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专题22 证切线求面积
1．如图，线段AB为⊙O的直径，点C、点D为半圆AB的三等分点，点F为线段AB延长线上一
点，且OB=BF．
(1)求证：直线DF是⊙O的切线；
(2)⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)图中阴影部分的面积为 ．
【分析】（1）连接OD，BD，推出 OBD是等边三角形，得到∠OBD=60°，BD=OB，求得
∠ODF=90°，根据切线的判定定理即△可得到结论；
（2）根据已知条件OF=4，根据勾股定理得到DF的长，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结
论．
(1)
证明：连接OD，BD，
∵AB为⊙O的直径，点D是半圆AB的三等分点，∴∠BOD= ∠AOB=60°，
在 OBD中，∵OB=OD，∠BOD=60°，
∴△△OBD是等边三角形，
∴∠OBD=60°，BD=OB，
∵OB=BF，BD=OB，
∴BD=BF，
∴∠BDF=∠F，
∵∠OBD=∠F+∠BDF，
∴∠F= ∠BOD=30°，
∵∠F=30°，∠BOD=60°，
∴∠ODF=90°，
∴OD⊥DF，
∵点D在⊙O上，
∴直线DF是⊙O的切线；
(2)
解：∵OB=OD=2，BF=OB，
∴OF=4，
在Rt ODF中，由勾股定理得，DF= ，
△
∵S ODF= OD•DF= ×2×2 =2 ，S BOD= ，
扇形
△
∴图中阴影部分的面积= ．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，扇形面积的计算，
正确地作出辅助线是解题的关键．
2．如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上的两点，弧AC=弧BD，AE与弦CD的延长线
垂直，垂足为E．
（1）求证：AE与半圆O相切；
（2）若DE=2，AE= ，求图中阴影部分的面积【答案】（1）详见解析；（2） .
【分析】 从问题入手，根据切线的判定可知，要证明AE与半圆O相切，必须证明AE⊥AB,
由已知条件：AE与弦CD的延长线垂直，进而须证明 ，联想证平行的办法与弧建立联系；
作辅助线，构建直角三角形，先由勾股定理可得： ,由直角三角形斜边中
线的性质求得：ED=EF=DF=2, 则△DEF是等边三角形，再求得△AOD是等边三角形，根据面积
差可得阴影部分的面积．
【详解】（1）证明：连接AC，
（2）解：连接AD，取AD的中点F，连接EF、OD，
∵F是AD的中点，∴ED=EF=DF=2，
∴△DEF是等边三角形，
∴∠EDA=60°，
由（1）知：AB∥CF
∴∠DAO=∠EDA=60°，
∵OA=OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠AOD=60°，OA=AD=4，
【点睛】此题考查了切线的判定、圆周角定理、等边三角的判定与性质、扇形面积公式等知识．
此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
3．如图，四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E为BC中点，AE⊥DE于点E．点O是线段AE
上的点，以点O为圆心，OE为半径的⊙O与AB相切于点G，交BC于点F，连接OG．
(1)求证：△ECD∽△ABE；
(2)求证：⊙O与AD相切；
(3)若BC＝12，AB＝6 ，求⊙O的半径和阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)见解析(3)
【分析】（1）根据同角的余角相等，可证∠AEB=∠CDE，且∠B=∠C，从而解决问题；
（2）延长DE、AB交于点P，根据ASA证 DCE≌△PBE，得DE=PE，从而有AD=AP，再证明
∠DAO=∠GAO，利用角平分线的性质可得△OH=OG，从而证明结论；
（3）根据BC=12，AB=6 ，可求出∠AEB=60°，有 OEF是等边三角形，通过AO=2OG，得
△
r=4，阴影部分的面积通过梯形面积减去扇形面积即可．
（1）
证明：∵AE⊥DE，
∴∠AED=90°，
∴∠DEC+∠AEB=90°，
∵∠C=90°，
∴∠CDE+∠DEC=90°，
∴∠AEB=∠CDE，
∵∠B=∠C，
∴△ECD∽△ABE；
（2）
