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专题 28.2 解直角三角形及其应用
1.理解直角三角形中五个元素的关系，能用锐角三角函数解直角三角形；
2.了解仰角、俯角、方向角等名词的概念，并能解决实际问题；
3.能用锐角三角函数相关知识解决一些简单的实际问题
一、解直角三角形
在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.
在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.
设在 中， 所对的边分别为 ，则有：
①三边之间的关系： (勾股定理)；②锐角之间的关系： .
③边角之间的关系：
④ ， 为斜边上的高.
注意：（1）直角三角形中有一个元素为定值(直角为 )，是已知值.
（2）这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系).（3）对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.
二、解直角三角形的类型和解法
已知条件 图形 解法
已知一直角边和一个锐
角
B
已知斜边和一个锐角
斜边 对
边
b
已知两直角边 A C
邻边
已知斜边和一条直角边
三、解直角三角形的应用
解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量
关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.
解这类问题的一般过程是：
（1）弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出
几何图形，建立数学模型；
（2）将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的
问题；
（3）根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.
（4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.
1.坡度坡角
在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：
坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母 表示.
坡度(坡比)：坡面的铅直高度 和水平距离 的比叫做坡度，用字母 表
示，则 ，如图，坡度通常写成 的形式.
2.仰角俯角问题
仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，
如图.
3.方位角问题
方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向 PA，
的方位角分别为是 .（2）方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于 的水平角，叫做方向角，如图②中的
目标方向线 的方向角分别表示北偏东 ，南偏东 ，南偏西 ，北偏西 .特别
如：东南方向指的是南偏东 ，东北方向指的是北偏东 ，西南方向指的是南偏西 ，西北方向指
的是北偏西
注意：1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，
最好画出它的示意图.
2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来
解.
3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，
进而根据条件选择合适的方法求解.
考点01直接解直角三角形
例1．如图，在 中， ， ， 于点 ， ，若 ， 分别为 ，
的中点，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了三角形内角和定理，等角对等边，余弦，中位线．熟练掌握等角对等边，余弦，中位
线是解题的关键．由三角形内角和得， ，则 ，
，由题意得 是 的中位线，根据 ，计算求解即可．【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， 分别为 ， 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
故答案为： ．
变式1-1．如图，在 中， ， ， ， 垂足为D， ，则 长
为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查含30度角的直角三角形的性质，根据直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜
边的一半即可求解．推出 是解题的关键．
【详解】解： 在 中， ， ， ，
，即
，
，
，
又 ，
，
，
，， ，
，
又 ，
，
故答案为： ．
变式1-2．在 中， 是高， ．求 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了解直角三角形．分别在 和 中，利用锐角三角函数求解即可．
