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专题 27.40 相似三角形与动点问题（培优篇）
（专项练习）
一、单选题
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点F在边AC上，并且CF＝
2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB
距离的最小值是（ ）
A．1.5 B．1.2 C．2.4 D．以上都不对
2．如图，在矩形ABDC中，AC=4cm，AB=3cm，点E以0.5cm/s的速度从点B到点
C，同时点F以0.4cm/s的速度从点D到点B，当一个点到达终点时，则运动停止，点P是
边CD上一点，且CP=1，且Q是线段EF的中点，则线段QD+QP的最小值为（ ）
A． B．5 C． D．
3．如图1，在矩形 中，点 在 上， ，点 从点 出发，沿
的路径匀速运动到点 停止，作 于点 ，设点 运动的路程为 ，
长为 ，若 与 之间的函数关系图象如图2所示，当 时， 的值是（ ）A．2 B． C． D．1
4．如图，在 中， ， ， ，点D是 的中点，点P是
直线 上一点，将 沿 所在的直线翻折后，点B落在 处，若 ，则点P
与点B之间的距离为（ ）
A．1或5 B．1或3 C． 或3 D． 或5
5．如图，在 ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8．E是AC边上一动点，过点E作
EF∥AB交BC于点△F，D为线段EF的中点，当BD平分∠ABC时，AE的长度是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，点E从矩形ABCD的顶点B出发，沿射线BC的方向以每秒1个单位的速度
运动，过E作EF⊥AE交直线DC于F点，如图2 是点E运动时CF的长度y随时间t变化
的图象，其中M点是一段曲线（抛物线的一部分）的最高点，过M点作MN⊥y轴交图象于
N点，则N点坐标是（ ）A．（5，2） B．（ ，2） C．（ ，2） D．（ ，2）
7．如图，AB＝4，射线BM和AB互相垂直，点D是AB上的一个动点，点E在射线
BM上，2BE＝DB，作EF⊥DE并截取EF＝DE，连接AF并延长交射线BM于点C．设BE
＝x，BC＝y，则y关于x的函数解析式是（ ）
A．y＝﹣ B．y＝﹣ C．y＝﹣ D．y＝﹣
8．如图，已知点A是第一象限内横坐标为2 的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线
y=﹣x于点N．若点P是线段ON上的一个动点，∠APB=30°，BA⊥PA，则点P在线段ON
上运动时，A点不变，B点随之运动，求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长
为（ ）．
A． B． C．4 D．
9．如图所示，点P是边长为2的正方形ABCD的对角线BD上的动点，过点P分别作
PE⊥BC于点E，PF⊥DC于点F，连接AP并延长，交射线BC于点H，交射线DC于点M，
连接EF交AH于点G，当点P在BD上运动时（不包括B、D两点），以下结论中：①MF＝MC；②AP＝EF；③AH⊥EF；④AP2＝PM•PH；⑤EF的最小值是 ．其中正确结论
有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题
10．如图，在等边三角形ABC中，AB＝4，点D是边AB上一点，BD＝1，点P是边
BC上一动点（D、P两点均不与端点重合），作∠DPE＝60°，PE交边AC于点E．若CE
＝a，当满足条件的点P有且只有一个时，则a的值为 _____．
11．如图，已知等腰三角形 于点 为 边中线，
相交于点 ．在 从 减小到 的过程中，点 经过的路径长为______．
12．如图，在矩形 中，点 是 的中点，点 为射线 上的一个动点，
沿着 折叠得到 ，连接 ，分别交 和 于点 和 ，已知 ，
，若 与 相似，则 的长是______．13．如图，有一正方形 ，边长为4，点E是边 上的中点，对角线 上有一
动点F，当顶点为A、B、F的三角形与顶点为D、E、F的三角形相似时， 的值为
___________．
14．如图，正方形ABCD的边长为4，E为AB边上一点，tan∠ADE= ，M为ED的
中点，过点M作DE的垂线，交边AD于点P，若点N在射线PM上，且由点E、M、N组
成的三角形与△AED相似，则PN的长为______．
15．如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC的中点，点P在射线AD上，过点P作
PF⊥AE，垂足为F．当点P在射线AD上运动时，若以P、F、E为顶点的三角形与△ABE
相似，则PA的值为_________．16．如图，在 中， ， ， ，菱形 顶点
在边 上， 分别在边 上，则 的取值范围是_____________．
17．如图，已知矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点M，N分别在边AD，BC上，沿着