证明：延长DE、AB交于点P，作OH⊥AD于H，
∵E为BC的中点，
∴CE=BE，
在 DCE和 PBE中，
△ △
，∴△DCE≌△PBE（ASA），
∴DE=PE，
∵AE⊥DP，
∴AE垂直平分DP，
∴AD=AP，
∴∠DAO=∠GAO，
∵OH⊥AD，OG⊥AB，
∴OH=OG，
∴⊙O与AD相切；
（3）
解：如图，连接OF，
∵点E为BC中点，
∴BE= BC=6
在Rt ABE中，∵BE=6，AB=6 ，
△
∴AE= =12，
∴sinA= ,
∴∠A=30°
∴∠AEB=∠AOG=60°，
∵OE=OF，
∴ OEF是等边三角形，
∴△∠EOF=60°，
设半径为r，
∴AO=2OG，∴12-r=2r，
∴r=4，
∴OG=OE=OF=4，
∴EF=OE=4，
∴BF=BE-EF=2，
∴AO=8，
在Rt AGO中，AO=8，OG=4，
△
∴AG=4 ，
∴BG=AB-AG=2 ，
∵∠GOF=180°-∠EOF-∠AOG=60°，
∴S = ×(2+4)×2 − =6 - ．
阴影
【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定与性质、圆的切线的判定和性质、不规则图形的面积
计算等知识，有一定的综合性，第（2）问中构造出全等三角形是解题的关键．
4．如图，已知BC是 的直径，PB是 的切线．连接PO，过点C作OP的平行线交 于点
A，连接PA．
(1)求证：PA是 的切线；
(2)若 ， ，求阴影部分的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接OA，AB，AB交OP于点D，易得 ，根据平行线的性质求得
，结合 ，利用等腰三角形的三线合一易得OP是 的平分线，得到
，利用判定三角形全等的“SAS”得到 与 全等，进而得到 ，再利用切线的判定求解；
（2）根据等腰三角形的性质易得 ，利用平行线的性质求得 ，结合
得到 ，求出OP和AP的长度，再利用三角形的面积减去扇形的面积求出
阴影部分的面积即可．
(1)
证明：连接OA，AB，AB交OP于点D，如下图．
∵BC是 的直径，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴OD垂直平分AB，
∴OP是 的平分线，
∴ ．
在 和 中
，
∴ ，
∴ ．
∵PB是 的切线，
∴ ，
∴ ．
∵点A是 上的一点，且OA为半径，∴PA是 的切线；
(2)
解：∵ ， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，含
的直角三角形的性质，勾股定理，扇形的面积公式．作出辅助线构建直角三角形是解答关键．
5．如图，在 ACD中，点B为AC边上的点，以AB为直径的⊙O与CD相切于点E，连接AE，
∠D＝2∠EAC△．
(1)求证：AD是⊙O的切线；
(2)若∠D＝60°，⊙O的半径为4，求阴影部分的面积．（结果保留根号和π）
【答案】(1)见解析；
(2)【分析】（1）由圆周角定理可得： ，由切线的性质可得： ，即
可求得 ，即可求证；
（2）根据 ，分别求得 ， ，即可求解．
(1)
证明：由题意可得：
又∵
∴ ，
∵⊙O与CD相切于点E，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
又∵ 为半径，
∴AD是⊙O的切线；
(2)
解：∵
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
由勾股定理得， ，
∴ ， ，
，
【点睛】此题考查了圆切线的判定与性质，圆周角定理，勾股定理以及扇形面积的计算，解题的
关键是熟练掌握相关基础性质．
6．如图，已知 为 的直径， 是 的弦， 是 的切线，切点为B，点D，F是
的三等分点， ， 的延长线相交于点E．(1)求证：DC是 的切线；
(2)若 的半径为1，求阴影部分面积．
【答案】(1)见解析；
(2)
【分析】（1）连接OD由点D，F是 ，的三等分点可知 ， ，进而可知
= = = =60°，则可证 ≌ （SAS）由此可知 ，
根据 BC是 的切线，则 则可证 ， 是 的半径，
则可证DC是 的切线；
（2）由 ，可知在 中， ，根据 ，
进而可知在 中， ，由勾股定理得：
，进而可求△DOE的面积，进而可求扇形DOE的面积，用割补
法可求出阴影部分面积．
(1)
解：证明：如图，连接OD，
∵点D，F是 ，的三等分点，∴ ， ，
∴ = = = =60°，
在 和 中 ，
∴ ≌ （SAS），
∴ （全等三角形对应角相等）