【详解】解：∵ 是高，
∴ ，
在 中， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ．
变式1-3．（1）在 中， ， ， ，求 和 的长；
（2）在 中， ， ， ，解这个直角三角形．
【答案】（1） ；（2）
【分析】本题考查解直角三角形，熟知勾股定理及特殊角的三角函数值是解题的关键．
（1）由所给条件，画出图形，借助于特殊角的三角函数值即可解决问题．（2）由所给条件，画出图形，借助于特殊角的三角函数值即可解决问题．
【详解】解：（1）如图所示，
在 中， ， ， ，
∴ ，即 ，
则 ．
又∵ ，即 ，
则 ．
（2）如图所示，
在 中， ， ， ，
∴ ．
∴ ，
∴ ，
∴ ．
考点02需设元解直角三角形
例2．如图，在菱形 中， ， ，则 的值是（ ）A．2 B． C． D．3
【答案】B
【分析】此题考查了菱形的性质及解直角三角形的知识，解答本题的关键是根据菱形四边相等的性质、勾
股定理表示出各边长度，难度一般．
设 ，则 ， ， ，继而根据三角函数定义可得出 的值．
【详解】解：由题意得， ，
设 ，则 ，
由勾股定理，得
∵四边形 是菱形，
∴
∴ ，
在 中， ．
故选：B．
变式2-1．如图，在 ， ，D为 边上的一点，将 沿 翻折，得到 ．连
接 ， ，若 ， ，则 到 边上的距离为 ．
【答案】
【分析】本题考查折叠轴对称的性质，相似三角形，解直角三角形，三角形的面积公式，掌握折叠的性质和直角三角形的边角关系是解决问题的关键；
根据折叠的性质，可得 ， ， ，利用相似三角形和 ，
，即可求出 ， ，进而求出 ，利用三角形面积即可求出答案；
【详解】解：过点 ⊥BC，垂足为M，连接 ，
由折叠得， ， ， ，
，
，
又 ，
，
，
，
，
设 ，则 ， ，
在 中，由勾股定理得，
，
，
解得 ，
，
在 中，
，
设点 到 的距离为h，由 的面积得，，
即 ，
，
故答案为： ．
变式2-2．在 中， ， ， ，则 ．
【答案】24
【分析】本题考查了解直角三角形，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义．
先根据三角函数的定义表示出 ，设 ， ，利用勾股定理列出方程，解方程确定 与
的长，即可确定三角形的面积．
【详解】解：在 中， ，
，
设 ， ，
根据勾股定理得，
，
，
，
解得： ，
， ，
则 ，
故答案为：24．
变式2-3．郑北大桥横跨亚洲最大铁路编组站，该桥为独塔双索面钢混结合梁斜拉桥，是国内同类型桥中
桥面最宽的结合梁斜拉桥．某数学“综合与实践”小组的同学把“测量郑北大桥的某组斜拉索最高点到桥
面的距离作为一项课题活动，进行了探究，具体过程如下：【方案设计】如图，分别在A，B两点放置测角仪，测得 和 的度数，并量出 的距离，即可
解决问题：
【数据收集】 米，测角仪 和 的高度为1.5米；
【问题解决】求郑北大桥某组斜拉索最高点C到桥面 的距离．（结果保留整数．参考数据：
， ， ）
【答案】150米
【分析】本题考查解直角三角形．
过点C作 于点G，并延长 交 于点H，由题意有 米， 米，
设 米，则 （米），在 中， ，在
中， （米），从而 ，求解即可得到 的长，进而
即可解答．
【详解】过点C作 于点G，并延长 交 于点H
由题意得： 米， 米，
设 米，则 （米），
∵在 中， ，
∴ ，
∵在 中， ，
∴ （米），
∴ ，即 ，
解得： ，∴ （米），
∴ （米），
郑北大桥某组斜拉索最高点C到桥面 的距离约为150米．
考点03解非直角三角形
例3．在锐角 中， ， ，则底边 的长为（ ）
A．8 B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，掌握解直角三角形是解题的关键．
过点 作 于点 ，根据 ， ，可得 ，设 ，则 ，勾
股定理求得 的长，进而可得 的长．
【详解】如图，过点 作 于点 ，
中， ， ，
， ，
设 ，则 ，
，
解得 ，
，
．
故选：B．
变式3-1．在 中，若 ， ， ，则 ．
【答案】1或13
【分析】过点 作 于点 ，分高 在三角形内部和三角形外部两种情况进行讨论求解．
【详解】解：过点 作 于点 ，分两种情况讨论：①当 在 的外部时，如图：
∵ ，
∴设 ，则： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②当 在 的内部时，如图：
同法可得： ，
∴ ；
综上： 1或13；
故答案为：1或13．
【点睛】本题考查解非直角三角形，解题的关键是构造直角三角形，利用数形结合和分类讨论的思想，进
行求解．
变式3-2．如图， 是 的中线，
求：(1) 的长；
(2) 的正弦值．
【答案】(1)6
(2)
【分析】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是：
（1）作 于 ．在 中，求出 ，在 中，求出 即可解决问题；
（2）在 中，求出 ， 即可解决问题．
【详解】（1）解：如图，作 于 ．
在 中， ， ，
， ，
在 中， ，
，
．
（2） ，
， ， ，
在 中， ．
的正弦值为 ．
变式3-3．如图，在 中， ，点 为 的中点， 于点 ，连接 ．已知