MN折叠矩形ABCD，使点A，B分别落在E，F处，且点F在线段CD上（不与两端点重
合），若 ，则折叠后重叠部分的面积为_____．
18．如图，在正方形ABCD中，AB＝4 ，AC与BD交于点O，点P，Q分别在线段
AO，BC上，且满足BQ＝ AP，以PQ为斜边作等腰直角三角形PQM，使点M与B位于
PQ的两侧，当点P从点A运动到点O时，点M的运动路径长是_____．
三、解答题
19．如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，F是为射线AD上的一个动点，将
△AEF沿EF折叠得到△HEF，连接AC，分别交EF和直线EH于点N，M，已知∠BAC＝， ，若△EMN与△AEF相似，则AF的长为多少？
20．如图1，直线AB分别与x轴、y轴交于点A(3，0)，B(0，4)，动点P从点B出发
以每秒2个单位的速度向点O运动，点P到达点O停止运动，连接AP，设运动时间为t
（秒）（t≠0）．
(1)求直线AB的函数解析式；
(2)当 AOP∽△BOA时，求t的值；
(3)如△图2，若将 ABP沿AP翻折，点B恰好落在x轴上的点B
1
处，求t的值和
S ABP． △
△
21．已知，如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，AD⊥BC于点D，直线PM
交BC于点P，交AC于点M，直线PM从点C出发沿CB方向匀速运动，速度为1cm/s；运
动过程中始终保持PM⊥BC，过点P作PQ⊥AB，交AB于点Q，交AD于点N，连接QM，设运动时间是t(s)(0＜t＜6)，解答下列问题：
（1）当t为何值时，QM//BC？
（2）设四边形ANPM的面积为y(cm2)，试求出y与t的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使四边形ANPM的面积是△ABC面积的 ？若存在，求出
t的值；若不存在，请说明理由；
（4）是否存在某一时刻t，使点M在线段PQ的垂直平分线上？若存在，求出t的值；
若不存在，请说明理由．
22．已知：如图1，在矩形ABCD中，AC是对角线， ．点P从点
A出发，沿AB方向匀速运动，速度为 ；同时，点Q从点C出发，沿CA方向匀速运
动，速度为 ．过点Q作 ，QE与BC相交于点E，连接PQ，设运动时间为
，解答下列问题：(1)连接BQ，当t为何值时，点E在线段BQ的垂直平分线上？
(2)设四边形BPQC的面积为 ，求y与t之间的函数关系式；并求四边形BPQC
的面积为y是矩形ABCD面积的十二分之五时的t的值，
(3)如图2，取点E关于AC的对称点F，是否存在某一时刻t，使 为等腰三角形？
若存在，直接写出t的值（不需提供解答过程）；若不存在，请说明理由．
(4)t为何值时，Q、F、D三点共线？
23．如图，在Rt△ABC中， ， ， ，点D是边AB的中点．
动点P从点B出发，沿BA以每秒4个单位长度的速度向终点A运动，当点P与点D不重
合时，以PD为边构造Rt△PDQ，使 ， ，且点Q与点C在直线AB
同侧．设点P的运动时间为t秒 ，△PDQ与△ABC重叠部分图形的面积为S．
(1) 用含t的代数式表示线段PD的长；
(2) 当点Q落在边BC上时，求t的值；
(3) 当△PDQ与△ABC重叠部分图形为四边形时，求S与t的函数关系式；
(4) 当点Q落在△ABC内部或边上时，直接写出点Q与△ABC的顶点的连线平分△ABC面积时t的值．
24．如图， 是 的高， ，点P是 边上一动点，过点P
作 的平行线L，点Q是直线L上一动点，点P从点B出发，沿 匀速运动，点Q从点
P出发沿直线L向右匀速运动，点P运动到点A时，同时停止．设点P与点Q在同一时刻
开始运动，且运动速度相同，点P的运动距离是x．
(1) 求运动过程中，点P与点C之间的最短距离；
(2) 当直线L平分 的面积时，求x的值；
(3) 求点Q与 边的距离（用含x的式子表示）；
(4) 求当点Q与点C的之间的距离小于 时，直接写出x的取值范围．参考答案
1．B
思路引领：先依据勾股定理求得AB的长，然后依据翻折的性质可知PF＝FC，故此点
P在以F为圆心，以2为半径的圆上，依据垂线段最短可知当FP⊥AB时，点P到AB的距
离最短，然后依据题意画出图形，最后，利用相似三角形的性质求解即可．
解：如图所示：当PE∥AB．在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB 10，
由翻折的性质可知：PF＝FC＝2，∠FPE＝∠C＝90°．
∵PE∥AB，
∴∠PDB＝90°．
由垂线段最短可知此时FD有最小值．
又∵FP为定值，
∴PD有最小值．
又∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠ADF，
∴△AFD∽△ABC．
∴ ，即 ，解得：DF＝3.2．
∴PD＝DF﹣FP＝3.2﹣2＝1.2．
故选：B．
2．A
【分析】如图，建立如图所示的平面直角坐标系，连接QB，PB．首先用t表示出点Q