又 BC是 的切线，
∴ ，
∴ ，
∴ ， 是 的半径，
∴DC是 的切线．
(2)
解： （已证），
，
在 中， ，
又 ，
，
在 中， ，
在 中，由勾股定理得： ，
，
，
．
【点睛】本题考查全等三角形，扇形的面积和弧长，圆的切线证明，勾股定理，割补法法求面积，
能够熟练掌握割补法是解决本题的关键．
7．如图， 为 斜边 上的一点， ，以 为半径的 与 交于点 ，与
交于点 ，连接 且 平分 ．(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ，求阴影部分的面积（结果保留 ）．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接OD，推出OD⊥BC，根据切线的判定推出即可；
（2）连接DE、OE，求出阴影部分的面积=扇形EOD的面积，求出扇形的面积即可．
(1)
如图，连接 ．
∵ 平分 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
又∵ ，∴ ．
又∵ 为 的半径，
∴ 是 的切线．
(2)如图，连接 ， ．
∵ ， ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ， ，
∴ ．
由（1）知 ，∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，切线的性质和判定，扇形的面积有关计算的应用，能
灵活运用定理进行推理和计算是解答此题的关键．
8．如图，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，半径OE⊥AC于点D．过点A作⊙O的切线与OE的延
长线交于点P，PC，AB的延长线交于点F．
(1)求证：PC是⊙O的切线；
(2)若PC＝2AD，AB＝10．求图中阴影部分的面积．【答案】(1)见解析；
(2) ．
【分析】（1）连接OC，根据切线的性质可得 ，根据等腰三角形的性质得出
，利用全等三角形的判定和性质可得 ， ，根
据切线的判定即可证明；
（2）由等腰三角形的性质可得 ，利用切线长定理得出 ，根据等边三角形
的判定和性质可得 ， ，由三角形内角和定理及直角三角形的性质可得
， ，根据勾股定理得出 ，结合图形可得阴影部分面积等于三
角形面积减去扇形BOC的面积即可得．
（1）
证明：连接OC，
∵PA是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，
∴ ，
∵ 于点D， ，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴
∴ ，∵OC是⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线；
（2）
解：∵ 于点D， ，
∴ ，
∵PA，PC是⊙O的切线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴
，
，
．
【点睛】题目主要考查切线的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，切线
长定理，勾股定理解三角形，直角三角形的性质，扇形的面积公式等，理解题意，综合运用这些
知识点是解题关键．
9．如图，在Rt ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，半径为2的⊙O分别与AC、BC相切于
点E、F． △
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）求图中阴影部分的面积．【答案】（1）见解析；（1）
【分析】（1）连接OE、OF、OC，作OM⊥AB，垂足为M，利用面积法求出OM的长，由此得到
结论；
（2）先证明OA、OB分别是∠CAB、∠CBA的角平分线，得到∠AOB=135º，再利用扇形面积公
式计算即可得到答案．
【详解】（1）连接OE、OF、OC，作OM⊥AB，垂足为M，
∵⊙O与AC，BC相切，
∴OE=OF=2，∠OEC=∠OFC=90°，
∵AC=12，BC=5，
∴AB=13，
由面积法S AOC＋S BOC＋S AOB＝S ABC，
△ △ △ △
∴ OE·AC＋ OF·BC＋ OM·AB＝ AC·BC，
∴OM=2，
又∵OM⊥AB，
∴AB是⊙O的切线；
（2）OM⊥AB，∠OEC=∠OFC=90º，OE=OF=OM，