.(1)若 ，求 的长度；
(2)若 ，求 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据 ，得到 中各边长的比值关系，计算出 的长度，根据中点的性质得到
的长度，最后再用 计算出 即可．
（2）过点 作 于点 ，根据 ， ，算出 的长度，根据中点的性质得到 的
长度，就可以算出 和 的长度，得到 的长度，勾股定理算出 ，即可得到结论．
【详解】（1） ，
，
， ，
，
∴ ，
，
点 为 的中点，
．
在 中， ，
，．
（2）过点 作 于点 ，
， ，
， ，
点 为 的中点，
，
在 ， ，
， ，
．
由勾股定理得： ，
，
【点睛】本题考查了解直角三角形，主要利用锐角三角函数值，勾股定理进行长度计算，理解锐角三角函
数的含义，并能运用到题目中是解题关键．
考点04构造直角三角形求不规则图形
例4．如图，在四边形 中， ， ， ， ，则四边形 的面
积为（ ）
A．48 B．50 C．52 D．54
【答案】A【分析】连接AC，利用勾股定理求出AC，再根据 进行计算即可求出结果．
【详解】解：连接 ，如图所示
， ，
，
四边形 的面积为48
故选：A．
【点睛】本题主要考查了四边形面积，解直角三角形的应用，勾股定理等知识，解题的关键是学会巧妙添
加辅助线，构造直角三角形解决问题．
变式4-1．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，∠AOD＝60°，AC＝BD＝2，则这个四边形的
面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过B、D两点分别作AC的垂线，利用∠AOD=60°，可推出DG= DO，BH= BO，再利用四
边形ABCD的面积等于△ACD的面积加上△ABC的面积，即可求出；【详解】如图，过点D作DG⊥AC于点G，过点B作BH⊥AC于点H，
∵∠AOD=60°，
∴∠AOD=∠BOC=60°，
∴DG= DO，
同理可得：BH= BO，
S ABCD= ×AC×DG+ ×AC×BH
四边形
= ×AC× ×（DO+BO）
= ，
故选：C．
【点睛】本题考查含30°的直角三角形的性质和四边形面积的计算，熟练掌握含30°直角三角形的性质和不
规则四边形面积的计算是解决本题的关键．
变式4-2．如图，某高为60米的大楼 旁边的山坡上有一个“5G”基站 ，从大楼顶端 测得基站顶端
的俯角为 ，山坡坡长 米，坡度 ，大楼底端 到山坡底端 的距离 米，则该基
站的高度 米．【答案】
【分析】如图（见解析），先根据坡度的定义、勾股定理求出 的长，从而可得 的长，再根
据解直角三角形可得 的长，然后根据 可得 的长，从而可得 的长，最后根据
即可得．
【详解】解：如图，延长 相交于点 ，过点 作 于点 ，
则四边形 是矩形，
，
坡度 ，
设 米，则 米，
在 中， ，
解得 ，
米， 米，
米，
米，
由题意得： ，
在 中， 米，
米，米，
米，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形、坡度等知识点，通过作辅助线，构造
直角三角形是解题关键．
变式4-3．已学校操场边有一块不规则的四边形。八年级（1）班的数学学习小组想要求出它的面积，经过
测量知： ，请你根据以上测量结果求出不规则四边形的面
积？
【答案】36
【分析】连接 ，构造直角三角形，用勾股定理即可．
【详解】解：如图，连接 ，
在 △ ，
又∵在△
∵ ，
∴
∴△ 是直角三角形， ，
∴
【点睛】此题考查的是勾股定理的应用，掌握构造直角三角形是解题的关键．
考点05坡角坡度问题例5．为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市大力开展植树造林活动．如图，若在坡比
为 的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）为 ，那么斜坡上相邻两树间的坡面距离为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，由坡比为 ，株距（相邻两树间的水平距
离）为 ，则上升的高度为 米，根据勾股定理即可求解，掌握坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是
解题的关键．
【详解】∵坡比为 ，株距（相邻两树间的水平距离）为 ，
∴铅直高度为 米，
由勾股定理得，斜坡上相邻两树间的坡面距离为 ，
故选： ．
变式5-1．如图，一辆小车沿着坡度为 的斜坡向上行驶了 米，则此时该小车离水平面的垂直高
度为（ ）
A．25米 B． 米 C．30米 D．35米
【答案】A
【分析】本题考查了解直角三角形的应用—坡度坡比问题，设此时小车离水平面的垂直高度为 米，则水
平前进了 米，由题意得出 ，求解即可得出答案．
【详解】解： 斜坡的坡度为 ，设此时小车离水平面的垂直高度为 米，则水平前进了 米，
由题意得： ，
解得： ，
此时该小车离水平面的垂直高度为25米，
故选：A．
变式5-2．2024年1月4日，第22届瓦萨国际滑雪节开幕式在长春净月潭国家森林公园启幕．如图，一名