的坐标，发现点Q在直线y=2上运动，求出PB的值，再根据PQ+PD=PQ+QB≥PB，可得
结论．
解：如图，建立如图所示的平面直角坐标系，连接QB，PB．
∵四边形ABDC是矩形，
∴AC=BD=4cm，AB=CD=3cm，
∴C（-3，0），B（0，4），
∵∠CDB=90°，
∴BC= =5（cm），
∵EH∥CD，∴ BEH∽△BCD，
△
∴ ，
∴ ，
∴EH=0.3t，BH=0.4t，
∴E（-0.3t，4-0.4t），
∵F（0，0.4t），
∵QE=QF，
∴Q（- t，2），
∴点Q在直线y=2上运动，
∵B，D关于直线y=2对称，
∴QD=QB，
∴QP+QD=QB+QP，
∵QP+QB≥PB，PB= =2 (cm)，
∴QP+QD≥2 ，
∴QP+QD的最小值为2 ．
故选：A．
【点拨】本题考查轴对称最短问题，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，轨迹等
知识，解题的关键是构建平面直角坐标系，发现点Q在直线y=2上运动．
3．B
【分析】由图象可知：AE＝3，BE＝4，根据勾股定理可得AB=5，当x=6时，点P在
BE上，设此时的PQ为 ，先求出 的长，再根据 ，求出 的长，
即PQ的长．
解：由图象可知：
AE＝3，BE＝4， ，
∴AB=
当x=6时,点 P 在 BE 上,设此时的PQ为 如图此时 =4-(7-x)=x-3=6-3=3
∵ABCD是矩形,
∴AB // CD
∴
∵
∴
∴
∴
∴
即
故选：B．
【点拨】本题考查的是动点问题函数图象，涉及到三角形相似，勾股定理和矩形的性
质，解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义,理解动点
的完整运动过程．
4．D
【分析】分点B 在BC左侧，点B 在BC右侧两种情况讨论，由勾股定理可AB=5，
1 1
由平行线可证 BED∽△BCA，可得 ，可求BE，DE的长，由勾股定理
△
可求PB的长．
解：如图，若点B 在BC左侧，B D交BC于E，
1 1∵∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴AB= ，
∵点D是AB的中点，
∴BD= BA= ，
∵B D⊥BC，∠C=90°，
1
∴B D∥AC，
1
∴∠BDE=∠A，∠EBD=∠CBA，
∴ BED∽△BCA，
△
∴ ，
∴BE=EC= BC=2，DE= AC= ，
∵折叠，
∴B D=BD= ，B P=BP，
1 1
∴B E=B D-DE=1，
1 1
∴在Rt B PE中，B P2=B E2+PE2，
1 1 1
∴BP2=1△+（2-BP）2，
∴BP= ，
如图，若点B 在BC右侧，延长B D交BC与E，
1 1
∵B D⊥BC，∠C=90°，
1∴B D∥AC，
1
∴∠BDE=∠A，∠EBD=∠CBA，
∴ BED∽△BCA，
△
∴ ，
∴BE=EC= BC=2，DE= AC= ，
∵折叠，
∴B D=BD= ，B P=BP，
1 1
∵B E=DE+B D= + ，
1 1
∴B E=4，
1
在Rt EB P中，B P2=B E2+EP2，
1 1 1
∴BP2△=16+（BP-2）2，
∴BP=5，
则点P与点B之间的距离为 或5．
故选择：D．
【点拨】本题考查了折叠的性质、直角三角形的性质以及勾股定理，相似三角形判定
与性质．此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意折叠中的对应关系．
5．B
【分析】根据角平分线、中点及平行线的性质，得出FD=ED= FB，设FD=ED=
FB=x，再根据 CEF∽△CAB，得出x的值，根据勾股定理即可求解．
解：∵BD△平分∠ABC
∴∠ABD=∠FBD
∵EF∥AB
∠FDB=∠ABD
∴∠FDB=∠FBD
∴△FBD为等腰三角形
∴FB=FD
∵D为线段EF的中点
∴FD=ED∴FD=ED= FB
设FD=ED= FB=x
∴EF=2x
∵EF∥AB
∴△CEF∽△CAB
∴
∴
即
解得：x=
∴CF=8-BF=8- =
EF=2× =
∵∠C＝90°，AB＝10，BC＝8
∴AC= =6
在Rt CEF中
△
CE= =
∴AE=AC-CE=6- =
故选：B．
【点拨】本题主要考查了角平分线、中点及平行线的性质，也考察了相似三角形的性
质，勾股定理的应用；解题关键是熟练掌握角平分线、平行线以及相似三角形的性质以及
利用方程解决实际问题．
6．D
【分析】当点 运动到 点位置时， ，则 ，当 点运动到 中点位置
时， ，即 ，证明 ，当 在 的延长线上时，且 ，根
据相似三角形的性质求得 的长，即可求得点 的横坐标解：根据函数图象可知，当点 运动到 点位置时， ，则 ，
当 点运动到 中点位置时， ，即 ，
∴
四边形 是矩形
的纵坐标相等，则当 在 的延长线上时， ， ， ，
，
即
解得 ， （舍）
即点 的坐标为( ，2)
故选：D
【点拨】本题考查了动点问题函数图象，相似三角形的性质与判定，从函数图像获取
信息是解题的关键．
7．A
【分析】作点F作FG⊥BC于G，依据已知条件求得△DBE≌△EGF，得出FG＝BE＝