∴OA、OB分别是∠CAB、∠CBA的角平分线，
由∠ACB＝90°，∴∠CAB＋∠CBA＝90°，
∴∠OAB＋∠OBA＝45°，∠AOB=135º，
∴S =S AOB－S = ×13×2－ ×π×22= ．
阴影 扇形
△【点睛】此题考查切线的判定定理和性质定理，角平分线的性质，正确掌握面积法计算三角形的
面积，由此求线段长度是解题的关键．
10．如图， 是 的直径， 平分 ，交 于点 ，过点 作直线 ，交
的延长线于点 ，交 的延长线于点 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2） ， 的半径为2，求阴影部分面积．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）连接OE，若要证明CD是⊙O的切线，只需证明CD与OE垂直，故证明OE AD
即可；
（2）根据含30°的直角三角形的性质，勾股定理的应用可求得 ，再根据直角三角形和扇
形的面积公式即可得到结论．
【详解】（1）证明：连接 ，
，
，
∵ 平分 ，
∴ ，
，
，
，
，
，
∴ ．
，
是 的切线；
（2）解： ， ， ，
， ，，
阴影部分面积
．
【点睛】本题主要考查了切线的性质和判定，含30°的直角三角形的性质，勾股定理的应用，平行
线的性质，扇形的面积计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
11．如图， 中， 的平分线交 于点O，以点O为圆心， 长为半径
作圆．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ，求阴影部分面积．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）过O作OD⊥AB于D，由角平分线的性质得OD=OC，再由OC为⊙O的半径，则
OD为⊙O的半径，即可得出结论；
（2）由含30°角的直角三角形的性质得AC= OC=4 ，∠COD=120°，然后由切线的性质得
AD=AC=4 ，即可解决问题．
【详解】解：（1）证明：过O作 于D，如图所示，，
平分
，
为 的半径，
为 的半径，
是 的切线．
（2）∵OD⊥AB，
∴∠ODB=90°，
∵∠CAO=30°，∠ACB=90°，
∴AC= OC=4 ，
∵∠AOC=90°-30°=60°，
∴∠COD=2∠AOC=120°，
由（1）得：AB是⊙O的切线，OC⊥AC，
∴AC为⊙O的切线，
∴AD=AC=4 ，
∴阴影部分面积= AOC的面积+ AOD的面积-扇形OCD的面积
△ △
．
【点睛】本题考查了切线的判定与性质、角平分线的性质、含30°角的直角三角形的性质以及扇形
面积公式等知识；熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键．
12．如图，已知 是 的直径，点D，C是圆上的两个点，且 ，直线 于点
E．（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ，求阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）根据圆周角定理可知 ，根据平行线的判定可知 ，根据根据
垂直的判定和切线的判定定理即可求证结论；
（2）连结 ， ，根据外角定理和等边三角形的判定可得 是等边三角形，含30°角的直
角三角形的性质可得： ，根据切线的性质和角的和差可得 ，进而可
得： ， ，根据切割法可得： ，代入数据即可求解．
【详解】（1）证明∵ ，
∴ ，
∵ ，
∵ ，
∴ ，且 是直径，
∴ 是 的切线．
（2）解 连结 ， ，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ 是切线，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴
．
【点睛】本题考查切线的判定及其性质、含30°角的直角三角形判定及其性质、等边三角形的判定
及性质、扇形面积的计算公式，解题的关键是熟练掌握所学知识．
13．如图，在 中， ，点 在 上，以 为直径的 与边BC相切于点 ，
与边 相交于点 ，且 ，连接 并延长交 于点 ，连接 ．（1）求证： 是 的切线．
（2）若 的长为 ，求图形中阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】(1) 利用SAS定理证明△ODB≌△OGB，根据全等三角形的性质得到
