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专题 28.2 解直角三角形及其应用
1.理解直角三角形中五个元素的关系，能用锐角三角函数解直角三角形；
2.了解仰角、俯角、方向角等名词的概念，并能解决实际问题；
3.能用锐角三角函数相关知识解决一些简单的实际问题
一、解直角三角形
在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.
在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.
设在 中， 所对的边分别为 ，则有：
①三边之间的关系： (勾股定理)；②锐角之间的关系： .
③边角之间的关系：
④ ， 为斜边上的高.
注意：（1）直角三角形中有一个元素为定值(直角为 )，是已知值.
（2）这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系).（3）对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.
二、解直角三角形的类型和解法
已知条件 图形 解法
已知一直角边和一个锐
角
B
已知斜边和一个锐角
斜边 对
边
b
已知两直角边 A C
邻边
已知斜边和一条直角边
三、解直角三角形的应用
解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量
关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.
解这类问题的一般过程是：
（1）弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出
几何图形，建立数学模型；
（2）将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的
问题；
（3）根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.
（4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.
1.坡度坡角
在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：
坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母 表示.
坡度(坡比)：坡面的铅直高度 和水平距离 的比叫做坡度，用字母 表
示，则 ，如图，坡度通常写成 的形式.
2.仰角俯角问题
仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，
如图.
3.方位角问题
方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向 PA，
的方位角分别为是 .（2）方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于 的水平角，叫做方向角，如图②中的
目标方向线 的方向角分别表示北偏东 ，南偏东 ，南偏西 ，北偏西 .特别
如：东南方向指的是南偏东 ，东北方向指的是北偏东 ，西南方向指的是南偏西 ，西北方向指
的是北偏西
注意：1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，
最好画出它的示意图.
2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来
解.
3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，
进而根据条件选择合适的方法求解.
考点01直接解直角三角形
例1．如图，在 中， ， ， 于点 ， ，若 ， 分别为 ，
的中点，则 ．
变式1-1．如图，在 中， ， ， ， 垂足为D， ，则
长为 ．变式1-2．在 中， 是高， ．求 ．
变式1-3．（1）在 中， ， ， ，求 和 的长；
（2）在 中， ， ， ，解这个直角三角形．
考点02需设元解直角三角形
例2．如图，在菱形 中， ， ，则 的值是（ ）
A．2 B． C． D．3
变式2-1．如图，在 ， ，D为 边上的一点，将 沿 翻折，得到 ．连
接 ， ，若 ， ，则 到 边上的距离为 ．变式2-2．在 中， ， ， ，则 ．
变式2-3．郑北大桥横跨亚洲最大铁路编组站，该桥为独塔双索面钢混结合梁斜拉桥，是国内同类型桥中
桥面最宽的结合梁斜拉桥．某数学“综合与实践”小组的同学把“测量郑北大桥的某组斜拉索最高点到桥
面的距离作为一项课题活动，进行了探究，具体过程如下：
【方案设计】如图，分别在A，B两点放置测角仪，测得 和 的度数，并量出 的距离，即可
解决问题：
【数据收集】 米，测角仪 和 的高度为1.5米；
【问题解决】求郑北大桥某组斜拉索最高点C到桥面 的距离．（结果保留整数．参考数据：
， ， ）
考点03解非直角三角形
例3．在锐角 中， ， ，则底边 的长为（ ）
A．8 B． C． D．
变式3-1．在 中，若 ， ， ，则 ．
变式3-2．如图， 是 的中线，
求：
(1) 的长；(2) 的正弦值．
变式3-3．如图，在 中， ，点 为 的中点， 于点 ，连接 ．已知
.