x，EG＝DB＝2x，然后证得△FGC∽△ABC，再根据相似三角形的性质即可求解．
解：作点F作FG⊥BC于G，
∵∠DEB+∠FEG＝90°，∠DEB+∠BDE＝90°；
∴∠BDE＝∠FEG，在△DBE与△EGF中，
，
∴△DBE≌△EGF（AAS），
∴EG＝DB，FG＝BE＝x，
∴EG＝DB＝2BE＝2x，
∴GC＝y﹣3x，
∵FG⊥BC，AB⊥BC，
∴FG∥AB，
∴△FGC∽△ABC，
∴CG：BC＝FG：AB，
即 ＝ ，
∴y＝﹣ ．
故选A．
【点拨】本题考查了三角形全等的判定和性质及相似三角形的判定与性质，正确作出
辅助线是解决问题的关键．
8．B
【分析】（1）利用相似三角形，证明证明线段 就是点B运动的路径（或轨迹），
如答图②所示．；
（2）如答图①所示，利用相似三角形 A ∽△AON，求出线段 的长度，即点
△
B运动的路径长．
解：由题意可知，OM= ，点N在直线y=－x上，AC⊥x轴于点M，则 OMN为
△
等腰直角三角形，
∴ ON= ．
如答图①所示，设动点P在O点（起点）时，点B的位置为 ，动点P在N点（起点）时，点B的位
置为 ，连接 ．
∵AO⊥A ，AN⊥A ，
∴∠OAC=∠ A ．
又∵A =AO•tan30°，A =AN•tan30°，
∴A ：AO=A ：AN=tan30°．
∴△A ∽△AON，且相似比为tan30°．
∴ =ON•tan30°= ×
＝ ．
现在来证明线段 就是点B运动的路径（或轨迹）：
如答图②所示，当点P运动至ON上的任一点时，设其对应的点B为 ，连接AP，A ， ．
∵AO⊥A ，AP⊥A ，
∴∠OAP=∠ A ．
又∵A =AO•tan30°，A =AP•tan30°，
∴A ：AO=A ：AP．
∴△A ∽△AOP，
∴∠A =∠AOP．
又∵△A ∽△AON，
∴∠A =∠AOP．
∴∠A =∠A ．
∴点 在线段 上，即线段 就是点B运动的路径（或轨迹）．
综上所述，点B运动的路径（或轨迹）是线段 ，其长度为 ．
故选B
【点拨】本题考查坐标平面内由相似关系确定的点的运动轨迹，难度很大．要点有两
个：确定点B的运动路径是本题的核心，这要求考生有很好的空间想象能力和分析问题的
能力；其次，由相似关系求出点B运动路径的长度，可以大幅简化计算，避免陷入坐标关
系的复杂运算之中．
9．C
【分析】由点P为BD中点时，MC=0≠MF，可得①错误；连接PC，交EF于O，由点
P在BD上，可得AP=PC，根据PF⊥CD，PE⊥BC，∠BCF=90°可得四边形PECF是矩形，
可得EF=PC，即判断②正确；利用SSS可证明 APD≌△CPD，可得∠DAP=∠DCP，由矩形
的性质可得∠OCF=∠OFC，即可证明∠DAP=∠△OFC，可得
∠DAP+∠AMD=∠OFC+∠AMD=90°，即可判断③正确；根据平行线的性质可得∠DAP=∠H，可得∠DCP=∠H，由∠HPC是公共角可证明 CPM∽ HPC，根据相似三角
△ △
形的性质可得 ，根据PC=AP即可判断④正确，当PC⊥BD时PC的值最小，根据
等腰直角三角形的性质可求出PC的最小值为 ，根据EF=PC即可判断⑤正确；综上即
可得答案.
解：当点P为BD中点时，点M与点C重合，MC=0≠MF，故①错误，
连接PC，交EF于O，
∵点P在BD上，BD为正方形ABCD的对角线，
∴AP=PC，
∵PF⊥CD，PE⊥BC，∠BCF=90°，
∴四边形PECF是矩形，
∴EF=PC，
∴AP=EF，故②正确，
∵AD=CD，AP=PC，PD=PD，
∴ APD≌ CPD，
∴△∠DAP=∠△DCP，
∵四边形PECF是矩形，
∴∠OCF=∠OFC，
∴∠DAP=∠OFC，
∴∠DAP+∠AMD=∠OFC+∠AMD=90°，
∴∠FGM=90°，即AH⊥EF，故③正确，
∵AD//BH，
∴∠DAP=∠H，
∵∠DAP=∠DCP，
∴∠MCP=∠H，
∵∠CPH为公共角，
∴ CPM∽ HPC，
△ △
∴ ，
∵AP=PC，
∴AP2= PM•PH，故④正确，当PC⊥BD时，PC有最小值，PC= BD= ，
∵PC=EF
∴EF的最小值为 ，故⑤正确，
综上所述：正确的结论有②③④⑤，共4个，
故选C.
【点拨】本题考查正方形的性质、矩形的判定与性质及相似三角形的判定与性质，熟
练掌握相似三角形的判定定理及正方形的性质是解题关键.
10．4
【分析】根据等边三角形的性质得∠B＝∠C＝60°，再证明∠EPC＝∠PDB，则可判断
△PDB∽△EPC，利用相似比得到BD：PC＝PB：CE，设PB＝x，CE＝m，则PC＝4﹣x，
所以x2﹣4x+m＝0，根据判别式的意义得到△＝（﹣4）2﹣4×m＝0，然后解方程即可．
解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
∵∠DPC＝∠B＋∠PDB，
即∠DPE＋∠EPC＝∠B＋∠PDB，
而∠DPE＝60°，
∴∠EPC＝∠PDB，
而∠B＝∠C，
∴△PDB∽△EPC，
∴BD：PC＝PB：CE，
设PB＝x，CE＝m，则PC＝4﹣x，
∴1：（4﹣x）＝x：m，
∴x2﹣4x+m＝0，
∵点P有且只有一个，