滑雪运动员沿着倾斜角为 的斜坡，从点A滑行到点B．若 ，则这名滑雪运动员下降的高度为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查三角函数的应用，熟练掌握三角函数是解题的关键．根据锐角的正弦可直接进行求
解．
【详解】解：如图，由题意可得： ，
∴ ，
∴ ．
这名滑雪运动员的高度下降了 ；
故选：A．
变式5-3．如图，某滑雪场的滑雪轨道由 与 两部分组成， 长度为 ， 长度为 ，一位同学乘滑雪板沿此轨道由A点滑到了C点，若 的坡度为 ， 与水平面 的夹角为 ，则他
下降的高度为多少米？（精确到1米，参考数据： ， ， ）．
【答案】234米
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握三角函数定义．过点A作
于点E，过点B作 于点G，设 米，则 米，根据勾股定理求出
（米），得出 ，求出 米，根据三角形函数求出
米，即可得出答案．
【详解】解：过点A作 于点E，过点B作 于点G，如图所示：
的坡度为 ， 为260米，
设 米，则 米，
故 （米），
解得： ，
则 （米），
在 中，
，
（米），
他下降的高度为： 米，答：他下降的高度为234米．
考点06仰角俯角问题
例6．数学小组的同学要测量灯塔的高度，如图所示，在点 处测得灯塔最高点 的仰角 ，再
沿 方向前进至 处测得最高点 的仰角 ，则灯塔的高度 大约是（结果精
确到 ，参考数据： ）（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了解直角三角形的应用—俯角仰角问题，由题意得： ，设 ，则
， ，再结合 得出 ，求出 的值即可
得解，熟练掌握锐角三角函数的定义是解此题的关键．
【详解】解：由题意得： ，
设 ，则 ，
，
，
，
，
，
，
解得： ，
，灯塔的高度 大约是 ，
故选：A．
变式6-1．河南博物院坐落于河南省郑州市农业路中段，创建于 年，是中国成立较早的博物馆之一．
主展馆主体建筑以登封元代古观星台为原型，艺术演绎成了“戴冠的金字塔”造型，冠部为方斗形，上扬
下覆，寓意中原为华夏之源，融汇四方（如图 ）．小明利用所学的知识测量主展馆的高度 ，如图 ，
他使用无人机在地面 处测得主展馆方斗形一角 处的仰角为 ，然后控制无人机竖直上升 米到达
处，在 处测得主展馆方斗形一角 处的仰角为 ，其中 在同一水平线上，请你帮小明求出河南博
物院主展馆的高度 ．（结果精确到 米，参考数据： ， ， ，
）
图1 图2
【答案】约为 米．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用 仰角俯角问题，过点 作 ，垂足为 ，根据题意可得：
， 米，然后设 米，在 中，利用锐角三角函数的定义求出
的长，再在 中，利用锐角三角函数的定义求出 的长，根据 可列出关于 的方程，
解方程即可求解，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
【详解】解：过点 作 ，垂足为 ，
图2
由题意得： ， 米，设 米，
在 中， ，
∴ (米)，
在 中， ，
∴ (米)，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴ 米，
∴河南博物院主展馆的高度 约为 米．
变式6-2．无人机在实际生活中的应用广泛，如图所示，某人利用无人机测大楼的高度 ，无人机在空中
点A处，测得点A与地面距离80米，测得C点的俯角为 ，控制无人机水平移动至点D，测得
米，楼顶C点的俯角为 ，（点A、B、C、D在同一平面内），求大楼的高度 ．
【答案】71米
【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用．延长 交 于点E，分别在 和 中，
利用正切定义求出 ， ，可构建关于 的方程，
求解即可．
【详解】解：延长 交 于点E，
根据题意，得 米， ， ， ，在 中， ，
在 中， ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴ ，
即大楼的高度 为71米．
变式6-3．如图，在楼观测点P处进行观测，测得山坡 上A处的俯角为 ，测得山脚B处的俯角为 ．
已知该山坡 的坡度 ，点P，H，B，C，A在同一个平面上．点H，B，C在同一条直线上，且
， 米．
(1)求观测点P与山脚B点之间的线段 的长度；
(2)求观测点P与山顶A点之间的线段 的长度．
【答案】(1)20米
(2) 米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用 仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图
形添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）根据题意可得： ， ，从而可得 ，再根据垂直定义可得
，然后在 中，利用锐角三角函数的定义求出 的长，即可解答；
（2）过点 作 ，由山坡 的坡度 可得 ，从而可得 ．由， 可得 ，设 ，则 ，由 列方程
求出x的值，即可知 的长，在 中根据三角函数的定义即可求出 的值．
【详解】（1）由题意得： ， ，
，
，
，
在 中， 米，
(米 ，