∠OGB=∠ODB=90°，根据切线的判定定理证明结论；
(2)根据含30°的直角三角形的性质求出直角三角形的边长，根据直角三角形的面积公式、扇形面积
公式计算，得到答案．
【详解】解：（1）证明：连接OD，如图，
则OD⊥BC，
又 ，
∴OD//AC
∴∠AEO=∠EOD
又
∴∠AOE=∠EOD
∵OE=OA∴∠OAE=∠OEA
∴∠OAE=∠OEA=∠AOE=60゜
∴∠DOB=∠GOB=60゜
又OD=OG，OB=OB
∴△ODB≌△OGB，
∴∠OGB=∠ODB=90゜
∵OG是 的半径，
∴ 是 的切线．
（2）∵ 的长为 ，
∴
∴OD=4
∴OG=4
∵∠GOB=60゜，∠OGB=90゜
∴∠GBO=30゜
∴OB=8,
由勾股定理得，BG=
∴
=
=
【点睛】本题考查的是切线的判定与性质、扇形面积计算、等边三角形的判定和性质、勾股定理，
全等三角形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于过切点的半径、扇形面积公式是解题的关键．
14．如图，直线AM是⊙O的切线，切点为A，点B在⊙O上，BD⊥AM， 垂足为D，BD与⊙O
交于点C，∠B=60°．
（1）求证：OC平分∠AOB；
（2）若⊙O 的半径为4，求图中阴影部分的面积(结果保留和根号)．【答案】（1）见详解；（2）
【分析】（1）由等边三角形的判定和性质，求出∠1=60°，再由平行线的性质得到∠2=60°，即可
得到结论成立；
（2）连接AC，利用 AOC是等边三角形，求得∠OAC=60°，可得∠CAD=30°，在直角三角形中，
求出CD、AD的长，△则S =S S 即可得解．
阴影 梯形OADC 扇形OAC
【详解】（1）证明：∵∠B=60°，OB=OC，
∴△BOC是等边三角形，
∴∠1=∠3=∠B=60°，
∵直线AM是⊙O的切线，
∴OA⊥AM，
∵BD⊥AM，
∴OA∥BD，
∴∠2=∠3=60°，
∴∠1=∠2，
∴OC平分∠AOB；
（2）如图：连接AC，
∵∠3=60°，OA=OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠OAC=60°，
∴∠CAD=30°，∵OC=AC=4，
∴CD=2，
∴AD= ，
∴S =S S = ×（4+2）×2 = ．
阴影 梯形OADC 扇形OAC
【点睛】本题考查了切线的性质与判定、扇形的面积等，在求阴影部分面积的题目时，可用整体
减去部分的方法计算．
15．如图，DE是⊙O的直径，CE与⊙O相切，E为切点．连接CD交⊙O于点B，在EC上取一
个点F，使EF＝BF．
（1）求证：BF是⊙O的切线；
（2）若∠C＝30°，DE＝6，求阴影部分的周长和面积．
【答案】（1）见解析；（2）周长9+2π，面积
【分析】（1）连接OF、OB，由题意易得∠OEF＝90°，进而可证△OBF≌△OEF，然后根据切线
的判定定理可求证；
（2）连接BE，由题意易得DB=3，则有∠D=60°，然后根据弧长公式计算 ，进而周长可求，
然后根据割补法进行求解阴影部分面积即可．
【详解】（1）证明：连接OF、OB，如图所示，
∵CE与⊙O相切
∴∠OEF＝90°
∵OB＝OE＝r
∵BF＝EF，OF＝OF∴△OBF≌△OEF
∴∠OBF＝∠OEF＝90°
∴OB⊥BF
∴BF是⊙O的切线．
（2）连接BE，如图所示，由（1）得：∠DEC=90°，
∵∠C=30°，
∴∠D=60°，
∴∠DEB=30°，
∵DE=6，
∴DB=3， ，
∴ ，
∵OD=OE=3，
∴ ，
∴ 的长为 ， ，
∴阴影部分的周长为： ，
阴影部分的面积为： ．
【点睛】本题主要考查切线的性质与判定及扇形面积、弧长的计算，熟练掌握切线的性质与判定
及扇形面积、弧长的计算是解题的关键．
16．如图， 内接于⊙ ， 是⊙ 的直径．直线 与⊙ 相切于点 ，在 上取一点 使得
．线段 ， 的延长线交于点 ．
（1）求证：直线 是⊙ 的切线；
（2）若 ， ，求阴影部分的面积（结果保留 ）．【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）连接OC，根据OA＝OC，DA＝DC可得∠OAC＝∠OCA，∠DAC＝∠DCA，再根
据直线 与⊙ 相切于点 可得∠DAO＝90°，进而可得∠DCO＝90°，由此可证得直线 是⊙
的切线；
（2）先证明 BOC为等边三角形，可得OB＝OC＝BC＝2，根据扇形面积公式可求得 ，
再利用含30°的直角三角形的性质及勾股定理可求得 ，由此可求得 ，最后便可
得 ．