∴△＝（﹣4）2﹣4m＝0，解得m＝4，
∴当CE＝4时，满足条件的点P有且只有一个．
故答案为4．
【点拨】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质,一元二次方程的解
法，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以
充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，
灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系．
11．
【分析】过点A作AE OB，且AE=OB，连接BE、CE，根据菱形的性质证明
△APE∽△DPO，再得到DP= AD，根据D为定点，P随A运动而运动， 从 减小
到 的过程可知点P经过的路程为点A运动路程的 ，故可求解．
解：过点A作AE OB，且AE=OB，连接BE、CE
∵AE OB，AE=OB，
∴四边形AOBE是平行四边形
∵OA=OB
∴四边形AOBE是菱形
∴AB⊥OE，
∴O、P、C、E四点共线，
∵AE OB
∴∠EAP=∠PDO，∠AEP=∠DOP
∴△APE∽△DPO
∴
∵D点是OB中点
∴OD= OB= AE
∴ =2
∴DP= AD∵D为定点，P随A运动而运动， 从 减小到 的过程
∴点P经过的路程为点A运动路程的
∵OA=6
∴点A运动路程为
∴点 经过的路径长为
故答案为： ．
【点拨】此题主要考查弧长公式的运用，解题的关键是根据题意找到点P的运动路径
与点A的运动路径的关系．
12．1或3
【分析】分两种情形①当EM⊥AC时，△EMN∽△EAF．②当EN⊥AC时，
△ENM∽△EAF，分别求解．
解：①当EM⊥AC时， EMN∽△EAF，
△
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝2，∠B＝90°，
∴tan∠CAB＝ ，
∴∠CAB＝30°，
∴∠AEM＝60°，
∴∠AEF＝30°，∴AF＝AE•tan30°＝ ＝1，
②当EN⊥AC时， ENM∽△EAF，
△
由（1）可知，∠CAB＝30°，EN⊥AC
∴∠AEN=∠MEN=60°，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴AF＝3，
故答案为：1或3．
【点拨】本题考查翻折变换，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练
掌握基本知识，属于中考常考题型．
13． 或 ．
【分析】分 和 两种情形求解即可．
解：依题意可得： ，
设 ，则有 ；
①当 时，（如图1）
由 得 ，解得： ；②当 时，（如图2）
由 得 ，
解得： ；
综上所述， 的值为 或 ．
故答案为： 或 ．
【点拨】本题考查了正方形背景下的三角形相似，熟练掌握三角形相似的判定定理，
灵活运用分类思想求解是解题的关键．
14．0或 或
【分析】首先根据tan∠ADE= 求得AE=3，根据勾股定理求出DE=5，由M为ED的
中点得DM=EM= ，根据tan∠ADE= 求得PM= ， 然后分三种情况，根据相似三角形
的性质即可求解．
解：∵正方形ABCD的边长为4，tan∠ADE= = ，
AE=3，
∴DE= ，
∵M为ED的中点，
∴DM=EM= ，∴在Rt△PMD中，PM=DM∙an∠ADE= × = ，
如图：
点N在线段PM上， 时
，即 ，
∴ ，
∴ ；
点N在线段PM的延长线上， 时
，即 ，
∴ ，
∴ ；
点N在线段PM的延长线上， 时
，即 ，
∴ ，
∴ ．故答案为：0或 或 ．
【点拨】本题考查正方形的性质，相似三角形的性质，利用正切值求边长，熟练掌握
相似三角形的性质是解题的关键．
15．2或5
【分析】分两种情况讨论，由相似三角形的判定和矩形的性质可求解．
解：∵E是BC的中点，
∴BE=2，
如图，若 EFP∽△ABE，则∠PEF=∠EAB．
△
∴PE∥AB．
∴四边形ABEP为矩形．
∴PA=EB=2，
如图，若 PFE∽△ABE，则∠PEF=∠AEB．
△
∵∠PAF=∠AEB，
∴∠PEF=∠PAF．
∴PE=PA．
∵PF⊥AE，
∴点F为AE的中点．
∵ ，
∴ ．∵ ，即 ，
∴PE=5，
综上所述：AP的值为2或5，
故答案为：2或5．
【点拨】本题考查了相似三角形的判定，矩形的性质，勾股定理，利用分类讨论思想
解决问题是解题的关键．
16．
【分析】确定菱形DEFG边长DE的最大值和最小值即可求出DE的取值范围．
解：在 中， ．
（1）当点D与点A重合时，如图1所示，
∵四边形DEFG是菱形，
∴GF∥AB，EF∥AC，DE=EF=FG=GD．
∴∠FEB=∠CDB=∠CGF，∠CFG=∠CBA．
∴ ．
．
设菱形的边长为x，则
．
解得， ．
∴ 此时为DE的最大值．
（2）当∠DEF=90°时，如图2所示，此时菱形DEFG是正方形．过点C作CH⊥AB于点H，交GF于点M，则CH⊥GF，且MH=GD=FE．
∵四边形DEFG是正方形，
∴GF∥AB，DE=EF=FG=GD=MH．