观测点 与山脚 点之间的线段 的长度为20米；
（2）
如图，过点 作 ，
山坡 的坡度 ，即 ，
，
又 ，
，
， ，
，
又 ，
，
，
设 ，则 ，
，
，
解得 ，
即 ，
，
观测点 与山顶 点之间的线段 的长度为 米．
考点07方向角问题
例7．现在手机导航极大方便了人们的出行，如图，嘉琪一家自驾到风景区 游玩，到达 地后，导航显
示车辆应沿北偏西 方向行驶4千米至 地，再沿北偏东 方向行驶一段距离到达风景区 ，嘉琪发现
风景区 在 地的北偏东 方向，那么B，C两地的距离为（ ）
A． 千米 B． 千米 C． 千米 D．8千米
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形性质和计算，方位角的表示，正确作出辅助线构造直角三角形
是解题的关键；过点B作 于点D，根据 ， ，利用三角形内角和定理求出
，在得出 长度， ，利用勾股定理求出 ，即再次利用勾股定理求出 的长．【详解】如图所示：过点B作 于点D，
由题意得： ， ，
，
，
，
， ，
（千米）， ，
（千米），
（千米），
故选：A
变式7-1．某轮船由西向东航行，在 处测得小岛 的方位是北偏东 ，又继续航行 海里后，在 处测
得小岛 的方位是北偏东 ，若轮船继续向正东方向行驶，则轮船与小岛 的最短距离 海里．
【答案】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用—方向角问题，正确证明 是等腰三角形是解决本题的
关键．先过 作 的垂线 ，在直角 中可以求得 ，证明 是等腰三角形，即可求
解．【详解】解：如图，过 作 的垂线 ， 即为所求，
， ， ，
，
，
（海里），
（海里），
故答案为： ．
变式7-2．如图所示，渔船在 处看到灯塔 在北偏东 方向上，渔船向正东方向航行了 到达 处，
在 处看到灯塔 在正北方向上．
(1)求这时渔船与灯塔 的距离．
(2)若渔船继续向正东方向行驶 到达 处，求 的值．
【答案】(1)这时渔船与灯塔C的距离为
(2) 的值是
【分析】本题考查了与方位角有关的解直角三角形的应用．
（1）在 中， ，利用正切函数即可求得 的长；
（2）由勾股定理求得 的长，再由正弦函数的定义即可求解．
【详解】（1）解：∵A处看到灯塔C在北偏东 ，
∴ ，
∵渔船向正东方向航行了 到达B处，∴ ，
∵ ，
∴ ；
答：这时渔船与灯塔C的距离为 ；
（2）解：∵ ，
在 中， ，
∴ ；
答： 的值是 ．
变式7-3．如图，在一笔直的海岸线 上有 两个观测站， 在 的正东方向， ，有一艘小船在
点 处，从 测得小船在北偏东 的方向，从 测得小船在北偏西 的方向．求点 到海岸线 的距离
（结果精确到 ）．
【答案】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，过点 作 于点 ，设 ，则
， ，再由 ，求解即可得出答案，添加适当的辅助线
构造直角三角形是解此题的关键．
【详解】解：如图，过点 作 于点 ，设 ，
，在 中， ，
，
在 中， ， ，
，即 ，
解得 ．
答：点 到海岸线 的距离约为 ．
考点08其他实际问题
例8．随着科技的进步，机器人在各个领域的应用越来越广泛，如图为正方形形状的擦窗机器人，其边长
是28cm．在某次擦窗工作中， 为窗户的边缘，擦窗机器人的两个顶点A、B分别落在
上， ，将擦窗机器人绕中心O逆时针旋转一定的角度，使得 ，则旋转角度是（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【答案】B
【分析】本题考查了正方形的性质，锐角三角函数．由锐角三角函数可求 ，由平行线的性质和
三角形内角和定理可求解．
【详解】解：如图，连接 ，连接 交 于点E，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴旋转角为 ，
故选：B．
变式8-1．某临街店铺在窗户上方安装如图1所示的遮阳棚，其侧面如图2所示，遮阳棚展开长度
，遮阳棚前端自然下垂边的长度 ，遮阳棚固定点A距离地面高度 ，
遮阳棚与墙面的夹角 ．(参考数据： ， ， ，
)
(1)如图2，求遮阳棚前端 到墙面 的距离；
(2)如图3，某一时刻，太阳光线与地面夹角 ，求遮阳棚在地面上的遮挡宽度 的长(结果精
确到 )．
【答案】(1)遮阳棚前端 到墙面 的距离约为
(2)遮阳棚在地面上的遮挡宽度 的长约为
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质；
（1）作 于 ，在 中，根据 列式计算即可；
（2）作 于 ， 于 ，延长 交 于 ，则 ，可得四边形 ，四边形
是矩形，解直角三角形 求出 ，可得 ，然后在 中，解直角三
角形求出 ，进而可得 的长．
【详解】（1）解：如图，作 于 ，．
在 中， ，即 ，
，
答：遮阳棚前端 到墙面 的距离约为 ；
（2）解：如图 ，作 于 ， 于 ，延长 交 于 ，则 ，
四边形 ，四边形 是矩形，
由（ ）得
，
在 中， ，即 ，
，
由题意得：
，
，
在 中， ，即 ，，
，
答：遮阳棚在地面上的遮挡宽度 的长约为
变式8-2．小艺在某大学艺术学院就读，她想借助学院前的台阶，测量学院对面雕塑的高度，如图为雕塑
