y＝﹣x2互相重合，那么这个平移是（ ）
A．向上平移1个单位 B．向下平移1个单位
C．向左平移1个单位 D．向右平移1个单位
12．（2023•温州一模）若点（0，a），（﹣1，b），（4，c）均在抛物线y＝
﹣2（x﹣1）2+3上，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a
13.（2023•鱼峰区模拟）已知点 A（3，y ），B（4，y ）是抛物线y＝（x﹣2）
1 2
2+3上的两点，则y ，y 的大小关系是（ ）
1 2
A．y ＞y B．y ＜y C．y ＝y D．无法确定
1 2 1 2 1 2
14．（2023•南岗区三模）二次函数y＝﹣（x+6）2﹣8的最大值是 ．
15．（2023•东海县三模）如果抛物线y＝（a﹣3）x2﹣2有最低点，那么a的取
值范围是 ．
16．（2022秋•肇源县期末）请你写出一个抛物线使它满足以下条件：（1）开
口向下，（2）顶点坐标为（1，3），则这个抛物线的表达式是 ．