∴ΔGFC~ΔABC．
设正方形的边长为y，则MH=y，CM=CH-MH=
解得，
此时为DE的最小值．
∴符合条件的DE的取值范围是
故答案为：
【点拨】本题考查了勾股定理、菱形的性质、正方形的性质、相似三角形的判定与性
质等知识点，熟知上述图形的判定或性质是解题的基础，运用分类讨论的数学思想，求出
菱形边长的最大值和最小值，是解题的关键．
17．
【分析】设BN=NF=x，则NC=（4-x），根据 ，AB=CD=3，确定DF=1，FC=2，在直角三角形NCF中，实施勾股定理确定x，利用 NCF∽ FDQ，计算DQ，
FQ，得证 MEQ≌ FDQ，求得AM=ME，根据重叠面积等△四边形A△BNM的面积与 MEQ
面积的差计△算即可△． △
解：∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=CD=3，AD=BC=4，∠A=∠ABC=∠C=∠D=90°，
∵ ，
∴DF=1，FC=2，
∵沿着MN折叠矩形ABCD，使点A，B分别落在E，F处，
∴设BN=NF=x，则NC=（4-x），
∴在直角三角形NCF中，
∴
解得x= ，4-x= ，
∵∠EFN=∠ABC=∠C=∠D=90°，∠NFC+∠FNC=90°，
∴∠NFC+∠DFQ=90°，
∴∠FNC=∠DFQ，
∴ NCF∽ FDQ，
△ △
∴FD：NC= FQ：NF= DQ：CF=1： ，
解得DQ= ，FQ= ，
∴EQ=EF-FQ=AB-FQ=3- = ，
∴EQ=DQ，
∵∠E=∠D=90°，∠EQM=∠DQF，∴ MEQ≌ FDQ，
∴△ME=FD=△1，
∴AM=ME=1，
∴重叠面积=四边形ABNM的面积- MEQ面积
△
=
= ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，三角形相似的判定和性质，三角形全
等的判定和性质，勾股定理，熟练运用折叠的性质，会证三角形的全等，三角形相似，会
用勾股定理是解题的关键．
18．
【分析】根据正方形的性质可得AB，AC的长，从而可求出AC，AO的长，根据“点
P，Q分别在线段AO，BC上”可分三种情况进行讨论，①当P1在A点时，可得Q点在B
点处，根据“以PQ为斜边作等腰直角三角形PQM”可知M1点在O点处；②当P3在O点
时，可得Q3在C点，从而得到M3点在DC的中点处；③当P2在AO中点时，可得Q2在
BC中点处，M2在P3M3中点处，当M2在P3M3中点，且∠P2M2Q2=90°，连结P3Q2，
可得四边形OQ2Q3M3是正方形，所以可得OQ2，OM2的长，根据勾股定理可得OM2的
长，过点P2作P2G⊥BC，可得P2G∥AB，根据相似三角形的判定与性质可得 ，
即可得P2G的长，同理可得 CG，GQ2的长，根据勾股定理即可得出P2Q2，P2M2的长，
所以可得M2点在OM3中点处，综上即可得出M点在OM3上运动，从而求出点M的运动
路径长
解：在正方形ABCD中，AB＝4 ，则AB=BC=4 ，
∴AC=
∴AO=4，①当P1在A点时，AP=0，则BQ= AP=0，
∴Q点在B点处，
此时，∠BAO=∠ABO=45°，∠AOB=90°，
即M1点在O点处；
②当P3在O点时，AP3=4=AO，则BQ= AP=4 ，
即Q3在C点，
此时，∠ACD=∠CP3M3=45°，∠P3M3C=90°，
即M3点在DC的中点处；
③当P2在AO中点时，AP2=2，则BQ= AP=2 ，
即Q2在BC中点处，M2在P3M3中点处，证明如下：
当M2在P3M3中点，且∠P2M2Q2=90°，
连结P3Q2，
∵P3，Q2为中点，
∴OQ2⊥BC，
∴四边形OQ2Q3M3是正方形，
∵OQ2= AB=2 =OM3，
∴OM2= OM3= ，
∴Q2M2= = ，
过点P2作P2G⊥BC，
此时P2为AO的中点，且P2G∥AB，
即在△ABC中， ，∵CP2=AC-AP2=6，
即 ，
∴P2G=3 ，
同理可得 CG=3 ，GQ2= ，
∴P2Q2= ，
∴P2M2= ，
故M2点在OM3中点处，
即M点在OM3上运动，
∴OM3= DC=2 ．
【点拨】本题考查了正方形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知
识．考虑问题要全面，通过分情况讨论将所有情况进行分析得到最终结论．
19．1或3
【分析】分两种情况：①当EM⊥AC时∠AME=90°，然后根据三角函数的性质可得解；
②当EN⊥AC时，∠MNE=90°，然后根据三角函数的性质可得解．
解：由已知 EMN与 AEF相似， AEF与 HEF全等，所以可以分为两种情况：
①当EM⊥AC△时，∠A△ME=90°， △ △
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=2，∠B=90 ，
∵∠CAB=30°， ∘
∴∠AEM=60°，AB= ，
由已知可得∠AEF=30°，AE= ，
∴AF=AEtan30°= =1；
⋅
②当EN⊥AC时，∠ANE=90°，
∴∠AEN=60°，∴AF=AEtan60°= =3，
⋅
故答案为：1或3.