和学院门口台阶的侧面示意图， 为雕塑， 为雕塑下端的平台， 为学院门口的台阶，已知B，D
在同一水平线上（即 ），此时测得 等于 ，点D距离地面高度 为 米，已知台阶
的坡角为 ， 米，求该雕塑 的高度．（结果精确到 米，参考数据： ）
【答案】雕塑 的高度约为 米
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握三角形函数的定义，先根据题意得
出 为等腰直角三角形，求出 米，得出 （米），根据
，求出结果即可．
【详解】解：在 中， 米，台阶的坡角为 ，
∴ 为等腰直角三角形，
米，
（米），
由题意得，四边形 为矩形，
米，
在 中， ， ，
，
解得 米．
答：雕塑 的高度约为 米
变式8-3．如图，某数学小组探究笔记本电脑打开角度对用眼舒适度的影响，当张角 时，顶部边缘A处离桌面的高度 的长为 ，此时用眼舒适度不太理想．小组成员调整张角大小继续探究，最
后发现当张角 时（点 是A的对应点），用眼舒适度较为理想．求此时顶部边缘 处离桌面
的高度 的长．（结果精确到 ；参考数据： ）
【答案】此时顶部边缘 处离桌面的高度 的长约为
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．利用平角定义先
求出 ，然后在 中，利用锐角三角函数的定义求出 的长，从而求出 的长，再利
用平角定义求出 的度数，最后在 中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
由题意得： ，
∵ ，
∴ ，
，
在 中， ，
∴此时顶部边缘 处离桌面的高度 的长约为 ．
基础过关练
1．已知一个斜坡 的长为 米，坡角为 度，则斜坡高度 为（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米【答案】B
【分析】此题主要考查学生解直角三角形的应用，根据坡角的正弦值 垂直高度 坡面距离，据此即可解答．
掌握坡角和三角函数的定义是解决问题的关键．
【详解】解：如图，在 中， ， ， ，
米 ．
故选：B．
2．如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则 的
值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如图，找出格点 ，连接 ，易知 是直角三角形， 三点共线，然后根
据勾股定理逆定理可判断 是直角三角形，最后根据锐角三角函数的定义即可求出答案．本题考查解
直角三角形，涉及勾股定理逆定理，勾股定理，锐角三角函数，属于学生灵活运用所学知识
【详解】解：如图，找出格点 ，连接 ，
易知 是直角三角形，
∴ 三点共线，
连接 ，
由勾股定理可知： ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，∴ ，
故选：C．
3．在锐角 中， 是高，如果 ， ，那么 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据三角函数的定义即可得出 ， ，从而得出 即可．
【详解】解： ，
在 中， ，
在 中， ，
， ，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角函数的定义，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
4．如图， ， ， 底边BC上的高为 ， 底边QR上的高为 ，则有
（ ）A． B． C． D．以上都有可能
【答案】B
【分析】由已知可知高所对的斜边都为5，由正弦的定义可得到高关于正弦的表达式，比较正弦值即可得
到答案．
【详解】解：如图，分别作出两三角形的高
∵
∴
∵
∴
∵
∴
故选：B．
【点睛】本题考查解直角三角形，依题意作高构造直角三角形是解题的关键．
5．如图，平地上一幢建筑物 与铁塔 都垂直于地面， ，在建筑物的顶部分别观测铁塔底部
的俯角为 、铁塔顶部的仰角为 ．则铁塔 的高度为 （结果保留根号）．
【答案】 /
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，过点A作 于E，则四边
形 是矩形， ，再解直角三角形求出 的长即可得到答案．【详解】解：如图所示，过点A作 于E，则四边形 是矩形，
∴ ，
在 中， ，
在 中， ，
∴ ，
∴铁塔 的高度为
故答案为：
6．如图，在 中， ， ， ，则 的长为 ．
【答案】
【分析】过点 作 于点 ，解 ，得出 ，进而解 ，即可求解．
【详解】解：如图，过点 作 于点 ，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握三角形的边角关系是解题的关键．
7．如图，在 中， ， ， ， ，垂足为 ， 的平分线交
于点 ，则 的长为 ．
【答案】 ．
【分析】由图象可得两个直角三角形,分别为45°等腰直角三角形和30°直角三角形,先在Rt△ADC中算出
AD,再Rt△ADB中,算出BD,根据角平分线的性质可得Rt△EBD为30°特殊直角三角形,再求出DE,即可求出
AE的长.
【详解】解：∵ ，
∴ .
在 中， ， ，
∴ ，
∴
在 中， ， ，
∴
∵ 平分 ，∴ .