【详解】（1）证明：连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵DA＝DC，
∴∠DAC＝∠DCA，
∵直线 与⊙ 相切于点 ，
∴∠DAO＝90°，
∴∠DAC+∠OAC＝90°，
∴∠DCA+∠OCA＝90°，
∴∠DCO＝90°，
∴OC⊥DC，
又∵点C在⊙ 上，
∴直线 是⊙ 的切线；
（2）解：∵∠CAB＝30°，
∴∠COB＝2∠CAB＝60°，又∵OB＝OC，
∴ BOC为等边三角形，
∴OB＝OC＝BC＝2，
∴ ，
∵∠OCE＝90°，∠COB＝60°，
∴∠E＝90°－∠COB＝30°，
∴OE＝2OC＝4，
∴在Rt COE中， ，
∴
，
∴
∴阴影部分的面积为 ．
【点睛】本题考查了切线的性质与判定、扇形的面积公式以及含30°的直角三角形的性质，勾股定
理，熟练掌握切线的性质与判定、扇形的面积公式是解决本题的关键．
17．如图，已知∠PBC，在射线BC上任取一点D，以线段BD的中点O为圆心作⊙O，且⊙O与
PB相切于点E．
(1)求作：射线BP上一点A，使△ABD为等腰三角形，且AB=AD．（要求：运用直尺和圆规，保
留作图痕迹，不写作法）
(2)求证：AD是⊙O的切线．
(3)若BD的长为8cm，∠PBC=30°，求阴影部分的面积【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） - ．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质，利用尺规作图作出图象即可；
（2）过点O作OF⊥AD，垂足为F，连接OE，根据△ABD为等腰三角形，点O是底边BD的中
点，可得出AO是∠BAD的角平分线，可得OE=OF，即可得证；
（3）根据已知条件可推出∠EOB=60°，BE= = ，再根据S =S -S 即可
阴影 BOE 扇形EOM
△
得解．
【详解】（1）作图如下，
（2）证明：如图，过点O作OF⊥AD，垂足为F，连接OE，
∵⊙O与PB相切于点E，∴OE⊥AB，
∵△ABD为等腰三角形，点O是底边BD的中点，
∴AO是∠BAD的角平分线，
∴OE=OF，即OF是⊙O的半径，
∴AC与⊙O相切；
（3）解：由（2）知，∠BEO=90°，
∵∠PBC=30°，
∴∠EOB=60°，
∵BD的长为8cm且点O是底边BD的中点，
∴OB=OD= BD= ×8=4cm，
∴OE= OB=2cm，
在Rt BOE中，根据勾股定理得BE= = ，
△
∴S =S -S = × ×2- = - ．
阴影 BOE 扇形EOM
△
【点睛】此题主要考查利用基本作图作出等腰三角形，等腰三角形的性质，切线的性质和判定，
三角形和扇形面积等，掌握知识点是解题关键．
18．如图，⊙O的圆心O在 ABC的边AC上，AC与⊙O分别交于C，D两点，⊙O与边AB相切，
且切点恰为点B． △
（1）求证：∠A+2∠C＝90°；
（2）若∠A＝30°，AB＝6，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）3 +2π．
【分析】（1）连接OB，如图，利用切线的性质得∠OBA＝90°，则∠A+∠AOB＝90°，然后利用
圆周角定理得到∠AOB＝2∠C，利用等量代换可得到结论；
（2）先计算出∠AOB＝60°，OB＝ AB＝2 ，作OH⊥BC于H，利用垂径定理得到BH＝CH，再由∠C＝30°计算出OH＝ ，CH＝3，所以BC＝2CH＝6，然后根据扇形的面积公式，利
用图中阴影部分的面积＝S +S 计算．
OBC 扇形BOD
【详解】（1）证明：连接△OB，如图，
∵O与边AB相切，且切点恰为点B．
∴OB⊥AB，
∴∠OBA＝90°，
∴∠A+∠AOB＝90°，
∵∠AOB＝2∠C，
∴∠A+2∠C＝90°；
（2）解：在Rt AOB中，
∵∠A＝30°， △
∴∠AOB＝60°，OB＝ AB＝2 ，
作OH⊥BC于H，
则BH＝CH，
∵∠C＝ ∠AOB＝30°，
∴OH＝ OC＝ ，CH＝ OH＝3，
∴BC＝2CH＝6，
∴图中阴影部分的面积＝S OBC+S BOD
扇形
△
＝ ×6× +
＝3 +2π．
【点睛】本题考查了扇形面积的计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S
扇
＝ πR2或S ＝ lR（其中l为扇形的弧长）；求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积
形 扇形转化为规则图形的面积．也考查了切线的性质．