【点拨】本题考查三角形图形变换的应用，熟练掌握折叠、三角形相似、三角形全等
及三角函数的性质是解题关键．
20．(1) (2) (3) ，
【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可；
（2）根据相似三角形的性质“对应边成比例”，即可求出OP的长，从而可求出BP
的长，进而即可求出t的值；
（3）由翻折可知 ， ．根据勾股定理即可求出 ．根
据题意可知 ，则 ．再利用面积公式即可列出关于t的等式，解出t即可求
解．
解：(1)设直线AB的函数解析式为： ，则 ，
解得： ，
∴直线AB的函数解析式为 ；
(2)由题意可知AO=3，BO=4．
∵ AOP∽△BOA，
△
∴ ，即
解得： ，
∴ ，
∴ ．
(3)由翻折可知 ，∵ ，
∴ ．
根据题意可知 ，则 ．
∵ ，
∴ ，即
解得： ．
∴ ．
【点拨】本题考查利用待定系数法求函数解析式，相似三角形的性质，勾股定理等知
识．熟练掌握各知识点是解题关键．
21．（1） ；（2） ；（3）不存在，见解析；（4）存在，
t=4
【分析】（1）先根据等腰三角形的性质和勾股定理求得BD=DC=6，AD=8，再根据
平行线成比例求得 BQ=CM= ，然后在Rt△ABD和Rt△PBQ中，由cos∠B= 求
得BQ= ，由BQ=CM列方程求解t值即可；
（2）先证明△PDN∽△ADB，和△CPM∽△CDA，根据相似三角形的性质求得
和 ，再由 求解即可；
（3）先假设存在，根据 = 整理得 ，
根据根的判别式△即可做出判断；
（4）先假设存在，过点M作ME⊥PQ于E，则PE= PQ，利用锐角的三角函数求得
， ，进而求得t值，即可得出结论．
解：（1）由题意知，PC=t，BP=12﹣t，∵AB=AC，AD⊥BC，AB=AC=10，BC=12，
∴BD=DC=6，AD=8，
∵QM∥BC，
∴ ，
∵AB=AC，
∴BQ=CM，
∵PM⊥BC，AD⊥BC，
∴ PM∥AD，
∴ 即 ，
∴CM= ，
在Rt△ABD和Rt△PBQ中，
cos∠B= ，即 ，
解得：BQ= (12﹣t)= ，
由BQ=CM得： = ，
解得： ，
故当 时，QM∥BC；
（2）∵∠B+∠BAD=90°，∠DPN+∠B=90°，
∴∠BAD=∠DPN，又∠PDN=∠ADB=90°，
∴△PDN∽△ADB，
∴ ，即 ，
解得： ，
∴ ，
∵PM∥AD，
∴△CPM∽△CDA，∴ 即 ，
解得： ，
∴ ，
∴ = = ，
即y与t的函数关系式为 ；
（3）假设存在某一时刻t，使四边形ANPM的面积是△ABC面积的 ，
则 = ，
整理得： ，
∵△= =﹣1536＜0，
∴此方程无解，
∴不存在某一时刻t，使四边形ANPM的面积是△ABC面积的 ；
（4）假设存在某一时刻t，使点M在线段PQ的垂直平分线上，则MP=MQ，
过点M作ME⊥PQ于E，则PE= PQ，∠PEM=90°，
在Rt△ABD和Rt△PBQ中，
sin∠B= ，
解得： ，
∵∠BPQ+∠B=90°，∠BPQ+∠MPE=90°，
∴∠B=∠MPE，
在Rt△PEM和Rt△BDA中，
cos∠B=cos∠MPE，即 ，
解得： ，由PE= PQ得 = ，
解得：t=4，
∵0＜t＜6，
∴存在某一时刻t=4时，点M在线段PQ的垂直平分线上．
【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、锐角的三角函数、
平行线的性质、等角的余角相等、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、解一元二
次方程、解一元一次方程等知识，综合性强，难度适中，解答的关键是熟练掌握各个知识
的性质，结合图形，寻找知识点间的联系与运用，进而推理和计算．
22．(1)t=2(2) ； 或 (3) 或
(4)
【分析】（1）证明△ECQ∽△ACB，可得 ，可得EQ= ，EC= ，由
题意点E在BQ的垂直平分线上，推出EB=EQ，由此构建方程，求解即可．
（2）如图2中，过点Q作QH⊥AB于H，则AQ=10-2t，QH= ，根据
y=S ABC-S APQ，求解即可得函数关系式，根据题意列出方程即可求解．
△ △
（3）分两种情形：①如图2-1中，当DC=DF时，连接DF，取AC的中点J，连接
BJ，和点B作BH⊥AC于H，过点F作FK⊥CD于K．证明∠BJH=∠CFK，可得 ∠BJH=
∠CFK，由此构建方程求解．②当CF=CD时，构建方程，求解即可．
（4）当Q、F、D三点共线时，根据 ,列出方程即可求解．
解：(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
∵AB=6，BC=8，∴AC= ，
∵EQ⊥AC，
∴∠EQC=∠B=90°，
∵∠ECQ=∠ACB，
∴△ECQ∽△ACB，
∴ ，
∴ ，
∴EQ= ，EC=
∵点E在BQ的垂直平分线上，
∴EB=EQ，
∴ ，
∴t=2．
(2)如图2中，过点Q作QH⊥AB于H，则AQ=10-2t，QH= ，
∵AP=t，
∴S APQ= •AP•QH= •t• （10-2t）= t2+4t，
△
∴y=S ABC-S APQ= ×6×8-（- t2+4t）= t2-4t+24（0＜t≤ ）．
△ △
矩形 的面积为
四边形BPQC的面积为y是矩形ABCD面积的十二分之五时，
解得 或(3)①如图2-1中，当FC=DF时，连接DF，取AC的中点J，连接BJ，和点B作
BH⊥AC于H，过点F作FK⊥CD于K．
∵∠ABC=90°，AJ=JC，
∴BJ=AJ=JC= AC=5，
∴∠JBC=∠JCB，
∴∠BJH=∠BCJ+∠JCB=2∠JCB，
∵E，F关于AC对称，