(1)若 ，求 的长度；
(2)若 ，求 ．
考点04构造直角三角形求不规则图形
例4．如图，在四边形 中， ， ， ， ，则四边形 的面
积为（ ）
A．48 B．50 C．52 D．54
变式4-1．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，∠AOD＝60°，AC＝BD＝2，则这个四边形的
面积是（ ）
A． B． C． D．
变式4-2．如图，某高为60米的大楼 旁边的山坡上有一个“5G”基站 ，从大楼顶端 测得基站顶端的俯角为 ，山坡坡长 米，坡度 ，大楼底端 到山坡底端 的距离 米，则该基
站的高度 米．
变式4-3．已学校操场边有一块不规则的四边形。八年级（1）班的数学学习小组想要求出它的面积，经过
测量知： ，请你根据以上测量结果求出不规则四边形的面
积？
考点05坡角坡度问题
例5．为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市大力开展植树造林活动．如图，若在坡比
为 的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）为 ，那么斜坡上相邻两树间的坡面距离为
（ ）
A． B． C． D．
变式5-1．如图，一辆小车沿着坡度为 的斜坡向上行驶了 米，则此时该小车离水平面的垂直高
度为（ ）A．25米 B． 米 C．30米 D．35米
变式5-2．2024年1月4日，第22届瓦萨国际滑雪节开幕式在长春净月潭国家森林公园启幕．如图，一名
滑雪运动员沿着倾斜角为 的斜坡，从点A滑行到点B．若 ，则这名滑雪运动员下降的高度为
（ ）
A． B． C． D．
变式5-3．如图，某滑雪场的滑雪轨道由 与 两部分组成， 长度为 ， 长度为 ，一
位同学乘滑雪板沿此轨道由A点滑到了C点，若 的坡度为 ， 与水平面 的夹角为 ，则他
下降的高度为多少米？（精确到1米，参考数据： ， ， ）．
考点06仰角俯角问题
例6．数学小组的同学要测量灯塔的高度，如图所示，在点 处测得灯塔最高点 的仰角 ，再
沿 方向前进至 处测得最高点 的仰角 ，则灯塔的高度 大约是（结果精确到 ，参考数据： ）（ ）
A． B． C． D．
变式6-1．河南博物院坐落于河南省郑州市农业路中段，创建于 年，是中国成立较早的博物馆之一．
主展馆主体建筑以登封元代古观星台为原型，艺术演绎成了“戴冠的金字塔”造型，冠部为方斗形，上扬
下覆，寓意中原为华夏之源，融汇四方（如图 ）．小明利用所学的知识测量主展馆的高度 ，如图 ，
他使用无人机在地面 处测得主展馆方斗形一角 处的仰角为 ，然后控制无人机竖直上升 米到达
处，在 处测得主展馆方斗形一角 处的仰角为 ，其中 在同一水平线上，请你帮小明求出河南博
物院主展馆的高度 ．（结果精确到 米，参考数据： ， ， ，
）
图1 图2
变式6-2．无人机在实际生活中的应用广泛，如图所示，某人利用无人机测大楼的高度 ，无人机在空中
点A处，测得点A与地面距离80米，测得C点的俯角为 ，控制无人机水平移动至点D，测得
米，楼顶C点的俯角为 ，（点A、B、C、D在同一平面内），求大楼的高度 ．变式6-3．如图，在楼观测点P处进行观测，测得山坡 上A处的俯角为 ，测得山脚B处的俯角为 ．
已知该山坡 的坡度 ，点P，H，B，C，A在同一个平面上．点H，B，C在同一条直线上，且
， 米．
(1)求观测点P与山脚B点之间的线段 的长度；
(2)求观测点P与山顶A点之间的线段 的长度．
考点07方向角问题
例7．现在手机导航极大方便了人们的出行，如图，嘉琪一家自驾到风景区 游玩，到达 地后，导航显
示车辆应沿北偏西 方向行驶4千米至 地，再沿北偏东 方向行驶一段距离到达风景区 ，嘉琪发现
风景区 在 地的北偏东 方向，那么B，C两地的距离为（ ）A． 千米 B． 千米 C． 千米 D．8千米
变式7-1．某轮船由西向东航行，在 处测得小岛 的方位是北偏东 ，又继续航行 海里后，在 处测
得小岛 的方位是北偏东 ，若轮船继续向正东方向行驶，则轮船与小岛 的最短距离 海里．
变式7-2．如图所示，渔船在 处看到灯塔 在北偏东 方向上，渔船向正东方向航行了 到达 处，
在 处看到灯塔 在正北方向上．
(1)求这时渔船与灯塔 的距离．
(2)若渔船继续向正东方向行驶 到达 处，求 的值．
变式7-3．如图，在一笔直的海岸线 上有 两个观测站， 在 的正东方向， ，有一艘小船在
点 处，从 测得小船在北偏东 的方向，从 测得小船在北偏西 的方向．求点 到海岸线 的距离
（结果精确到 ）．考点08其他实际问题
例8．随着科技的进步，机器人在各个领域的应用越来越广泛，如图为正方形形状的擦窗机器人，其边长
是28cm．在某次擦窗工作中， 为窗户的边缘，擦窗机器人的两个顶点A、B分别落在
上， ，将擦窗机器人绕中心O逆时针旋转一定的角度，使得 ，则旋转角度是（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
变式8-1．某临街店铺在窗户上方安装如图1所示的遮阳棚，其侧面如图2所示，遮阳棚展开长度
，遮阳棚前端自然下垂边的长度 ，遮阳棚固定点A距离地面高度 ，
