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专题 30 一次函数中等腰（直角）三角形存在问题综合应
用
解答方法
一．等腰三角形存在性问题
1、找点方法：
①以 AB 为半径，点 A 为圆心做圆，
此时，圆上的点（除 D 点外）与 A、B
构成以 A 为顶点的等腰三角形
（原理：圆上半径相等）
②以 AB 为半径，点 B 为圆心做圆，
此时，圆上的点（除 E 点外）与 A、B
构成以 B 为顶点的等腰三角形
（原理：圆上半径相等）
③做 AB 的垂直平分线，此时，直线上的点（除 F 点外）与 A、B 构成以 C 为顶点的等腰
三
角形（原理：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）
2、求点方法：
为AB’
典例分析
【考点1等腰三角形的存在性问题】
【典例1】如图，直线 的图象与x轴和y轴分别交于点 A和点B，将
△AOB沿直线l对折使点A和点B重合，直线l与x轴交于点C，与AB交于
点D，连接BC．
（1）求D点的坐标；
（2）已知y轴上有一点P，若以点B，C，P为顶点的三角形是等腰三角形，
直接写出所有满足条件的点P的坐标．【变式1-1】如图，直线y＝﹣ 与直线y＝x+b交于点A（﹣1，m），直线
y＝﹣ 与x轴交于点B，直线y＝x+b与x轴交于点C．
（1）求m和b的值；
（2）在x轴上，是否存在点P，使△PAC为等腰三角形？若存在，请直接写
出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式1-2】如图，在直角坐标系中，四边形 ABCD的顶点坐标分别为 A（﹣
1，0），B（0，2），C（2，3），D（4，0）．
（1）求直线BC的表达式；
（2）已知点M在x轴上，且△MBC是等腰三角形，求点M的坐标．【考点2等腰直角三角形的存在性问题】
【典例2】如图，在平面直角坐标系中，直线 y＝x+3与x轴，y轴分别交于点
A，C，经过点C的直线与x轴交于点B（3，0）．
（1）求直线BC的解析式；
（2）已知D为AC的中点，点P是平面内一点，当△CDP是以CD为直角边
的等腰直角三角形时，直接写出点P的坐标．
【变式2-1】如图，在平面直角坐标系中，直线 l ：y＝kx+b（k≠0）与直线l ：
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y＝x交于点A（2，a），与y轴交于点B（0，6），与x轴交于点C．
（1）求直线l 的函数表达式；
1
（2）在平面直角坐标系中有一点P（5，m），使得S ＝S ，请求出点
△AOP △AOC
P的坐标；
（3）点M为直线l 上的动点，过点 M作y轴的平行线，交 l 于点N，点Q
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为y轴上一动点，且△MNQ为等腰直角三角形，请直接写出满足条件的点 M
的坐标．【变式2-2】在直角坐标系xOy中，直线l ：y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于点
1
A，点B．直线l ：y＝mx+m（m＞0）与x轴，y轴分别交于点C，点D，直
2
线l 与l 交于点E．
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（1）若点E坐标为（ ，n）．
ⅰ）求m的值；
ⅱ）点P在直线l 上，若S ＝3S ，求点P的坐标；
2 △AEP △BDE
（2）点F是线段CE的中点，点G为y轴上一动点，是否存在点F使△CFG
为以FC为直角边的等腰直角三角形．若存在，求出 m的值，若不存在，请
说明理由．夯实基础
1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A（﹣4，0），
与y轴交于点B，且与正比例函数y＝ x的图象交于点C（m，6）．
（1）求一次函数的解析式；
（2）在x轴上是否存在一点P，使得△ABP是等腰三角形？若存在，请直接
写出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+6与x轴，y轴分别交于点A，C，
经过点C的直线与x轴交于点B（6，0）．
（1）求直线BC的解析式；
（2）已知D为AC的中点，点P是平面内一点，当△CDP是以CD为直角边
的等腰直角三角形时，直接写出点P的坐标．3．如图，在平面直角坐标系中，直线l 的解析式为y＝x，直线l 的解析式为y
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＝﹣ x+3，与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线l 与l 交于点C．
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（1）求出点A、点B的坐标；
（2）在x轴上是否存在一点P，使得△POC为等腰三角形？若存在，请直接
写出点P坐标，若不存在，请说明理由．
4．如图，直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于点A、点B，点P是射线BO上的
动点，过点B作直线AP的垂线交x轴于点Q，垂足为点C，连结OC．
（1）当点P在线段BO上时，
①求证：△AOP≌△BOQ；
②若点P为BO的中点，求△OCQ的面积．（2）在点P的运动过程中，是否存在某一位置，使得△OCQ成为等腰三角
形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