在 中， ， ，
∴
∴
【点睛】本题考查解特殊直角三角形,关键在于熟练掌握特殊直角三角形的基础性质.
8．如图，某小区物业想对小区内的三角形广场 进行改造，已知 与 的夹角为 ， 米，
米，请你帮助物业计算出需要改造的广场面积是 平方米.（结果保留根号）
【答案】
【分析】过点 作 ，交 的延长线于点 ，根据解直角三角形的方法即可求解.
【详解】如解图，过点 作 ，交 的延长线于点 ，
∵ ，
∴ .
∵在 中， ， ，
∴ .
∵ ， ，
∴ （平方米）.【点睛】此题主要考查三角函数的应用，解题的关键是根据题意作出辅助线进行求解.
9．如图，长 的楼梯 的倾斜角 ，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾
斜角 ，求调整后的楼梯 的长（精确到 ，参考数据： ， ，
， ， ）．
【答案】调整后的楼梯 的长约为
【分析】本题主要考查解直角三角形的运用，在 中，根据 的正弦可求出 的值，在
中，根据 的正弦值即可求解，掌握三角函数的计算方法，解直角三角形的运用是解题的
关键．
【详解】解：在 中， ,
,
在 中， ,
,
答：调整后的楼梯 的长约为 ．
10．小花和小明周末去大雁塔游玩，两人在A处测得大雁塔在北偏东60°方向C处，当小花和小明沿着正
东方向走了1200米到达B处时，测得大雁塔在北偏东15°的方向上，求此时他们与大雁塔的距离 约是
多少？（结果保留整数，参考数据： ， ）【答案】840米
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用．过点B作 于D，解 ，求出 的长，再解
，求出 的长即可．解题的关键是构造直角三角形．
【详解】解：过点B作 于D，如图所示：
由题意得： ， ， 米，
∴ ，
在 中， ，
∴ （米），
在 中， ，
∴ （米），
答：此时他们与大雁塔的距离 约是840米．
11．如图，在 中， ．
(1)求 的值．
(2)求 的面积（结果保留根号）
【答案】(1)(2) 的面积为
【分析】本题考查了解三角形，解题关键是构造出直角三角形．
（1）过点 作 于点 ，构造出两个直角三角形，再根据所给条件直接求解即可；
（2）利用勾股定理及三角形面积求解即可．
【详解】（1）解：如图，过点 作 于点 ．
在 中， ， ，
，
，
在 中，
，
；
（2）解：由（1）知：在 中， ， ，
，
．
12．文物探测队探测出某建筑物下面埋有文物，为了准确测出文物所在的深度，他们在文物上方建筑物的
一侧地面上相距 米的 两处，用仪器测文物 ,探测线与地面的夹角分别是 和 ， 求该文物所在
位置的深度(精确到 米) ．【答案】17.3米
【分析】首先构建直角三角形，然后利用特殊角锐角三角函数，即可得解.
【详解】过点 作 于 ，设 ，如图所示：
在 中， ，则
在 中， ，
（米）
（米）
即 米．
答：该文物所在的位置在地下约17.3米处．
【点睛】此题主要考查含有特殊锐角三角函数的实际应用，解题关键是构建直角三角形，即可解题.
能力提升练1．已知如图， 是 的弦， 与坐标系 轴交于 两点， 的弦 的长为 ，
则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了圆周角定理以及解直角三角形的运用，解题时注意：在同圆或等圆中，同弧或等
弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
首先连接 ，由 ，可得 是直径，又由点A的坐标为 ，弦 的长为 ，可得
中， ，进而得到 ，最后根据圆周角定理可得
．
【详解】解：连接 ，
∵ ，
∴ 是直径，
又∵点A的坐标为 ，弦 的长为 ，
∴ 中， ，，
，
，
故选：C．
2．某数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度 .如图，无人机在 处测得正前方河流的点 处的俯
角 ，点 处的俯角 ，点 ， ， 在同一条水平直线上.若 ， ，
则河流的宽度 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，熟记俯角的含义是解本题的关键，在 中，利用
可得 ，然后在等腰直角三角形 中，利用 即可求解.