遮阳棚与墙面的夹角 ．(参考数据： ， ， ，
)
(1)如图2，求遮阳棚前端 到墙面 的距离；
(2)如图3，某一时刻，太阳光线与地面夹角 ，求遮阳棚在地面上的遮挡宽度 的长(结果精确到 )．
变式8-2．小艺在某大学艺术学院就读，她想借助学院前的台阶，测量学院对面雕塑的高度，如图为雕塑
和学院门口台阶的侧面示意图， 为雕塑， 为雕塑下端的平台， 为学院门口的台阶，已知B，D
在同一水平线上（即 ），此时测得 等于 ，点D距离地面高度 为 米，已知台阶
的坡角为 ， 米，求该雕塑 的高度．（结果精确到 米，参考数据： ）
变式8-3．如图，某数学小组探究笔记本电脑打开角度对用眼舒适度的影响，当张角 时，顶部
边缘A处离桌面的高度 的长为 ，此时用眼舒适度不太理想．小组成员调整张角大小继续探究，最
后发现当张角 时（点 是A的对应点），用眼舒适度较为理想．求此时顶部边缘 处离桌面
的高度 的长．（结果精确到 ；参考数据： ）
基础过关练
1．已知一个斜坡 的长为 米，坡角为 度，则斜坡高度 为（ ）A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
2．如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则 的
值为（ ）
A． B． C． D．
3．在锐角 中， 是高，如果 ， ，那么 的长为（ ）
A． B． C． D．
4．如图， ， ， 底边BC上的高为 ， 底边QR上的高为 ，则有
（ ）
A． B． C． D．以上都有可能
5．如图，平地上一幢建筑物 与铁塔 都垂直于地面， ，在建筑物的顶部分别观测铁塔底部
的俯角为 、铁塔顶部的仰角为 ．则铁塔 的高度为 （结果保留根号）．6．如图，在 中， ， ， ，则 的长为 ．
7．如图，在 中， ， ， ， ，垂足为 ， 的平分线交
于点 ，则 的长为 ．
8．如图，某小区物业想对小区内的三角形广场 进行改造，已知 与 的夹角为 ， 米，
米，请你帮助物业计算出需要改造的广场面积是 平方米.（结果保留根号）
9．如图，长 的楼梯 的倾斜角 ，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾
斜角 ，求调整后的楼梯 的长（精确到 ，参考数据： ， ，， ， ）．
10．小花和小明周末去大雁塔游玩，两人在A处测得大雁塔在北偏东60°方向C处，当小花和小明沿着正
东方向走了1200米到达B处时，测得大雁塔在北偏东15°的方向上，求此时他们与大雁塔的距离 约是
多少？（结果保留整数，参考数据： ， ）
11．如图，在 中， ．
(1)求 的值．
(2)求 的面积（结果保留根号）
12．文物探测队探测出某建筑物下面埋有文物，为了准确测出文物所在的深度，他们在文物上方建筑物的
一侧地面上相距 米的 两处，用仪器测文物 ,探测线与地面的夹角分别是 和 ， 求该文物所在
位置的深度(精确到 米) ．能力提升练
1．已知如图， 是 的弦， 与坐标系 轴交于 两点， 的弦 的长为 ，
则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．某数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度 .如图，无人机在 处测得正前方河流的点 处的俯
角 ，点 处的俯角 ，点 ， ， 在同一条水平直线上.若 ， ，
则河流的宽度 为（ ）
A． B． C． D．3．如图，△AOB中，OA＝4，OB＝6，AB＝2 ，将△AOB绕原点O旋转90°，则旋转后点A的对应点
A′的坐标是（ ）
A．（4，2）或（﹣4，2） B．（2 ，﹣4）或（﹣2 ，4）
C．（﹣2 ，2）或（2 ，﹣2） D．（2，﹣2 ）或（﹣2，2 ）
4．在 中， 是锐角， ， 是高，且 ，则 ．
5．如图，在扇形 中， ，半径 是 的中点，过点 作 ，交 于
点 ，则阴影部分的面积为 ．
6．如图，在四边形 中，连接 、 ， ， ， ，则
的值为 ．7．某小区有两栋在建居民楼，因施工底部不能直接到达．按照有关规定：两楼间距不小于前楼高度的1.2
倍．为计算两楼间距，数学小组的同学在远处平台的点 处测得高度为21米的前楼 顶部点 的仰角
为 ，测得高度为38.5米的后楼 顶部点 的仰角 为 ，平台高 为9米，点 与两栋楼的底
部点 在同一水平线上．根据以上信息解决问题：
(1)平台到前楼的距离 长；
(2)计算两楼间距，并判断间距是否符合规定．
（结果保留小数点后一位，参考数据： ， ， ， ，
， ）
8．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对（ ），如图①，在 中， ，顶角
A的正对记作 ，这时 ．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定
的．根据上述角的正对定义，解下列问题：
(1) ________．
(2)对于 ， 的正对值 的取值范围是________．
(3)如图②，已知 ，其中 为锐角，试求 的值．