∴∠ACE=∠ACF，CF=CE= t
∴∠FCE=2∠ACB=∠BJH，
∵FK⊥CD，CB⊥CD，
∴FK∥CB，
∴∠CFK=∠FCE=∠BJH，
∵BH⊥AC，
∴S ACB= •AB•CB= •AC•BH，
△
∴BH= ，
∵FD=FC，FK⊥CD，
∴CK=KD=3，
∵∠BJH=∠CFK，
∴sin∠BJH=sin∠CFK，
∴ ，
∴ ，∴t= ，
②当CF=CD时， ，
∴t= ，
综上所述，满足条件的t的值为 或 ．
(4)当Q、F、D三点共线时，
，
，
，
，
即 ，
, ，
，
解得 ．
【点拨】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解
直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思
想思考问题．
23．(1) 或 (2) (3)当 时，；当 时， (4) 或 或
【分析】（1）先根据勾股定理可得AB=5，可得AD=BD=5，然后分两种情况：当点P
在线段BD上，即 时，当点P在线段AD上，即 时，即可求解；
（2）根据 ，可得 ，从而得到BQ=3，再由 ，
即可求解；
（3）分两种情况讨论：当 时，△PDQ与△ABC重叠部分图形为四边形，当
时，△PDQ与△ABC重叠部分图形为四边形，即可求解；
（4）分四种情况讨论，即可求解．
(1)解：根据题意得：PB=4t，
在Rt△ABC中， ， ， ，
∴ ，
∵点D为AB的中点，
∴AD=BD=5，
∴当点P在线段BD上，即 时， ；
当点P在线段AD上，即 时， ；
综上所述， 或 ；
(2)解：如图，
∵ ，
∴ ，∴ ．
∵D为AB的中点，
∴ ，
∴BQ=3，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
(3)解：由（1）（2）得：当 时，△PDQ与△ABC重叠部分图形为四边形，
如图，设PQ交BC于点M，DQ交BC于点N，此时BN=3，
∴DN=4，
∵ ，BP=4t，
∴ ，
∴△PDQ与△ABC重叠部分图形的面积
；
当Q在AC上时，如图，
∵∠ADQ=∠A，
∴AQ=DQ，∵ ，即PQ⊥AB，
∴AP=PD= ，
∴ ，解得： ，
∴当 时，△PDQ与△ABC重叠部分图形为四边形，如图，过点N作NE⊥AD
于点E，设PQ，DQ分别交AC于点M，N，则AE= ，
此时 ，AP=10
，
∴DN=3，
∴△PDQ与△ABC重叠部分图形的面积
；
综上所述，S与t的函数关系式当 时， ；当 时，
；
(4)解： 由（2）得：当点Q在BC上时，点Q为BC的中点，
∴AQ平分△ABC的面积且点P在BD上，
此时 ；
如图，当AQ平分△ABC的面积且点P在AD上时，延长AQ交BC于点M，过点M作
MN⊥AB于点N，此时点M为BC的中点，即BM=CM=3，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵BD=5，BP=4t，
∴PD=4t-5，AP=10-4t，
∵∠PDQ=∠A，
∴ ，
∵∠DPQ=90°，即PQ⊥AB，
∴△APQ∽△ANM，
∴ ，即 ，
解得： ；
如图，当BQ平分△ABC的面积时，延长BQ交AC于点M，则点M为AC的中点，即
AM=CM=4，
∵∠PDQ=∠A，
∴DQ∥AC，
∴△BDQ∽△BAM，∴ ，即AM=2DQ，
∴DQ=2，
∴ ，
∵PD=BD-BP=5-4t，
∴ ，解得： ；
综上所述，当点Q落在△ABC内部或边上时，直接写出点Q与△ABC的顶点的连线平
分△ABC面积时t的值 或 或 ．
【点拨】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，动点问题，利用
分类讨论思想解答是解题的关键．
24．(1) (2) (3)当点Q在 的内部时，Q与AC的距离为 ；
当点Q在 的外部时，Q与AC的距离为 (4)
【分析】（1）如图，过点C作CH⊥AB于点H．利用面积法求出CH，可得结论；
（2）根据面积关系构建方程求解即可；
（3）如图，过点Q作QI⊥AC于点I．证明 ，可得结论；
（4）如图，因为QC＜ ，所以点Q在射线EF上，过点C作CN⊥QQ′于点N，连接
QC．求出QC= 时，x的值，可得结论．
(1)解：∵AD⊥CB，AD=CD=4，BD=3，
∴ ，
∵ ，根据垂线段最短可知，当点P与H重合时，CP的值最小，最小值为 ；
(2)解：由题意BP=x，则AP=5-x，在 中，
，
，
∵直线L平分 ABC的面积，
△
∴ ，
解得 ， （不合题意，舍去），
．
(3)解：如图，当点Q在 内时，作 于H．
由 ，得 ，即 ，
解得， ，
∴
在 中，当点Q在 的外部时，
在 中， ，
综上，当点Q在 的内部时，Q与AC的距离为 ；当点Q在 的
外部时，Q与AC的距离为 ．
(4)解： ，理由如下：
方法一：由 得 平分 ．
以C为圆心，以 为半径作辅助圆．
∵点Q与点C的距离小于 ，
∴点Q在 的内部．
图中， ，都相似，
每个三角形的三边比都是 ，
假设 ，则 ，所以，
由 ，得 ，同理
∴点Q与点C的距离小于 时， ．
方法二：如下图中，∵QC＜ ，
∴点Q在射线EF上，
过点Q作QR⊥BC于点R，连接QC．
当QC= 时，∵CQ2=QR2+CR2，
∴[4- （5-x）]2+{4-[x- （5-x）]}2=（ ）2，
整理得64x2-448x+735=0∴x= 或 ，
∴当 ＜x＜ 时，
点Q与点C之间的距离小于 ．
【点拨】本题属于三角形综合题，考查了解直角三角形，相似三角形的判定与性质，
三角形的面积，垂线段最短等知识，解题的关键是理解题意，利用参数构建方程解决问题．