【详解】解：∵
∴
∵
∴
∴ ，
∵
∴
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
故选：A
3．如图，△AOB中，OA＝4，OB＝6，AB＝2 ，将△AOB绕原点O旋转90°，则旋转后点A的对应点
A′的坐标是（ ）A．（4，2）或（﹣4，2） B．（2 ，﹣4）或（﹣2 ，4）
C．（﹣2 ，2）或（2 ，﹣2） D．（2，﹣2 ）或（﹣2，2 ）
【答案】C
【分析】先求出点A的坐标，再根据旋转变换中，坐标的变换特征求解；或根据题意画出图形旋转后的位
置，根据旋转的性质确定对应点A′的坐标．
【详解】过点A作 于点C．
在Rt△AOC中， ．
在Rt△ABC中， ．
∴ ．
∵OA＝4，OB＝6，AB＝2 ，
∴ ．
∴ ．
∴点A的坐标是 ．
根据题意画出图形旋转后的位置，如图，
∴将△AOB绕原点O顺时针旋转90°时，点A的对应点A′的坐标为 ；
将△AOB绕原点O逆时针旋转90°时，点A的对应点A′′的坐标为 ．故选：C．
【点睛】本题考查了解直角三角形、旋转中点的坐标变换特征及旋转的性质．（a，b）绕原点顺时针旋转
90°得到的坐标为（b，-a），绕原点逆时针旋转90°得到的坐标为（－b，a）．
4．在 中， 是锐角， ， 是高，且 ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理，根据题意画出图形，先利用 是高，
且 ，求出 ，由勾股定理求出 ，即可得到 ，再利用勾股定理即可求出 ．
【详解】解：如图：
中， 是锐角， ， 是高，
，
，，
，
，
故答案为： ．
5．如图，在扇形 中， ，半径 是 的中点，过点 作 ，交 于
点 ，则阴影部分的面积为 ．
【答案】 /
【分析】本题考查扇形的面积，解直角三角形等知识．连接 ，过点 作 于点 ,解直角三角形
求出 ，再根据 可得结论．
【详解】解：如图,连接 ，过点 作 于点 ，
，
，
，
，
，
，，
，
，
．
故答案为： ．
6．如图，在四边形 中，连接 、 ， ， ， ，则
的值为 ．
【答案】
【分析】延长 交于点 ，过点 作 于点 ，根据直角三角形边角关系，等腰三角形的性
质，以及锐角三角函数的定义，进行计算即可．
【详解】解：如图，延长 、 相交于点 ，过点 作 于点 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ， ， 是等腰直角三角形，
设 ，则 ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查解直角三角形．正确的添加辅助线，构造直角三角形，熟记直角三角形的边角关系，是
解题的关键．
7．某小区有两栋在建居民楼，因施工底部不能直接到达．按照有关规定：两楼间距不小于前楼高度的1.2
倍．为计算两楼间距，数学小组的同学在远处平台的点 处测得高度为21米的前楼 顶部点 的仰角
为 ，测得高度为38.5米的后楼 顶部点 的仰角 为 ，平台高 为9米，点 与两栋楼的底
部点 在同一水平线上．根据以上信息解决问题：
(1)平台到前楼的距离 长；
(2)计算两楼间距，并判断间距是否符合规定．
（结果保留小数点后一位，参考数据： ， ， ， ，
， ）
【答案】(1)52.2米
(2)两楼间距25.4米，符合规定【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角、俯角，熟练掌握锐角三角函数是解答的关键．
（1）利用正切定义求得 长即可；
（2）利用正切定义求得 长，进而求得 长，根据规定可作出判断．
【详解】（1）解：由题意，四边形 、四边形 是矩形， 米， 米，
∴ 米， ， ，
∴在 中， ，则 （米），
答：平台到前楼的距离 长为52.2米；
（2）解：在 中， （米），
∴ （米），
则两楼间距为 米，
∵ ，
∴两楼间距符合规定．
8．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对（ ），如图①，在 中， ，顶角
A的正对记作 ，这时 ．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定
的．根据上述角的正对定义，解下列问题：
(1) ________．
(2)对于 ， 的正对值 的取值范围是________．
(3)如图②，已知 ，其中 为锐角，试求 的值．
【答案】(1)
(2)(3)
【分析】（1）如图， , ，所以 .
（2）如图，当点A向 靠近时， 增大，逐渐接近 ，腰长 接近 ， 相应的 ；
当点A远离 时， 减小，逐渐接近 ，腰长 逐渐增大，相应的 ；于是 ．
（3）如图，在 上截取 ，过H作 于D，设 ，则 ,
．解 ， ， ．
【详解】（1）解：如图， ,
,
∵ ,
∴ .
（2）解：如图，点A在 的中垂线上，当点A向 靠近时， 增大，逐渐接近 ，腰长 接近
， 相应的 ；
当点A远离 时， 减小，逐渐接近 ，腰长 逐渐增大，相应的 逐渐接近0，
；∴
（3）解：如图，在 上截取 ，过H作 于D，
，
设 ，则， ,
∴ ．
中， ，
∴ ．
【点睛】本题考查新定义，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形性质；添加辅助线，构造等腰三角形是
解题的关键．
